高考数学导数压轴题7大题型汇总

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高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用

高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用高考压轴题：导数题型及解题方法一、切线问题题型1：求曲线y=f(x)在x=x处的切线方程。

方法：f'(x)为在x=x处的切线的斜率。

题型2：过点(a,b)的直线与曲线y=f(x)的相切问题。

方法：设曲线y=f(x)的切点(x,f(x))，由(x-a)f'(x)=f(x)-b求出x，进而解决相关问题。

注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条。

例题：已知函数f(x)=x-3x。

1）求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；（答案：9x-y-16=0）2）若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。

提示：设曲线y=f(x)上的切点(x,f(x))，建立x,f(x)的等式关系。

将问题转化为关于x,m的方程有三个不同实数根问题。

答案：m的范围是(-3,-2)）练1：已知曲线y=x-3x。

1）求过点(1,-3)与曲线y=x-3x相切的直线方程。

（答案：3x+y=0或15x-4y-27=0）2）证明：过点(-2,5)与曲线y=x-3x相切的直线有三条。

题型3：求两个曲线y=f(x)、y=g(x)的公切线。

方法：设曲线y=f(x)、y=g(x)的切点分别为(x1,f(x1))、(x2,g(x2))，建立x1,x2的等式关系，(x2-x1)f'(x1)=g(x2)-f(x1)，(x2-x1)f'(x2)=g(x2)-f(x1)；求出x1,x2，进而求出切线方程。

解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例题：求曲线y=x与曲线y=2elnx的公切线方程。

（答案：2ex-y-e=0）练1：求曲线y=x与曲线y=-(x-1)的公切线方程。

（答案：2x-y-1=0或y=0）2.设函数f(x)=p(x-2)-2lnx，g(x)=x，直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于(1,0)，求实数p的值。

高考数学导数压轴题7大题型的总结

高考数学导数压轴题7大题型总结
北京八中
高考数学导数压轴题7大题型总结
高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是：切线，单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立等等。

导数解答题是高考数学必考题目，今天就总结导数7大题型，让你在高考数学中多拿一分，平时基础好的同学逆袭140也不是问题
01导数单调性、极值、最值的直接应用
02交点与根的分布
03不等式证明（一）做差证明不等式
（二）变形构造函数证明不等式
（三）替换构造不等式证明不等式
04不等式恒成立求字母范围（一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之分离参数
（三）恒成立之讨论字母范围
05函数与导数性质的综合运用
06导数应用题
07导数结合三角函数
实用标准
文案大全。

(完整版)高三导数压轴题题型归纳

导数压轴题题型1. 高考命题回顾例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）(1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.(1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )⇒f ′(x )＝e x －1x ＋m ⇒f ′(0)＝e 0－10＋m＝0⇒m ＝1，定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x－1x ＋m＝e x x ＋1－1x ＋1，显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．(2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)．h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)⇒h ′(x )＝e x ＋1x ＋22>0，所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根，又g ′(－12)＝1e －132<0，g ′(0)＝1－12>0，所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内，设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1t ＋2＝0⎝⎛⎭⎫－12<t <0，所以，e t ＝1t ＋2⇒t ＋2＝e －t ，当x ∈(－2，t )时，g ′(x )<g ′(t )＝0，g (x )单调递减；当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )>g ′(t )＝0，g (x )单调递增；所以g (x )min ＝g (t )＝e t －ln(t ＋2)＝1t ＋2＋t ＝1＋t 2t ＋2>0，当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0. 例2已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f ef x f x +-=-（2012全国新课标） (1)求)(x f 的解析式及单调区间；(2)若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值。

高考导数压轴题型归类总结

高考导数压轴题型归类总结一、导数单调性、极值、最值的直接应用已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈ ⑴当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；⑵当12a ≤时，讨论()f x 的单调性.1. 已知函数221()2,()3ln .2f x x axg x a x b =+=+⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a >，试建立b 关于a 的函数关系式，并求b 的最大值； ⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数，求a 的取值范围。

2. （最值直接应用）已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.设函数221()(2)ln (0)ax f x a x a x+=-+<． (1)讨论函数()f x 在定义域内的单调性；(2)当(3,2)a ∈--时，任意12,[1,3]x x ∈，12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围．3. （最值应用，转换变量）4. （最值应用）已知二次函数()g x 对x R ∀∈都满足2(1)(1)21g x g x x x -+-=--且(1)1g =-，设函数19()()ln 28f xg x m x =+++（m R ∈，0x >）．（Ⅰ）求()g x 的表达式；（Ⅱ）若x R +∃∈，使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设1m e <≤，()()(1)H x f x m x =-+，求证：对于12[1,]x x m ∀∈，，恒有12|()()|1H x H x -<．5. 设3x =是函数()()()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点. （1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（2）设()2250,4xa g x a e ⎛⎫>=+ ⎪⎝⎭，若存在[]12,0,4ξξ∈，使得()()121f g ξξ-< 成立，求a 的取值范围.6. 7.8. (2010山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． ⑴求()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；⑵若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是常数，e ＝2.71828⋅⋅⋅）使不等式2()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围； ⑶证明对一切(0,),x ∈+∞都有12ln xx e ex>-成立．9. （最值应用）设函数()2ln q f x px x x =--，且()2pf e qe e=--，其中e 是自然对数的底数. ⑴求p 与q 的关系；⑵若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； ⑶设2()eg x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得0()f x ＞0()g x 成立，求实数p 的取值范围.10. （2011湖南文，第2问难，单调性与极值，好题）设函数1()ln ().f x x a x a R x =--∈⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵若()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.11. （构造函数，好，较难）已知函数21()ln (1)(0)2f x x ax a x a R a =-+-∈≠，.⑴求函数()f x 的单调增区间；⑵记函数()F x 的图象为曲线C ，设点1122(,)(,)A x y B x y 、是曲线C 上两个不同点，如果曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”.试问：函数()f x 是否存在中值相依切线，请说明理由.12. (2011天津理19，综合应用)已知0a >，函数()2ln f x x ax =-，0x >．(()f x 的图象连续) ⑴求()f x 的单调区间；⑵若存在属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明：ln 3ln 2ln 253a -≤≤．13. （单调性，用到二阶导数的技巧）已知函数x x f ln )(= ⑴若)()()(R a xax f x F ∈+=，求)(x F 的极大值；⑵若kx x f x G -=2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围.已知函数()ln ,().x f x x g x e == ⑴若函数φ (x ) = f (x )－11x x ，求函数φ (x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切．二、交点与根的分布14. （2008四川22，交点个数与根的分布）已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． ⑴求a ；⑵求函数()f x 的单调区间；⑶若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围． 15. 已知函数()32f x x ax bx c =-+++在(),0-∞上是减函数，在()0,1上是增函数，函数()f x 在R 上有三个零点．（1）求b 的值；（2）若1是其中一个零点，求()2f 的取值范围；（3）若()()'213ln a g x f x x x ==++，，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x )相切？请说明理由.16. （交点个数与根的分布）已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ ⑴求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t⑵是否存在实数,m 使得()y f x =的图像与()y g x =的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

高考导数压轴题型归类总结

导数压轴题型归类总结目录一、导数单调性、极值、最值的直接应用（1）二、交点与根的分布（23）三、不等式证明（31）（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式（三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母X 围（51）（一）恒成立之最值的直接应用（二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母X 围五、函数与导数性质的综合运用（70）六、导数应用题（84）七、导数结合三角函数（85）书中常用结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1xx<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.一、导数单调性、极值、最值的直接应用1. （切线）设函数a x x f -=2)(.（1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得33±=x . )(x g '所以当33=x 时，)(x g 有最小值932)33(-=g .(2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='=曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12122x a x x +=，∴12111211222x x a x x a x x x -=-+=-∵a x >1，∴02121<-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x ax x a x x a x x =⋅>+=+=11111212222222 所以a x x >>21.2. （2009XX 理20，极值比较讨论）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力与分类讨论的思想方法。

高考导数题型及解题方法总结

高考压轴题：导数题型及解题方法一．切线问题题型1求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。

方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。

题型2过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。

方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。

注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。

例已知函数f（x）=x 3﹣3x．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、（提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。

将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。

（答案：m 的范围是()2,3--）题型3求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。

方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。

（)(,22x f x ）；建立21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x -='-，12212)()(y y x f x x -='-；求出21,x x ，进而求出切线方程。

解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。

（答案02=--e y x e ）二．单调性问题题型1求函数的单调区间。

求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。

分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；(3)在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4)在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。

高三导数压轴题题型归纳

导数压轴题题型1. 高考命题回顾例1已知函数fx ＝e x－lnx ＋m ．2013全国新课标Ⅱ卷1设x ＝0是fx 的极值点,求m,并讨论fx 的单调性； 2当m≤2时,证明fx>0.1解 fx ＝e x －ln x ＋mf ′x ＝e x －错误!f ′0＝e 0－错误!＝0m ＝1,定义域为{x |x >－1},f ′x ＝e x －错误!＝错误!,显然fx 在－1,0上单调递减,在0,＋∞上单调递增． 2证明 gx ＝e x －ln x ＋2,则g ′x ＝e x －错误!x >－2． hx ＝g ′x ＝e x －错误!x >－2h ′x ＝e x ＋错误!>0, 所以hx 是增函数,hx ＝0至多只有一个实数根,又g ′－错误!＝错误!－错误!<0,g ′0＝1－错误!>0, 所以hx ＝g ′x ＝0的唯一实根在区间错误!内,设g ′x ＝0的根为t ,则有g ′t ＝e t －错误!＝0错误!, 所以,e t ＝错误!t ＋2＝e －t ,当x ∈－2,t 时,g ′x <g ′t ＝0,gx 单调递减；当x ∈t ,＋∞时,g ′x >g ′t ＝0,gx 单调递增；所以gx min ＝gt ＝e t －ln t ＋2＝错误!＋t ＝错误!>0, 当m ≤2时,有ln x ＋m ≤ln x ＋2,所以fx ＝e x －ln x ＋m ≥e x －ln x ＋2＝gx ≥gx min >0.例2已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-2012全国新课标1求)(x f 的解析式及单调区间；2若b ax x x f ++≥221)(,求b a )1(+的最大值; 11211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+令1x =得：(0)1f =得：21()()()12x x f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增得：()f x 的解析式为21()2x f x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞221()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+①当10a +≤时,()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时,()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+得：当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-当x =,max ()2e F x =当1,a b ==,(1)a b +的最大值为2e 例3已知函数ln ()1a x bf x x x=++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=;2011全国新课标Ⅰ求a 、b 的值；Ⅱ如果当0x >,且1x ≠时,ln ()1x kf x x x>+-,求k 的取值范围; 解Ⅰ221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-, 且过点(1,1),故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =,1b =;Ⅱ由Ⅰ知ln 1f ()1x x x x =++,所以 22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--; 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >,则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=;i 设0k ≤,由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知,当1x ≠时,'()0h x <,hx 递减;而(1)0h = 故当(0,1)x ∈时, ()0h x >,可得21()01h x x >-；当x ∈1,+∞时,hx<0,可得211x - hx>0从而当x>0,且x ≠1时,fx-1ln -x x +x k >0,即fx>1ln -x x +xkii 设0<k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下,且244(1)0k ∆=-->,对称轴x=111k >-.当x ∈1,k -11时,k-1x 2 +1+2x>0,故'hx>0,而h1=0,故当x ∈1,k -11时,hx>0,可得211x -hx<0,与题设矛盾; iii 设k ≥1.此时212x x +≥,2(1)(1)20k x x -++>⇒'h x>0,而h1=0,故当x ∈1,+∞时,hx>0,可得211x - hx<0,与题设矛盾;综合得,k 的取值范围为-∞,0例4已知函数fx ＝x 3+3x 2+ax+be －x. 2009宁夏、海南1若a ＝b ＝－3,求fx 的单调区间;2若fx 在－∞,α,2,β单调增加,在α,2,β,+∞单调减少,证明β－α＞6. 解: 1当a ＝b ＝－3时,fx ＝x 3+3x 2－3x －3e －x ,故f′x＝－x 3+3x 2－3x －3e －x +3x 2+6x －3e－x＝－e －x x 3－9x ＝－xx －3x+3e －x.当x ＜－3或0＜x ＜3时,f′x＞0;当－3＜x ＜0或x ＞3时,f′x＜0. 从而fx 在－∞,－3,0,3单调增加,在－3,0,3,+∞单调减少. 2f′x＝－x 3+3x 2+ax+be －x +3x 2+6x+ae －x ＝－e －x x 3+a －6x+b －a. 由条件得f′2＝0,即23+2a －6+b －a ＝0,故b ＝4－a.从而f′x＝－e －x x 3+a －6x+4－2a.因为f′α＝f′β＝0,所以x 3+a －6x+4－2a ＝x －2x －αx－β＝x －2x 2－α+βx+αβ. 将右边展开,与左边比较系数,得α+β＝－2,αβ＝a －2. 故a 4124)(2-=-+=-αβαβαβ.又β－2α－2＜0,即αβ－2α+β+4＜0.由此可得a ＜－6. 于是β－α＞6. 2. 在解题中常用的有关结论※①构造函数,最值定位分类讨论,区间划分极值比较零点存在性定理应用二阶导转换例1切线设函数a x x f -=2)(.1当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；2当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：ax x >>21.例2最值问题,两边分求已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a ∈R . ⑴当12a ≤时,讨论()f x 的单调性； ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时,若对任意1(0,2)x ∈,存在[]21,2x ∈,使12()()f x g x ≥,求实数b 取值范围.②例3切线交点已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=．⑴求函数()f x 的解析式；⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤,求实数c 的最小值；⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线,求实数m 的取值范围．例4综合应用已知函数.23)32ln()(2x x x f -+=⑴求fx 在0,1上的极值；⑵若对任意0]3)(ln[|ln |],31,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立,求实数a 的取值范围；⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在0,1上恰有两个不同的实根,求实数b 的取值范围. ③例5 变形构造法已知函数1)(+=x ax ϕ,a 为正常数．⑴若)(ln )(x x x f ϕ+=,且a29=,求函数)(x f 的单调增区间；⑵在⑴中当0=a 时,函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ,()22,y x B ,线段AB 的中点为),(00y x C ,记直线AB 的斜率为k ,试证明：)(0x f k '>．⑶若)(ln )(x x x g ϕ+=,且对任意的(]2,0,21∈x x ,21x x ≠,都有1)()(1212-<--x x x g x g ,求a的取值范围．例6 高次处理证明不等式、取对数技巧已知函数)0)(ln()(2>=a ax x x f .1若2)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立,求实数a 的取值范围；2当1=a 时,设函数x x f x g )()(=,若1),1,1(,2121<+∈x x e x x ,求证42121)(x x x x +<例7绝对值处理已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值．I 求实数a 的取值范围；II 若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根,求)(x f 的解析式；III 对于II 中的函数)(x f ,对任意R ∈βα、,求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．例8等价变形已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．Ⅰ讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；Ⅱ若函数)(x f 在1=x 处取得极值,对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立,求实数b 的取值范围；Ⅲ当20e y x <<<且e x ≠时,试比较xyxy ln 1ln 1--与的大小．例9前后问联系法证明不等式已知217()ln ,()(0)22f x x g x x mx m ==++<,直线l 与函数(),()f x g x 的图像都相切,且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1;I 求直线l 的方程及m 的值；II 若()(1)'()()h x f x g x =+-其中g'(x)是g(x)的导函数,求函数()h x 的最大值; III 当0b a <<时,求证：()(2).2b af a b f a a -+-<例10 整体把握,贯穿全题已知函数ln ()1x f x x=-． 1试判断函数()f x 的单调性；2设0m >,求()f x 在[,2]m m 上的最大值；3试证明：对任意*n ∈N ,不等式11ln()e n n nn++<都成立其中e 是自然对数的底数．Ⅲ证明：2121111n n a a a n ++⋅⋅⋅+>+．例11数学归纳法已知函数()ln(1)f x x mx =++,当0x =时,函数()f x 取得极大值.１求实数m 的值；２已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在,且1a >-,则存在0(,)x a b ∈,使得0()()()f b f a f x b a-'=-.试用这个结论证明：若121x x -<<,函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-,则对任意12(,)x x x ∈,都有()()f x g x >；３已知正数12,,,n λλλ,满足121n λλλ+++=,求证：当2n ≥,n N ∈时,对任意大于1-,且互不相等的实数12,,,n x x x ,都有1122()n n f x x x λλλ+++>1122()()()n n f x f x f x λλλ+++. ④例12分离变量已知函数x a x x f ln )(2+=a 为实常数. 1若2-=a ,求证：函数)(x f 在1,+∞上是增函数；2求函数)(x f 在1,e 上的最小值及相应的x 值；3若存在],1[e x ∈,使得x a x f )2()(+≤成立,求实数a 的取值范围. 例13先猜后证技巧已知函数xx n x f )1(11)(++=Ⅰ求函数f x 的定义域Ⅱ确定函数f x 在定义域上的单调性,并证明你的结论. Ⅲ若x >0时1)(+>x kx f 恒成立,求正整数k 的最大值. 例14创新题型设函数fx=e x +sinx,gx=ax,Fx=fx －gx.Ⅰ若x=0是Fx 的极值点,求a 的值； Ⅱ当 a=1时,设Px 1,fx 1, Qx 2, gx2x 1>0,x 2>0, 且PQ )1,0(12)(2<≠++-=b a b ax ax x g []3,2()()g x f x x =b a ,02)2(≥⋅-xx k f ]1,1[-∈x k0)3|12|2(|)12(|=--+-x x k f k 2()()()xf x x a x b e =-+a b R ∈、x a =()f x 0a =b a123x x x ，，()f x b 4x R ∈1234x x x x ，，，1234,,,i i i i x x x x {}1234i i i i ，，，{}1234，，，b 4x ()ln f x x=21()2g x ax bx =+(0)a ≠1若2a =-, 函数()()()h x f x g x =- 在其定义域是增函数,求b 的取值范围;2在1的结论下,设函数ϕϕ2x x (x)=e +be ,x ∈[0,ln2],求函数(x)的最小值;3设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q,过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ,问是否存在点R,使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行若存在,求出R 的横坐标;若不存在,请说明理由. 例18全综合应用已知函数()1ln(02)2xf x x x=+<<-. 1是否存在点(,)M a b ,使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由;2定义2111221()()()()n n i i n S f f f f nn n n -=-==++⋅⋅⋅+∑,其中*n ∈N ,求2013S ;3在2的条件下,令12n n S a +=,若不等式2()1n a m n a ⋅>对*n ∀∈N 且2n ≥恒成立,求实数m 的取值范围.⑦导数与三角函数综合例19换元替代,消除三角设函数2()()f x x x a =--x ∈R ,其中a ∈R ． Ⅰ当1a =时,求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；Ⅱ当0a ≠时,求函数()f x 的极大值和极小值；Ⅲ当3a >, []10k ∈-，时,若不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立,求k 的值;⑧创新问题积累例20已知函数2()ln44x xf x x -=+-. I 、求()f x 的极值.II 、求证()f x 的图象是中心对称图形.III 、设()f x 的定义域为D ,是否存在[],a b D ⊆.当[],x a b ∈时,()f x 的取值范围是,44a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦若存在,求实数a 、b 的值；若不存在,说明理由导数压轴题题型归纳参考答案例1解：11=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得33±=x .)(x g '2证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='=曲线)(x f y =在点P处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--.令0=y ,得12122x a x x +=,∴12111211222x x a x x a x x x -=-+=-∵a x >1,∴02121<-x x a ,即12x x <.又∵1122x ax ≠,∴ax a x x a x x a x x =⋅>+=+=11111212222222所以a x x >>21.例2⑴1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->,222l 11()(0)a ax x a f x a x x x x --++-'=-+=> 令2()1(0)h x ax x a x =-+->①当0a =时,()1(0)h x x x =-+>,当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>,函数()f x 单调递增.②当0a ≠时,由()0f x '=,即210ax x a -+-=,解得1211,1x x a==-.当12a =时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤,函数()f x 单调递减；当102a <<时,1110a ->>,(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><,函数()f x 单调递减；1(1,1)x a ∈-时,()0,()0h x f x '<>,函数()f x 单调递增；1(1,)x a∈-+∞时,()0,()0h x f x '><,函数()f x 单调递减.当0a <时110a-<,当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>,函数()f x 单调递增.综上所述：当0a ≤时,函数()f x 在(0,1)单调递减,(1,)+∞单调递增；当12a =时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤,函数()f x 在(0,)+∞单调递减；当102a <<时,函数()f x 在(0,1)递减,1(1,1)a -递增,1(1,)a -+∞递减.⑵当14a =时,()f x 在0,1上是减函数,在1,2上是增函数,所以对任意1(0,2)x ∈,有11()(1)2f x f =-≥, 又已知存在[]21,2x ∈,使12()()f xg x ≥,所以21()2g x -≥,[]21,2x ∈,※又22()()4,[1,2]g x x b b x =-+-∈当1b <时,min ()(1)520g x g b ==->与※矛盾；当[]1,2b ∈时,2min ()(1)40g x g b ==-≥也与※矛盾；当2b >时,min 117()(2)84,28g x g b b ==-≤-≥.综上,实数b 的取值范围是17[,)8+∞. 例3解：⑴()2323f x ax bx '=+-．根据题意,得()()12,10,f f =-⎧⎪⎨'=⎪⎩即32,3230,a b a b +-=-⎧⎨+-=⎩解得10a b =⎧⎨=⎩ 所以()33f x x x =-．⑵令()0f x '=,即2330x -=．得1x =±．12f -=12f =-2,2x ∈-max 2f x =min 2f x =-则对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x ,都有()()()()12max min 4f x f x f x f x -≤-=,所以4c ≥．所以c 的最小值为4．⑶因为点()()2,2M m m ≠不在曲线()y f x =上,所以可设切点为()00,x y ．则30003y x x =-．因为()20033f x x '=-,所以切线的斜率为2033x -．则2033x -=300032x x m x ---,即3202660x x m -++=．因为过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线,所以方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解．所以函数()32266g x x x m =-++有三个不同的零点．则()2612g x x x '=-．令0g x '=,则0x =或2x =． ()()0022g g >⎧⎪⎨<⎪⎩6020m m +>⎧⎨-+<⎩62m -<<例4解：⑴23)13)(1(33323)(+-+-=-+='x x x x x x f , 令1310)(-==='x x x f 或得舍去)(,0)(,310x f x f x >'<≤∴时当单调递增；当)(,0)(,131x f x f x <'≤<时递减.]1,0[)(613ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值.⑵由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得x x a x x a 323ln ln 323lnln ++<+->或设332ln 323ln ln )(2x x x x x h +=+-=,x x x x x g 323ln 323ln ln )(+=++=, 依题意知]31,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立,0)32(2)32(33)32(3332)(2>+=+⋅-+⋅+='x x x x x x x x g ,03262)62(31323)(22>++=+⋅+='xx xx x x x h , ]31,61[)()(都在与x h x g ∴上单增,要使不等式①成立,当且仅当.51ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或⑶由.0223)32ln(2)(2=-+-+⇒+-=b x x x b x x f 令xx x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(22+-=+-+='-+-+=ϕϕ则,当]37,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ϕϕ>'∈上递增；]1,37[)(,0)(,]1,37[在于是时x x x ϕϕ<'∈上递减,而)1()37(),0()37(ϕϕϕϕ>>,]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ϕ恰有两个不同实根等价于例5解：⑴222)1(1)2()1(1)(++-+=+-='x x x a x x a x x f∵a 29=,令0)(>'x f 得2>x 或210<<x ,∴函数)(x f 的单调增区间为),2(),21,0(+∞.⑵证明：当0=a 时x x f ln )(=∴x x f 1)(=', ∴210021)(x x x x f +==',又121212121212ln ln ln )()(x x x x x x x x x x x f x f k -=--=--=不妨设12x x > , 要比较k 与)(0x f '的大小,即比较1212ln x x x x -与212x x +的大小, 又∵12x x >,∴ 即比较12ln x x 与1)1(2)(212122112+-=+-x x x xx x x x 的大小．令)1(1)1(2ln )(≥+--=x x x x x h ,则0)1()1()1(41)(222≥+-=+-='x x x x x x h , ∴)(x h 在[)+∞,1上位增函数．又112>x x ,∴0)1()(12=>h x x h , ∴1)1(2ln 121212+->x x x x x x ,即)(0x f k '>⑶∵ 1)()(1212-<--xx x g x g ,∴ []0)()(121122<-+-+x x x x g x x g 由题意得x x g x F +=)()(在区间(]2,0上是减函数．︒1 当x x a x x F x +++=≤≤1ln )(,21, ∴ 1)1(1)(2++-='x a x x F 由313)1()1(0)(222+++=+++≥⇒≤'x x x x x x a x F 在[]2,1∈x 恒成立．设=)(x m 3132+++x x x ,[]2,1∈x ,则0312)(2>+-='xx x m∴)(x m 在[]2,1上为增函数,∴227)2(=≥m a .︒2 当x x a x x F x +++-=<<1ln )(,10,∴ 1)1(1)(2++--='x a x x F 由11)1()1(0)(222--+=+++-≥⇒≤'x x x x x x a x F 在)1,0(∈x 恒成立设=)(x t 112--+xx x ,)1,0(∈x 为增函数,∴0)1(=≥t a综上：a 的取值范围为227≥a .例6解：1x ax x x f +=)ln(2)(',2)ln(2)('x x ax x x f ≤+=,即x ax ≤+1ln 2在0>x 上恒成立设x ax x u -+=1ln 2)(,2,012)('==-=x xx u ,2>x 时,单调减,2<x 单调增, 所以2=x 时,)(x u 有最大值.212ln 2,0)2(≤+≤a u ,所以20e a ≤<. 2当1=a 时,x x x x f x g ln )()(==, e x x x g 1,0ln 1)(==+=,所以在),1(+∞e 上)(x g 是增函数,)1,0(e上是减函数.因为11211<+<<x x x e,所以111212121ln )()ln()()(x x x g x x x x x x g =>++=+即)ln(ln 211211x x x x x x ++<,同理)ln(ln 212212x x x x x x ++<.所以)ln()2()ln()(ln ln 2112212112122121x x x xx x x x x x x x x x x x +++=++++<+ 又因为,421221≥++x x x x 当且仅当“21x x =”时,取等号. 又1),1,1(,2121<+∈x x ex x ,0)ln(21<+x x ,所以)ln(4)ln()2(21211221x x x x x x x x +≤+++,所以)ln(4ln ln 2121x x x x +<+,所以：42121)(x x x x +<.例7I ,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f由33210)(+-==⇒='a x x x f 或,因为当1=x 时取得极大值, 所以31332-<⇒>+-a a ,所以)3,(:--∞的取值范围是a ；依题意得：9)32()32(2762+-=++a a a ,解得：9-=a 所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-=III 对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα在区间-2,2有： 230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f 函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81, 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．例8解：Ⅰxax xa x f 11)(-=-=',当0≤a 时,()0f x '<在),0(+∞上恒成立,函数)(x f 在),0(+∞ 单调递减,∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；当0>a 时,()0f x '<得10x a <<,()0f x '>得1x a>, ∴)(x f 在(10,)a上递减,在(1),a+∞上递增,即)(x f 在ax 1=处有极小值． ∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点,当0>a 时,)(x f 在),0(+∞上有一个极值点．Ⅱ∵函数)(x f 在1=x 处取得极值,∴1=a ,∴b xx xbx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(,令xx xx g ln 11)(-+=,可得)(x g 在(]2,0e 上递减,在[)+∞,2e 上递增,∴22min 11)()(e e g x g -==,即211b e ≤-． Ⅲ证明：)1ln()1ln()1ln()1ln(+>+⇔++>-y e x e y x ey x yx , 令)1ln()(+=x e x g x,则只要证明)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增,又∵)1(ln 11)1ln()(2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+='x x x e x g x ,显然函数11)1ln()(+-+=x x x h 在),1(+∞-e 上单调递增． ∴011)(>->ex h ,即0)(>'x g ,∴)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增,即)1ln()1ln(+>+y e x e yx ,∴当1->>e y x 时,有)1ln()1ln(++>-y x e y x ．例9 解：I 1'(),'(1)1;Qf x f x=∴=l ∴直线的斜率为1,且与函数()f x 的图像的切点坐标为1,0,l ∴直线的方程为 1.y x =-又l 直线与函数()y g x =的图象相切,211722y x y x mx =-⎧⎪∴⎨=++⎪⎩方程组有一解;由上述方程消去y,并整理得22(1)90x m x +-+=①依题意,方程②有两个相等的实数根,2[2(1)]490m ∴∆=--⨯=解之, 得m=4或m=-2,0, 2.Qm m <∴=- II 由I 可知217()2,22g x x x =-+ '()2,()ln(1)2(1)g x x h x x x x ∴=-∴=+-+>-,1'()1.11xh x x x -∴=-=++ ∴∈当x (-1,0)时,h'(x)>0,h(x)单调,当(0,)x ∈+∞时,'()0,()h x h x <单减; ∴当x=0时,()h x 取最大值,其最大值为2;III()(2)ln()ln 2ln ln(1).22a b b af a b f a a b a a a +-+-=+-==+ 证明,当(1,0)x ∈-时,ln(1),ln(1).22b a b ax x a a--+<∴+< 例10解：1函数()f x 的定义域是(0,)+∞．由已知21ln ()xf x x -'=．令()0f x '=,得x e =．因为当0x e <<时,()0f x '>；当x e >时,()0f x '<．所以函数()f x 在(0,]e 上单调递增,在[,)e +∞上单调递减． 2由1可知当2m e≤,即2e m ≤时,()f x 在[,2]m m 上单调递增,所以max ln 2()(2)12mf x f m m==-．当m e ≥时,()f x 在[,2]m m 上单调递减,所以max ln ()1mf x m=-．当2m e m <<,即2e m e <<时,max 1()()1f x f e e==-．综上所述,max ln 21,0221()1,2ln 1,me m m ef x m eemm e m⎧-<≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩3由1知当(0,)x ∈+∞时max 1()()1f x f e e ==-．所以在(0,)x ∈+∞时恒有ln 1()11x f x x e=-≤-,即ln 1x x e ≤,当且仅当x e =时等号成立．因此对任意(0,)x ∈+∞恒有1ln x e ≤．因为10n n +>,1n e n+≠,所以111lnn nn e n ++<⋅,即11ln()e n n n n ++<．因此对任意*n ∈N ,不等式11ln()e n n n n++<．例11解：１当(1,0)x ∈-时,()0f x '>,函数()f x 在区间(1,0)-上单调递增；当(0,)x ∈+∞时,()0f x '<,函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减.∴函数()f x 在0x =处取得极大值,故1m =-. ２令121112()()()()()()()()f x f x h x f x g x f x x x f x x x -=-=----,则1212()()()()f x f x h x f x x x -''=--.函数()f x 在12(,)x x x ∈上可导,∴存在012(,)x x x ∈,使得12012()()()f x f x f x x x -'=-.1()11f x x '=-+,000011()()()11(1)(1)x x h x f x f x x x x x -'''∴=-=-=++++ 当10(,)x x x ∈时,()0h x '>,()h x 单调递增,1()()0h x h x ∴>=；当02(,)x x x ∈时,()0h x '<,()h x 单调递减,2()()0h x h x ∴>=；故对任意12(,)x x x ∈,都有()()f x g x >. ３用数学归纳法证明.①当2n =时,121λλ+=,且10λ>,20λ>, 112212(,)x x x x λλ∴+∈,∴由Ⅱ得()()f x g x >,即121122112211112212()()()()()()()f x f x f x x x x x f x f x f x x x λλλλλλ-+>+-+=+-,∴当2n =时,结论成立.②假设当(2)n k k =≥时结论成立,即当121k λλλ+++=时,11221122()()()()k k k k f x x x f x f x f x λλλλλλ+++>+++. 当1n k =+时,设正数121,,,k λλλ+满足1211k λλλ++++=,令12km λλλ=+++,1212,,,k k m m mλλλμμμ===, 则11k n m λ++=,且121k μμμ+++=.∴当1n k =+时,结论也成立.综上由①②,对任意2n ≥,n N ∈,结论恒成立.例12 解：⑴当2-=a 时,x x x f ln 2)(2-=,当),1(+∞∈x ,0)1(2)(2>-='xx x f , 故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．⑵)0(2)(2>+='x xax x f ,当],1[e x ∈,]2,2[222e a a a x ++∈+．若2-≥a ,)(x f '在],1[e 上非负仅当2-=a ,x=1时,0)(='x f ,故函数)(x f 在],1[e 上是增函数,此时=min )]([x f 1)1(=f ．若222-<<-a e ,当2a x -=时,0)(='x f ；当21ax -<≤时,0)(<'x f ,此时)(x f 是减函数；当e x a≤<-2时,0)(>'x f ,此时)(x f 是增函数．故=min )]([x f )2(af -2)2ln(2a a a --=．若22e a -≤,)(x f '在],1[e 上非正仅当2e 2-=a ,x=e 时,0)(='x f ,故函数)(x f 在],1[e 上是减函数,此时==)()]([min e f x f 2e a +．⑶不等式x a x f )2()(+≤,可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取,所以x x <ln ,即0ln >-x x ,因而xx x x a ln 22--≥],1[e x ∈令xx x x x g ln 2)(2--=],1[e x ∈,又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-=',当],1[e x ∈时,1ln ,01≤≥-x x ,0ln 22>-+x x ,从而0)(≥'x g 仅当x=1时取等号,所以)(x g 在],1[e 上为增函数,故)(x g 的最小值为1)1(-=g ,所以a 的取值范围是),1[+∞-．例13 解：1定义域),0()0,1(+∞⋃-2,0)]1ln(11[1)(2时当>+++-='x x x x x f 0)(<'x f 单调递减; 当)0,1(-∈x ,令)1(11)1(1)()1ln(11)(22<+=+++-='+++=x xx x x g x x x g ,0)1(11)1(1)()1ln(11)(22<+=+++-='+++=x x x x x g x x x g 故)(x g 在－1,0上是减函数,即01)0()(>=>g x g ,故此时)]1ln(11[1)(2+++-='x x x x f 在－1,0和0,+∞上都是减函数 3当x >0时,1)(+>x kx f 恒成立,令]2ln 1[21+<=k x 有又k 为正整数,∴k 的最大值不大于3下面证明当k=3时,)0( 1)(>+>x x kx f 恒成立当x >0时 021)1ln()1(>-+++x x x 恒成立令x x x x g 21)1ln()1()(-+++=,则时当1 ,1)1ln()(->-+='e x x x g时当1 ,1)1ln()(->-+='e x x x g ,0)(>'x g ,当0)( ,10<'-<<x g e x 时 ∴当)( ,1x g e x 时-=取得最小值03)1(>-=-e e g当x >0时, 021)1ln()1(>-+++x x x 恒成立,因此正整数k 的最大值为3 例14解：ⅠFx = e x +sinx －ax,'()cos x F x e x a =+-. 因为x =0是Fx 的极值点,所以'(0)110,2F a a =+-==.又当a =2时,若x <0, '()cos 0x F x e x a =+-<;若 x >0, '()cos 0x F x e x a =+->. ∴x =0是Fx 的极小值点, ∴a=2符合题意.Ⅱ ∵a =1, 且PQ 121sin x x e x =+12111sin x x x e x x -=+-令()sin ,'()cos 10x x h x e x x h x e x =+-=+->当x >0时恒成立. ∴x ∈0,+∞)时,hx 的最小值为h 0=1.∴|PQ|mi n =1. Ⅲ令()()()2sin 2.x x x F x F x e e x ax ϕ-=--=-+-则'()2cos 2.x x x e e x a ϕ-=++-()''()2sin x x S x x e e x ϕ-==--. 因为'()2cos 0x x S x e e x -=+-≥当x ≥0时恒成立, 所以函数Sx 在[0,)+∞上单调递增, ∴Sx ≥S 0=0当x ∈0,+∞)时恒成立;因此函数'()x ϕ在[0,)+∞上单调递增, '()'(0)42x a ϕϕ≥=-当x ∈0,+∞)时恒成立. 当a ≤2时,'()0x ϕ≥,()x ϕ在0,+∞)单调递增,即()(0)0x ϕϕ≥=. 故a ≤2时Fx ≥F－x 恒成立.例15 解:Ⅰ12()(1)1g x a x b a =-++- 当0>a 时,[]()2,3g x 在上为增函数故(3)296251(2)544220g a a b a g a a b b =-++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨=-++==⎩⎩⎩当[]0()2,3a g x <时，在上为减函数故(3)296221(2)244253g a a b a g a a b b =-++==-⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨=-++==⎩⎩⎩011==∴<b a b 即2()21g x x x =-+. ()12f x x x=+-.Ⅱ方程(2)20x x f k -⋅≥化为12222xxxk +-≥⋅ 2111()222x x k +-≥,令t x =21,221k t t ≤-+ ∵]1,1[-∈x ∴]2,21[∈t 记12)(2+-=t t t ϕ∴min ()0t ϕ= ∴0k ≤Ⅲ方程0)3|12|2(|)12(|=--+-xxk f 化为0)32(|12|21|12|=+--++-k k x x 0)21(|12|)32(|12|2=++-+--k k x x ,0|12|x ≠-令t x =-|12|, 则方程化为0)21()32(2=+++-k t k t 0t ≠∵方程0)32(|12|21|12|=+--++-k k xx有三个不同的实数解, ∴由|12|-=x t 的图像知,0)21()32(2=+++-k t k t 有两个根1t 、2t , 且21t 1t 0<<< 或 101<<t ,1t 2= 记)21()32()(2k t k t t +++-=ϕ则⎩⎨⎧<-=>+=0k )1(0k 21)0(ϕϕ 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<=-=>+=12k3200k )1(0k 21)0(ϕϕ∴0k >例16 解： Ⅰ0a =时,()()2xf x x x b e =+,()()()()()22232x x x f x x x b e x x b e e x x b x b '''⎡⎤⎡⎤∴=+++=+++⎣⎦⎣⎦, 令()()232g x x b x b =+++,()()2238180b b b ∆=+-=-+>,∴设12x x <是()0g x =的两个根,1当10x =或20x =时,则0x =不是极值点,不合题意；2当10x ≠且20x ≠时,由于0x =是()f x 的极大值点,故120x x .<< ()00g ∴<,即20b <,0b .∴<Ⅱ解：()()xf x e x a '=-2(3)2x a b x b ab a ⎡⎤+-++--⎣⎦,令2()(3)2g x x a b x b ab a =+-++--,22=(3)4(2)(1)80a b b ab a a b ∆-+---=+-+>则,于是,假设12x x ，是()0g x =的两个实根,且12x x .<由Ⅰ可知,必有12x a x <<,且12x a x 、、是()f x 的三个极值点, 则1x =2x =假设存在b 及4x 满足题意,1当12x a x ，，等差时,即21x a a x -=-时,则422x x a =-或412x x a =-, 于是1223a x x a b =+=--,即3b a .=--此时4223x x a a b=-=--+a a -=+ 或4123x x a ab =-=--a a =-2当21x a a x -≠-时,则212()x a a x -=-或12()2()a x x a -=- ①若()122x a a x -=-,则224x a x +=, 于是()()2813323221+-+---=+=b a b a x x a ,即()().33812++-=+-+b a b a 两边平方得()()2191170a b a b +-++-+=,30a b ++<，于是1a b +-=,此时2b a =--此时224x a x +==()().231343332++=--=++---+a b b a b a a②若12()2()a x x a -=-,则214x a x +=,于是2132a x x =+=,()33a b .=++两边平方得()()2191170a b a b +-++-+=,30a b ++>，于是1a b +-=,此时b a =--此时142(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++===--=+综上所述,存在b 满足题意, 当b=－a－3时,4x a =±b a =-,4x a=+, b a =--时,4x a =+. 例17解:1依题意:.ln )(2bx x x x h -+=()h x 在0,+∞上是增函数,1()20h x x b x'∴=+-≥对x∈0,+∞恒成立,2设].2,1[,,2∈+==t bt t y e t x 则函数化为当t=1时,y m i n =b+1; 当t=2时,y mi n =4+2b当)(,4x b ϕ时-≤的最小值为.24b +3设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且则点M 、N 的横坐标为.221x x x +=C 1在点M 处的切线斜率为.2|1212121x x x k x x x +==+= C 2在点N 处的切线斜率为.2)(|212221b x x a b ax k x x x ++=+=+= 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行,则.21k k =2221121121x 2(1)x 2(x x )x ln .x x x x 1x --∴==++ 设,1,1)1(2ln ,112>+-=>=u u u u x x u 则 ① 这与①矛盾,假设不成立.故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行例18 1假设存在点(,)M a b ,使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上,则函数()y f x =图像的对称中心为(,)M a b .由()(2)2f x f a x b +-=,得21ln1ln 2222x a x b x a x-+++=--+, 即22222ln 0244x axb x ax a -+-+=-++-对(0,2)x ∀∈恒成立,所以220,440,b a -=⎧⎨-=⎩解得1,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以存在点(1,1)M ,使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上. 2由1得()(2)2(02)f x f x x +-=<<.令i x n=,则()(2)2i i f f nn+-=(1,2,,21)i n =⋅⋅⋅-.因为1221()()(2)(2)n S f f f f n n nn=++⋅⋅⋅+-+-①,所以1221(2)(2)()()n S f f f f n n n n=-+-+⋅⋅⋅++②,由①+②得22(21)n S n =-,所以*21()n S n n =-∈N .所以20132201314025S =⨯-=.3由2得*21()n S n n =-∈N ,所以*1()2n n S a n n +==∈N . 因为当*n ∈N 且2n ≥时,2()121ln ln 2n a m n m n n ma n n ⋅>⇔⋅>⇔>-. 所以当*n ∈N 且2n ≥时,不等式ln ln 2n m n >-恒成立minln ln 2n m n ⎛⎫⇔>- ⎪⎝⎭. 设()(0)ln xg x x x=>,则2ln 1()(ln )x g x x -'=. 当0x e <<时,()0g x '<,()g x 在(0,)e 上单调递减; 当x e >时,()0g x '>,()g x 在(,)e +∞上单调递增.因为23ln 9ln8(2)(3)0ln 2ln 3ln 2ln 3g g --=-=>⋅,所以(2)(3)g g >,所以当*n ∈N 且2n ≥时,[]min 3()(3)ln 3g n g ==. 由[]min ()ln 2m g n >-,得3ln 3ln 2m >-,解得3ln 2ln 3m >-. 所以实数m 的取值范围是3ln 2(,)ln 3-+∞.例19 解：当1a =时,232()(1)2f x x x x x x =--=-+-,得(2)2f =-,且2()341f x x x '=-+-,(2)5f '=-．所以,曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--,整理得580x y +-=．Ⅱ解：2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．令()0f x '=,解得3ax =或x a =．由于0a ≠,以下分两种情况讨论．1若0a >,当x ()f x '因此,函数()f x 在3ax =处取得极小值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭,且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ,且()0f a =． 2若0a <,当x 变化时,()f x '的正负如下表：因此,函数()f x 在函数()f x 在3ax =处取得极大值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭,且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．Ⅲ证明：由3a >,得13a>,当[]10k ∈-，时,cos 1k x -≤,22cos 1k x -≤．由Ⅱ知,()f x 在(]1-∞，上是减函数,要使22(cos )(cos )f k x f k x --≥,x ∈R 只要22cos cos ()k x k x x --∈R ≤,即22cos cos ()x x k k x --∈R ≤①设2211()cos cos cos 24g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭,则函数()g x 在R 上的最大值为2．要使①式恒成立,必须22k k -≥,即2k ≥或1k -≤．所以,在区间[]10-，上存在1k =-,使得22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．例20 I /(6)()4(2)(4)x x f x x x -=-- ./(2)注意到204x x ->-,得(,2)(4,)x ∈-∞⋃+∞,解(6)0x x -=得6x =或0x =.当x 变化时,/(),()f x f x 的变化情况如下表：所以(0)ln 2f =是()f x 的一个极大值,(6)ln 22f =+ 是()f x 的一个极大值../(4) II 点()0,(0),(6,(6))f f 的中点是3(3,)4,所以()f x 的图象的对称中心只可能是3(3,)4./(6) 设(,())P x f x 为()f x 的图象上一点,P 关于3(3,)4的对称点是3(6,())2Q x f x --.463(6)ln ()242x x f x f x x ---=+=--.Q ∴也在()f x 的图象上, 因而()f x 的图象是中心对称图形. /(8)III 假设存在实数a 、b .[],a b D ⊆,2b ∴<或4a >.若02b ≤<, 当[],x a b ∈时, 1()(0)ln 02f x f ≤=<,而04b ≥()4b f x ∴≠.故此时()f x 的取值范围是不可能是,44a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. /(10) 若46a <≤,当[],x a b ∈时, 33()(6)ln 222f x f ≥=+>,而342a ≤()4a f x ∴≠.故此时()f x 的取值范围是不可能是,44a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦./(12) 若06a b a b <<<<或,由()g x 的单调递增区间是()(),0,6,-∞+∞,知,a b 是()4x f x =的两个解.而2()ln 044x x f x x --==-无解. 故此时()f x 的取值范围是不可能是,44a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. /(14) 综上所述,假设错误,满足条件的实数a 、b 不存在.。

高考数学导数压轴题7大题型汇总

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高考数学导数压轴题7大题型的总结

(完整版)高三导数压轴题题型归纳

高考导数压轴题型归类总结

高考导数压轴题型归类总结

高考导数题型及解题方法总结

高三导数压轴题题型归纳

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