高三数学导数压轴题

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导数压轴

一.解答题(共20小题)

1.已知函数f(x)=e x(1+alnx),设f'(x)为f(x)的导函数.

(1)设g(x)=e﹣x f(x)+x2﹣x在区间[1,2]上单调递增,求a的取值范围;

(2)若a>2时,函数f(x)的零点为x0,函f′(x)的极小值点为x1,求证:x0>x1.

2.设.

(1)求证:当x≥1时,f(x)≥0恒成立;

(2)讨论关于x的方程根的个数.

3.已知函数f(x)=﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1(a∈R).

(1)当a=1时,判断g(x)=e x f(x)的单调性;

(2)若函数f(x)无零点,求a的取值范围.

4.已知函数.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若存在成立,求整数a的最小值.5.已知函数f(x)=e x﹣lnx+ax(a∈R).

(Ⅰ)当a=﹣e+1时,求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)当a≥﹣1时,求证:f(x)>0.

6.已知函数f(x)=e x﹣x2﹣ax﹣1.

(Ⅰ)若f(x)在定义域内单调递增,求实数a的范围;

(Ⅱ)设函数g(x)=xf(x)﹣e x+x3+x,若g(x)至多有一个极值点,求a的取值集合.7.已知函数f(x)=x﹣1﹣lnx﹣a(x﹣1)2(a∈R).

(2)若对?x∈(0,+∞),f(x)≥0,求实数a的取值范围.

8.设f′(x)是函数f(x)的导函数,我们把使f′(x)=x的实数x叫做函数y=f(x)的好点.已知函数f(x)=.

(Ⅰ)若0是函数f(x)的好点,求a;

(Ⅱ)若函数f(x)不存在好点,求a的取值范围.

9.已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+2(a为常数).

(2)若a为整数,函数f(x)恰好有两个零点,求a的值.

10.已知函数f(x)=xlnx﹣ax2,a∈R.

(1)若函数f(x)存在单调增区间,求实数a的取值范围;

(2)若x1,x2为函数f(x)的两个不同极值点,证明x12x2>e﹣1.11.已知函数f(x)=x3﹣a(x+1)2,

(2)若函数f(x)只有一个零点,求实数a的取值范围.

12.已知函数.

(1)当0<m<2时,证明:f(x)只有1个零点;

(2)证明:曲线f(x)没有经过原点的切线.

13.已知函数f(x)=4lnx+x2﹣2mx(m∈R).

(2)若直线l为曲线的切线,求证:直线l与曲线不可能有2个切点.

14.已知函数f(x)=(x+1)e x++2ax,a∈R

(1)讨论f(x)极值点的个数

(2)若x0(x0≠﹣2)是f(x)的一个极值点,且f(﹣2)>e﹣2,证明:f(x0)≤1.15.己知函数f(x)=(x﹣a)2e x+b在x=0处的切线方程为x+y﹣1=0,函数g(x)=x

﹣k(lnx﹣1).

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数g(x)的极值;

(3)设F(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的最小值),若F(x)在(0,+∞)上恰有三个零点,求实数k的取值范围.

16.已知函数,且y=x﹣1是曲线y=f(x)的切线.(1)求实数a的值以及切点坐标;

(2)求证:g(x)≥f(x).

17.已知函数f(x)=x2﹣x﹣alnx,a∈R.

(1)若不等式f(x)<0无解,求a的值;

(2)若函数f(x)存在两个极值点x1、x2,且x1<x2,当恒成立时,求实数m的最小值.

18.设a,b∈R,已知函数f(x)=alnx+x2+bx存在极大值.

(Ⅰ)若a=1,求b的取值范围;

(Ⅱ)求a的最大值,使得对于b的一切可能值,f(x)的极大值恒小于0.

19.已知函数f(x)=x﹣1nx

(1)求函数f(x)的极值;

(2)设函数g(x)=xf(x).若存在区间[m,n]?[,+∞),使得函数g(x)在[m,n]上的值域为[k(m+2)﹣2,k(n+2)﹣2],求实数k的取值范围.

20.已知a≠0,函数,且曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+2y+1=0垂直.

(Ⅰ)求函数在区间(0,+∞)上的极大值;

(Ⅱ)求证:当x∈(0,+∞)时,

导数压轴

参考答案与试题解析

一.解答题(共20小题)

1.已知函数f(x)=e x(1+alnx),设f'(x)为f(x)的导函数.

(1)设g(x)=e﹣x f(x)+x2﹣x在区间[1,2]上单调递增,求a的取值范围;

(2)若a>2时,函数f(x)的零点为x0,函f′(x)的极小值点为x1,求证:x0>x1.【解答】(1)解:依题意,g(x)=e﹣x f(x)+x2﹣x=1+alnx+x2﹣x,x>0.

故,x>0.

∵g(x)在[1,2]上单调递增,

∴g'(x)≥0在[1,2]上恒成立,故,

即a≥x(1﹣2x)在[1,2]上恒成立,

根据二次函数的知识,可知:x(1﹣2x)在[1,2]上的最大值为﹣1.

∴a的取值范围为[﹣1,+∞).

(2)证明:由题意,f′(x)=e x(1+lnx+),x>0,a>2.

设h(x)=f′(x)=e x(1+lnx+),x>0,a>2.

则h′(x)=e x(1+alnx+﹣).

再设H(x)=1+alnx+﹣,则H′(x)=﹣+=.

∵当x>0时,y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1>0恒成立,

∴当x>0时,H′(x)>0恒成立.

∴H(x)在(0,+∞)上单调递增.

又∵当a>2时,H(1)=1+a>0,H()=1﹣aln2<0,

∴根据H(x)的单调性及零点定理,可知:存在一点x2∈(,1),使得H(x2)=0.∴f′(x)在(0,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,在x=x2处取得极小值.∴x2=x1.

即且H(x1)=0,即1+alnx1+﹣=0,即…

又∵f(x)的零点为x0,故f(x0)=0,即,即alnx0=﹣1…②

由①②,得,

则,又,故,

即lnx0﹣lnx1>0,

∴x0>x1.故得证.

2.设.

(1)求证:当x≥1时,f(x)≥0恒成立;

(2)讨论关于x的方程根的个数.

【解答】解:(1)证明:的定义域为(0,+∞).

∵,

∴f(x)在[1,+∞)上是单调递增函数,

∴f(x)≥f(1)=0对于x∈[1,+∞)恒成立.

故当x≥1时,f(x)≥0恒成立得证.

(2)化简方程得2lnx=x3﹣2ex2+tx.

注意到x>0,则方程可变为.

令,

则.

当x∈(0,e)时,L′(x)>0,∴L(x)在(0,e)上为增函数;

当x∈(e,+∞)时,L′(x)<0,∴L(x)在(e,+∞)上为减函数.

当x=e时,.

函数在同一坐标系内的大致图象如图所示:

由图象可知,

①当时,即时,方程无实根;

②当时,即时,方程有一个实根;

③当时,即时,方程有两个实根.

3.已知函数f(x)=﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1(a∈R).

(1)当a=1时,判断g(x)=e x f(x)的单调性;

(2)若函数f(x)无零点,求a的取值范围.

【解答】解:(1)当a=1时,g(x)=e x f(x)=e x(﹣x2+x+1﹣e﹣x+1)=(﹣x2+x+1)

e x﹣e,

g′(x)=(﹣2x+1)e x+(﹣x2+x+1)e x=﹣e x(x﹣1)(x+2),

∴当x∈(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)时,g′(x)<0,故g(x)在(﹣∞,﹣2),(1,+∞)单调递减;

当x∈(﹣2,1)时,g′(x)>0,故g(x)在(﹣2,1)单调递增;

(2)函数f(x)=﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1,

∴f′(x)=﹣2x+a+e﹣x+1,

设h(x)=﹣2x+a+e﹣x+1,

∴h′(x)=﹣2﹣e﹣x+1<0恒成立,

∴h(x)在(﹣∞,+∞)上单调递减,

∴存在x0∈R,使得h(x0)=0,

∴当x∈(﹣∞,x0)时,h(x)=f′(x)>0,函数f(x)单调递增,

∴当x∈(x0,+∞)时,h(x)=f′(x)<0,函数f(x)单调递减,

∴f(x)max=f(x0)=﹣x02+ax0+a﹣,

∵函数f(x)无零点,

∴f(x)max=f(x0)=﹣x02+ax0+a﹣<0在R上恒成立,

又∵h(x0)=﹣2x0+a+=0,即=2x0﹣a.

∴f(x)max=f(x0)=﹣x02+(a﹣2)x0+2a<0在R上恒成立,

∴△=(a﹣2)2﹣4?2a=a2﹣12a+4<0,

解得6﹣4<a<6+4.

∴a的取值范围为(6﹣4,6+4).

4.已知函数.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若存在成立,求整数a的最小值.

【解答】解:(1)由题意可知,x>0,,

方程﹣x2+x﹣a=0对应的△=1﹣4a,

当△=1﹣4a≤0,即时,当x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,

∴f(x)在(0,+∞)上单调递减;…(2分)

当时,方程﹣x2+x﹣a=0的两根为,

且,

此时,f(x)在上f'(x)>0,函数f(x)单调递增,

在上f'(x)<0,函数f(x)单调递减;…(4分)

当a≤0时,,,

此时当,f(x)单调递增,

当时,f'(x)<0,f(x)单调递减;…(6分)

综上:当a≤0时,,f(x)单调递增,

当时,f(x)单调递减;

当时,f(x)在上单调递增,

在上单调递减;

当时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;…(7分)

(2)原式等价于(x﹣1)a>xlnx+2x﹣1,

即存在x>1,使成立.

设,x>1,

则,…(9分)

设h(x)=x﹣lnx﹣2,

则,∴h(x)在(1,+∞)上单调递增.

又h(3)=3﹣ln3﹣2=1﹣ln3<0,h(4)=4﹣ln4﹣2=2﹣2ln2>0,

根据零点存在性定理,可知h(x)在(1,+∞)上有唯一零点,

设该零点为x0,则x0∈(3,4),且h(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,即x0﹣2=lnx0,∴…(11分)

由题意可知a>x0+1,又x0∈(3,4),a∈Z,

∴a的最小值为5.…(12分)

5.已知函数f(x)=e x﹣lnx+ax(a∈R).

(Ⅰ)当a=﹣e+1时,求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)当a≥﹣1时,求证:f(x)>0.

【解答】(Ⅰ)解:f(x)=e x﹣lnx+(﹣e+1)x;

令,得x=1;

当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;

当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;

(Ⅱ)证明:当a=﹣1时,f(x)=e x﹣lnx﹣x(x>0);

令,则;

∴h(x)在(0,+∞)上单调递增;

又,h(1)=e﹣2>0;

∴?,使得,即;

∴函数f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增;

∴函数f(x)的最小值为;

又函数是单调减函数;

∴f(x0)>1+1﹣ln1﹣1=1>0,即e x﹣lnx﹣x>0恒成立;

又e x>x>lnx;

∴e x﹣lnx>0;

又a≥﹣1,x>0;

∴ax≥﹣x;

∴f(x)=e x﹣lnx+ax≥e x﹣lnx﹣x>0,得证.

6.已知函数f(x)=e x﹣x2﹣ax﹣1.

(Ⅰ)若f(x)在定义域内单调递增,求实数a的范围;

(Ⅱ)设函数g(x)=xf(x)﹣e x+x3+x,若g(x)至多有一个极值点,求a的取值集合.【解答】解:(1)由条件得,f'(x)=e x﹣2x﹣a≥0,

得a≤e x﹣2x,令h(x)=e x﹣2x,h'(x)=e x﹣2=0.

得x=ln2,当x<ln2时,h'(x)<0,当x>ln2时,h'(x)>0.故当x=ln2时,h(x)

=h(ln2)=2﹣2ln2.

min

∴a≤2﹣2ln2.

(2)g(x)=xe x﹣ax2﹣e x,g'(x)=x(e x﹣2a).

当a≤0时,由x>0,g'(x)>0且x<0,g'(x)<0,故0是g(x)唯一的极小值点;

令g'(x)=0得x1=0,x2=ln(2a).

当a=时,x1=x2,g'(x)≥0恒成立,g(x)无极值点.

故a∈.

7.已知函数f(x)=x﹣1﹣lnx﹣a(x﹣1)2(a∈R).

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若对?x∈(0,+∞),f(x)≥0,求实数a的取值范围.

【解答】解:(1)由题意知,f(x)的定义域为(0,+∞),

由函数f(x)=x﹣1﹣lnx﹣a(x﹣1)2(a∈R)得f'(x)=1﹣﹣2a(x﹣1)=;

①当a≤0时,令f'(x)>0,可得x>1,令f'(x)<0,可得0<x<1;故函数f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1).

②当0<a<时,,令f'(x)>0,可得,令f'(x)<0,可得0<x <1或x>,故f(x)的增区间为(1,),减区间为(0,1),();

③当a=时,f'(x)=≤0,故函数f(x)的减区间为(0,+∞);

④当a>时,0<<1,令f'(x)>0,可得;令f'(x)<0,可得

或x>1.

故f(x)的增区间为(),减区间为(0,),(1,+∞).

综上所述:

当a≤0时,f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数;

当0<a<时,f(x)在(0,1),()上为减函数,在(1,)上为增函数;当a=时,f(x)在(0,+∞)上为减函数;

当a>时,f(x)在(0,),(1,+∞)上为减函数.在(,1)上为增函数.(2)由(1)可知:

①当a≤0时,f(x)min=f(1)=0,此时,f(x)≥0;

②当0<a<时,f(1)=0,当x∈(,+∞)时,lnx>0,ax>a+1,

可得f(x)=x﹣1﹣lnx﹣a(x﹣1)2<x﹣1﹣a(x﹣1)2=(x﹣1)(a+1﹣ax)<0,不合题意;

③当a=时,f(1)=0,由f(x)的单调性可知,当x∈(1,+∞)时,f(x)<0,不合题意;

④当a>时,f(1)=0,由f(x)的单调性可知,当x∈(,1)时,f(x)<0,不合题意.

综上可知:所求实数a的取值范围为:(﹣∞,0].

8.设f′(x)是函数f(x)的导函数,我们把使f′(x)=x的实数x叫做函数y=f(x)的好点.已知函数f(x)=.

(Ⅰ)若0是函数f(x)的好点,求a;

(Ⅱ)若函数f(x)不存在好点,求a的取值范围.

【解答】(Ⅰ)解:f′(x)=e2x﹣ae x﹣(a2﹣1)x;

由f′(x)=x,得e2x﹣ae x﹣(a2﹣1)x=x,

即e2x﹣ae x﹣a2x=0;

∵0是函数f(x)得好点;

∴1﹣a=0,

∴a=1;

(Ⅱ)解:令g(x)=e2x﹣ae x﹣a2x,问题转化为讨论函数g(x)的零点问题;

∵当x→﹣∞时,g(x)→+∞,若函数f(x)不存在好点,等价于g(x)没有零点,即g(x)的最小值大于零;

g′(x)=2e2x﹣ae x﹣a2=(2e x+a)(e x﹣a);

①若a=0,则g(x)=e2x>0,g(x)无零点,f(x)无好点;

②若a>0,则由g′(x)=0得x=lna;

易知;

当且仅当﹣a2lna>0,即0<a<1时,g(x)>0;

∴g(x)无零点,f(x)无好点;

③若a<0,则由g′(x)=0得;

故;

当且仅当,即时,g(x)>0;

∴g(x)无零点,f(x)无好点;

综上,a的取值范围是.

9.已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+2(a为常数).

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若a为整数,函数f(x)恰好有两个零点,求a的值.

【解答】解(1)由题意x>0,f′(x)==

①若a≥0,对x>0,f′(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)单调递增;

②若a<0,则﹣>0,当0<x<﹣时,f′(x)>0,x>时,f′(x)<0,

所以f(x)在(0,﹣)单调递增,在(﹣,+∞)单调递减,

(2)由(1)知,若函数f(x)恰好有两个零点,则a<0,且f(x)在x=处有极大值,也是最大值;f(x)max=f()>0,

∵f()=ln(﹣)+a(﹣)2+(a+2)(﹣)+2=ln(﹣)+(﹣)+1,又∵a为整数且a<0,

∴当a=﹣1时,且f(x)max=f()=0+2=2>0,

当a=﹣2时,且f(x)max=f()=>0,

当a=﹣3时,且f(x)max=f()=ln+1>0,

当a=﹣4时,且f(x)max=f()=<0,

故a的值为:﹣1,﹣2,﹣3.

10.已知函数f(x)=xlnx﹣ax2,a∈R.

(1)若函数f(x)存在单调增区间,求实数a的取值范围;

(2)若x1,x2为函数f(x)的两个不同极值点,证明x12x2>e﹣1.

【解答】解:(1)∵函数f(x)=xlnx﹣ax2,a∈R.∴f′(x)=lnx+1﹣2ax,

∵函数f(x)存在单调增区间

∴只需f'(x)=1+lnx﹣2ax>0有解;即有解.令g(x)=,g′(x)=,

当x∈(0,1)时g′(x)>0

当x∈(1,+∞)时g′(x)<0

当x=1时g(x)有最大值,g(1)=1.

故2a<g(1)=1

∴a时,函数f(x)存在增区间.

证明:(2)要证明>e﹣1,即证明2lnx1+lnx2>﹣1,

∵f′(x)=1+lnx﹣2ax,∴x1,x2是方程lnx=2ax﹣1的两个根,

即,lnx1=2ax1﹣1 ①,lnx2=2ax2﹣1 ②,

即证明2a(2x1+x2)>2.

∵①﹣②,得:2a=,即证(2x1+x2)>2,

不妨设x1>x2,则t=>1,

则证(2t+1)>2,∴lnt﹣>0,

设g(t)=lnt﹣,则g′(t)═﹣=;

∵t>1∴4(t+)2﹣6>4(1+)2﹣6=3>0,∴g'(x)>0;

∴g(t)在(1,+∞)单调递增,g(t)>g(1)=0,

故>e﹣1.

11.已知函数f(x)=x3﹣a(x+1)2,

(1)讨论函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)只有一个零点,求实数a的取值范围.

【解答】解(1)函数的定义域为R,f'(x)=x2﹣2a(x+1)=x2﹣2ax﹣2a,

△=4a2+8a=4a(a+2),

1)△≤0时,﹣2≤a≤0时,f'(x)≥0,∴f(x)在R上递增…(1分)

2)当△>0时,即a<﹣2或a>0时,令f'(x)=0,∴x2﹣2ax﹣2a=0,解得

,;

∴f(x)在(﹣∞,a﹣)递增,递减,

递增;

(2)由(1)知①△≤0时,﹣2≤a≤0时,当f(x)在R上递增.f(﹣1)=<0,f(1)=﹣4a>0;

高中数学导数及微积分练习题

1.求 导:(1)函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- (2)y =ln(x +2)-------------------------------------;(3)y =(1+sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y =3x 2+x cos x ------------------------------------ ;(5)y =x 2cos(2x -π 3 )---------------------------------------- . (6)已知y =ln 3x e x ,则y ′|x =1=________. 2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ). (A).5 4 (B).5 2 (C).5 1 (D). 5 3 3.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1x =-,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为 ( ) (A).4 (B).5 (C).-6 (D).不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,

底面边长为( ). (A).3V (B).32V (C).34V (D).32V 6.由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). (A).18 (B). 3 38 (C). 3 16 (D).16 7.曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1,则=a _________ 。 8.已知抛物线2y x bx c =++在点(12),处的切线与直线20x y ++=垂直,求函数2y x bx c =++的最值. 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一.解答题(共12小题) 1.已知函数f(x)2(a﹣2)﹣x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 2.已知函数f(x)2﹣﹣,且f(x)≥0. (1)求a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2. 3.已知函数f(x)﹣1﹣. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值. 4.已知函数f(x)321(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a; (3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.5.设函数f(x)=(1﹣x2). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤1,求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥). (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围. 7.已知函数f(x)2+2,g(x)(﹣2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (Ⅱ)令h(x)(x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

) 10.已知函数f(x)3﹣2,a∈R, (1)当2时,求曲线(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)(x)+(x﹣a)﹣,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 11.设a,b∈R,≤1.已知函数f(x)3﹣6x2﹣3a(a﹣4),g(x)(x). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数(x)和的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, (i)求证:f(x)在0处的导数等于0; ()若关于x的不等式g(x)≤在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围. 12.已知函数f(x)(﹣a)﹣a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围.

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. (1) 若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥. (2) 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点,求a . 题目分析: 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用,综合考察学生化归与分类讨论的数学思想,题目设置相对较易,利于选拔不同能力层次的学生。第1小问,通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式,这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数,指数函数的系数为代数函数,非常容易求解零点,并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意,对以后导数命题有着很大的指引作用。但是,这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此,以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论,始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点,力求完整的解答该类题目。 题目解答: (1)若1a =,2()x f x e x =-,()2x f x e x '=-,()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增; 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->,从而()f x 在[0,)+∞单调递增;所以()(0)1f x f ≥=,得证. (2)当0a ≤时,()0f x >恒成立,无零点,不合题意. 当0a >时,()2x f x e ax '=-,()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x a ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增;所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时,()0f x '≥,从而()f x 在[0,)+∞单调递增,()(0)1f x f ≥=,在(0,)+∞无零点,不合题意.

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版

导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题,内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明: (1)()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点; (2)()f x 有且仅有2个零点. 【解析】(1)设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>;当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. (2)()f x 的定义域为(1,)-+∞. (i )由(1)知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. (ii )当0,2x π?? ∈ ???时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而

高中数学导数经典习题

导数经典习题 选择题: 1.已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时, (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ,那么正确的说法是( ) A .9.8/m s 是在0~1s 这一段时间内的平均速度 B .9.8/m s 是在1~(1+t ?)s 这段时间内的速度 C .9.8/m s 是物体从1s 到(1+t ?)s 这段时间内的平均速度 D .9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2.一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒, 那么物体在3秒末的瞬时速度是( ) A .7米/秒 B .6米/秒 C .5米/秒 D .8米/秒 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限,则函数f /(x)的图象是( ) 4.函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)( x f y =在这点取极值的( ) A .充分条件 B .必要条件 C .充要条件 D .必要非充分条件 5.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足( ) A .()f x =()g x B .()f x -()g x 为常数函数 C .()f x =()0g x = D .()f x +()g x 为常数函数 6.. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于( ) A .sin α B .cos α C .sin cos αα+ D .2sin α 7. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是( ) A .),3[]3,(+∞--∞Y B .]3,3[- A x D C x B

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题(文)一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主1. 要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题,关键是建立恰当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极大(小)值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小)值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数,则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析:,所以 答案:3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My,f2,点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1,f(1))222,所的纵坐标为,所以,由切线过点,可得点M 解析:因为5???f1?????3'f1?f12以,所以3 答案: 学习好资料欢迎下载 32?3)(1,2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1,4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析:,所以设切线方程,处切线的斜率为点?3)(1, ?3)y??5x?b(1,2b?,将点处的切线为带入切线方程可得,所以,过曲线上点5x?y?2?0方程为:5x?y?2?0答案:点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点,,例,4.已知曲线C:直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解:线直线过原点,C则。由点上, ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在,处,。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?,整曲线C,的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以,(舍),此时,,解得:理得:,或033??1,???y??x82l??4的方程为,切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为,切点坐标是答案:直线点评:本小题考查导数

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数综合大题 【2007新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数2()ln()f x x a x =++ (I )若当1x =-时,()f x 取得极值,求a 的值,并讨论()f x 的单调性; (II )若()f x 存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于e ln 2 . 【解析】(Ⅰ)1()2f x x x a '= ++,依题意有(1)0f '-=,故32a =. 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ,∞,当312x -<<-时,()0f x '>; 当1 12 x -<<-时,()0f x '<; 当1 2 x >- 时,()0f x '>. 从而,()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????,,, ∞单调增加,在区间112?? -- ??? ,单调减少. (Ⅱ)()f x 的定义域为()a -+,∞,2221 ()x ax f x x a ++'=+. 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-. (ⅰ)若0?< ,即a << ()f x 的定义域内()0f x '>,故()f x 的极值. (ⅱ)若0?= ,则a a = 若a = ()x ∈+ ,2 ()f x '= . 当x =时,()0f x '=,

当2 x ? ??∈-+ ? ????? ,∞时, ()0f x '>,所以()f x 无极值. 若a =)x ∈+,()0f x '= >,()f x 也无极值. (ⅲ)若0?>,即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-,,从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点, 故()f x 无极值. 当a > 1x a >-,2x a >-,()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点, 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==,取得极值. 综上,()f x 存在极值时,a 的取值范围为)+. ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=. 【2008新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ,,曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程为y =3. (Ⅰ)求()f x 的解析式: (Ⅱ)证明:函数()y f x =的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (Ⅲ)证明:曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值. 21.解:(Ⅰ)2 1 ()() f x a x b '=- +,

(完整)高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题 题型一:利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 (1)若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式; (2)在(1)的条件下,求函数)(x f y =在[-3,1]上的最大值; (3)若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增,求实数b 的取值范围 解:(1)极值的求法与极值的性质 (2)由导数求最值 (3)单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证:)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解:(1)单调区间 零点 驻点 拐点————草图 (2)草图——讨论 题型二:利用导数解决恒成立的问题 例1:已知322()69f x x ax a x =-+(a ∈R ). (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间; (Ⅱ)当0a >时,若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立,求实数a 的取值范围.

例2:已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++,1()()2 g x f x '=. (1)证明:当22t <时,()g x 在R 上是增函数; (2)对于给定的闭区间[]a b ,,试说明存在实数 k ,当t k >时,()g x 在闭区间[]a b , 上是减函数; (3)证明:3()2 f x ≥. 解:g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人,我也没做出来 例3:已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f (1)求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 (2)对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立,求实数a 的取值范围 解:讨论点x=1/e 1/e

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年:设函数2 ()1x f x e x ax =---。 (1)若0a =, 求()f x 的单调区间; (2)若当0x ≥时()0f x ≥, 求a 的取值范围 2019年:已知函数ln ()1a x b f x x x = ++, 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=. (I )求,a b 的值; (II )如果当0x >, 且1x ≠时, ln ()1x k f x x x >+-, 求k 的取值范围. 2019年: 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-. (Ⅰ)求)(x f 的解析式及单调区间; (Ⅱ)若b ax x x f ++≥2 2 1)(, 求b a )1(+的最大值.

2019: 一卷:已知函数()f x =2 x ax b ++, ()g x =()x e cx d +, 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0, 2), 且在点P 处有相同的切线42y x =+ (Ⅰ)求a , b , c , d 的值; (Ⅱ)若x ≥-2时, ()f x ≤()kg x , 求k 的取值范围. 2019一卷:设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+, 曲线()y f x =在点(1, (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ; (Ⅱ)证明:()1f x >. 2015一卷:已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ , ()ln g x x =-. (Ⅰ)当a 为何值时, x 轴为曲线()y f x = 的切线; (Ⅱ)用min {},m n 表示m , n 中的最小值, 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x , 讨论()h x 零点的个数.

高三数学导数压轴题

导数压轴 一.解答题(共20小题) 1.已知函数f(x)=e x(1+alnx),设f'(x)为f(x)的导函数. (1)设g(x)=e﹣x f(x)+x2﹣x在区间[1,2]上单调递增,求a的取值范围; (2)若a>2时,函数f(x)的零点为x0,函f′(x)的极小值点为x1,求证:x0>x1. 2.设. (1)求证:当x≥1时,f(x)≥0恒成立; (2)讨论关于x的方程根的个数. 3.已知函数f(x)=﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1(a∈R).

(1)当a=1时,判断g(x)=e x f(x)的单调性; (2)若函数f(x)无零点,求a的取值范围. 4.已知函数. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若存在成立,求整数a的最小值.5.已知函数f(x)=e x﹣lnx+ax(a∈R).

(Ⅰ)当a=﹣e+1时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当a≥﹣1时,求证:f(x)>0. 6.已知函数f(x)=e x﹣x2﹣ax﹣1. (Ⅰ)若f(x)在定义域内单调递增,求实数a的范围; (Ⅱ)设函数g(x)=xf(x)﹣e x+x3+x,若g(x)至多有一个极值点,求a的取值集合.7.已知函数f(x)=x﹣1﹣lnx﹣a(x﹣1)2(a∈R).

(2)若对?x∈(0,+∞),f(x)≥0,求实数a的取值范围. 8.设f′(x)是函数f(x)的导函数,我们把使f′(x)=x的实数x叫做函数y=f(x)的好点.已知函数f(x)=. (Ⅰ)若0是函数f(x)的好点,求a; (Ⅱ)若函数f(x)不存在好点,求a的取值范围. 9.已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+2(a为常数).

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数,当(0,]x e ∈时,有()ln f x ax x =+(其中e 为自然对数的底,a ∈R ). (Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)试问:是否存在实数0a <,使得当[,0)x e ∈-,()f x 的最小值是3?如果存在,求出实数a 的值;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)设ln ||()||x g x x =([,0)(0,]x e e ∈- ),求证:当1a =-时,1 |()|()2 f x g x >+; 2. 若存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足: ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+,则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知 2()h x x =,()2ln x e x ?=(其中e 为自然对数的底数). (1)求()()()F x h x x ?=-的极值; (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β,且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f (I )求)(ααf 的值;(II )判断),()(βα在区间x f 上单调性,并加以证明; (III )若μλ,为正实数,①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小; ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. (I )求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求()f x 的单调区间; (II )是否存在实数m ,使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立,若存在,求出m 的范围;若不存在,请说明理由. 5.若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- (1)求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间; (2)若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立,求实数a 的取值范围.

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- (1) 若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >; (2) 若0x =是()f x 的极大值点,求a . 考点分析 综合历年试题来看,全国卷理科数学题目中,全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中,很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问,主要通过函数的单调性证明不等式,第2小问以函数极值点的判断为切入点,综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题,对思维能力(化归思想与分类讨论)的要求较高。 具体而言,第1问,给定参数a 的值,证明函数值与0这一特殊值的大小关系,结合函数以及其导函数的单调性,比较容易证明,这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式,比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点,把ln(1)x +前面的系数化为1,判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系,仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数,解法更加容易,思维比较巧妙。总体来讲,题目设置比较灵活,不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系:对于任意函数,在极值点,导函数一定等于0么(存在不存在)?导函数等于0的点一定是函数的极值点么?因此,任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中,0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增),对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减),因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围,所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上,可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求,难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况,非常巧妙,但是思维跨度比较大,在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是,官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视,这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现,这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势,对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高,符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

(完整word)高中数学导数练习题

专题8:导数(文) 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析:()2'2 +=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案:3 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 解析:因为21= k ,所以()2 1 1'=f ,由切线过点(1(1))M f ,,可得点M 的纵坐标为25,所以()2 5 1=f ,所以()()31'1=+f f 答案:3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 解析:443'2 --=x x y ,∴点(13)-,处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-,带入切线方程可得2=b ,所以,过曲线上点(13)-,处的切线方程为:025=-+y x 答案:025=-+y x 点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 解析:Θ直线过原点,则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上,则02030023x x x y +-=,∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ,∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ,∴

高二数学导数测试题(经典版)

一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对 2.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度 为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 3.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 4.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ 5.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图 所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-7.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1

函数极限与导数高中数学基础知识与典型例题

知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1.数学归纳法: (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =( , k N k n + ∈≥)时,结论() P k成立,证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时,() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时, n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在,且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==, 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±;lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地,如果C是常数,那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =(C 为常数)②lim0 n a n →∞ = k (,a k 均为常数且N* ∈ k) ③ (1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a,公比为q(1 q<)的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注:⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况,但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关,若当) (* N k k n∈ =时该命题成立,那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立,现已知当5 = n时该命题不成立,那么可推得() (A)当6 = n时,该命题不成立(B)当6 = n时,该命题成立 (C)当4 = n时,该命题成立(D)当4 = n时,该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时,左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)-2 (C)- 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中,若 n n S Lim ∞ → 存在,则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++, 12 n n A a a a =+++,则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中,各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数,则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ,公比为q,且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1, 且3 lim= ∞ → n n S,则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数,且0 <b<1,若lim n n S →∞ =存在,则lim n n S →∞ =________. 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-,设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+,又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积. (Ⅰ)求 1 T, 2 T, 3 T的值;(Ⅱ)试比较 n T与 1+ n a的大小,并证明你的结论. 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化,原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面)

(完整版)高中数学导数压轴题专题训练

高中数学导数尖子生辅导(填选压轴) 一.选择题(共30小题) 1.(2013?文昌模拟)如图是f(x)=x3+bx2+cx+d的图象,则x12+x22的值是() A.B.C.D. 考点:利用导数研究函数的极值;函数的图象与图象变化. 专题:计算题;压轴题;数形结合. 分析:先利用图象得:f(x)=x(x+1)(x﹣2)=x3﹣x2﹣2x,求出其导函数,利用x1,x2是原函数的极值点,求出x1+x2=,,即可求得结论. 解答:解:由图得:f(x)=x(x+1)(x﹣2)=x3﹣x2﹣2x, ∴f'(x)=3x2﹣2x﹣2 ∵x1,x2是原函数的极值点 所以有x1+x2=,, 故x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2==. 故选D. 点评:本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值,是对基础知识的考查,属于基础题. 2.(2013?乐山二模)定义方程f(x)=f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x,h(x)=ln(x+1),φ(x)=x3﹣1的“新驻点”分别为α,β,γ,则α,β,γ的大小关系为() A.α>β>γB.β>α>γC.γ>α>βD.β>γ>α 考点:导数的运算. 专题:压轴题;新定义. 分析:分别对g(x),h(x),φ(x)求导,令g′(x)=g(x),h′(x)=h(x),φ′(x)=φ(x),则它们的根分别为α,β,γ,即α=1,ln(β+1)=,γ3﹣1=3γ2,然后分别讨论β、γ的取值范围即可. 解答: 解:∵g′(x)=1,h′(x)=,φ′(x)=3x2, 由题意得: α=1,ln(β+1)=,γ3﹣1=3γ2, ①∵ln(β+1)=, ∴(β+1)β+1=e, 当β≥1时,β+1≥2, ∴β+1≤<2, ∴β<1,这与β≥1矛盾, ∴0<β<1; ②∵γ3﹣1=3γ2,且γ=0时等式不成立,

导数文科高考数学真题

2012-2017导数专题 1.(2014大纲理)曲线1x y xe- =在点(1,1)处切线的斜率等于( C ) A.2e B.e C.2 D.1 2.(2014新标2理) 设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( D ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.(2013浙江文) 已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如右图所示, 则该函数的图象是(B) 4.(2012陕西文)设函数f(x)= 2 x +lnx 则( D ) A.x= 1 2 为f(x)的极大值点B.x= 1 2 为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点 5.(2014新标2文) 函数() f x在 x x =处导数存在,若 :()0 p f x=: :q x x =是() f x的极值点,则A.p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C. p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D. p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 【答案】C 6.(2012广东理)曲线在点处的切线方程为___________________. 【答案】2x-y+1=0 7.(2013广东理)若曲线在点处的切线平行于轴,则 【答案】-1 8.(2013广东文)若曲线在点处的切线平行于轴,则. 【答案】 1 2 9.(2014广东文)曲线53 x y e =-+在点(0,2) -处的切线方程为. 【答案】5x+y+2=0 10.(2013江西文)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=。 33 y x x =-+() 1,3 ln y kx x =+(1,)k x k= 2ln y ax x =-(1,)a x a=

人教A版高中数学选修《导数综合练习题》

导数练习题 1.(本题满分12分) 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示. (I )求d c ,的值; (II )若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ,求函数)(x f 的解析式; (III )在(II )的条件下,函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围. 2.(本小题满分12分) 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=. (I )求函数)(x f 的单调区间; (II )函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间(1,3)上不是单调函数,求m 的取值范围. 3.(本小题满分14分) 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值. (I )求实数a 的取值范围; (II )若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根,求)(x f 的解析式; (III )对于(II )中的函数)(x f ,对任意R ∈βα、,求证:81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f . 4.(本小题满分12分) 已知常数0>a ,e 为自然对数的底数,函数x e x f x -=)(,x a x x g ln )(2-=. (I )写出)(x f 的单调递增区间,并证明a e a >; (II )讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数. 5.(本小题满分14分) 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+. (I )当1k =时,求函数()f x 的最大值; (II )若函数()f x 没有零点,求实数k 的取值范围; 6.(本小题满分12分) 已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点(???=718.2e ). (I )求实数a 的值; (II )求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值. 7.(本小题满分14分) 已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f

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