2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总
2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数综合大题
【2007新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数2()ln()f x x a x =++
(I )若当1x =-时,()f x 取得极值,求a 的值,并讨论()f x 的单调性; (II )若()f x 存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于e
ln 2
. 【解析】(Ⅰ)1()2f x x x a
'=
++,依题意有(1)0f '-=,故32a =.
从而2231(21)(1)
()3322
x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为32??
-+ ???
,∞,当312x -<<-时,()0f x '>;
当1
12
x -<<-时,()0f x '<; 当1
2
x >-
时,()0f x '>. 从而,()f x 分别在区间3
1122????---+ ? ?????,,,
∞单调增加,在区间112??
-- ???
,单调减少. (Ⅱ)()f x 的定义域为()a -+,∞,2221
()x ax f x x a
++'=+.
方程2
2210x ax ++=的判别式2
48a ?=-. (ⅰ)若0?<
,即a <<
()f x 的定义域内()0f x '>,故()f x 的极值.
(ⅱ)若0?=
,则a
a =
若a =
()x ∈+
,2
()f x '=
.
当x =时,()0f x '=,
当2
x ?
??∈-+ ? ?????
,∞时, ()0f x '>,所以()f x 无极值.
若a =)x ∈+,()0f x '=
>,()f x 也无极值.
(ⅲ)若0?>,即a >
a <22210x ax ++=有两个不同的实根
1x =
2x =
当a <12x a x a <-<-,,从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点, 故()f x 无极值.
当a >
1x a >-,2x a >-,()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点,
由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==,取得极值.
综上,()f x 存在极值时,a 的取值范围为)+.
()f x 的极值之和为
2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22
e
f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=.
【2008新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数1
()()f x ax a b x b
=+
∈+Z ,,曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程为y =3. (Ⅰ)求()f x 的解析式:
(Ⅱ)证明:函数()y f x =的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心;
(Ⅲ)证明:曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值. 21.解:(Ⅰ)2
1
()()
f x a x b '=-
+,
于是2121210(2)a b a b ?+=?+???-=+??
,,
解得11a b =??=-?,,或94
8.3a b ?=????=-??,因a b ∈Z ,,故1()1f x x x =+-.
(Ⅱ)证明:已知函数1y x =,21
y x
=都是奇函数. 所以函数1
()g x x x
=+
也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形.而1
()111
f x x x =-+
+-. 可知,函数()g x 的图像按向量(11)=,a 平移,即得到函数()f x 的图像,故函数()f x 的图像是以点(11)
,为中心的中心对称图形. (Ⅲ)证明:在曲线上任取一点00011x x x ??
+
?-??
,.由02
01()1(1)f x x '=--知,过此点的切线方程为
2
000200111()1(1)x x y x x x x ??
-+-=--??--??
.令1x =得0011x y x +=-,切线与直线1x =交点为00111x x ??
+ ?-??
,. 令y x =得021y x =-,切线与直线y x =交点为00(2121)x x --,.
直线1x =与直线y x =的交点为(11)
,. 从而所围三角形的面积为
000001112
12112222121
x x x x x +---=-=--.
所以,所围三角形的面积为定值2.
【2009新课标卷(海南宁夏卷)】
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x 3+3x 2+ax+b)e -x
. (1)若a =b =-3,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β-α>6.
分析:第(1)问考查利用导数求单调区间,属容易题. 第(2)问考查极值点与导函数的关系.
解:(1)当a =b =-3时,f(x)=(x 3+3x 2-3x -3)e -x
,故
f′(x)=-(x 3+3x 2-3x -3)e -x +(3x 2+6x -3)e -x =-e -x (x 3-9x)=-x(x -3)(x+3)e -x
. 当x <-3或0<x <3时,f′(x)>0;当-3<x <0或x >3时,f′(x)<0. 从而f(x)在(-∞,-3),(0,3)单调增加,在(-3,0),(3,+∞)单调减少.
(2)f′(x)=-(x 3+3x 2+ax+b)e -x +(3x 2+6x+a)e -x =-e -x [x 3
+(a -6)x+b -a ].
由条件得f′(2)=0,即23+2(a -6)+b -a =0,故b =4-a.从而f′(x)=-e -x [x 3
+(a -6)x+4-2a ].
因为f′(α)=f′(β)=0,所以x 3+(a -6)x+4-2a =(x -2)(x -α)(x -β)=(x -2)[x 2
-(α+β)x+αβ].
将右边展开,与左边比较系数,得α+β=-2,αβ=a -2. 故a 4124)(2-=-+=
-αβαβαβ.
又(β-2)(α-2)<0,即αβ-2(α+β)+4<0.由此可得a <-6.于是β-α>6.
【2010新课标卷(海南宁夏吉林黑龙江)】 (21)(本小题满分12分)设函数f(x)=2
1x e x ax ---.
(Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x ≥0时f(x)≥0,求a 的取值范围.
21.解:(1)a =0时,f (x )=e x -1-x ,f ′(x )=e x
-1.
当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )<0;
当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0.故f (x )在(-∞,0)单调减少,在(0,+∞)单调增加. (2)f ′(x )=e x
-1-2ax .
由(1)知e x
≥1+x ,当且仅当x =0时等号成立. 故f ′(x )≥x -2ax =(1-2a )x ,从而当1-2a ≥0,
即a ≤1
2时,f ′(x )≥0(x ≥0),而f (0)=0,于是当x ≥0时,f (x )≥0.
由e x >1+x (x ≠0)可得e -x
>1-x (x ≠0),从而当a >12
时,
f ′(x ) 故当x ∈(0,ln2a )时, f ′(x )<0,而f (0)=0,于是当x ∈(0,ln2a )时,f (x )<0,综合得a 的取值范围为(-∞,1 2 ]. 【2011全国新课标卷】 (21)(本小题满分12分) 已知函数ln ()1a x b f x x x = ++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 (Ⅰ)求a 、b 的值; (Ⅱ)如果当0x >,且1x ≠时,ln ()1x k f x x x > +-,求k 的取值范围。 (21)解:(Ⅰ)22 1 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= -+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过点(1,1),故(1)1, 1'(1),2 f f =?? ?=-??即 1, 1,22 b a b =???-=-?? 解得1a =,1b =。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知ln 1 f ()1x x x x = ++,所以 22 ln 1(1)(1) ()()(2ln )11x k k x f x x x x x x ---+=+--。 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >,则22 (1)(1)2'()k x x h x x -++=。 (i)设0k ≤,由22 2(1)(1)'()k x x h x x +--=知,当1x ≠时,'()0h x <。而(1)0h =,故 当(0,1)x ∈时,()0h x >,可得 2 1 ()01h x x >-; 当x ∈(1,+∞)时,h (x )<0,可得211 x - h (x )>0 从而当x>0,且x ≠1时,f (x )-(1ln -x x +x k )>0,即f (x )>1ln -x x +x k . (ii )设0 -11)时,(k-1)(x 2 +1)+2x>0,故'h (x )>0,而 h (1)=0,故当x ∈(1,k -11)时,h (x )>0,可得2 11 x -h (x )<0,与题设矛盾。 (iii )设k ≥1.此时' h (x )>0,而h (1)=0,故当x ∈(1,+∞)时,h (x )>0,可得 2 11 x - h (x )<0,与题设矛盾。 综合得,k 的取值范围为(-∞,0] 【2012全国新课标卷(宁、吉、黑、晋、豫、新)】 (21)(本小题满分12分) 已知函数()f x 满足满足1 2 1()(1)(0)2 x f x f e f x x -'=-+ ; (1)求()f x 的解析式及单调区间; (2)若2 1()2 f x x ax b ≥ ++,求(1)a b +的最大值。 【解析】(1)121 1()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得:(0)1f = 1 2 11()(1)(0)(1)1(1)2 x f x f e x x f f e f e --'''=-+ ?==?= 得:2 1()()()12 x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+ ()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得:()f x 的解析式为21()2 x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞ (2)2 1()()(1)02 x f x x ax b h x e a x b ≥ ++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时,()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增 x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥矛盾 ②当10a +>时,()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+<+ 得:当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令22()ln (0)F x x x x x =->;则()(12ln )F x x x '=- ()00()0F x x F x x ''>?<<> 当x = max ()2 e F x = 当1,a b ==(1)a b +的最大值为2 e 【2013全国新课标Ⅱ卷】 21.(本小题满分12分) 已知函数. (Ⅰ)设是 的极值点,求 ,并讨论 的单调性; (Ⅱ)当 时,证明 . 解:(Ⅰ)'()ln()x f x e x m =-+Q '()x f x e x m ∴=- +1 x =0Q 是()f x 的极值点 '()f ∴=00 即m - =1 10 m ∴=1 '()x f x e x ∴=- +11 () ''()x f x e x ∴=+ >+2 1 01 '()f x ∴在(,)-+∞1上单调递增 '()f =00Q ',()x f x ∴-<<<100;',()x f x ∴>>00. ∴()f x 在(,)-10上单调递减,在(,)+∞0上单调递增. (Ⅱ)方法一: 令()x h x e x =--1 '()x h x e ∴=-1 ()h x ∴在(,)-∞0上单调递减,在(+)∞0,上单调递增 ()()h x h ∴≥=00 即x e x ≥+1 令()ln()g x x x =+-+12 '()x g x x x +∴=- =++11 122 ()g x ∴在(,)--21上单调递减,在(,)-+∞1上单调递增. ()()g x g ∴≥-=10 即ln()x x +≥+12 ln()x e x ∴>+2 又Q 当m ≤2时,x x m +≥+2 ()()ln ln x x m ∴+≥+2 ()ln x e x m ∴>+ 即()ln x e x m -+>0 ∴当m ≤2时,() f x >0. 方法二: 设()()ln x g x e x =-+2 '()x g x e x ∴=- +12 () ''()x g x e x ∴=+ >+2 1 02 '()g x ∴在(,)-+∞2单调递增. 而' '(),()g g e -= -<=->11 1100102 (,)x ∴?∈-010使得'()g x =00 ()g x ∴在(,)x -02上单调递减,在(,+)x ∞0上单调递增. min ()(),(,)g x g x x ∴=∈-0010 ()()ln()x g x g x e x ∴≥=-+0002 令()ln(),(,)h x x x x =+-+∈-1210 '()x h x x x +∴=- = ++11 122 ()h x ∴在(,)-10上单调递增. ()()h x h ∴>-=10 即ln()x x +>+12 x e x >+1Q ln()x e x ∴>+2 又Q 当m ≤2时,x x m +≥+2 ()()ln ln x x m ∴+≥+2 ()ln x e x m ∴>+ 即()ln x e x m -+>0 ∴当m ≤2时,() f x >0. 【2014全国新课标Ⅱ卷】 21.已知函数()2x x f x e e x -=--. (I )讨论()f x 的单调性; (II )设()(2)4()g x f x bf x =-,当0x >时,()0g x >,求b 的最大值; (III )已知1.4142 1.4143< <,估计ln 2的近似值(精确到0.001). 【解析】 (I ) ()1 20x x f x e e '=+ -≥当且仅当0x =时等号成立, ()f x ∴在R 上是增函数; (II ) ()()()()()2224484x x x x g x f x bf x e e b e e b x --=-=---+- ()()()()()2222422222x x x x x x x x g x e e b e e b e e e e b ----??'∴=+-++-=+-+-+?? ⑴当2b ≤时,()0g x '≥,等号仅当0x =时成立,()g x ∴在R 上是增函数,而 ()00g =,所以对任意0x >,()0g x >; ⑵当2b >时,若x 满足222x x e e b -<+<-,即(0ln 1x b <<-时, ()0g x '<,()()00g x g <=. 综上,b 的最大值是2. (III )由II 知,(()3 ln 221ln 22 g b =-+-, 当2b =时,(3ln 6ln 202g = ->,3ln 20.6928;12 >> 当14 b = +时,(ln 1b -= (() 3 2ln 202g =--<,ln 20.6934<< 所以ln 2的近似值为0.693. 导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题,内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明: (1)()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点; (2)()f x 有且仅有2个零点. 【解析】(1)设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>;当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. (2)()f x 的定义域为(1,)-+∞. (i )由(1)知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. (ii )当0,2x π?? ∈ ???时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而 第 1 页 共 1 页 2020年高考数学导数压轴题每日一题 例1已知函数f(x)=e x -ln(x +m).(新课标Ⅱ卷) (1)设x =0是f(x)的极值点,求m ,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0. 例1 (1)解 f (x )=e x -ln(x +m )?f ′(x )=e x -1x +m ?f ′(0)=e 0-10+m =0?m =1, 定义域为{x |x >-1}, f ′(x )=e x -1x +m =e x (x +1)-1x +1, 显然f (x )在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. (2)证明 g (x )=e x -ln(x +2), 则g ′(x )=e x -1x +2 (x >-2). h (x )=g ′(x )=e x -1x +2(x >-2)?h ′(x )=e x +1(x +2)2 >0, 所以h (x )是增函数,h (x )=0至多只有一个实数根, 又g ′(-12)=1e -132 <0,g ′(0)=1-12>0, 所以h (x )=g ′(x )=0的唯一实根在区间??? ?-12,0内, 设g ′(x )=0的根为t ,则有g ′(t )=e t -1t +2=0????-12 导数及其应用 导数的运算 1. 几种常见的函数导数: ①、c '= (c 为常数); ②、n (x )'= (R n ∈); ③、)(sin 'x = ;④、)(cos 'x = ; ⑤、x (a )'= ; ⑥、x (e )'= ; ⑦、a (log x )'= ; ⑧、(ln x )'= . 2. 求导数的四则运算法则: ()u v u v '''±=±;v u v u uv '+'=')(;2)(v v u v u v u '-'=' )0(2' ' ' ≠-=??? ??v v u v vu v u 注:① v u ,必须是可导函数. *3. 复合函数的求导法则: )()())((x u f x f x ??'?'=' 或 ' ?'='x u x u y y 一、求曲线的切线(导数几何意义) 导数几何意义:0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ,0()f x )处切线L 的斜率; 函数()y f x =在点(0x ,0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=- 1.(2009全国卷Ⅱ理)曲线21 x y x = -在点()1,1处的切线方程为 ( ) A . 20x y --= B . 20x y +-= C .450x y +-= D . 450x y --= 2.【2012高考广东理12】曲线y =x 3-x +3在点(1,3)处的切线方程为 . 变式一: 3.(2009江西卷理)设函数2 ()()f x g x x =+,曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+,则曲线 ()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ( ) A .4 B .14- C .2 D .12 - 4.【2009安徽卷理】已知函数()f x 在R 上满足2 ()2(2)88f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处 的切线方程是 ( ) A .21y x =- B .y x = C .32y x =- D .23y x =-+ 变式二: 5.(2009江苏卷)在平面直角坐标系xoy 中,点P 在曲线3 :103C y x x =-+上,且在第二象限内,已知曲线C 在 点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为 . 6.【2009陕西卷理】设曲线1 *()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =,则 2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数综合大题 【2007新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数2()ln()f x x a x =++ (I )若当1x =-时,()f x 取得极值,求a 的值,并讨论()f x 的单调性; (II )若()f x 存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于e ln 2 . 【解析】(Ⅰ)1()2f x x x a '= ++,依题意有(1)0f '-=,故32a =. 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ,∞,当312x -<<-时,()0f x '>; 当1 12 x -<<-时,()0f x '<; 当1 2 x >- 时,()0f x '>. 从而,()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????,,, ∞单调增加,在区间112?? -- ??? ,单调减少. (Ⅱ)()f x 的定义域为()a -+,∞,2221 ()x ax f x x a ++'=+. 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-. (ⅰ)若0?< ,即a << ()f x 的定义域内()0f x '>,故()f x 的极值. (ⅱ)若0?= ,则a a = 若a = ()x ∈+ ,2 ()f x '= . 当x =时,()0f x '=, 当2 x ? ??∈-+ ? ????? ,∞时, ()0f x '>,所以()f x 无极值. 若a =)x ∈+,()0f x '= >,()f x 也无极值. (ⅲ)若0?>,即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-,,从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点, 故()f x 无极值. 当a > 1x a >-,2x a >-,()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点, 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==,取得极值. 综上,()f x 存在极值时,a 的取值范围为)+. ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=. 【2008新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ,,曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程为y =3. (Ⅰ)求()f x 的解析式: (Ⅱ)证明:函数()y f x =的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (Ⅲ)证明:曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值. 21.解:(Ⅰ)2 1 ()() f x a x b '=- +, 导数大题 1 .已知函数()b ax x x f ++=2 3的图象在点P (1,0)处的切线与直线03=+y x 平行? (1)求常数a 、b 的值; (2)求函数()x f 在区间[]t ,0上的最小值和最大值(0>t )? 2 .已知函数R a ax x x f ∈+-=,)( 3 (1)若)(x f 在),1[+∞上为单调减函数,求实数a 取值范围; (2)若,12=a 求)(x f 在[-3,0]上的最大值和最小值? 3 .设函数x e x x f 22 1)(=. (1)求函数)(x f 的单调区间; (2)若当]2,2[-∈x 时,不等式m x f <)(恒成立,求实数m 的取值范围. 4 .已知函数.),2,1()(3)(3 l P P x f y x x x f 作直线过点上一点及-=-= (1)求使直线)(x f y l =和相切且以P 为切点的直线方程; (2)求使直线)(x f y l =和相切且切点异于P 的直线方程)(x g y =? ()I 求()f x 的单调区间; ()II 若()f x 在1x =-处取得极大值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围? 7 .已知函数2 ()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y . (Ⅰ)求b a ,的值; (Ⅱ)若方程()f x m +=m 的取值范围(其中e 为自然对数的底数); 8 .已知函数21 2 ()()ln f x a x x =-+.(R a ∈) (1)当a =1时,求()f x 在区间[1,e ]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方,求a 的取值范围。 10.已知函数2 ()sin 2(),()()2f x x b x b R F x f x =+-∈=+,且对于任意实数x ,恒有(5)(5)F x F x -=-? ⑴求函数)(x f 的解析式; ⑵已知函数()()2(1)ln g x f x x a x =+++在区间(0,1)上单调,求实数a 的取值范围; ⑶讨论函数21()ln(1)()2 h x x f x k =+- -零点的个数? 2014年包九中数学压轴模拟卷一(理科) (试卷总分150分 考试时间120分钟) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集{2}x M x y ==,集合2{|lg(2)}N x y x x ==-,则M N =( ) A .(0,2) B .),2(+∞ C .),0[+∞ D .),2()0,(+∞?-∞ 2. 在复平面内,复数311z i i =--,则复数z 对应的点位于 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.关于直线m ,n 与平面 α,β,有下列四个命题: ①m ∥α,n ∥β 且 α∥β,则m ∥n ; ②m ⊥α,n ⊥β 且 α⊥β,则m ⊥n ; ③m ⊥α,n ∥β 且 α∥β,则m ⊥n ; ④m ∥α,n ⊥β 且 α⊥β,则m ∥n . 其中真命题的序号是( ). A .①② B .②③ C .①④ D .③④ 4.已知)(x g 为三次函数cx ax x a x f ++=233 )(的导函数,则函数)(x g 与)(x f 的图像可能是( ) 5.已知数列12463579{}1(),18,log ()n n n a a a n N a a a a a a ++=+∈++=++满足且则等于( ) A .2 B .3 C .—3 D .—2 6.执行右面的程序框图,如果输出的是341a =,那么判断框( ) A .4?k < B .5?k < C .6?k < D .7?k < 7. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓 度在20—80 mg/100ml (不含80)之间,属于酒后驾车,处暂扣一个月以上 三个月以下驾驶证,并处200元以上500元以下 罚款;血液酒精浓度在80mg/100ml (含80)以 上时,属醉酒驾车,处十五日以下拘留和暂扣三 个月以上六个月以下驾驶证,并处500元以上 2000元以下罚款. 据《法制晚报》报道,2013年8月15日至8 2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- (1) 若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >; (2) 若0x =是()f x 的极大值点,求a . 考点分析 综合历年试题来看,全国卷理科数学题目中,全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中,很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问,主要通过函数的单调性证明不等式,第2小问以函数极值点的判断为切入点,综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题,对思维能力(化归思想与分类讨论)的要求较高。 具体而言,第1问,给定参数a 的值,证明函数值与0这一特殊值的大小关系,结合函数以及其导函数的单调性,比较容易证明,这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式,比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点,把ln(1)x +前面的系数化为1,判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系,仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数,解法更加容易,思维比较巧妙。总体来讲,题目设置比较灵活,不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系:对于任意函数,在极值点,导函数一定等于0么(存在不存在)?导函数等于0的点一定是函数的极值点么?因此,任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中,0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增),对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减),因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围,所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上,可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求,难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况,非常巧妙,但是思维跨度比较大,在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是,官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视,这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现,这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势,对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高,符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
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