2020年高考数学全国1卷导数压轴题《极值点偏移问题》
2020全国1卷数学压轴题剖析
2020全国1卷关键试题分析全国Ⅰ卷适用地区：广东、河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、安徽、福建【解析】因为PM AB ⊥，所以1222PAM PM AB S PA ∆====，最小值即为M 到直线的距离，此时PM l ⊥，易得(1,0)P -，由切点弦结论选D.【解析】222222log 2log 2log 2a b b a b b +=+<+，由2()2log x f x x =+单增知2a b <，【点评】此题改编于2012浙江卷。
追溯：（2012浙江）设a ＞0，b ＞0．下列正确的是A ．若2223a b a b +=+，则a b>B ．若2223a b a b +=+，则a b <C ．若2223a b a b -=-，则a b >D ．若2223a b a b -=-，则a b<这属于独立多变量中构造相同结构类型。
参考《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》。
【解析】还原三棱锥，根据同一个半平面内位置关系和长度一样，可得各边长，用余弦定理可得14-。
616（文科）数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，则1____a =，【解析】①当偶数时，231n n a a n ++=-，则246810121416()()()()517294192a a a a a a a a +++++++=+++=，②当21,1,2,,8n k k =-= 时，212164k k a a k +--=-，所以2121212123311()()()k k k k k a a a a a a a a ++---=-+-++-+ 26(12)43k k k k =+++-=- ，即22113k a k k a +=-+。
从而222131513(127)(127)8a a a a +++=+++-++++ 17(71)(271)3288540926a ⨯+⨯⨯+=⨯-+=-，即17a =。
2020高考数学《导数压轴题》
2020高考数学《导数压轴题》1.已知函数 $f(x)=e^x(1+aln x)$，设 $f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数。
1) 设 $g(x)=e^xf(x)+x^2-x$ 在区间 $[1,2]$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；2) 若 $a>2$ 时，函数 $f(x)$ 的零点为 $x$，函数$f'(x)$ 的极小值点为 $x_1$，求证：$x>x_1$。
2.设函数 $f(x)=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$，$x\in R$。
1) 求证：当 $x\ge 1$ 时，$f(x)\ge 2$ 恒成立；2) 讨论关于 $x$ 的方程 $f(x)=k$ 的根的个数。
3.已知函数 $f(x)=-x^2+ax+a-e^{-x}+1$，$a\in R$。
1) 当 $a=1$ 时，判断 $g(x)=e^xf(x)$ 的单调性；2) 若函数 $f(x)$ 无零点，求 $a$ 的取值范围。
4.已知函数 $f(x)=\frac{ax+b}{x-1}$，$x\in R$。
1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间；2) 若存在 $f(f(x))=x$，求整数 $a$ 的最小值。
5.已知函数 $f(x)=e^{-ln x+ax}$，$a\in R$。
1) 当 $a=-e+1$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；2) 当 $a\ge -1$ 时，求证：$f(x)>0$。
6.已知函数 $f(x)=e^x-x^2-ax-1$。
1) 若函数 $f(x)$ 在定义域内单调递增，求实数 $a$ 的范围；2) 设函数 $g(x)=xf(x)-e^x+x^3+x$，若 $g(x)$ 至多有一个极值点，求 $a$ 的取值集合。
7.已知函数 $f(x)=x-1-ln x-a(x-1)^2$，$a\in R$。
1) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性；2) 若对 $\forall x\in (0,+\infty)$，$f(x)\ge 0$，求实数$a$ 的取值范围。
专题1.2 极值点偏移问题利器——极值点偏移判定定理-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)(解析版
一、极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；学科#网（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=； （3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+. （1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.（2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221xx +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2('21<+x x f .学科*网 【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或0)2('21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.三、新题展示【2019湖南郴州二中月考】已知函数，，．(1)若，，求函数的单调区间；(2)设．(i)若函数有极值，求实数的取值范围； (ii)若()，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析(2)(i) =，定义域为(0，+∞)，，①当时，，函数在(0，+∞)上为单调递增函数，不存在极值．②当时，令，得，，所以，易证在上为增函数，在上为减函数，所以当时，取得极大值．所以若函数有极值，实数的取值范围是．因为，，所以在上为减函数，，所以在上为增函数，所以，即，故成立．【2019江西赣州十四县（市)期中联考】已知函数(为常数)，曲线在与轴的交点A处的切线与轴平行．(1)求的值及函数的单调区间；(2)若存在不相等的实数使成立，试比较与的大小．【答案】（1）a=2,在区间(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．（2）x1＋x2＜2ln 2(2)证明：设x＞ln 2，所以2ln 2－x＜ln 2，(2ln 2－x)＝e(2ln 2－x)－2(2ln 2－x)－1＝＋2x－4ln 2－1．令g(x)＝(x)－(2ln 2－x)＝e x－－4x＋4ln 2(x≥ln 2)，所以g′(x)＝e x＋4e－x－4≥0，当且仅当x＝ln 2时，等号成立，学科&网所以g(x)＝(x)－(2ln 2－x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．又g(ln 2)＝0，所以当x＞ln 2时，g(x)＝(x)－(2ln 2－x)＞g(ln 2)＝0，即(x)＞(2ln 2－x)，不妨设x1＜ln 2＜x2，所以(x2)＞(2ln 2－x2)，又因为(x1)＝(x2)，所以(x1)＞(2ln 2－x2)，由于x2＞ln 2，所以2ln 2－x2＜ln 2，因为x1＜ln 2，由(1)知函数y＝(x)在区间(－∞，ln 2)上单调递减，所以x1＜2ln 2－x2，即x1＋x2＜2ln 2．学科#网四、对点详析，利器显锋芒 ★已知函数)()(R x xe x f x ∈=-. (1)求函数)(x f 的单调区间和极值；(2)若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：221>+x x .∵12>x ，∴122<-x ，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，∴212x x ->，∴221>+x x . ★函数3434)(x x x f -=与直线)31(->=a a y 交于),(1a x A 、),(2a x B 两点. 证明：221<+x x .★已知函数2()ln f x x x=+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x . 【解析】由函数2()ln f x x x=+单调性可知：若)()(21x f x f =，则必有212x x <<，。
专题1.8 极值点偏移第六招——极值点偏移终极套路-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)(解析版)
值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法. ★已知()21ln 2f x x x mx x =--，m ∈R ．若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：212e x x >（e 为自然对数的底数）．解法一：齐次构造通解偏移套路于是()()222121111222111lnln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭+==--．又120x x <<，设21x t x =，则1t >．因此，()121ln ln ln 1t t x x t ++=-，1t >． 要证12ln ln 2x x +>，即证：()1ln 21t t t +>-，1t >．即：当1t >时，有()21ln 1t t t ->+．设函数()()21ln 1t h t t t -=-+，1t ≥，则()()()()()()222212111011t t t h t t t t t +---'=-=≥++， 所以，()h t 为()1.+∞上的增函数．注意到，()10h =，因此，()()10h t h ≥=．学&科网于是，当1t >时，有()21ln 1t t t ->+．所以，有12ln ln 2x x +>成立，212e x x >．学&科网解法二 变换函数能妙解证法2：欲证212e x x >，需证12ln ln 2x x +>．若()f x 有两个极值点1x ，2x ，即函数()f x '有两个零点．又()ln f x x mx '=-，所以，1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不同实根．显然0m >，否则，函数()f x '为单调函数，不符合题意． 由()11121222ln 0ln ln ln 0x mx x x m x x x mx -=⎧⇒+=+⎨-=⎩，解法三 构造函数现实力证法3：由1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不同实根得ln x m x =，令()ln xg x x=，()()12g x g x =，由于()21ln xg x x-'=，因此，()g x 在()1,e ↑，()e,+∞↓．设121e x x <<<，需证明212e x x >，只需证明()212e 0,e x x >∈，只需证明()212e f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()222e f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()222e 0f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭．来源： 微信公众号 中学数学研讨部落 即()()()()2e 1,e h x f x f x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()()()22221ln e 0e x x h x x --'=>，故()h x 在()1,e ↑，故()()e 0h x h <=，即()2e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭．令1x x =，则()()2211e f x f x f x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，因为2x ，()21e e,x ∈+∞，()f x 在()e,+∞↓，所以221e x x >，即212e x x >．学&科网解法四 巧引变量（一）证法4：设()11ln 0,1t x =∈，()22ln 1,t x =∈+∞，则由1122ln 0ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩得11221122e e ett t t t t m t m t -⎧=⇒=⎨=⎩，设120k t t =-<，则1e e 1k kk t =-，2e 1k kt =-．欲证212e x x >，解法五 巧引变量（二）证法5：设()11ln 0,1t x =∈，()22ln 1,t x =∈+∞，则由1122ln 0ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩得11221122e e ett t t t t m t m t -⎧=⇒=⎨=⎩，设()120,1t k t =∈，则1ln 1k k t k =-，2ln 1kt k =-． 欲证212e x x >，需证12ln ln 2x x +>， 即只需证明122t t +>，即()()()1ln 21212ln ln 0111k k k k k k k k k +-->⇔<⇔-<-++，设()()()()21ln 0,11k g k k k k -=-⇔+，()()()22101k g k k k -'=>+， 故()g k 在()0,1↑，因此()()10g k g <=，命题得证．学&科网★已知函数2()(2)ln f x x a x a x =---，若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12()02x x f +'>.欲证：12()0()22x x af f +''>=，结合()f x '的单调性， 即证：1222x x a +>等价于证明：22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +--+>+--11122121222222ln 1x x x x x x x x x x --⇔<=++令12,(01)x t t x =<<，构造函数22()ln ,(01)1t g t t t t -=-<<+， 求导由单调性易得原不等式成立，略. 法二：接①后续解:由①得：11212122()()(2)()ln0x x x x x a x x a x +-----=构造函数2(1)()ln ,(01)1t m t t t t -=-<<+， 求导由单调性易得()0m t <在(0,1)t ∈恒成立，又因为120,0a x x >-<，故12()02x x f +'>成立. 法三：接④后续解：视1x 为主元，设22222222222()4()1()ln ln ,()0()()x x x x x g x x x g x x x x x x x x --'=--=-=>+++则()g x 在2(0,)x x ∈上单调递增，故2()()0g x g x <=，再结合120,0a x x >-<，故12()02x x f +'>成立. 法四：构造函数()()(),(0)222a a ah x f x f x x =--+<<，学&科网则24()()()022()()22a a x h x f x f x a a x x '''=---+=>+-，从而()h x 在(0,)2a上单调递增，故()(0)0h x h >=，即()()22a a f x f x ->+ 对(0,)2a x ∈恒成立，从而()(),(0)2af x f a x x >-<<，则211()()()f x f x f a x =>-， 由21,(,)2a x a x -∈+∞，且()f x 在(,)2a+∞单调递增，学科#网故21x a x >-， 即1222x x a +>，从而12()02x xf +'>成立. 学&科网 【招式演练】★已知函数()()ln ,f x x ax b a b R =-+∈有两个不同的零点12,x x ． ()I 求()f x 的最值；()II 证明：1221x x a⋅<． 【答案】（1）()max ln 1f x a b =--+，无最小值 （2）见解析【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明. ★已知函数()()()2a xg x xea R -=∈， e 为自然对数的底数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()()2ln f x g x ax =-的图象与直线()y m m R =∈交于A B 、两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明： ()00f x '<（()f x '为函数()f x 的导函数）【答案】（1）见解析（2）见解析（2）∵()()()()222ln ln 2(0)a xf x xe axx a x ax x -=-=+-->，∴()()()()211122x ax f x a ax x x+-=+--'=-， 当0a ≤时， ()()0,f x y g x >'=在()0,+∞上单调递增，与直线y m =不可能有两个交点，故0a >． 令()0f x '≥，则10x a <≤；令()0f x '<，则1x a >，故()y g x =在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．不妨设()()12,,,A x m B x m ，且1210x x a<<<， 要证()00f x '<，需证010ax ->， 即证()01221211222x x x x x f x f x a a a a ⎛⎫>⇒+>⇒>-⇒<- ⎪⎝⎭， 又()()12f x f x =，所以只需证()112f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，即证：当10x a <<时，()20f x f x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭．学&科网设()()()()2ln 2ln 22F x f x f x ax ax ax a ⎛⎫=--=--+-⎪⎝⎭，则()()()22112022ax a F x a ax x x ax --=-+=-<--'， ∴()()2F x f x f x a ⎛⎫=--⎪⎝⎭在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又12110F f f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()()20F x f x f x a ⎛⎫=-->⎪⎝⎭，原不等式成立．学科*网 ★已知函数()322ln 3f x ax x =--的图象的一条切线为x 轴.（1）求实数a 的值；（2）令()()()g x f x f x =+'，若存在不相等的两个实数12,x x 满足()()12g x g x =，求证： 121x x <.【答案】（1）01{23x a ==（2）见解析当1x >时， 101x<<， 记()()()()()1111G x g x g h x h f x f x f f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦''， 记函数()y f x ='的导函数为()y f x =''，则()()()221111G x f x f x f f x x x x ⎛''''''⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎝'⎭⎭222211111122x x x x x x x x x x ⎫⎫⎫⎫=-++--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭⎭)211102x x x x x x x--=-+>， 故()G x 在()1,+∞上单调递增， 所以()()10G x G >=，所以()10g x g x ⎛⎫->⎪⎝⎭， 不妨设1201x x <<<，则()()1221g x g x g x ⎛⎫=>⎪⎝⎭，而101x <<， 2101x <<，有单调性知121x x <，即121x x <. ★已知函数()21ln 2f x x ax bx =-+且函数()y f x =图象上点()()1,1f 处的切线斜率为0. （1）试用含有a 的式子表示b ，并讨论()f x 的单调性；（2）对于函数图象上的不同两点()()1122,,,A x y B x y 如果在函数图象上存在点()()()00012,,,M x y x x x ∈使得点M 处的切线lAB ，则称AB 存在“跟随切线”.特别地，当1202x x x +=时，又称AB 存在“中值跟随切线”.试问：函数()f x 上是否存在两点,A B 使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出,A B 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）不存在令12,(01)x t t x =<<， 构造函数()()21ln ,(01)1t g t t t t -=-<≤+，则()()()()22211411t g t t t t t -=-=++， 则()0,1t ∈时，()0g t ≥恒成立，故()y g t =在()0,1上单调递增从而得出不存在试题解析：函数()y f x =的定义域为()0,+∞，且()1'f x ax b x=-+， 又()'10f =，整理得1b a =-. 学科@网 （1）()()()1111'1ax x f x ax b ax a x x x+-+=-+=-+-=. 1）当0a ≥时，易知()0,1x ∈， ()()'0,1,f x x >∈+∞时()'0f x <， 故()y f x =在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. 2）当0a <地，令()'0f x =，解得1x =或1x a=-，则 ①当11a-=，即1a =-时， ()'0f x ≥在()0,+∞上恒成立，则()y f x =在()0,+∞上递增.当10a -<<时，()y f x =在()0,1及1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增：()y f x =在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当1a =-时， ()y f x =在()0,+∞上递增.当1a <-时， ()y f x =在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭及()1,+∞上单调递增； ()y f x =在1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减. 点睛：对于导数问题，做题要特别注意在讨论时单调性受参数的影响，可以通过分析导数零点的大小来逐一分析，对于此题第二问的类型，要注意函数的构造和假设，分析函数单调性求最值从而得出结论. ★已知函数()()2ln f x x x ax x a a R =+-+∈在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求a 的取值范围.（2）设()f x 的两个极值点为12,x x ，证明212x x e >. 【答案】（1）102a e<<-（2）见解析试题解析：（1）依题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，所以方程()0f x '=在()0,+∞有两个不同根.即方程ln 20x ax +=在()0,+∞有两个不同根.学&科网 转化为，函数()ln xg x x=与函数2y a =-的图象在()0,+∞上有两个不同交点 又()21ln xg x x-'=，即0x e <<时， ()0g x '>， x e >时，()0g x '<， 所以()g x 在()0,e 上单调增，在(),e +∞上单调减，从而()()1=g x g e e=极大.又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →-∞，在x →+∞时， ()0g x →，所以由()g x 的图象，要想函数()ln xg x x =与函数2y a =-的图象在()0,+∞上有两个不同交点， 只需102a e <-<，即102a e<<-（2）由（1）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =， 22ln x ax =，设120x x >>，作差得， ()1122ln xa x x x =-，即1212lnx x a x x =-.原不等式212x x e >等价于12ln ln 2x x +> ()122a x x ⇔+> ()1212122ln x x x x x x -⇔>+令12x t x =，则1t >，()()121212221ln ln 1x x t x t x x x t -->⇔>++，设()()21ln 1t g t t t -=-+， 1t >，()()()22101t g t t t +'-=>，∴函数()g t 在()1,+∞上单调递增， ∴()()10g t g >=，学科/网即不等式()21ln 1t t t ->+成立，故所证不等式212x x e >成立.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.★已知函数()1e xx f x +=，A ()1,x m ，B ()2,x m 是曲线()y f x =上两个不同的点.（Ⅰ）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围； （Ⅱ）证明：120x x +>.【答案】（Ⅰ）m 的取值范围是()0,1；（Ⅱ）见解析.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.【新题试炼】【2018河北衡水金卷】已知函数.（1）若函数，试研究函数的极值情况；（2）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内有两个不等实根，证明：.【答案】(1)见解析;(2)见解析.②当时，，恒成立，所以不存在极值；③当时，，或；,所以在处取极大值，在处取极小值.综上，当时，在处取极大值，在处取极小值；当时，不存在极值；时，在处取极大值，在处取极小值.（2），定义域为，，而，故，即在区间内单调递增又，，且在区间内的图象连续不断，学科@网故根据零点存在性定理，有在区间内有且仅有唯一零点.所以存在，使得，由得单调递减；若在区间内有两个不等实根（）则.要证，即证又，而在区间内单调递减，故可证，又由，即证，即记，其中记，则，学.科网当时，；在高考创新试题层出不穷的大环境下，学生首先要掌握基本的知识方法和解题策略，对新题、难题的突破，更需在掌握双基的前提下，淡化特殊技巧、重视思想方法、去模式化的解题策略，以不变应万变，培养学生分析问题、解决问题的能力.只有学生学会自我分析，利用熟知的知识方法去解决各类未知的创新试题，教师才算成功培养学生解题思维，同时对学生认知的广阔性、逆向性也是一种需要.。
2020年全国Ⅰ卷理科导数压轴题多角度探析
解题篇经典题突破方法"LL L l l L"高二数学2021年3月丁子虫" 2020年全国|卷理科()压轴题多.度01■福建省泉州市第七中学彭耿铃高考压轴题，突出学科素养和区分导向！着重考查同学们的理性思维能力以及综合运用数学思想方法分析问题、解决问题的能力!体现了数学考试的压轴应用价值，在考试评价中落实区分度的根本任务，对选拔高层次人才有很好的导向和选拔作用#纵观近几年来高考试卷，导数压轴题在形式上有“简约而不简单)之感，参考答案的解析有时让师生一头雾水，感觉匪夷所思，不知所措#下面对2020年全国I卷导数压轴题予以多角度解析，旨在探究导数题型的考查特点，供同学们参考，希望同学们能决胜高考#(2020年全国I卷理科压轴题'已知函数f(")=e"+a"2—"#(1)当a=1时，讨论f")的单调性；(2)当")0时f(.,"))1"3+1,求a的取值范围#解析!1)当a=1时，f(")=e"+"2—",f J")=e"+2"一1#令g(")=e"+2"一1则g'")=e"+2>0恒成立，所以g")在R上单调递增f"在R上单调递增#又'(0)=0!所以当">0时，f(")> 0,即f(")在(0,++)上单调递增；当"<0时,f'")<0,即f(")在(一+,0)上单调递减#所以当a=1时，f")的单调增区间为(0,++)，单调减区间为(一+,0)#(2)解法一(分离参数，转化最值)：当")0时，f("))2"3+1恒成立#①当"=0时，a(R#""3+"+1—e"②当">0时，a)--------------2-----------恒成"""3+"+1—e"立，记％(")=---------------2------------，贝U%'(")=(2—")(e"—2"2-"一1)3#1己$(")=e"—"2"2一"一1(">0),贝$'(")=e"一"一1,—(")=e"—1#因为当">0时，$"(")= e"—1>0,所以$'(")在(0,++)上单调递增,$'(—)>$'(0)=0,$(")单调递增，$")>$(0)=0#令％'")=0,可得"=2#当"((0,2)时，%'(")>0,%(-)单调递增；当"((2, ++)时,%'(")<0,%(")单调递减#7—e2所以%(").ao=%(2)=^^,即a) 7—e24°综上，a的取值范围是，++)#解法二(比较零点,分类讨论)：f("))1"3+13e"+a"2一")1"3+1"3一a"2+"+113—--------------#1,对")0恒成立#1—一a"2+"+1令%(")=----------------"--------------")0)，则①当2a+1)2,即a)时，若"(「0,2)U「2a+1,++),则%'(")#0；若"((2, 2a+1),则％'")>0#所以％(")在区间「0, 2)上单调递减，在区间(2,2a+1)上单调递增，在区间「2a+1,++)上单调递减#所以％")m a0=max{%(0),%(2a+1)}=19解题篇经典题突破方法高二数学 2021年3月中孝生皋捏化max1 (2a +1)3 —a (2a +1)2 +(2a +1)+1e a +1—(2a + 1)3 — a (2a + 1 )2 + (2a +1) +1 又e 2a +11 (2a +1)2 + (2a + 1) +1，记'=2a + 1 )2 ,e 2a +1—'2 +' + 1设 g = ----------'--------(')2),贝U g ‘ ')e('+ 1)——'2+'+1'2—y V 0# 故 g & '2"2 —") 2"3 + —。
(2020年整理)全国卷全国卷导数合集(试题).doc
（一） 导数的极最值问题1.(XXXX 新课标Ⅱ）设函数2()mx f x e x mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；(Ⅱ)若对于任意1x ，2x [1,1]∈-，都有12|()()|f x f x -1e -≤，求m 的取值范围．2.（XXXX 新课标Ⅰ）设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线斜率为0．（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01,x ≥使得()01a f x a <-，求a 的取值范围．3.（XXXX 新课标Ⅰ）已知函数，曲线()y f x =在点处切线方程为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值．2()()4x f x e ax b x x =+--(0,(0))f 44y x =+,a b ()f x ()f x4.（XXXX 新课标Ⅱ）已知函数．（Ⅰ）求的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线()y f x =的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围．5.（XXXX 新课标2）已知函数()ln (1)f x x a x =+-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围．（二） 导数的恒成立问题1.(XXXX 全国卷Ⅲ)已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-．(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； 2()x f x x e-=()f x l l x(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a ．2. （XXXX 新课标）设函数()2x f x e ax =--．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值．3.（XXXX 新课标）已知函数ln ()1a x b f x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-．4. （XXXX 新课标）设函数2()(1)x f x x e ax =--．（Ⅰ）若12a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴(一)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴（一）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{1A y y ==，{}30B x x =-≤，则A B =I （） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．()2,+∞ 答案：B首先分别化简集合A ，B ，再求交集即可.解： {{}11A y y y y ==+=≥，{}{}303B x x x x =-≤=≤，所以[]1,3A B ⋂=.故选：B.点评：本题主要考查集合的交集运算，同时考查了函数的值域，属于简单题.2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，设复数cossin 33z i ππ=+，则3z 等于（）A ．122-B ．1-C ．122--D ．122-+ 答案：B 根据欧拉公式得到3i z e π=，再计算3z 即可.解： 由题意得3cossin 33i z i e πππ=+=， 333()cos sin 1i i z e e i ππππ====-＋. 故选：B点评：本题主要考查三角函数求值问题，同时复数的概念，属于简单题.3．月形是一种特殊的平面图形，指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形.月形中的一种特殊的情形是镰刀形，即由半圆和弓形所围成的图形（如下图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为1:2，现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中的一点的概率为（）A．423 3-B．2313-C．3πD．31π-答案：B首先设半圆半径为r，分别计算半圆的面积和弓形的面积，再代入几何概型公式计算即可.解：如图所示：设半圆半径为r，半圆面积为22rπ，221(2)3OO r r r=-=弓形面积为()2221122233623r r r r rππ⨯⨯-⨯=-，概率为2222232312332rr rrπππ-+=-.故选：B点评：本题主要以数学文化为背景考查几何概型，同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题. 4．数列{}n a的前几项是：0、2、4、8、12、18、24、32、49、50⋅⋅⋅其规律是：偶数项是序号平方再除2；奇数项是序号平方减1再除2.如图所示的程序框图是为了得到该数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入（）A ．n 是偶数？，100n ≤？B ．n 是奇数？，100n ≤？C ．n 是偶数？，100n <？D ．n 是奇数？，100n <？答案：A模拟程序框图的运行过程，结合输出的条件，即可得到答案.解：根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“n 是偶数？”；执行程序框图，当101100n =>结束，所以第二个框应该填100n ≤？.故选：A点评：本题主要考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于简单题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*N n ∈都有21n n S a =-，设2log n n b a =，则数列{}n b 的前6项之和为（）A ．11B ．16C ．10D ．15答案：D首先根据21n n S a =-得到12n n a -=，代入2log n n b a =，再计算数列{}n b 的前6项之和即可.解：因为21n n S a =-，当1n =时，11121S a a =-=，所以11a =.当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以121(21)n n n a a a -=---，即12n n a a -=. 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以12n n a -=，12log 21n n b n -==-，11(2)1n n b b n n --=---=，所以数列{}n b 是以0为首项，以1为公差的等差数列，数列{}n b 的前6项之和为1656152b d ⨯+= 故选：D点评： 本题主要考查由n S 求通项公式n a ，同时考查了等差数列的求和，属于中档题.6．声音中包含着正弦函数.音的四要素：音调、响度、音长和音色都与正弦函数的参数有关.我们平时听到的音乐不只是一个音在响，是由基音和许多个谐音的结合，其函数可以是()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则()f x 的图象可以是（） A ． B ．C ．D ． 答案：D首先根据()f x 为奇函数，排除C ，根据42f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ，根据()11111=236f x <++，排除A ，排除法即可得到答案. 解：因为()f x 的定义域为R ，1111()sin()sin(2)sin(3)sin sin 2sin 3()2323f x x x x x x x f x -=-+-+-=---=-， 所以()f x 为奇函数，排除C.1432f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故42f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ； 因为()11111=236f x <++，而A 选项的()max 2f x =，排除A. 故选：D点评： 本题主要考查根据解析式判断函数的图象，同时考查了函数的奇偶性，特值法以及函数的最值，属于中档题.7．过双曲线M ：()22210y x b b -=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，则双曲线的离心率是（）ABCD答案：B首先设出直线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程联立得到1(,)11b B b b -++，1(,)11b C b b --.根据54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r 得到32b =，再计算离心率即可. 解：由题可知(1,0)A -，所以直线l 的方程为1y x =+.因双曲线M 的两条渐近线方程为y bx =或y bx =-.由1y bx y x =-⎧⎨=+⎩，解得1(,)11b B b b -++；同理可得1(,)11b C b b --. 又()1,0OA =-u u u r ，1,11b OB b b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭u u u r ，1,11b OC b b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭u u u r。
2020届全国卷1理科数学高考“压轴题题型解法”大纲(李老师编)
3.线性回归和类线性回归（大数据整体计算型）
难
4.极坐标与参数方程的几何意义法（求长度、长度之积/和）
难
5.新定义、新材料阅读理解题
难
6.类比推理和演绎推理
难
难
3.不规则锥体的外接球（万能公式，见于杂志）
难
4.1向量的四心问题（性质秒杀）
难
4.2角平分线定理
难
5.向量的奔驰定理（公式秒杀）
难
6.解三角形（共边型、共角型、整体法型）
难
7.解三角形求动态参数（数形结合法、基本不等式法、三角函数法）
难
8.三角函数高难度化简与变换（函数求参数题（构建法+分类讨论法）
难
3.2构建函数的恒成立、存在性问题（单边构建、双边构建）
难
4.极值点偏移题（左偏移、右偏移、拉格朗日中值定理）
难
5.零点、交点、根的存在性问题（判断、个数、分布）
难
6.恒成立、存在性问题（特殊点型、隐零点型、虚假点型）
难
7.函数模型与缩放题（指数、对数：直接，裂项，并项，加强）
难
模块
2020全国卷1卷压轴考点和题型明细
难度
数列
1.数学归纳法
难
2.数列放缩类型和数列不等式的证明
难
3.数列递推
难
4.探索数列中的存在性（最大最小整数型、数列函数交汇型）
难
模块
2020全国卷1卷压轴考点和题型明细
难度
其他
1.可行域问题（生活应用综合型、动态型）
难
2.排列组合题（综合型、至少至多型）
2020全国卷1卷压轴考点和题型明细
难度
圆锥曲线
1.对称性问题