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高考数学压轴题秒杀

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一个万能公式秒杀数学压轴题!高考高中数学高考数学学习方法

一个万能公式秒杀数学压轴题!高考高中数学高考数学学习方法

一个万能公式秒杀数学压轴题!高考高中数学高考数学学习方法数学是一门需要理解和掌握基本概念和方法的学科，传统的学习方法是通过反复练习习题来巩固知识。

然而，在高考中，数学题目的难度和类型千差万别，单一的学习方法难以完全胜任。

因此，我们需要找到一个万能公式，可以帮助我们解决各种数学问题。

首先，我们需要明确一个事实，没有一个真正的万能公式可以解决所有数学问题。

不同的题目有不同的解题思路和解题方法，我们需要根据具体情况进行分析和处理。

然而，我们可以通过掌握一些数学的基本原理和方法，提高我们解题的能力。

2.提高分析问题能力：解决数学问题的关键在于分析问题，搞清楚问题的本质和要求。

我们需要学会运用数学的思维方法，将复杂的问题分解成简单的小问题，通过逐步求解来解决整个问题。

3.掌握解题方法：数学学科有很多解题方法，如倒推法、递推法、分类讨论法、一刀两断法等。

我们需要学会根据题目的特点和要求选择合适的解题方法，灵活运用。

经典的数学题目往往有固定的解题方法，我们可以通过反复练习来掌握。

4.培养逻辑思维：数学是一门逻辑性很强的学科，我们需要培养自己的逻辑思维能力。

通过学习和解题，我们可以锻炼自己的逻辑思维，提高分析问题和推理的能力。

5.多角度思考问题：解决数学问题的途径不仅仅是一种，我们可以通过多种角度和角度思考问题。

有时候，改变思考的角度就能够找到问题的突破口。

6.多做题目、理解思路：高考数学考试往往出现一些经典题型，我们需要在平时的学习中多做一些题目，掌握题目的解题思路和方法。

在解题的过程中，我们需要理解每一步的思路和原理，而不仅仅是死记硬背。

7.复习和总结：高考数学是一个全面考查学生的数学素养的考试，我们需要进行系统的复习和总结。

通过复习和总结，我们可以查漏补缺，巩固已有的知识，提高解题的能力。

综上所述，通过建立知识体系、提高分析问题能力、掌握解题方法、培养逻辑思维、多角度思考问题、多做题目、理解思路以及复习和总结这些方法，我们可以提高解题的能力，应对各种数学题目。

2025高中数学八大核心知识函数指数型函数取对数问题--2024高考数学压轴大题秒杀(解析版)

2025高中数学八大核心知识函数指数型函数取对数问题--2024高考数学压轴大题秒杀(解析版)

指数型函数取对数问题考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点, 在导数解答题中有些指数型函数，直接求导运算非常复杂或不可解，这时常通过取对数把指数型函数转化对数型函数求解，特别是涉及到形如a f x 的函数取对数可以起到化繁为简的作用，此外有时取对数还可以改变式子结构，便于发现解题思路，故取对数的方法在解高考导数题中有时能大显身手.解题秘籍(一)等式两边同时取对数把乘法运算转化为对数运算，再构造函数通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算，这种运算法则的改变或能简化运算，或能改变运算式子的结构，从而有利于我们寻找解题思路，因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对数运算比指数运算来得方便，对一个等式两边取对数是解决含有指数式问题的常用的有效方法.1(2024届辽宁省大连市高三上学期期初考试)已知函数f x =ln x+1 ax.(1)讨论f x 的单调性；(2)若ex1x2=ex2x1(e是自然对数的底数)，且x1>0，x2>0，x1≠x2，证明：x21+x22>2.2025高中数学八大核心知识函数指数型函数取对数问题--2024高考数学压轴大题秒杀（解析版）(二)等式或不等式两边同时取对数把乘积运算运算转化为加法运算，形如f a g b =h c f a >0,g b >0,f c >0 或f a g b >h c 的等式或不等式通过两边取对数，可以把乘积运算，转化为加法运算，使运算降级.2(2024届辽宁省名校联盟高三上学期联考)已知a >0，b ∈R ，函数f x =ax ln x 和g x =b ln x +1 的图像共有三个不同的交点，且f x 有极大值1．(1)求a 的值以及b 的取值范围；(2)若曲线y =f x 与y =g x 的交点的横坐标分别记为x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3．证明：x 23x 1x 2<e 2b -2．(三)把比较a,b a>0,b>0转化为比较ln a,ln b的大小比较两个指数式的大小，有时可以通过取对数，利用对数函数的单调性比较大小，如比较n n+1,n+1nn∈N∗,n>2的大小，可通过取对数转化为比较n+1ln n,n ln n+1的大小，再转化为比较ln n n,ln n+1n+1的大小，然后可以构造函数f x =ln xx，利用f x 的单调性比较大小.3一天，小锤同学为了比较ln1.1与110的大小，他首先画出了y=ln x的函数图像，然后取了离1.1很近的数字1，计算出了y=ln x在x=1处的切线方程，利用函数y=ln x与切线的图像关系进行比较. (1)请利用小锤的思路比較ln1.1与110大小(2)现提供以下两种类型的曲线y=ax2+b,y=kx+t，试利用小锤同学的思路选择合适的曲线，比较πe, e3的大小.三、典例展示1(2021全国甲卷高考试题)已知a>0且a≠1，函数f(x)=x aa x(x>0)．(1)当a=2时，求f x 的单调区间；(2)若曲线y=f x 与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围．2(2023届新疆高三第三次适应性检测)已知函数f(x)=ax2+(a+1)x ln x-1，g(x)=f(x) x．(1)讨论g x 的单调性；(2)若方程f(x)=x2e x+x ln x-1有两个不相等的实根x1,x2，求实数a的取值范围，并证明e x1+x2>e2x1x2．(1)求f x 的极值；(2)若f x 有两个零点a，b，且a<b，求证：e b+1b<2e m．4设函数f x =-ln x.(1)设λ1、λ2≥0且λ1+λ2=1，求证：对任意的x1、x2>0，总有xλ11xλ22≤λ1x1+λ2x2成立；(2)设x i>0，λi>0i=1,2,⋅⋅⋅,n，且ni=1λi=1，求证：xλ11xλ22⋅⋅⋅xλn n≤λ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λn x n.(1)讨论g(x)的单调性；(2)若f x +2x≥g x +x a，对任意x∈(1,+∞)恒成立，求a的最大值；6已知函数f(x)=x ln x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且a b=b a，证明：2e <1a+1b<1．跟踪检测1已知函数f (x )=x ln x +a ,(a ∈R )．(1)求函数f x 的单调区间；(2)当0<a <1e时，证明：函数f x 有两个零点；(3)若函数g (x )=f (x )-ax 2-x 有两个不同的极值点x 1,x 2(其中x 1<x 2)，证明：x 1⋅x 22>e 3．2形如y =f (x )g (x )的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得ln y =ln f (x )g (x )=g (x )ln f (x )，两边对x 求导数，得y y =g (x )ln f (x )+g (x )f x f x，于是y =f (x )g (x )g (x )ln f (x )+g (x )f x f x.已知f (x )=2e x ln x ，g (x )=x 2+1.(1)求曲线y =f (x )在x =1处的切线方程；(2)若h (x )=f (x )，求h (x )的单调区间；(3)求证：∀x ∈(0,+∞),f (x )≥g (x )恒成立.3已知函数f(x)=e x2ln x(x>0)．(1)求f(x)的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数x1,x20<x1<x2满足f x1=f x2=e k．(i)求k的取值范围(ⅱ)证明x e2-2e2≤e-e21x1．4已知f(x)=ln x-x，g(x)=mx+m.(1)记F(x)=f(x)+g(x)，讨论F(x)的单调区间；(2)记G(x)=f(x)+m，若G(x)有两个零点a，b，且a<b.请在①②中选择一个完成.①求证：2e m-1>1b+b；②求证：2e m-1<1a+a5已知a∈R，f(x)=x⋅e-ax，(其中e为自然对数的底数).(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)若a>0，函数y=f(x)-a有两个零点x，x2，求证：x21+x22>2e.6已知函数f x =axe-x a≠0存在极大值1 e.(1)求实数a的值；(2)若函数F x =f x -m有两个零点x1，x2x1≠x2，求实数m的取值范围，并证明：x1+x2>2.7已知函数f(x)=x(e2x-a),g(x)=bx+ln x.(1)若y=2x是曲线y=f(x)的切线，求a的值；(2)若g(x)有两不同的零点，求b的取值范围；(3)若b=1，且f(x)-g(x)≥1恒成立，求a的取值范围.8已知函数f(x)=ax ln x，a∈R．(1)当a=1时，①求f(x)的极值；②若对任意的x≥e都有f(x)≥mxe m x，m>0，求m的最大值；(2)若函数g(x)=f(x)+x2有且只有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2>e2．9已知函数f(x)=x ln x-ax2-x，g(x)=f(x)x，a∈R．(1)讨论g(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2x1<x2，证明：x41x2>e3．(e=2.71828⋯为自然对数的底数)10已知函数f x =e x-a ln xx-a(e为自然对数的底数)有两个零点．(1)若a=1，求f x 在x=1处的切线方程；(2)若f x 的两个零点分别为x1,x2，证明：e2-x1-x2-x1x2<0．11已知函数h x =x-a ln x a∈R.(1)若h x 有两个零点，a的取值范围；(2)若方程xe x-a ln x+x=0有两个实根x1、x2，且x1≠x2，证明：e x1+x2>e2 x1x2.12已知函数f x =e x-2t-ln x+2(1)若x=1是f x 的极值点，求t的值，并讨论f x 的单调性；(2)当t≤1时，证明：f x >2.指数型函数取对数问题考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点, 在导数解答题中有些指数型函数，直接求导运算非常复杂或不可解，这时常通过取对数把指数型函数转化对数型函数求解，特别是涉及到形如a f x 的函数取对数可以起到化繁为简的作用，此外有时取对数还可以改变式子结构，便于发现解题思路，故取对数的方法在解高考导数题中有时能大显身手.解题秘籍(一)等式两边同时取对数把乘法运算转化为对数运算，再构造函数通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算，这种运算法则的改变或能简化运算，或能改变运算式子的结构，从而有利于我们寻找解题思路，因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对数运算比指数运算来得方便，对一个等式两边取对数是解决含有指数式问题的常用的有效方法.1(2024届辽宁省大连市高三上学期期初考试)已知函数f x =ln x+1 ax.(1)讨论f x 的单调性；(2)若ex1x2=ex2x1(e是自然对数的底数)，且x1>0，x2>0，x1≠x2，证明：x21+x22>2.【解析】(1)函数f(x)=ln x+1ax的定义域为(0,+∞)，求导得则f(x)=-ln xax2，由f (x)=0得x=1，若a<0，当0<x<1时，f (x)<0，则f(x)单调递减，当x>1时，f (x)>0，则f(x)单调递增，若a>0，当0<x<1时，f (x)>0，则f(x)单调递增，当x>1时，f (x)<0，则f(x)单调递减；所以当a<0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减.(2)由ex1x2=ex2x1，两边取对数得x2ln x1+1=x1ln x2+1，即ln x1+1x1=ln x2+1x2，由(1)知，当a=1时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，f(x)max=f(1)=1，而f1e=0，x>1时，f(x)>0恒成立，因此当a=1时，存在x1,x2且0<x1<1<x2，满足f x1=f x2，若x2∈[2,+∞)，则x21+x22>x22≥4>2成立；若x2∈(1,2)，则2-x2∈(0,1)，记g(x)=f(x)-f(2-x)，x∈(1,2)，则g (x)=f (x)+f (2-x)=-ln xx2-ln(2-x)(2-x)2>-ln xx2-ln(2-x)x2=-ln[-(x-1)2+1]x2>0，即有函数g(x)在(1,2)上单调递增，g(x)>g(1)=0，即f(x)>f(2-x)，于是f x1=f x2>f2-x2，而x2∈(1,2)，2-x2∈(0,1)，x1∈(0,1)，函数f(x)在(0,1)上单调递增，因此x1>2-x2，即x1+x2>2，又x 21+1>2x 21=2x 1,x 22+1>2x 22=2x 2，则有x 21+1+x 22+1>2x 1+x 2 >4，则x 21+x 22>2，所以x 21+x 22>2.(二)等式或不等式两边同时取对数把乘积运算运算转化为加法运算，形如f a g b =h c f a >0,g b >0,f c >0 或f a g b >h c 的等式或不等式通过两边取对数，可以把乘积运算，转化为加法运算，使运算降级.2(2024届辽宁省名校联盟高三上学期联考)已知a >0，b ∈R ，函数f x =ax ln x 和g x =b ln x +1 的图像共有三个不同的交点，且f x 有极大值1．(1)求a 的值以及b 的取值范围；(2)若曲线y =f x 与y =g x 的交点的横坐标分别记为x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3．证明：x 23x 1x 2<e 2b -2．【解析】(1)因为a >0，x ∈0,+∞ ，所以当x ≥1时，f x =ax ln x ，f x =a ln x +a >0，所以f x 在1,+∞ 上单调递增，无极大值；当x ∈0,1 时，f x =-ax ln x ，f x =-a ln x +1 ，所以当x ∈0,1e时，f x >0，f x 单调递增，当x ∈1e ,1时，f 'x <0，f x 单调递减，所以x =1e为极大值点，所以f 1e=-a ⋅1e ⋅ln 1e=1，解得a =e ．因为f x ，g x 图像共有三个不同的交点，所以方程ex ln x =b ln x +1 有三个不等正实根．设t =ln x +1，则x =e t -1，且当x >0时，t 与x 一一对应，所以问题转化为关于t 的方程e t t -1 =b t 有三个不等实根．又0不满足方程e t t -1 =b t ，所以方程b =t -1te t有三个实根．设h t =t -1te t ，则函数h t =t -1t e t与函数y =b 的图像有三个交点，当t ≥1或t <0时，h t =t -1te t，∴h t =t 2-t +1t2e t>0，所以h t 在-∞,0 ，1,+∞ 上单调递增；当0<t <1时，h t =-t -1 ett，ht =-t 2-t +1t 2e t<0，所以h t 在0,1 上单调递减．当t ≠0，t ≠1时，h t >0，而h 1 =0；当t →-∞时，h t =1-1te t→0，无论t >0还是t <0，当t →0时，都有h t =1-1te t→+∞，当t →+∞时，h t =1-1te t→+∞．根据以上信息，画出函数h t 的大致图像如下图所示，所以当b >0时，函数h t =t -1te t与函数y =b 的图像有三个交点，故b 的取值范围为0,+∞ ．(2)证明：要证x 23x 1x 2<e 2b -2，只需证2ln x 3-ln x 2+ln x 1<2b -2，只需证2ln x 3+1 -ln x 2+1 +ln x 1+1 <2b ．设(1)中方程的b =t -1te t三个根分别为t 1，t 2，t 3，且t 1<t 2<t 3，t i =ln x i +1，i =1，2，3，从而只需证明2t 3-t 2+t 1<2b ．又由(1)的讨论知t 1<0，0<t 2<1，t 3>1．下面先证明e x ≥x +1，设φx =e x -x -1，则φ x =e x -1．当x >0时，φ x >0，φx 在0,+∞ 上单调递增，当x <0时，φ x <0，φx 在-∞,0 上单调递增，所以φx ≥φ0 =0，所以当x ≠0时，e x >x +1，从而当t ≠0，t ≠1时，h t =t -1te t >t -1tt +1 ．又由(1)知h t 在-∞,0 ，1,+∞ 上单调递增，h t 在0,1 上单调递减．所以当t>1时，h t >t2-1t=t-1t，令b=t-1t，解得t=b+b2+42，由h t3=b<hb+b2+42得t3<b+b2+42；当0<t<1时，h t >1t-t，令b=1t-t，解得t=-b+b2+42，由h t2=b<h-b+b2+42得t2>-b+b2+42；当t<0时，h t >t-1t，令b=t-1t，解得t=b-b2+42，由h t1=b<hb-b2+42得t1<b-b2+42．综上，2t3-t2+t1<b+b2+4--b+b2+42+b-b2+42=2b，得证．(三)把比较a,b a>0,b>0转化为比较ln a,ln b的大小比较两个指数式的大小，有时可以通过取对数，利用对数函数的单调性比较大小，如比较n n+1,n+1nn∈N∗,n>2的大小，可通过取对数转化为比较n+1ln n,n ln n+1的大小，再转化为比较ln n n,ln n+1n+1的大小，然后可以构造函数f x =ln xx，利用f x 的单调性比较大小.3一天，小锤同学为了比较ln1.1与110的大小，他首先画出了y=ln x的函数图像，然后取了离1.1很近的数字1，计算出了y=ln x在x=1处的切线方程，利用函数y=ln x与切线的图像关系进行比较. (1)请利用小锤的思路比較ln1.1与110大小(2)现提供以下两种类型的曲线y=ax2+b,y=kx+t，试利用小锤同学的思路选择合适的曲线，比较πe, e3的大小.【解析】(1)构造函数f(x)=ln x-x+1，由f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，得f(x)≤f(1)=0，即ln x≤x-1，取x=1，得ln1.1<0.1(2)通过取对数，把比较πe,e3的大小转化为比较e lnπ与3的大小，即比较lnπ与3e大小选y=ax2+b，令y=ln x与y=ax2+b公切于e则有ln e=ae2+b1e=-2ae3⇒a=-e22,b=32，∴y=-e22x2+3 2记g (x )=ln x +e 22x 2-32,g (x )=1x -e 2x 3=x 2-e 2x 3，∴g (x )在(0,e )上单调递减，在(e ,+∞)上单调递增,∴g (x )≥g (e )=0,∴ln x ≥-e 22x 2+32∴lnπ>-e 22π2+32，下证：32-e 22π2>3e 只需证3e +e 22π2<32∵3e +e 22π2<32.7+(2.72)22×(3.1)2=109+(2.72)22×(3.1)2只需证 2.723.1 2<79∵2.723.1<0.88,(0.88)2=0.7744而79=0.777>0.7744,∴lnπ>3e，即πe >e 3选y =kx +t ，通过取对数，把比较πe ,e 3的大小转化为比较e lnπ与3的大小，即比较lnπ与3e大小，即较ln1π与-3e大小令y =ln x 与y =kx +t 切于1e，则有ln 1e =k 1e +t e =k⇒k =e ,t =-2,∴y =ex -2令g (x )=ln x -ex +2,g (x )=1x -e =1-ex x∴g (x )在0,1e上单调递增，在1e ,+∞ 上单调递减,∴g (x )≤g 1e =0,∴ln x ≤ex -2，当x =1e取等∴ln 1π≤e π-2下证e π-2<-3e ，只需证e π+3e<2∵e π+3e <2.723.1+32.7<0.88+109，∵2-109=89=0.8 >0.88,∴ln 1π<-3e ,∴lnπ>3e,∴πe >e 3.三、典例展示1(2021全国甲卷高考试题)已知a >0且a ≠1，函数f (x )=x aa x (x >0)．(1)当a =2时，求f x 的单调区间；(2)若曲线y =f x 与直线y =1有且仅有两个交点，求a 的取值范围．【解析】(1)当a =2时，f x =x 22x ,f x =2x ⋅2x -x 2⋅2x ln22x 2=x ⋅2x 2-x ln2 4x ,令f 'x =0得x =2ln2,当0<x <2ln2时，f x >0,当x >2ln2时，f x <0,∴函数f x 在0,2ln2上单调递增；2ln2,+∞ 上单调递减；(2)f x =x a a x=1⇔a x =x a⇔x ln a =a ln x ⇔ln x x =ln a a ,设函数g x=ln x x ,则g x =1-ln xx2,令g x =0，得x =e ,在0,e 内g x >0,g x 单调递增；在e ,+∞ 上g x <0,g x 单调递减；∴g x max =g e =1e,又g 1 =0，当x 趋近于+∞时，g x 趋近于0，所以曲线y =f x 与直线y =1有且仅有两个交点，即曲线y =g x 与直线y =aln a有两个交点的充分必要条件是0<ln a a <1e,这即是0<g a <g e ,所以a 的取值范围是1,e ∪e ,+∞ ．2(2023届新疆高三第三次适应性检测)已知函数f (x )=ax 2+(a +1)x ln x -1，g (x )=f (x )x．(1)讨论g x 的单调性；(2)若方程f (x )=x 2e x +x ln x -1有两个不相等的实根x 1,x 2，求实数a 的取值范围，并证明e x 1+x 2>e 2x 1x 2．【解析】(1)因为g (x )=ax +(a +1)ln x -1x，所以g x =a +a +1x +1x 2=(x +1)(ax +1)x 2(x >0)，当a ≥0时，g x >0，所以g (x )在区间(0,+∞)上单调递增，当a <0时，令g x >0，得0<x <-1a ；令g x <0，得x >-1a，所以g (x )在区间0,-1a上单调递增，在区间-1a ,+∞ 上单调递减，综上当a ≥0时，g (x )在区间(0,+∞)上单调递增，当a <0时，g (x )在区间0,-1a上单调递增，在区间-1a ,+∞ 上单调递减.(2)方程f (x )=x 2e x +x ln x -1，即ax +a ln x =xe x ，等价于a ln xe x =xe x ，令t =xe x >0，其中x >0，则a ln t =t ，显然t ≠1，令h t =tln t，则ht =ln t-1ln2t，所以h t 在区间0,1上单调递减，且由x→0时h t <0可得在区间0,1上h(t)<0，h t 在区间(1,e)上单调递减，在区间(e,+∞)上单调递增，所以h(t)极小值=h(e)=e，因为方程f(x)=x2e x+x ln x-1有两个实根x1,x2，所以关于t的方程a=tln t有两个实根t1，t2，且t1=x1e x1，t2=x2e x2，所以a∈(e,+∞)，要证e x1+x2>e2x1x2，即证x1e x1⋅x2e x2>e2，即证t1t2>e2，只需证ln t1+ln t2>2，因为t1=a ln t1t2=a ln t2，所以t1-t2=a ln t1-ln t2t1+t2=a ln t1+ln t2，整理可得t1+t2t1-t2=ln t1+ln t2ln t1-ln t2，不妨设t1>t2>0，则只需证ln t1+ln t2=t1+t2t1-t2lnt1t2>2，即ln t1t2>2t1-t2t1+t2=2t1t2-1t1t2+1，令s=t1t2>1，p(s)=ln s-2(s-1)s+1，其中s>1，因为p s =1s-4(s+1)2=(s-1)2s(s+1)2>0，所以p s 在区间(1,+∞)上单调递增，所以h(s)>h(1)=0，故e x1+x2>e2x1x2．3已知函数，f x =ln x-x+m，m∈R．(1)求f x 的极值；(2)若f x 有两个零点a，b，且a<b，求证：e b+1b<2e m．【解析】(1)函数f x 的定义域为0,+∞，f x =1x-1．当0<x<1时，f x >0，则f x 在0,1上单调递增；当x>1时，f x <0，则f x 在1,+∞上单调递减，所以函数f x 的极大值为f1 =m-1，无极小值．(2)令f x =0，则m=x-ln x．设h x =x-ln x x>0，则h'x =1-1x=x-1x，易知函数h x 在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增．又h1 =1，所以h x ≥1，又f x 有两个零点，所以m >1．因为a <b ，所以0<a <1<b ．要证e b +1b <2e m ，即证2e m -1>b +1b，即证ln2+m -1>lnb 2+1b=ln b 2+1 -ln b ．又f b =0，则m =b -ln b ，故即证ln2+b -ln b -1>ln b 2+1 -ln b ，即证ln2-1>ln b 2+1 -b ．设t b =ln b 2+1 -b ，b >1，则t 'b =2b b 2+1-1=-b -1 2b 2+1<0，所以t b 在1,+∞ 上单调递减，所以t b <t 1 =ln2-1，故e b +1b<2e m 得证．4设函数f x =-ln x .(1)设λ1、λ2≥0且λ1+λ2=1，求证：对任意的x 1、x 2>0，总有x λ11x λ22≤λ1x 1+λ2x 2成立；(2)设x i >0，λi >0i =1,2,⋅⋅⋅,n ，且ni =1λi =1 ，求证：x λ11x λ22⋅⋅⋅x λn n ≤λ1x 1+λ2x 2+⋅⋅⋅+λn x n .【解析】(1)证明：x λ11x λ22≤λ1x 1+λ2x 2⇔ln x λ11x λ22 ≤ln λ1x 1+λ2x 2 ⇔λ1ln x 1+λ2ln x 2≤ln λ1x 1+λ2x 2 ⇔f λ1x 1+λ2x 2 ≤λ1f x 1 +λ2f x 2 .不妨设0<x 1≤x 2，令g x =λ1f x +λ2f x 2 -f λ1x +λ2x 2 =ln λ1x +λ2x 2 -λ1ln x -λ2ln x 2，其中0<x ≤x 2，则g x =λ1λ1x +λ2x 2-λ1x =λ1x -λ1λ1x +λ2x 2 λ1x +λ2x 2 x =λ1x -λ1x -λ2x 2 λ1x +λ2x 2 x =λ1λ2x -x 2 λ1x +λ2x 2 x≤0，所以，函数g x 在区间0,x 2 上单调递减，因为x 1∈0,x 2 ，则g x 1 ≥g x 2 =ln x 2-ln x 2=0，所以，g x 1 =ln λ1x 1+λ2x 2 -λ1ln x 1-λ2ln x 2≥0，即λ1ln x 1+λ2ln x 2≤ln λ1x 1+λ2x 2 ，所以，当λ1、λ2≥0且λ1+λ2=1，对任意的x 1、x 2>0，总有x λ11x λ22≤λ1x 1+λ2x 2成立.(2)证明：x i >0，λi >0i =1,2,⋅⋅⋅,n ，且ni =1λi =1 ，要证x λ11x λ22⋅⋅⋅x λnn ≤λ1x 1+λ2x 2+⋅⋅⋅+λn x n .即证λ1ln x 1+λ2ln x 2+⋯+λn ln x n ≤ln λx 1+λ2x 2+⋯+λn x n ，即f λ1x 1+λ2x 2+⋅⋅⋅+λn x n ≤λ1f x 1 +λ2f x 2 +⋅⋅⋅+λn f x n ，当n=2时，由(1)可知，不等式成立，假设当n=k k≥2,k∈N∗时不等式成立，即fλ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λk x k≤λ1f x1+λ2f x2+⋅⋅⋅+λk f x k，则当n=k+1时，设x k=λkλk+λk+1x k+λk+1λk+λk+1x k+1，由(1)可得f x k≤λkλk+λk+1f x k+λk+1λk+λk+1f x k+1，则fλ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λk x k+λk+1x k+1=fλ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λk-1x k-1+λk+λk+1x k≤λ1f x1+⋅⋅⋅+λk-1f x k-1+λk+λk+1f x k≤λ1f x1+⋅⋅⋅+λk f x k+λk+1f x k+1，这说明当n=k+1时，结论也成立，故对任意的n∈N∗，fλ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λk x n≤λ1f x1+λ2f x2+⋅⋅⋅+λn f x n，所以，-lnλ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λn x n≤-λ1ln x1-λ2ln x2-⋯-λn ln x n，因此，λ1ln x1+λ2ln x2+⋯+λn ln x n≤lnλx1+λ2x2+⋯+λn x n，故当x i>0，λi>0i=1,2,⋅⋅⋅,n，且ni=1λi=1时，xλ11xλ22⋅⋅⋅xλn n≤λ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λn x n.5已知函数f(x)=e x,g(x)=x+a ln x,a∈R(1)讨论g(x)的单调性；(2)若f x +2x≥g x +x a，对任意x∈(1,+∞)恒成立，求a的最大值；【解析】(1)g (x)=1+ax=x+ax(x>0)，当a≥0时，g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增；当a<0时，令g′(x)>0，解得x>-a，令g′(x)<0，解得0<x<-a，∴g(x)在(0,-a)上单调递减，在(-a,+∞)上单调递增；综上，当a≥0时，g(x)在(0,+∞)上单调递增；当a<0时，g(x)在(0,-a)上单调递减，在(-a,+∞)上单调递增；(2)f(x)+2x≥g(x)+x a即为e x+x≥a ln x+x a，即e x+ln e x≥ln x a+x a，设h(x)=ln x+x(x>0)，则h (x)=1x+1=x+1x，易知函数h(x)在(0,+∞)上单调递增，而h(e x)≥h(x a)，所以e x≥x a(两边取对数)，即x≥a ln x，当x>1时，即为a≤xln x，设φ(x)=xln x(x>1)，则φ (x)=ln x-1ln2x，易知函数φ(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，∴φ(x)≥φ(e)=e，∴a≤e，即a的最大值为e．6已知函数f (x )=x ln x ．(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a ，b 为两个不相等的正数，且a b =b a ，证明：2e <1a +1b <1．【解析】 (1)f (x )=ln x +1，定义域为(0,+∞)，由f (x )=0，解得x =1e ，由f (x )>0，解得x >1e，由f (x )<0，解得0<x <1e，所以f (x )的单调递增区间为1e ,+∞，单调递减区间为0,1e．(2)∵a ，b 为两个不相等的正数，且a b =b a ，∴b ln a =a ln b ，即1a ln 1a =1b ln 1b，由(1)可知f (x )min =f 1e =-1e，且f (1)=0，x →0时，f (x )→0，则令x 1=1a ,x 2=1b，则x 1,x 2为f (x )=k 的两根，且k ∈-1e ,0 ，不妨设x 1∈0,1e ,x 2∈1e ,1 ，则2e -x 1>1e，先证2e <x 1+x 2，即证x 2>2e -x 1，即证f x 2 =f x 1 >f 2e-x 1 ，令h (x )=f (x )-f 2e -x，即证在x ∈0,1e上，h (x )>0，则h (x )=f (x )-f 2e -x =ln x +ln 2e -x +2=ln -x 2+2ex +2，h (x )在0,1e上单调递增，即h (x )<h 1e =0，∴h (x )<0在0,1e上恒成立，即h (x )在0,1e 上单调递减，h (x )>h 1e =0，∴f (x )>f 2e -x，即可得x 2>2e-x 1；再证x 1+x 2<1，即证1e<x 2<1-x 1，由(1)f (x )单调性可得证f x 2 =f x 1 <f 1-x 1 ，令φ(x )=f (x )-f (1-x ),x ∈0,1e，φ (x )=ln x +ln (1-x )+2=ln -x 2+x +2，φ (x )在0,1e上单调递增，∴φ (x)=φ 1e>0，且当x→0,φ (x)<0，所以存在x0使得φ x0=0，即当x∈0,x0时，φ (x)<0,φ(x)单调递减，当x∈x0,1 e时，φ (x)>0,φ(x)单调递增，又有x→0,φ(x)<0，且φ1e=f1e -f1-1e<0，所以φ(x)<0恒成立，∴x 1+x2<1，则2e<1a+1b<1，即可证得．四、跟踪检测1已知函数f(x)=x ln x+a,(a∈R)．(1)求函数f x 的单调区间；(2)当0<a<1e时，证明：函数f x 有两个零点；(3)若函数g(x)=f(x)-ax2-x有两个不同的极值点x1,x2(其中x1<x2)，证明：x1⋅x22>e3．【解析】(1)f x =ln x+1,x>0，当0<x<1e时，fx <0，当x>1e时，fx >0，所以函数f x 在0,1 e上递减，在1e,+∞上递增，所以函数f x 的单调区间为0,1 e和1e,+∞；(2)证明：由(1)知f x min=f1e=-1e+a，因为0<a<1e，所以f1e<0，又当x→0+时，f x >0，f e =e+a>0，所以函数在0,1 e上存在一个零点，在1e,e上存在一个零点，所以函数f x 有两个零点；(3)证明：g(x)=f(x)-ax2-x=x ln x--ax2-x+a,(x>0)，则g x =ln x-2ax，因为函数g(x)有两个不同的极值点x1,x2(其中x1<x2)，所以ln x1=2ax1，ln x2=2ax2，要证x 1⋅x 22>e 3等价于证ln x 1⋅x 22 >ln e 3，即证ln x 1+2ln x 2>3，所以3<ln x 1+2ln x 2=2ax 1+4ax 2=2a x 1+2x 2 ，因为0<x 1<x 2，所以2a >3x 1+2x 2，又ln x 1=2ax 1，ln x 2=2ax 2，作差得ln x 1x 2=a x 1-x 2 ，所以a =ln x1x 2x 1-x 2，所以原不等式等价于要证明2ln x1x 2x 1-x 2>3x 1+2x 2，即2ln x 1x 2<3x 1-x 2 x 1+2x 2，令t =x 1x 2,t ∈0,1 ，则上不等式等价于要证：2ln t <3t -1t +2,t ∈0,1 ，令h t =2ln t -3t -1t +2,t ∈0,1 ，则ht =2t -9t +2 2=2t 2-t +8t t +2 2>0,t ∈0,1 ，所以函数h t 在0,1 上递增，所以h t <h 1 =0，所以2ln t <3t -1t +2,t ∈0,1 ，所以x 1⋅x 22>e 3．2形如y =f (x )g (x )的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得ln y =ln f (x )g (x )=g (x )ln f (x )，两边对x 求导数，得y y =g(x )ln f (x )+g (x )f x f x，于是y =f (x )g (x )g(x )ln f (x )+g (x )f x f x.已知f (x )=2e x ln x ，g (x )=x 2+1.(1)求曲线y =f (x )在x =1处的切线方程；(2)若h (x )=f (x )，求h (x )的单调区间；(3)求证：∀x ∈(0,+∞),f (x )≥g (x )恒成立.【解析】(1)由幂指函数导数公式得f (x )=2e x ln x (ln x +1)，所以f (1)=2，又f (1)=2，所以，曲线y =f (x )在x =1处的切线方程为y =2x .(2)h (x )=f (x )=2e x ln x (ln x +1),x ∈(0,+∞)，则h (x )=2e x ln x (ln x +1)+2e x ln x (ln x +1) =2e x ln x (ln x +1) (ln x +1)+2e x ln x ⋅1x=2e x ln x (ln x +1)2+1x>0，所以h (x )的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间.(3)构造F (x )=f (x )-g (x )，x ∈(0,+∞)，则F (x )=f (x )-g (x )=2e x ln x (ln x +1)-2x ，令H (x )=F (x )=2e x ln x (ln x +1)-2x ,x ∈(0,+∞)，所以H (x )=2e x ln x (ln x +1)2+e(x -1)ln x-1 ，因为x -1与ln x 同号，所以(x -1)ln x ≥0，所以e (x -1)ln x-1≥0，又e x ln x (ln x +1)2≥0，所以H (x )≥0，所以H (x )即F (x )为(0,+∞)上增函数，又因为F (1)=0，所以，当x ∈(0,1)时，F (x )<F (1)=0；当x ∈(1,+∞)时，F (x )>F (1)=0.所以，F (x )为(0,1)上减函数，为(1,+∞)上增函数，所以，F (x )min =F (1)=0，即F (x )=f (x )-g (x )≥0，因此，∀x ∈(0,+∞),f (x )≥g (x )恒成立，即证.3已知函数f (x )=e x 2ln x (x >0)．(1)求f (x )的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数x 1,x 20<x 1<x 2 满足f x 1 =f x 2 =e k ．(i )求k 的取值范围(ⅱ)证明x e 2-2e2≤e-e 21x 1．【解析】(1)函数f (x )=e x 2ln x (x >0)的导函数为f (x )=xe x 2ln x (2ln x +1).当x ∈0,e -12时，f(x )<0，所以函数f (x )单调递减；当x ∈e -12,+∞ 时，f (x )>0，所以函数f (x )单调递增.所以x =e-12为f (x )的极值点.(2)因为有且仅有两个不相等的实数x 1,x 20<x 1<x 2 满足f x 1 =f x 2 =e k ，所以x 12ln x 1=x 22ln x 2=k .(i )问题转化为m (x )=x 2ln x -k 在(0,+∞)内有两个零点,则m x =x 1+2ln x .当x∈0,e-1 2时, m x <0,m(x)单调递减；当x∈e-12,+∞时, m x >0,m(x)单调递增.若m(x)有两个零点,则必有m e-1 2<0,解得：k>-12e.若k≥0,当0<x<e-12时,m x =x2ln x-k≤x2ln x<0,无法保证m(x)有两个零点；若-12e<k<0,又m e1k>0,m e-12<0，m1 =-k>0,故存在x1∈e 1 k,e-12使得m x1 =0,存在x2∈e-12,1使得m x2 =0.综上可知, k∈-12e ,0.(ⅱ)设t=x2x1则t∈(1,+∞).将t=x2x1代入x12ln x1=x22ln x2,可得ln x1=t2ln t1-t2，ln x2=ln t1-t2(*).欲证:x e2-2e2≤e-e21x1，需证ln xe2-2e2≤ln e-e2x1即证ln x1+(e2-2e)ln x2≤-e2，将(*)代入，则有(t2+e2-2e)ln t1-t2≤-e2，则只需要证明：(x+e2-2e)ln x1-x≤-e(x>1)，即ln x≥e x-1x+e2-2e(x>1).构造φ(x)=x-1ln x-xe-e+2，则φ (x)=ln x-x-1xln2x-1e，φ(x)=(x+1)2(x-1)x+1-ln xx2ln3x(x>1).令ω(x)=2(x-1)x+1-ln x(x>1)，则ω (x)=-(x-1)2x(x+1)2<0.所以ω(x)<ω(1)=0，则φ (x)<0，所以φ(x)在1,+∞内单减.又φ (e)=0，所以当x∈(1,e)时，有φ (x)>0，φ(x)单调递增；当x∈(e,+∞)时，有φ (x)<0，φ(x)单调递减；所以φ(x)≤φ(e)=0，因此x-1ln x-xe≤e-2，即ln x≤e x-1x+e2-2e(x>1).综上所述，命题得证.4已知f(x)=ln x-x，g(x)=mx+m.(1)记F(x)=f(x)+g(x)，讨论F(x)的单调区间；(2)记G(x)=f(x)+m，若G(x)有两个零点a，b，且a<b.请在①②中选择一个完成.①求证：2e m-1>1b+b；②求证：2e m-1<1a+a【解析】(1)函数的定义域为(0,+∞)，F (x)=1x+m-1，当m≥1时，F (x)>0，F(x)在(0,+∞)单调递增；当m<1时，令F (x)<0，解得x>11-m，令F(x)>0，解得0<x<11-m，∴F (x )在0,11-m单调递增，在11-m ,+∞ 单调递减； 综上，当m ≥1时，f (x )的单调递增区间为(0,+∞)；当m <1时，f (x )的单调递增区间为0,11-m ，单调递减区间为11-m,+∞ (2)证明：因为G (x )=ln x -x +m ，令G (x )=0，则m =x -ln x ，设t (x )=x -ln x (x >0)，则t (x )=1-1x =x -1x，函数t (x )在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，且x →0时，t (x )→+∞，当x →+∞时，t (x )→+∞，t (x )min =t (1)=1，∴m >1，又a <b ，则0<a <1<b ,若证①所证不等式，即2e m -1>b +1b，即证ln2+m -1>lnb 2+1b=ln b 2+1 -ln b ，又G (b )=0，则m =b -ln b ，故即证ln2+b -ln b -1>ln b 2+1 -ln b ，即证ln2-1>ln b 2+1 -b ，设h (b )=ln b 2+1 -b ，b >1，则h(b )=2b b 2+1-1=-(b -1)2b 2+1<0，∴h (b )在(1,+∞)上单调递减，∴h (b )<h (1)=ln2-1，即2e m -1>1b+b 得证；若证②所证不等式，即2em -1<a +1a ，即证ln2+m -1<ln a 2+1a，即证ln2+m -1<ln a 2+1 -ln a ，又G (a )=0，即m =a -ln a ，故即证ln2+a -ln a -1<ln a 2+1 -ln a ，即证ln2-1<ln a 2+1 -a ，设φ(a )=ln a 2+1 -a ，0<a <1，则φ(a )=2aa 2+1-1=-(a -1)2a 2+1<0，∴φ(a )在(0,1)单调递减，故φa >φ1 =ln2-1，即2e m -1<1a+a 得证.5已知a ∈R ，f (x )=x ⋅e -ax ，(其中e 为自然对数的底数).(1)求函数y =f (x )的单调区间；(2)若a >0，函数y =f (x )-a 有两个零点x ，x 2，求证：x 21+x 22>2e .【解析】(1)解：f ′(x )=e -ax -ax ⋅e -ax =e -ax (1-ax )∵a ∈R ，∴a <0时，f ′(x )=e -ax (1-ax )>0⇒x >1a ，f ′(x )=e -ax (1-ax )<0⇒x <1a∴a <0时，增区间为：1a ,+∞，减区间为：-∞,1a；a =0时，f ′(x )=e -ax (1-ax )=1>0，∴a =0时，增区间为：(-∞,+∞)；a >0时，f ′(x )=e -ax (1-ax )>0⇒x <1a ，f ′(x )=e -ax (1-ax )<0⇒x >1a，∴a >0时，增区间为：-∞,1a ，减区间为：1a,+∞ ；(2)因为a >0时，函数y =f (x )-a 有两个零点x 1，x 2，则两个零点必为正实数，f (x )-a =0⇔xe -ax =a 两边取对数ln x -ax =ln a故问题转化为ln x -ax =ln a 有两个正实数解；令g (x )=ln x -ax -ln a (x >0)则g ′(x )=1x -a (x >0)，g (x )在0,1a 单调递增，在1a ,+∞ 单调递减，且0<x 1<1a<x 2令G (x )=g (x )-g 2a -x ，x ∈1a,+∞ ，则G ′(x )=1x -a +12a -x -a =2x (2-ax )-2a >21a-2a =0所以G (x )在1a ,+∞ 单调递增，G (x )>G 1a=0又x 2>1a ，故g x 2 >g 2a -x 2 ，x 2∈1a,+∞ 又g x 1 =g x 2 ，所以g x 1 >g 2a-x 2 ，又0<x 1<1a <x 2，所以x 1，2a -x 2∈0,1a ，又g (x )在0,1a 单调递增，所以x 1+x 2>2a所以x 21+x 22>x 1+x 222>2a 2>2e ．6已知函数f x =axe -x a ≠0 存在极大值1e.(1)求实数a 的值；(2)若函数F x =f x -m 有两个零点x 1，x 2x 1≠x 2 ，求实数m 的取值范围，并证明：x 1+x 2>2.【解析】(1)f x =a ⋅xe xx ∈R ，f x =a 1-x ex，令f x =0⇒x =1，f 1 =a e =1e ⇒a =1，此时f x =1-xex ，f x 在-∞,1 上f x >0，f x 递增；在1,+∞ 上f x <0，f x 递减，所以当x =1时，f x 取得极大值为f 1 =1e符合题意，所以a =1.(2)由(1)知：f x 在-∞,1 上递增，在1,+∞ 上递减，极大值为f 1 =1e.f x =x e x，f 0 =0，当x <0时，f x <0；当x >0时，f x >0；当x →+∞时，f x →0.由于函数F x =f x -m 有两个零点x 1，x 2x 1≠x 2 ，所以0<m <1e.因为x 1，x 2x 1≠x 2 是F x 的两个零点，则x 1>0,x 2>0.所以F x 1 =F x 2 ，x 1e x 1=x 2ex 2，e x 2e x 1=x 2x 1,e x 2-x 1=x 2x 1，两边取对数得x 2-x 1=ln x 2x 1，要证x 1+x 2>2，只需证明x 2-x 1x 2+x 1<12ln x2x 1，即证x 2x 1-1x 2x 1+1<12ln x 2x 1，不妨设x 1<x 2，令x 2x 1=t ，则t ∈1,+∞ ，即证t -1t +1<12ln t 对t ∈1,+∞ 恒成立.令g t =12ln t -t -1t +1，g t =12t -2t +12=t -1 22t t +1 2>0，所以g t 在1,+∞ 上递增，所以g t >g 1 =0，即12ln t -t -1t +1>0，所以t -1t +1<12ln t .从而x 1+x 2>2成立.7已知函数f (x )=x (e 2x -a ),g (x )=bx +ln x .(1)若y =2x 是曲线y =f (x )的切线，求a 的值；(2)若g (x )有两不同的零点，求b 的取值范围；(3)若b =1，且f (x )-g (x )≥1恒成立，求a 的取值范围.【解析】(1)依题意，设切点为(x 0,2x 0)，则2x 0=x 0(e 2x 0-a )，f (x )=e 2x -a +x ⋅2e 2x ，于是得e 2x 0(2x 0+1)-a =2，则有x 0=0且a =-1，x 0≠0时，e 2x 0=a +2，(a +2)(2x 0+1)=a +2无解，所以a =-1；(2)由g (x )=0得-b =ln x x ，令h (x )=ln xx,x >0，则有h (x )=1-ln xx2,0<x <e 时h (x )>0,x >e 时h (x )<0，h (x )在(0,e )上递增，在(e ,+∞)上递减，h (x )max =h (e )=1e，又x >e 时，h (x )>0恒成立，于是得g (x )有两个不同的零点，等价于直线y =-b 与函数h (x )=ln xx,x >0图象有两个不同的公共点，即0<-b <1e ，-1e <b <0，所以g (x )有两不同的零点，b 的取值范围是-1e<b <0；(3)b =1,g (x )=x +ln x ,x >0，∀x >0,f (x )-g (x )≥1⇔x (e 2x -a )≥1+x +ln x ⇔a +1≤e 2x -1+ln xx，令φ(x )=e 2x-1+ln x x (x >0)，φ (x )=2e 2x+ln x x 2=2x 2e 2x +ln x x 2，令F (x )=2x 2e 2x +ln x ，F (x )=(4x 2+4x )e 2x +1x>0，即F (x )在(0,+∞)上递增，而F 14=e 8-ln4<0,F (1)=2e 2>0，即∃t ∈(0,1)，使得F (t )=0，0<x <t 时F (x )<0,φ (x )<0，x >t 时，F (x )>0,φ (x )>0，φ(x )在(0,t )上递减，在(t ,+∞)上递增，从而有φ(x )min =e 2t -1+ln tt，而F (t )=0，即2t 2e 2t +ln t =0，令t 2e 2t =p ，两边取对数得2t +2ln t =ln p ，则2p +ln t =0=2t +2ln t -ln p ，即有2p +ln p =2t +ln t ，显然函数y =2x +ln x 在(0,+∞)上单调递增，从而得p =t ，于是得t 2e 2t =t ⇔e 2t =1t 两边取对数 2t =-ln t ⇔ln t t=-2，φ(x )min =e 2t -1+ln t t =1t -1t -ln t t=2，所以a +1≤2，a ≤1.8已知函数f (x )=ax ln x ，a ∈R ．(1)当a =1时，①求f (x )的极值；②若对任意的x ≥e 都有f (x )≥m xe mx ，m >0，求m 的最大值；(2)若函数g (x )=f (x )+x 2有且只有两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1x 2>e 2．【解析】(1)①a =1时，f (x )=x ln x ，则f ′(x )=ln x +1(x >0)，令f ′(x )>0，解得：x >1e ，令f ′(x )<0，解得：0<x <1e，∴f (x )在0,1e递减，在1e ,+∞ 递增，故f (x )的极小值是f 1e =-1e ，没有极大值；②对任意x ≥e 都有f (x )≥m x e m x =e m x ln e m x，即f (x )≥f e mx 恒成立，由m >0，有mx>0，故e mx >1，由①知，f (x )在1e ,+∞ 单调递增，故x ≥e mx ，可得ln x ≥mx，即x ln x ≥m ，当x ≥e 时，f (x )的最小值是f (e )=e ，故m 的最大值是e ；(2)证明：要证x 1x 2>e 2，只需证明ln (x 1x 2)>2即可，由题意，x 1、x 2是方程ax ln x +x 2=0的两个不相等的实数根，又x >1，∴a ln x1+x1=0a ln x2+x2=0，消去a，整理得：ln(x1x2)=x1x2+1x1x 2-1⋅lnx1x2，不妨设x1>x2，令t=x1x2，则t>1，故只需证明当t>1时，t+1t-1⋅ln t>2，即证明ln t>2(t-1)t+1，设h(t)=ln t-2(t-1)t+1，则h′(t)=1t-2⋅t+1-(t-1)(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0，∴h(t)在(1,+∞)单调递增，从而h(t)>h(1)=0，故ln t>2(t-1)t+1，即x1x2>e2得证．9已知函数f(x)=x ln x-ax2-x，g(x)=f(x)x，a∈R．(1)讨论g(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2x1<x2，证明：x41x2>e3．(e=2.71828⋯为自然对数的底数)【解析】(1)g(x)=f(x)x=ln x-ax-1，g (x)=1x-a，①当a≤0时，g (x)>0，g(x)在(0,+∞)单调递增；②当a>0时，令g (x)=0解得x=1a，x∈0,1a时，g (x)>0，g(x)单调递增；x∈1a ,+∞时，g (x)<0，f(x)单调递减．综上，当a≤0时，g(x)在(0,+∞)单调递增；当a>0时，g(x)在0,1 a上单调递增，在1a,+∞上单调递减，(2)由题意知，f (x)=ln x-2ax，x1，x2是f (x)的两根，即ln x1-2ax1=0，ln x2-2ax2=0，解得2a=ln x1-ln x2x1-x2(*)，要证x41x2>e3，即证4ln x1+ln x2>3，即4⋅2ax1+2ax2>3，把(*)式代入得ln x1-ln x2x1-x24x1+x2>3x1<x2，所以应证ln x1x2<3x1-x24x1+x2=3x1x2-14x1x2+1，令t=x1x2，0<t<1，即证h(t)=ln t-3(t-1)4t+1<0(0<t<1)成立，而h (t)=1t-15(4t+1)2=16t2-7t+1t(4t+1)2=16t-7322+1564t(4t+1)2>0，所以h(t)在(0,1)上单调递增，所以h(t)<h(1)=0，所以命题得证．10已知函数f x =e x -a ln xx-a (e 为自然对数的底数)有两个零点．(1)若a =1，求f x 在x =1处的切线方程；(2)若f x 的两个零点分别为x 1,x 2，证明：e 2-x 1-x 2-x 1x 2<0．【解析】(1)当a =1时，f x =e x -ln x x -1，f x =e x -1-ln xx 2，又f 1 =e -1，所以切点坐标为1,e -1 ，切线的斜率为k =f 1 =e -1．所以切线方程为y -e -1 =e -1 x -1 ，即y =e -1 x (2)由已知得f x =xe x -a ln x +xx=0有两个不等的正实跟．所以方程xe x -a ln x +x =0有两个不等的正实根，即xe x -a ln xe x =0有两个不等的正实根，a ln xe x =xe x ①要证x 1x 2>e 2ex 1+x 2，只需证x 1e x 1 ⋅x 2e x 2 >e 2，即证ln x 1e x 1 +ln x 2e x 2>2，令t 1=x 1e x 1，t 2=x 2e x 2，所以只需证ln t 1+ln t 2>2，由①得a ln t 1=t 1，a ln t 2=t 2，所以a ln t 2-ln t 1 =t 2-t 1，a ln t 2+ln t 1 =t 2+t 1，消去a 得ln t 2+ln t 1=t 2+t 1t 2-t 1ln t 2-ln t 1 =t 2t 1+1ln t2t 1t 2t 1-1，只需证t 2t 1+1ln t2t 1t 2t 1-1>2，设0<t 1<t 2，令t =t 2t 1，则t >1，则t +1 ln tt -1>2，即证ln t +4t +1-2>0构建h t =ln t +4t +1-2>0则h t =1t -4t +12=t -1 2t t +1 2>0，所以h t 在1,+∞ 上单调递增，则h t >h 1 =0，即当t >1时，ln t +4t +1-2>0成立，所以ln t 1+ln t 2>2，即x 1e x 1⋅x 2e x 2>e 2，即x 1x 2>e 2ex 1+x 2，所以e2-x 1-x 2-x 1x 2<0，证毕．11已知函数h x =x -a ln x a ∈R .(1)若h x 有两个零点，a 的取值范围；(2)若方程xe x-a ln x +x =0有两个实根x 1、x 2，且x 1≠x 2，证明：e x 1+x 2>e 2x 1x 2.【解析】(1)函数h x 的定义域为0,+∞ .。

2024年高考数学(新高考压轴卷)(全解全析)

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2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<8．从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。

高考数学大招秒杀压轴版

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超强圆锥曲线结论总结结论1:过圆2222x y a +=上任意点P 作圆222x y a +=的两条切线,则两条切线垂直.结论2:过圆2222x y a b +=+上任意点P 作⿰木阴圆22221(0)x y a b a b+=>>的两条切线,则两条切线垂直.结论3:过圆2222(0)x y a b a b +=->>上任意点P 作双曲线22221x y a b-=的两条切线,则两条切线垂直.结论4:过圆222x y a +=上任意不同两点,A B 作圆的切线,如果切线垂直且相交于P ,则动点P 的轨迹为圆:2222x y a +=.结论5:过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意不同两点,A B 作椭圆的切线,如果切线垂直且相交于P ,则动点P 的轨迹为圆2222x y a b +=+.结论6:过双曲线22221(0)x y a b a b-=>>上任意不同两点,A B 作双曲线的切线,如果切线垂直.且相交于P ,则动点P 的轨迹为圆2222x y a b +=-.结论7：点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上,过点M 作椭圆的切线方程为00221x x y ya b+= 结论8:点()00,M x y 在椭圆22221 0x y a b a b+=>>（）外,过点M 作椭圆的两条切线,切点分别为 ,A B 则切点弦AB 的直线方程为00221x x y ya b+=. 结论8:(补充)点()00,M x y 在椭圆22221 0x y a b a b+=>>（）内,过点M 作椭圆的弦AB (不过椭圆中心),分别过,A B 作椭圆的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:00221x x y ya b+=. 结论9:点()00,M x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上,过点M 作双曲线的切线方程为00221x x y ya b-= 结论10:点()00,M x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外,过点M 作双曲线的两条切线,切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线方程为00221x x y ya b-=. 结论10:（补充）点()00,M x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>内，过点M 作双曲线的弦AB (不过双曲线中心),分别过,A B 作双曲线的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:00221x x y ya b-= 结论11:点()00,M x y 在抛物线22(0)y px p =>上,过点M 作抛物线的切线方程为()00y y p x x =+.结论12:点()00,M x y 在抛物线22(0)y px p =>外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线方程为()00y y p x x =+.结论12:（补充）点()00,M x y 在抛物线22(0)y px p =>内，过点M 作抛物线的弦AB ,分别过,A B 作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:()00y y p x x =+.结论13:点()00,M x y 在椭圆2222()()1x m y n a b--+=上,过点M 作椭圆的切线方程为()()0022()()1x m x m y n y n a b ----+=结论14:点()00,M x y 在双曲线2222()()1x m y n a b---=上,过点M 作双曲线的切线方程为()()0022()()1x m x m y n y n a b -----=结论15:点()00,M x y 在抛物线2()2()y n p x m -=-上,过点M 作抛物线的切线方程为()()00()2y n y n p x x m --=+-.结论16:点()00,M x y 在椭圆2222()()1x m y n a b --+=外,过点M 作椭圆的两条切线,切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线方程为()()0022()()1x m x m y n y n a b ----+=.结论17:点()00,M x y 在双曲线2222()()1x m y n a b---=外,过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为,A B ,则切点弦AB 的直线方程为()()0022()() 1.x m x m y n y n ab-----=结论18:点()00,M x y 在抛物线2()2()y n p x m -=-外,过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线方程为()()00()2y n y n p x x m --=+-.结论16:（补充）点()00,M x y 在椭圆2222()()1x m y n a b --+=内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心）,分别过,A B 作椭圆的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:()()0022()()1x m x m y n y n ab----+=.结论17:(补充)点()00,M x y 在双曲线2222()()1x m y n a b ---=内,过点M 作双曲线的弦AB (不过双曲线中心),分别过,A B 作双曲线的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:()()0022()()1x m x m y n y n ab-----=结论18:(补充)点()00,M x y 在抛物线2()2()y n p x m -=-内,过点M 作抛物线的弦AB ,分别过,A B 作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:()()00()2y n y n p x x m --=+-.结论19:过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ,且MF 垂直切点弦AB .结论20:过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线,切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论21:过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 的直线必过焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论22:AB 为椭圆的焦点弦，则过,A B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论23:AB 为双曲线的焦点弦，则过,A B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论24:AB 为抛物线的焦点弦，则过,A B 的切线的交点M 必在准线上.结论25:点M 是椭圆准线与长轴的交点,过点M 作椭圆的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 就是通径.结论26:点M 是双曲线准线与实轴的交点,过点M 作双曲线的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 就是通径.结论27:M 为抛物线的准线与其对称轴的交点,过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ,则切点弦AB 就是其通径.结论28：过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上任意一点(,0)(0)M m m ->作抛物线的两条切线，切点分别为,A B 则切点弦AB 所在的直线必过点(,0)N m .结论29:过椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的对称轴上任意一点(,)M m n 作⿰木阴圆的两条切线,切点分别为,A B .(1)当0,||n m a =>时，则切点弦AB 所在的直线必过点2,0a P m ⎛⎫⎪⎝⎭; (2)当0,||m n b =>时，则切点弦AB 所在的直线必过点20,b Q n ⎛⎫⎪⎝⎭.结论30:过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴上任意一点(,0)(||)M m m a <作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为,A B ,则切点弦AB 所在的直线必过点2,0a P m ⎛⎫⎪⎝⎭. 结论31：过抛物线22(0)y px p =>外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ,弦AB 的中点为N ,则直线MN 必与其对称轴平行.结论32:若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>共焦点,则在它们交点处的切线相互垂直.结论33:过椭圆外一定点P 作其一条割线,交点为,A B ,则满足||||||||AP BQ AQ BP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论34:过双曲线外一定点P 作其一条割线,交点为,A B 则满足||||||||AP BQ AQ BP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论35:过抛物线外一定点P 作其一条割线,交点为,A B 则满足||||||||AP BQ AQ BP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论36:过双曲线外一点P 作其一条割线,交点为,A B ,过,A B 分别作双曲线的切线相交于点Q ,则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上. 结论37:过椭圆外一点P 作其一条割线,交点为,A B 过,A B 分别作椭圆的切线相交于点Q ,则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论38:过抛物线外一点P 作其一条割线,交点为,A B ,过,A B 分别作抛物线的切线相交于点Q ,则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论39:从椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点向椭圆的动切线引垂线,则垂足的轨迹为圆:222x y a +=.结论40:从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点向双曲线的动切线引垂线,则垂足的轨迹为圆:222x y a +=.结论41:F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点,M 是椭圆上任意一点,则焦半径[,]MF a c a c ∈-+.结论42:F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点,M 是双曲线上任意一点.(1)当点M 在双曲线右支上,则焦半径MF c a ≥-;(2)当点M 在双曲线左支上,则焦半径MF c a ≥+.结论43:F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点,M 是抛物线上任意一点,则焦半径022p p MF x =+≥. 结论44:椭圆上任一点M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角)，亦即椭圆的光学性质.结论45：双曲线上任一点M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角),亦即双曲线的光学性质.结论46:抛物线上任一点M 处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角,亦即抛物线的光学性质.结论47:椭圆的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ,且MF PQ ⊥. 结论48:双曲线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ,且MF PQ ⊥. 结论49:抛物线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其焦点F ,且MF PQ ⊥.结论50:椭圆上任一点P 处的切线交准线于,M P 与相应的焦点F 的连线交椭圆于Q ,则MQ 必与该椭圆相切,且MF PQ ⊥.结论51:双曲线上任一点P 处的切线交准线于,M P 与相应的焦点F 的连线交双曲线于Q ,则MQ 必与该双曲线相切，且MF PQ ⊥.结论52:抛物线上任一点P 处的切线交准线于,M P 与焦点F 的连线交抛物线于Q ,则MQ 必与该抛物线相切，且MF PQ ⊥.结论53:焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴）上三点,,P Q M 的焦半径成等差数列的充要条件为,,P Q M 的横坐标(纵坐标)成等差数列.结论54:焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴）上三点,,P Q M 的焦半径成等差数列的充要条件为,,P Q M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论55:焦点在x 轴上的抛物线（或焦点在y 轴）上三点,,P Q M 的焦半径成等差数列的充要条件为,,P Q M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论56:椭圆上一个焦点2F 关于椭圆上任一点P 处的切线的对称点为Q ,则直线PQ 必过该椭圆的另一个焦点1F .结论57:双曲线上一个焦点2F 关于双曲线上任一点P 处的切线的对称点为Q ,则直线PQ 必过该双曲线的另一个焦点1F .结论58:椭圆上任一点P (非顶点),过P 的切线和法线分别与短轴相交于£, ?Q S 则有,,P Q S 及两个焦点共于一圆上.结论59:双曲线上任一点P （非顶点)，过P 的切线和法线分别与短轴相交于,Q S ,则有,P Q ,S 及两个焦点共于一圆上.结论60:椭圆上任一点P (非顶点)处的切线与过长轴两个顶点,A A '的切线相交于,M M ',则必得到以MM '为直径的圆经过该椭圆的两个焦点.结论61:双曲线上任一点P (非顶点）处的切线与过实轴两个顶点,A A '的切线相交于,M M ',则必得到以MM '为直径的圆经过该双曲线的两个焦点.结论62:以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆. 结论63:以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆. 结论64:以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切.结论65：焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴上）上任一点M （非短轴顶点）与短轴的两个顶点B ,B '的连线分别交x 轴（或y 轴）于,P Q ,则2P Q x x a =(或)2P Q y y a =.结论66:焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴上）上任一点M (非顶点)与实轴的两个顶点,B B '的连线分别交y 轴（或x 轴）于,P Q ,则(2P Q y y b =-或)2P Q x x b =-.结论67:P 为焦点在x 轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点),则12PF F ∆与边2PF (或1PF )相切的旁切圆与x 轴相切于右顶点A (或左顶点A ').结论68:P 为焦点在x 轴上的双曲线右支（或左支）上任一点,则12PF F ∆的内切圆与x 轴相切于右顶点A (或左顶点A ').结论69:AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的一条弦(非通径),弦AB 的中垂线交x 轴于N ,则||2||AB NF e=. 结论70:AB 是过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 的一条弦（非通径,且为单支弦),弦AB 的中垂线交x 轴于M ,则||2||AB MF e=. 结论71:AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的一条弦（非通径),弦AB 的中垂线交x 轴于M ,则||2||AB MF =. 结论72:AB 为抛物线的焦点弦，分别过,A B 作抛物线的切线,则两条切线的交点P 在其准线上.结论73:AB 为椭圆的焦点弦,分别过,A B 作椭圆的切线,则两条切线的交点P 在其相应的准线上.结论74:AB 为双曲线的焦点弦,分别过,A B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 在其相应的准线上.结论75:AB 为过抛物线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其准线相切.结论76:AB 为过椭圆焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相离（当然与另一条准线更相离）.结论77:AB 为过双曲线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相交,截得的圆弧度数为定值,且为12arccos e. 结论78：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切,则该曲线必为抛物线.结论79:以圆雉曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆.结论80:以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交,则该曲线必为双曲线,此时截得的圆弧度数为定值,且为12arccose结论81:AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的焦点弦,()()1122,,,A x y B x y ,则||AB =12x x p ++结论82:AB 为过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦点F 的焦点弦,()()1122,,,A x y B x y ,则||AB 122a e x x =-+结论83:AB 为过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>焦点F 的焦点弦,()()1122,,,A x y B x y .若AB 为单支弦，则12||2AB e x x a =+-;若AB 为双支弦，则|12|||2AB e x x a =++ 结论84:F 为抛物线的焦点,,A B 是抛物线上不同的两点,直线AB 交其准线l 于M ,则FM 平分AFB ∠的外角.结论85:F 为椭圆的一个焦点,,A B 是椭圆上不同的两点,直线AB 交其相应的准线l 于M ,则FM 平分AFB ∠的外角.结论86:F 为双曲线的一个焦点,,A B 是双曲线上不同的两点（同一支上),直线AB 交其相应的准线l 于M ,则FM 平分AFB ∠的外角.结论87:F 为双曲线的一个焦点,,A B 是双曲线上不同的两点（左右支各一点),直线AB 交其相应的准线l 于M ,则FM 平分AFB ∠.结论88:AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过焦点F 的弦,点P 是椭圆上异于,A B 的任一点,直线PA PB 、分别交相应于焦点F 的准线l 于M N 、,则点M 与点N 的纵坐标之积为定值,且为42b c-.结论89:AB 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>过焦点F 的弦,点P 是双曲线上异于,A B任一点,直线PA 、PB 分别交相应于焦点F 的准线l 于M N 、,则点M 与点N 的纵坐标之积为定值,且为42b c-.结论90:AB 是抛物线22(0)y px p =>过焦点F 的弦，点P 是抛物线上异于,A B 的任一点,直线PA PB 、分别交准线l 于M N 、,则点M 与点N 的纵坐标之积为定值,且为2p -.结论91:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线PA PB 、分别交直线2(0)a x m a m=<<于M N 、,则M N y y ⋅为定值,且有()2222M N b m a y y m -⋅=结论92：,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM FN ⋅为定值,且有()()222222a m a mb EM FN m -+-⋅=.结论93:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆上任一点（非长轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EN FM ⋅为定值,且有()()222222a m a mb EN FM m -+-⋅=结论94:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则FM FN ⋅为定值,且有()()222222a m a mb FM FN m -+-⋅=结论95:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM EN ⋅为定值,且有()()2222222a mb a m EM EN m +--⋅=结论96:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则BM FN ⋅为定值,且有()()22222a m a amb BM FN m -+-⋅=结论97:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P为椭圆任一点（非长轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM FN ⋅为定值,且有()()22222a m a amb AM FN m ---⋅=结论98:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM BN ⋅为定值,且有()()22222a m ab AM BN m --⋅=结论99:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为双曲线上任一点（非实轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则M N y y ⋅为定值,且有()2222M N b m a y y m -⋅=.结论100:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM FN ⋅为定值,且有()()222222a m ab m EM FN m -++⋅=结论101:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EN FM ⋅为定值,且有()()222222a m ab m EN FM m -++⋅=结论102:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则FM FN ⋅为定值,且有()()222222a m ab m FM FN m -+-⋅=结论103:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点（非实轴顶点，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM EN ⋅为定值，且有()()2222222a mb a m EM EN m ++-⋅=结论104:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则BM FN ⋅为定值,且有()()22222a m ab amBM FN m -++⋅=结论105:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM FN ⋅为定值,且有()()22222a m ab amAM FN m -+-⋅=结论106:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),()E m F m m a ->,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM BN ⋅为定值,且有()()22222a m ab AM BN m -+⋅=结论107:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则AP BP k k ⋅为定值,且有2221AP BP AM BNb k k k k e a⋅=⋅=-=-结论108:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则AN BM k k ⋅为定值,且有2221AN BM b k k e a ⋅=-=-结论109:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM AN k k ⋅为定值,且有()21AM AN a m k k e a m+⋅=--结论110:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则BM BN k k ⋅为定值，且有()21BM BN a m k k e a m-⋅=-+结论111:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),()E m F m m a ->,P 为椭圆任一点(非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM FN k k ⋅为定值,且有222EM FNb k k a m ⋅=-+结论112:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),()E m F m m a ->,P 为椭圆任一点(非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则EN FM k k ⋅为定值,结论113:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的任一直径（中心弦),P 为椭圆上任一点(不与,A B 点重合),则PA PB k k ⋅为定值,且有2221PA PBb k k e a⋅=-=-结论114:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一弦(不过原点且不与对称轴平行),M为弦AB 的中点,若OM k 与AB k 均存在,则OM AB k k ⋅为定值,且有2221OM ABb k k e a⋅=-=-结论115:AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一弦(不与对称轴平行),若平行于AB 的弦的中点的轨迹为直线PQ ,则有2221PQ ABb k k e a⋅=-=-结论116:过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上任意一点(P 不是其顶点)作椭圆的切线PA ,则有2221PA OPb k k e a⋅=-=-结论117:椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及定点(,0),()F m a m a -<<,过F 的弦的端点为A ,B ,过点A ,B 分别作直线2a x m =的垂线，垂足分别为,DC ,直线2a x m=与x 轴相交于E ,则直线AC 与BD 恒过EF 的中点,且有0AE BE k k +=.结论118:椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及定点(,0),()F m m c =±,过F 任作一条弦,AB E 为椭圆上任一点,连接,AE BE ,且分别与准线2a x m =相交于,P Q ,则有1FP FQ k k ⋅=-结论119:椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及定点(,0),(,0)F m a m a m -<<≠,过F 任作一条弦,AB E 为椭圆上任一点,连接AE BE 、,且分别与直线2a x m =相交于,P Q ,则有222FP FQb k k m a⋅=- 结论120:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则AP BP k k ⋅为定值,且有2221AP BP AM BNb k k k k e a⋅=⋅=-=结论121:,A B 为双曲线22221(0)x y a b a b +=>>的顶点,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AN BM k k ⋅为定值,且有21AN BM k k e ⋅=-结论122:,A B 双曲线22221(0)x y a b a b +=>>的顶点,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则AM AN k k ⋅为定值,且有()21AM AN a m k k e a m+⋅=--结论123:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线AP BP 、分别交直线2a x m =于M N 、,则BM BN k k ⋅为定值,且有()21BM BN a m k k e a m-⋅=-+结论124:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM FN k k ⋅为定值,且有222EM FNb k k a m ⋅=+ 结论125:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EN FM k k ⋅为定值,且有222EN FMb k k a m⋅=+ 结论126:AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的任一直径,P 为双曲线上任一点(不与,A B 点重合),则PA PB k k ⋅为定值,且有2221PA PBb k k e a⋅==- 结论127:AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的任一弦(不过原点且不与对称轴平行),M 为弦AB 的中点,若OM k 与AB k 均存在,则AB OM k k ⋅为定值,且有22AB OMb k k a⋅= 结论128:AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的任一弦(不与对称轴平行),若平行于AB 的弦的中点的轨迹为直线PQ ,则有2221AB PQb k k e a⋅==- 结论129:过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P (不是其顶点)作双曲线的切线PA ,则有2221PA OPb k k e a⋅==- 结论130:双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),(F m m a >或)m a <-,过F 的弦的䇄山端点为,A B ,过,A B 分别作直线2a x m =的垂线,垂足分别为,D C ,直线2a x m=与x 轴相交于E ,则直线AC 与BD 恒过EF 的中点,且有0AE BE k k +=.结论131:双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),()F m m c =±,过F 任作一条弦AB ,E 为双曲线上任一点,连接,AE BE ,且分别与准线2a x m =相交于,P Q ,则有1FP FQ k k ⋅=- 结论132:双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),(F m m a >或)m a <-,过F 任作一条弦,AB E 为双曲线上任一点,连接,AE BE ,且分别与直线2a x m =相交于,P Q ,则有222FP FQb k k a m ⋅=- 结论133:抛物线22(0)y px p =>及定点(,0),(0)F m m >,过F 的弦的端点为,A B 过A ,B分别作直线x m =-的垂线,垂足分别为,D C ,直线x m =-与x 轴相交于E ,则直线AC 与BD 恒过EF 的中点,且有0AE BE k k +=.结论134:抛物线22(0)y px p =>及定点(,0),2p F m m ⎛⎫=⎪⎝⎭,过F 任作一条弦,AB E 为抛物线上任一点,连接AE BE 、,分别与准线x m =-相交,P Q ,则1FP FQ k k ⋅=-结论135：抛物线22(0)y px p =>及定点(,0),(0)F m m >,过F 任作一条弦,AB E 为抛物线上任一点,连接AE BE 、分别与直线x m =-相交,P Q ,则2FP FQ p k k m⋅=-结论136:过抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的弦（焦点弦）与抛物线相交于A ,B ,过B 作直线BC 与x 轴平行,且交准线于C ,则直线AC 必过原点（即其准线与x 轴交点E 与焦点F 的线段的中点).结论137:AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的弦,其相应的准线与x 轴交点为E ,过A ,B 作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于,M N ,则直线,AN BM 均过线段EF 的中点.结论138:AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 的弦,其相应的准线与x 轴交点为E ,过A ,B 作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于,M N ,则直线,AN BM 均过线段EF 的中点.结论139:过圆锥物线(可以是非标准状态下)焦点弦的一个䇄山端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个弦的端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点.结论140:AB 为垂直于椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b+=>>≠长轴上的动弦,其准线与x 轴相交于Q ,则直线AF 与BQ (或直线BF 与AQ )的交点M 必在该椭圆上.结论141:AB 为垂直于双曲线2222(0)x y a bλλ-=≠实轴的动弦,其准线与x 轴相交于Q ,则直线AF 与BQ (或直线BF 与AQ )的交点M 必在该双曲线上.结论142:AB 为垂直于抛物线2y tx =或()2(0)x ty t =≠对称轴的动弦,其准线与x 轴相交于Q ,则直线AF 与BQ (或直线BF 与AQ )的交点M 必在该抛物线上.结论143:AB 为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆）(或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线)）的动弦，其准线与x 轴相交于Q ,则直线AF 与BQ (或直线BF 与AQ )的交点M 必在该圆锥曲线上.结论144:圆锥曲线的焦点弦AM (不为通径,若双曲线则为单支弦),则在x 轴上有且只有一点Q 使AQF MQF ∠=∠.结论145：过F 任作圆锥曲线的一条弦AB (若是双曲线则为单支弦),分别过,A B 作准线l 的垂线(Q 是其相应准线与x 轴的交点),垂足为11A B 、,则直线1AB 与直线1A B 都经过QF 的中点K ,即A 、1K B 、及1B K A 、、三点共线.结论146:若AM BM 、是圆锥曲线过点F 且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦(或实轴(双曲线）或对称轴（抛物线）),则四线1111AM BN NB MA 、、、共点于K .结论147:,A B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点和左顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于,M N ,则以线段MN 为直径的圆必过两个定点,且椭圆外定点为2,0a Q m ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭及椭圆内定点为2,0a R m ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭结论148:,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点和左顶点,P 为双曲线上任一点（非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2()a x m a m=>于,M N ,则以线段MN 为直径的圆必过两个定点,且双曲线内定点为2,0a Q m ⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭及双曲线外定点为2,0a R m ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭结论149:过直线(0)x m m =≠上但在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点2,0a N m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且有()22222AB MN b m k k a a m ⋅=-.结论150:过直线(0)x m m =≠上但在双曲线222210,0) (x y a b a b-=>>外（即双曲线中心所在区域）一点M 向双曲线引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点2,0a N m ⎛⎫⎪⎝⎭,且有()22222AB MNb m k k a m a⋅=-. 结论151:过直线 0x m m =≠（）上但在抛物线22(0)y px p =>外（即抛物线准线所在区域)一点M 向抛物线引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点(,0)N m -,且有2AB MN pk k m⋅=结论152:设点M 是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上)，过点M 向圆锥曲线引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过准线对应的焦点F ，且FM AB ⊥.结论153:过直线1mx ny +=上但在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线,切点分别为,A B 则直线AB 必过定点()22,N ma nb .结论154:过直线1mx ny +=上但在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外(即双曲线中心所在区域)一点M 向双曲线引两条切线，切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点()22,N ma nb .结论155:过直线10 mx ny m +=≠）（上但在抛物线22(0)y px p =>外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点1,pn N m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭结论156:,A B ,是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点,点P 是直线(||,0)x t t a t =≠≠上的一个动点（P 不在椭圆上),直线PA 及PB 分别与椭圆相交于,M N ,则直线MN 必与x轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.结论157:,A B 是在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点,点P 是直线(||,0)x t t a t =≠≠上的一个动点(P 不在双曲线上),直线PA 及PB 分别与双曲线相交于,M N ,则直线MN 必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 结论158:,A B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点,若直线AB 过定点(2,0)N p ,则OA OB ⊥，且A ,B 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值.结论159:,A B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点,若OA OB ⊥,则直线AB 必过定点(2,0)N p ,且,A B 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值.结论160:,A B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点,若OA OB ⊥,过O 作OM AB ⊥,则动点M 的轨迹方程为2220(0)x y px x +-=≠.结论161:,A B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点,若OA OB ⊥,则()2min 4AOB S p ∆=结论162:过抛物线22(0)y px p =>上任一点()00,M x y 作两条弦,MA MB ,则MA MB⊥的充要条件是直线AB 过定点()002,N x p y +-结论163:过抛物线22(0)y px p =>上任一点()00,M x y 作两条弦,MA MB ,则(0)MA MB k k λλ=≠的充要条件是直线AB 过定点002,p N x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭结论164:过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一点()00,M x y 作两条弦,MA MB ,则MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点2222002222,a b b a N x y a b a b ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭特别地,(1)当M 为左、右顶点时,即00,0x a y =±=时，MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点()2222,0a a b N a b ⎛⎫±- ⎪ ⎪+⎝⎭。

高中数学 高考数学50条秒杀型公式与方法

高中数学 高考数学50条秒杀型公式与方法

高中数学| 高考数学50条秒杀型公式与方法1，适用条件：[直线过焦点]，必有e c o sA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。

x为分离比，必须大于1。

注上述公式适合一切圆锥曲线。

如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。

2，函数的周期性问题(记忆三个)：①、若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;②、若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;③、若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。

注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。

c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=s i n x y=si n派x相加不是周期函数。

3，关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：①，若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;②、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;③、若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称。

4，函数奇偶性：①、对于属于R上的奇函数有f(0)=0;②、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项③，奇偶性作用不大，一般用于选择填空。

5，数列爆强定律：①，等差数列中：S奇=n a中，例如S13=13a7(13和7为下角标);②，等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差；③，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立；④，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²m S(n)可以迅速求q。

6，数列的终极利器，特征根方程。

首先介绍公式：对于a n+1=p an+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。

2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题(附答案)

2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题(附答案)

决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得 或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。

高考数学拔尖必刷压轴题(选择题、填空题)专题16取对数(新高考地区专用)含解析

高考数学拔尖必刷压轴题(选择题、填空题)专题16取对数(新高考地区专用)含解析

1专题16 取对数【巩固训练】1.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ）A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b 2. 设实数0m >，若对任意的x e ≥，不等式2ln 0m x x x me -≥恒成立，则m 的最大值是（ ）.1.A e .3e B .C e .2D e 3.若存在正实数x ，y ，z 满足223310y z yz +≤，且ln ln ey x z z -=，则x y 的最小值为 ．4.若函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的定义域[m ，n ] 上的值域是[m 2，n 2]（1<m <n ），则实数a 的取值范围是 ．5. 若函数2()x f x a x =-（1a >）有且只有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．6.已知变量12,(0,)x x m ∈(0m >),且12x x <,若2112x x x x <恒成立,则实数m 的最大值是 ．2 【答案与提示】1.【答案】A2. 【答案】C 【提示一】2ln 0m x x x me -≥变形为ln ln mx x m x e e x⋅≥⋅，构造函数()()0x g x xe x =>，等价转化为ln m x x≥，即ln m x x ≤，只需()min ln m x x e ≤=，答案为C . 【提示二】2ln 0mx x x me -≥变形为ln ln mx x m x e e x⋅≥⋅，两边取对数ln(ln )ln ln m m x x x x+≥+，构造函数()()ln 0g x x x x =+>，该函数单增，故等价转化为ln m x x≥，即ln m x x ≤，只需()min ln m x x e ≤=，答案为C . 3 【答案】 【提示】133y z ≤≤，ln x ey z z =，令y t z =，133t ≤≤，ln ln ln ln x x z et t y z y =+=-.4.【答案】2(1,)e e【提示】方法同例1.5. 【答案】2(1,)e e【提示】2x a x =，取对数得ln 2ln ax x =，即2ln ln x a x =，分离函数转化为2ln x y x=、ln y a =有三个交点.6.【答案】e 【提示】211212211212ln ln ln ln x x x x x x x x x x x x <⇔<⇔<，则ln ()x f x x=单增. 2e。

2024全国数学高考压轴题(数列选择题)附答案

2024全国数学高考压轴题(数列选择题)附答案

2024全国数学高考压轴题(数列)一、单选题1．若数列{b n }、{c n }均为严格增数列 且对任意正整数n 都存在正整数m 使得b m ∈[c n ，c n+1] 则称数列{b n }为数列{c n }的“M 数列”．已知数列{a n }的前n 项和为S n 则下列选项中为假命题的是（ ）A ．存在等差数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”B ．存在等比数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”C ．存在等差数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”D ．存在等比数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”2．已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R 记g(x)=f ′(x)．若f(x +3)为奇函数 g(32+2x)为偶函数 且g(0)=−3 g(1)=2 则∑g 2023i=1(i)=（ ） A ．670B ．672C ．674D ．6763．我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列 那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列{f n (x)}（n ∈N +）的通项公式为f n (x)=n 2+2nx+x 2+1(n+x)(n+1)x ∈(0，1) 记E n 为f n (x)的值域 E =U n=1+∞E n 为所有E n 的并集 则E 为（ ）A ．(56，109)B ．(1，109)C ．(56，54)D ．(1，54)4．已知等比数列{x n }的公比q >−12则（ ）A ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|<10B ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|>10C ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|<10D ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|>105．已知数列{a n } {b n }满足a 1=2 b 1=12 {a n+1=b n +1an b n+1=a n +1bn,，,n ,∈,N ∗ 则下列选项错误的是（ ） A ．a 2b 2=14B ．a 50⋅b 50<112C ．a 50+b 50=52√a 50⋅b 50D ．|a 50−b 50|≤156．已知数列{a n }满足：a 1=2 a n+1=13(√a n +2a n )(n ∈N ∗)．记数列{a n }的前n 项和为S n 则（ ）A ．12<S 10<14B ．14<S 10<16C ．16<S 10<18D ．18<S 10<207．已知数列 {a n } 满足： a 1=100，a n+1=a n +1an则（ ）A ．√200+10000<a 101<√200.01+10000B ．√200.01+10000<a 101<√200.1+10000C ．√200.1+10000<a 101<√201+10000D ．√201+10000<a 101<√210+100008．已知数列 {a n } 满足 a 1=a(a >0) √a n+1a n =a n +1 给出下列三个结论：①不存在 a 使得数列 {a n } 单调递减；②对任意的a 不等式 a n+2+a n <2a n+1 对所有的 n ∈N ∗ 恒成立；③当 a =1 时 存在常数 C 使得 a n <2n +C 对所有的 n ∈N ∗ 都成立.其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③9．已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点 点P n (x n ，y n )(n =1，2，3，⋯)在抛物线上.若|P n+1F|−|P n F|=1 则（ ） A ．{x n }是等差数列 B ．{x n }是等比数列 C ．{y n }是等差数列D ．{y n }是等比数列10．已知数列 11 21 12 31 22 13 41 32 23 14… 其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数 并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数 并且从大到小排列 依次类推.此数列第n 项记为 a n 则满足 a n =5 且 n ≥20 的n 的最小值为（ ） A ．47B ．48C ．57D ．5811．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n ，B n ，C n 所对的边分别为a n ，b n ，c n 面积为S n ．若b 1=4，c 1=3，b n+12=a n+12+c n 23，c n+12=a n+12+b n 23则下列选项错误的是（ ）A ．{S 2n }是递增数列B ．{S 2n−1}是递减数列C ．数列{b n −c n }存在最大项D ．数列{b n −c n }存在最小项12．已知数列{a n }的各项都是正数 a n+12−a n+1=a n (n ∈N ∗)．记b n =(−1)n−1a n −1数列{b n }的前n 项和为S n 给出下列四个命题：①若数列{a n }各项单调递增 则首项a 1∈(0，2)②若数列{a n }各项单调递减 则首项a 1∈(2，+∞)③若数列{a n }各项单调递增 当a 1=32时 S 2022>2④若数列{a n }各项单调递增 当a 1=23时S2022<−5则以下说法正确的个数（）A．4B．3C．2D．113．已知正项数列{a n}对任意的正整数m、n都有2a m+n≤a2m+a2n则下列结论可能成立的是（）A．a nm+a mn=a mn B．na m+ma n=a m+n C．a m+a n+2=a mn D．2a m⋅a n=a m+n14．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点要先走完总路程的三分之一再走完剩下路程的三分之一如此下去会产生无限个“剩下的路程” 因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走这个人永远走不到终点．另一方面我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列{a n}的首项a1=13公比为q 前n项和为S n则造成上述悖论的原理是（）A．q=16，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t B．q=13，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<tC．q=12，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t D．q=23，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<t15．已知sinx，siny，sinz依次组成严格递增的等差数列则下列结论错误的是（）A．tanx，tany，tanz依次可组成等差数列B．cosx，cosy，cosz依次可组成等差数列C．cosx，cosz，cosy依次可组成等差数列D．cosz，cosx，cosy依次可组成等差数列16．记U={1，2，⋯，100}．对数列{a n}(n∈N∗)和U的子集T 若T=∅定义S T=0；若T={t1，t2，⋯，t k}定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．则以下结论正确的是（）A．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1，T={1，2，4，8}则S T=15B．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T< a kC．若{a n}(n∈N∗)满足a n=3n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T≥a k+1D ．若{a n }(n ∈N ∗)满足a n =3n−1 且C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D 则S C +S C∩D ≥2S D17．已知数列 {a n }、{b n }、{c n } 满足 a 1=b 1=c 1=1，c n =a n+1−a n ，c n+2=bn+1b n ⋅c n (n ∈N ∗)，S n =1b 2+1b 3+⋯+1b n （n ≥2），T n =1a 3−3+1a 4−4+⋯+1a n −n （n ≥3） 则下列有可能成立的是（ ）A ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222>b 2022B ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022<T 2022C ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222<b 2022D ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022>T 202218．已知数列{a n }满足a 1=1 a n =a n−1+4(√a n−1+1√an−1)(n ∈N ∗，n ≥2) S n 为数列{1a n }的前n 项和 则（ ） A ．73<S 2022<83B ．2<S 2022<73C ．53<S 2022<2 D ．1<S 2022<5319．已知数列{a n }满足a n ⋅a n+1⋅a n+2=−1(n ∈N ∗)，a 1=−3 若{a n }的前n 项积的最大值为3 则a 2的取值范围为（ ） A ．[−1，0)∪(0，1] B ．[−1，0)C ．(0，1]D ．(−∞，−1)∪(1，+∞)20．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n (a n +1)2=4S n 记b n =S n ⋅sin nπ2+S n+1⋅sin (n+1)π2若数列{b n }的前n 项和为T n 则T 100=（ ） A ．-400B ．-200C ．200D ．40021．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和 a 2=−7 S 5=2a 1 当|S n |取得最小值时 n =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．722．已知数列{a n }中 a 2+a 4+a 6=285 na n =(n −1)a n+1+101(n ∈N ∗) 当数列{a n a n+1a n+2}(n ∈N ∗)的前n 项和取得最大值时 n 的值为（ ） A ．53B ．49C ．49或53D ．49或5123．定义在R 上的函数序列{f n (x)}满足f n (x)<1nf n ′(x)（f n ′(x)为f n (x)的导函数） 且∀x ∈N ∗ 都有f n (0)=n ．若存在x 0>0 使得数列{f n (x 0)}是首项和公比均为q 的等比数列 则下列关系式一定成立的是（ ）．A ．0<q <2√2e x 0B ．0<q <√33e x 0C ．q >2√2e x 0D ．q >√33e x 024．已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a 1=1 a 2=2 a n =a n−1⋅a n+1(n ≥2) 则（ ）A ．a 1：a 2：a 3=a 6：a 7：a 8B ．a n ：a n+1：a n+2=1：2：2C ．S 6 S 12 S 18成等差数列D ．S 6n S 12n S 18n 成等比数列25．已知S n 为数列{a n }的前n 项和 且a 1=1 a n+1+a n =3×2n 则S 100=（ ）A ．2100−3B ．2100−2C ．2101−3D ．2101−226．已知 {a n } 为等比数列 {a n } 的前n 项和为 S n 前n 项积为 T n 则下列选项中正确的是（ ）A ．若 S 2022>S 2021 则数列 {a n } 单调递增B ．若 T 2022>T 2021 则数列 {a n } 单调递增C ．若数列 {S n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021D ．若数列 {T n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021二、多选题27．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想” 是指对于任意一个正整数x 如果x 是奇数㩆乘以3再加1 如果x 是偶数就除以2 这样经过若干次操作后的结果必为1 犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想” 提出了如下问题：设k ∈N ∗ 各项均为正整数的数列{a n }满足a 1=1 a n+1={a n2，a n 为偶数，a n +k ，a n 为奇数，则（ ）A ．当k =5时 a 5=4B ．当n >5时 a n ≠1C ．当k 为奇数时 a n ≤2kD ．当k 为偶数时 {a n }是递增数列28．已知数列{a n } a 2=12且满足a n+1a n 2=a n −a n+1 n ∈N ∗ 则（ ） A ．a 4−a 1=1929B ．a n 的最大值为1C ．a n+1≥1n+1D ．√a 1+√a 2+√a 3+⋅⋅⋅+√a 35>1029．已知数列{a n }的前n 项和为S n a 1=1 且4a n ⋅a n+1=a n −3a n+1（n =1 2 …） 则（ ）A ．3a n+1<a nB ．a 5=1243C ．ln(1an )<n +1D ．1≤S n <171430．如图 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1顶点处有一质点Q 点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动 且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处 记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为P n 则下列说法正确的是（ ）A ．P 2=59B ．P n+1=23P n +13C ．点Q 移动4次后恰好位于点C 1的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为12(13)10+1231．已知数列{a n } {b n } 有a n+1=a n −b n b n+1=b n −a n n ∈N ∗ 则（ ）A ．若存在m >1 a m =b m 则a 1=b 1B ．若a 1≠b 1 则存在大于2的正整数n 使得a n =0C ．若a 1=a a 2=b 且a ≠b 则b 2022=−b ×22020D ．若a 1=−1 a 2=−3 则关于x 的方程2a 3+(2a 3+1)cosx +2cos2x +cos3x =0的所有实数根可构成一个等差数列32．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n 、B n 、C n 所对的边分别为a n 、b n 、c n 面积为S n 若b 1=4 c 1=3 b n+12=a n+12+c n 23 c n+12=a n+12+b n 23则（ ） A ．{S 2n }是递增数列 B ．{S 2n−1}是递减数列 C ．{b n −c n }存在最大项D ．{b n −c n }存在最小项33．已知S n 是数列{a n }的前n 项和 且S n+1=−S n +n 2 则下列选项中正确的是（ ）.A ．a n +a n+1=2n −1（n ≥2）B ．a n+2−a n =2C ．若a 1=0 则S 100=4950D ．若数列{a n }单调递增 则a 1的取值范围是(−14，13)三、填空题34．已知n ∈N ∗ 将数列{2n −1}与数列{n 2−1}的公共项从小到大排列得到新数列{a n } 则1a 1+1a 2+⋯+1a 10= .35．若函数f(x)的定义域为(0，+∞) 且f(x)+f(y)=f(xy) f(a n )=n +f(n) 则∑f ni=1(a i i )= ．36．在数列{a n }中 a 1=1 a n+1=a n +1an（n∈N ∗） 若t ∈Z 则当|a 7−t|取得最小值时 整数t 的值为 .37．已知函数f(x)满足f(x −2)=f(x +2)，0≤x <4时 f(x)=√4−(x −2)2 g(x)=f(x)−k n x(n ∈N ∗，k n >0)．若函数g(x)的图像与x 轴恰好有2n +1个不同的交点 则k 12+k 22+⋅⋅⋅+k n 2= ．38．已知复数z =1+i 对于数列{a n } 定义P n =a 1+2a 2+⋅⋅⋅+2n−1a n n为{a n }的“优值”．若某数列{a n}的“优值”P n =|z|2n 则数列{a n }的通项公式a n = ；若不等式a n 2−a n +4≥(−1)nkn 对于∀n ∈N ∗恒成立 则k 的取值范围是 ．39．数列{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列 S n 为其前n 项和. 已知a 1⋅a 3=16 S3q=12 给出下列四个结论： ①q <0 ；②若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是3； ③若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是4； ④若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最小 则m 的值只能是2． 其中所有正确结论的序号是 .40．如图 某荷塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）满足关系式：y =a t lna （a 为常数） 记y =f(t)（t ≥0）．给出下列四个结论：①设a n=f(n)(n∈N∗)则数列{a n}是等比数列；②存在唯一的实数t0∈(1，2)使得f(2)−f(1)=f′(t0)成立其中f′(t)是f(t)的导函数；③常数a∈(1，2)；④记浮萍蔓延到2m23m26m2所经过的时间分别为t1t2t3则t1+t2>t3．其中所有正确结论的序号是．41．在现实世界很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{a n}{b n}分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度数列模型：a n+1=2a n+b n，b n+1=a n+2b n(n=1，2⋯)描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足a1>b1则在该模型中关于两组信息给出如下结论：①∀n∈N∗，a n>b n；②∀n∈N∗，a n+1>a n，b n+1>b n；③∃k∈N∗使得当n>k时总有|a nb n−1|<10−10④∃k∈N∗使得当n>k时总有|a n+1a n−2|<10−10．其中所有正确结论的序号是答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】D17．【答案】B18．【答案】D19．【答案】A20．【答案】C21．【答案】C22．【答案】D23．【答案】D24．【答案】C25．【答案】D26．【答案】D27．【答案】A,C,D28．【答案】B,C,D29．【答案】A,D30．【答案】A,C,D 31．【答案】A,C,D 32．【答案】A,C,D 33．【答案】A,C 34．【答案】102135．【答案】n(n+1)236．【答案】4 37．【答案】n 4(n+1) 38．【答案】n+1；[−163，5] 39．【答案】①②③ 40．【答案】①②④ 41．【答案】①②③。

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第五章压轴题秒杀很多朋友留言说想掌握秒杀的最后一层。

关于秒杀法的最难掌握的一层，便是对于高考数学压轴题的把握。

压轴题，各省的难度不一致，但毫无疑问，尤其是理科的，会难倒很多很多很多人。

不过，压轴题并不是那般神秘难解，相反，出题人很怕很怕全省没多少做出来的，明白么？他很怕。

那种思想，在群里面我也说过，在这里就不多啰嗦了。

想领悟、把握压轴题的思路，给大家推荐几道题目。

全是数学压轴题，且是理科（09的除山东的外我都没做过，所以不在推荐范围内）。

08全国一，08全国二，07江西，08山东，07全国一一年过去了，很多题目都忘了，但这几道题，做过之后，虽然一年过去了，可脉络依然清晰。

都是一些可以秒杀的典型压轴题，望冲击清华北大的同学细细研究。

记住，压轴题是出题人在微笑着和你对话。

具体的题目的“精”，以及怎么发挥和压榨一道经典题目的最大价值，会在以后的视频里面讲解的很清楚。

不过，我还是要说一下数列压轴题这块大家应该会什么（难度以及要求依次增高）\1：通项公式的求法（不甚解的去看一下以前的教案，或者问老师，这里必考。

尤其推荐我押题的第一道数列解答题。

）2.：裂项相消（各种形式的都要会）、迭加、迭乘、错位相减求和（这几个是最基本和简单的数列考察方式，一般会在第二问考）3：数学归纳法、不等式缩放基本所有题目都是这几个的组合了，要做到每一类在脑中都至少有一道经典题想对应才行哦。

开始解答题了哦，先来一道最简单的。

貌似北京的大多挺简单的。

这道题意义在什么呢？对于这道题在高考中出现的可能性我不做解释，只能说不大。

意义在于，提醒大家四个字，必须必须必须谨记的四个字：分类讨论下面07年山东高考的这道导数题，对分类讨论的考察尤为经典，很具参考性，类似的题目在08、09、10年高考题中见了很多。

(22)(本小题满分14分)设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0.(Ⅰ)当b> 时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln( )都成立.这道题我觉得重点在于前两问，最后一问..有点鸡肋了~这道题，太明显了对吧？看压轴问的形式，想想我之前关于压轴题思路的讲解，看出来么？第三问其实就是直接利用第一问和第二问的结论，很明显的令1/n 为x 这道题就出来了。

这也证明了我之前对压轴题的评述吧。

当然这只是例子之一了，绝大多数压轴题都是这样的。

下面，下面，下面，重点来了。

大家是否眼熟这个不等式呢？ ln X<= X--1 你可以利用导数去证明这个不等式的正确性，但我想说的是，这个小小的不等式，太有用了。

什么用？将一个对数形式的函数转化为一个X--1 这样简单的线性函数，多么漂亮的一个式子！可以说，导数不等式证明中，见到自然对数，我第一个想的就会是这个不等式，看能否利用这个不等式将题目转化为特别容易做的一道题。

这也是一种很重要而且经典的缩放！不信的话大家去看07--10年的全国各地高考题，看看有多少省用到了这个不等式的！而下面这道我认为导数解答题中特经典的一道的简单解法，就是用了这个不等式！再次强调：压轴题中，见到对数函数式的不等式证明，第一个要想的是这个不等式！再举几个例子：1.一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于__解：这个题真算的话有点难度也挺麻烦但考试的时候完全可以秒杀直接特殊化为等边三角形答案就出来了等边三角形满足题意么？满足，只要不违背题意条件随你加，随你加强所以公差为0几秒钟一道很难的题这就是秒杀的目的所在这个题条件很强，既有角的限制又有边的限制，就说明答案唯一可是，那是考试现场时的秒杀。

对一道能秒杀的题，不仅要秒杀，还要真正做出来才算详解：假设A<=B<=CA+C=2B b平方=ac用正弦定理得出COS(A-C)=1也可用余弦定理求出ABC。

第六章再说秒杀和压轴题以下为视频讲解内容：秒杀也分几类：最常用的一般是特殊性（有些人理解的特殊值，其实特殊值也是特殊化的一种罢了，还有其实技巧不在这里，而在于这个特殊值你如何取，取得好，那叫艺术，取得不好.......嗯！）第一题：A[N]是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和，前3n项和分别是x,y,z,则下列等式恒成立的是1.X+Y=2Y2.Y(Y-X)=Z(Z-X)3.Y平方=XZ4.Y(Y-X)=X(Z-X)如何秒杀呢，很明显，取特殊值，如何取呢？以前说过，见到A[N]是任意等比数列的等等或者说见到任意两字的，往往就是我们发挥的地方。

我们令A[N]=1，呵呵，很特殊了吧，还不止，我们这里再令N=1，这样题目变成什么了呢？我翻译一下：已知A[N]是任意等比数列，它的前1项和x，前2项和Y，前3项和是z,则下列等式恒成立的是?你猜，呵呵，这样直接可以排除2,3了，那么1，4呢？我们假设A[1]=1，A[2]=2，A[3]=4，这样符合题意吧？很明显1不正确，4任然正确，答案是4第二题：如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为．向量如何秒杀呢，其实就只说向量，也有两三钟秒杀的方法，我觉得好用的就是特殊化+坐标化！！呵呵，就是把三角形特殊化为等腰直角三角形，这意思也是任意三角形吧，按照题意，我们画出MN的直线，若，，根据上面的两个公式，可以求出，大家记得吗---是直线的截距式（不记得的都面壁去吧，这可是基础）根据截距式我们得出MN的直线方程为MX+NY=1，我们还有个条件没有用，直线MN过中点，明显BC中点为（1/2,1/2）,对吧，带入得M+N=2这个是07年江西的一道高考题，常规方法要比这个麻烦的多，而且可能大部分同学还不会做，而换成秒杀的—就是最基本的加减运算啦！！其实秒杀呢，每张卷子都能用到的是那种集合，求范围等等的题目，就不举例子了！！还有就是三角函数，解析几何（这个主要是取特殊位置的直线），至于三角函数，也分好多种吧，比如，题目让你求一个三角函数表达式的值，而且是道选择题。

比如哦：tanA*tanB+conA*sinB等等的算式吧，然后选择项里面都是常数，也就是和AB无关，那么很明显，不管AB取什么，结果都一样，这时候，我们就可以随便给AB值，就可以得出最后结果，这样的题我见过不少！！上面说的都是一些简单但很常用的，难一点的应该算是变换，或者用到复指数等，比如函数旋转等等，就可以利用复向量的旋转特性去解决，哦，对了，还有一种很常用的，我随便出题：X平方+Y平方=1，求X+Y的取值范围常规的方法肯定是画图等等，或者消元了呗，但我们可以用三角函数去做，X平方+Y平方=1，令X=COSA,Y=SINA,也就是求conA+sinA的范围，明显是正负根2，是吧？一眼就看出来了，当然，一般题目不会这么简单，比如：3X平方+4Y平方=1，求X,Y取值范围，，这时候画图就不好使了哦，因为不是园，但三角函数依然可以，我们令3X平方=conA平方，4Y平方=sinA平方，然后是不是和上面一样了呢！！好了秒杀就这样吧！压轴题下面这道是我高考的压轴题，是道椭圆的题，不算难。

大家应该知道，压轴题一般会在数列不等式，解析几何两者之间选一道，数列的也想整一道例题，可时间有限，就算了。

下面是09年的山东理科数学压轴题：第一问：送分第二问：，呵呵，我还记得在考场上，我看到时就笑了，高考题考来考去也就是这些基本的不变的东西。

这个代表什么呢？这个是题眼，其实我们都很清楚。

OA*OB=0（向量点乘），其实看到这里，后面的不用想也能再脑中出来一推东西，我大概说下：首先OA*OB=0，所以X1X2+Y1Y2=0明显韦达定理要用了，然后要连立直线了，比如设直线AB为：Y=KX+M （设出来这个直线的时候，脑子里面应该本能的想到一个词“分类”，就是K不存在的情况，一定要分类，给大家说，只要能分类的，一定要分类，因为每一个分类就有一定的分，我们的目的就是拿分！！）然后可以得出K和M的一个等式，（有一个式子，那肯定能根据题目其它的一个条件得出另外一个式子，这两个式子联立，一般就可以做出来了）哦，这个说明下，这是看到OA*OB=0后出来的一推东西，后面的还没看呢，继续看，呵呵出来了，切线，我们都知道，根据切线，肯定能得出一个等式，这样题目思路就清晰了！上面这些，大家是不是都能熟练的背下来呢，其实这道题难得不是这些，难在你是不是明白题意。

还有对圆锥曲线问题，大家心里一定一定要坚定一个信念----那就是直线和曲线联立！！这句话很重要，只有你能找到直线和曲线联立（一定要找对哦，比如说这道题，你总不能OA和椭圆联立吧？！只有你能想到用AB去联立，那么后面的一直到韦达定理，一般就可以得8分了。

大家可能会想，谁都知道用AB联立，可是到了高考那样的氛围，你还能像平时一样大脑清醒吗？而且万一不是一条直线呢等等的情况，你真不一定找到）题目还要：并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由玄长公式，对吧，因为知道了K和M 的关系，所以玄长公式里面只有一个K ，而K又有一定的范围，所以再结合不等式的知识，可以求出范围，当然还要考虑K不存在的情况，不然又要扣分！啰嗦了这么多，想告诉大家的：其实就是一定要有思路。

思路哪里来的？是不是从OA*OB=0这里展开一系列的想法呢？可以说，思路就是一个题眼，得出一个总体框架，然后在实际做题中把各个细节填满，问题在于，你如何知道哪里是题眼？就是知道，你如何正确处理？嗯，问到点子上了，我记得我高二高三的时候，每做一道很典型的题，我都会把这道题想的很透很透，然后，闲暇时，脑子里想的就是最近做过的和新学得知识，时间上了，基本上见些东西，就能本能的搜索到相应的应对方法。

大家可能会问，高考题是会变的，而且数学又是一门很灵活的东西，随便一点变化，都可以出来很多很多的题目。

其实高考是在变，而且变的很灵活。

但是高考中更多的是不变，所谓不变就是知识点不变，考点不变（相对来说吧），以及更重要的是难题的入手点不变！！或者就是说题眼不变，最多就是变个说法！！就拿OA*OB=0来说，可以衍生出很多不同的说法，比如中点，角分线等等，还有比如向量AF=3FB向量，这个也是大题中常见的。

这样的如何出处理？，带入坐标，会得到两个式子，这两个式子中的一个比较简单比如：X2=3X1，还有一个关于Y 的，如何用，任何时候，都只用其中一个，你如果两个都用，那你就...用哪个呢？很显然啊，用X2=3X1，这个对吧，因为这个简单。

然后再如何做呢？这个可以用韦达定理了吗？其实可以，只要对这个式子做几次变化，就可以用韦达定理了，从而又要联立直线。

或者你可以联立后，解除X1，X2，然后带入X2=3X1，一样可以得到一个等式。

我上面说的这些，都是需要你平时不断的积累！我之前说过，重复的做试卷----，要做的是什么？是像圆锥曲线，数列不等式，立体几何等等的很复杂的解答题。

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