波叠加时的能量佯谬

第三个佯谬是两相向传播的波列抵消问题． 如图４（ａ）所示，两列正弦波相向传播．在第 一个波峰和第一个波谷重叠的一刹那。彼此全部 抵消，此刻这段波列里的能量哪儿去了？把问题 提得更尖锐一点，如图４（ｂ）所示，一对形状和大 小一样的正负脉冲相遇时，整个脉冲都抵消了，能 量随之全部消失，以后还会有反向脉冲继续传 播吗？
图２两点波源的干涉
图２所示为两点波源干涉的水波盘实验，其 中干涉强度极大的轨迹由黑线描出，干涉强度极 小的轨迹由白线描出，它们都是以波源为焦点的 双曲线族．设两波源之间的距离为ｄ，波长为叉． 对于水波，波长是不易调节的．我们设想将它换 成电磁波，譬如波源是雷达天线，两天线之间的距 离ｄ与波长Ａ之比可以调节．若我们将ｄ与Ａ之 比逐渐缩小，由４减到２，再减到１、１／２，如图３所 示．我们看到，当ｄ＝ａ／２时，空间各点的相位差 由零（在两波源的中垂面上）增至７ｃ（在两波源联线 的延长线上）．有学生问：如果ｄ继续减小到Ａ／４
物理与Ｔ程Ｖ０１．１ ８ Ｎｏ．５ ２００８
波叠加时的能量佯谬
赵凯华 （北京大学物理学院，北京 １００８７１）
（收稿Ｅｌ期：２００８—０７ ２１）
波叠加是运动学的叠加，涉及能量守恒问题 时常常会出现一些似是而非的矛盾．我和我的同 事们常常会因这类问题被学生难倒．下面就我在 长期教学中遇到过的问题，以及同事们和我讨论 过的问题，提出我的解答，向同行们请教．
ｐ＋ｏｓｉｎ（ｅｏｔ－ｋｘ）ｐｍｓｉｎ（ｗｔ＋ｋｘ）
图６两反向传播的声波里速度的方向
从上面这个问题中我们看到，笼统地说“波的 能量正比于振幅的平方”是不够的．一般说来，在 一个波动中总有两个物理量，它们所拥有的能量 可以相互转化．只根据其中一个量的振幅来判断 能量的大小，有时是片面的．
万方数据
波叠加时的能量佯谬
万方数据
ｄ＝４Ｘ
ｄ＝２Ｘ
ｄ＝－Ａ
图３波源间距离逐渐缩小
ｄ＝Ｍ２
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以下时，空间各点的相位差由零增至丌／２以下， 此时空间所有点的强度都大于单波强度的２倍， 空间各处的能量有增无减，总能量如何能够守恒？
我认为这是一个波阻抗问题．在无线电电路 中功率放大器的输出依赖于阻抗，在这里微波天 线的输出功率也依赖于空间的波阻抗，而空间的 波阻抗与ｄ和Ａ之比有关．所以微波天线的输出 功率并不是常量，ｄ小于Ａ／４时波场总能量的增 加是由天线输出功率的增加来保证的．
会议以大会报告、分组报告和论文张贴的形 式开展了学术交流．一批高校的代表们介绍了物 理教学改革与实践的经验．会议共评选出了优秀 会议论文１６篇，其中报告类优秀论文１１篇（教学 类５篇、实验类４篇、其他类２篇）、张贴类优秀论 文５篇（教学类３篇、实验类２篇）．
承办会议的中南大学对此次会议高度重视， 精心安排会议议程和接待，中南大学理学院为会 议的顺利进行做了周到细致的工作，与会代表对 此表示衷心感谢．
于是
［等］，＝［嚣］，一［差］，［嚣ｌ＝等ｃ９，
式中
一√［嚣］；
为声速．将式（７）和式（９）代入式（５），得
叫一胁＋帅７＋筹２＂２＋譬 （１。）
式（１０）右端第一项ｐｏ￡ｏ为常量，第二项ｈｏｐ７代表 焓随密度的涨落而涨落，它在全空间的积分为零，
（下转第４丽）
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２００８年全国高等学校物理基础课程教育学术研讨会纪要
由教育部高等学校物理基础课程教学指导分 委员会和中国物理学会物理教学委员会（以下简 称两委会）主办、中南大学承办的２００８年全国高 等学校物理基础课程教育学术研讨会于７月２１ 日一２５日在长沙市举行，来自全国各地高校的 ３５０余名物理教师参加了研讨会．教育部高等学 校物理基础课程指导分委员会主任委员李师群教 授、中国物理学会物理教学委员会主任陆果教授 以及两委会部分委员参加了会议．中南大学陈启 元副校长和湖南省教育厅高教处夏智伦处长出席 了开幕式并致辞，中国物理学会物理教学委员会 主任陆果教授代表两委会致辞．
鉴于北京大学赵凯华先生为我国基础物理教 育做出的重要贡献和取得的突出成就，为表达全国 从事基础物理教学的老师们对赵先生的崇高敬意 和深切谢意，经两委员会充分酝酿，投票推选，决定 在本次研讨会上授予赵凯华先生《物理教学杰出成 就奖》．会上进行了颁奖仪式，由两委员会主任代表 两委员会向赵凯华先生授予奖状和奖牌．赵凯华先 生在会上做了题为“波叠加时的能量佯谬”的学术 报告．大会还邀请了国防科技大学袁建民教授和中 南大学蒋亦民教授分别做关于原子分子超快动力 学研究和软凝聚态物质研究的学术报告．
理——Ｋｒａｍｅｒｓ—Ｋｒ６ｎｉｇ定理，按照此定理推论， 有色散必有耗散．Ｋｒａｍｅｒｓ—Ｋｒ６ｎｉｇ定理的前提是 因果律，其适用性非常广泛，对于任何波都应该适
用．所以无耗散的波也无色散．无色散无耗散波 的两个最基本实例是真空中的电磁波和线性声 波，下面就讨论这两种波．
先看真空中的电磁波，其能量密度为
现在看』Ｄ７和ｖ的相位关系．连续方程为
型一一风ａｖ３ｔ
广” ３ｘ
（１２） 、
设沿正负方向传播的两波为
≮瓮瓮；＝
（１３） （１４）
代入式（１２），有
∞ＩＤ士ｏｃｏｓ（ｃｏｔ千妇）＝±忌口士ｏｃｏｓ（ｗｔ千ｋｘ）
即
口～士。一±如川士～。
（１５）
在Ｐ一。＝一ｐ＋。的情况下口一。一口＋。，正负方向两波 中速度的方向如图６所示．当波峰和波谷重叠时 速度同向叠加，热力学势能转化为动能，总能量是 守恒的．
第二个佯谬发生在两点波源的干涉问题中．
Ｍ２
图１迈克耳孙干涉仪
以迈克耳孙干涉仪为例．如图１所示，从光源 发出的一束光Ｏ被分束板Ｇ分成等强度的１、２ 两束．光束１经Ｍ。反射后又回到Ｇ，再被分成等 强度的１１、１２两束；光束２经Ｍ：反射后也被Ｇ 再分成等强度的２１、２２两束．１１和２１两束光交 叠时发生干涉，在相位差为零处形成亮纹，强度变 成４倍；在相位差为兀处形成暗纹，强度为零．通 常我们说，能量在空间进行了重新分配．在光束 平行的情形下，有可能整个视场都是暗的，这时能 量哪儿去了？我们说，当光束１１和２１相位差为兀
图５两反向传播的电磁脉冲里电场和磁场的方向
Ｆ面看线性声泼．声波介质的能量密度为
训一ｌＤ￡＋虿１ Ｐ２
（３）
式中，ｐ为介质质量密度；ｅ为介质内能密度；口为
介质元速率．下一步进行线性化：
Ｐ一伽＋Ｐ７，ｅ一￡。＋ｅ７，口一ｕ７
（４）
式中，下标为０的是均匀不变的零级量，带撇的是
１级扰动量．将（３）式里的伽展开：
7月7日
ｗ＝ｐｏｅｏ＋［型３ｐ ＬＰ７＋
土２『等］Ｐ，２＋三２ Ｌ ａＰ２ Ｊ惭
ｐｏ“ 可ｚ（５“）７
按热力学第一定律，有
ｄ￡＝丁ｄＳ—ｐｄ（丢）２丁ｄＳ＋参ｄＰ（６）
式中Ｓ为熵密度．声波为绝热（即等熵）过程， 因而
［等卜＋Ｐ融一ｅ＋詈一＾㈩
式中ｈ为焓密度．
拈ＴｄＳ－＋－ｌＩＤＩＤ ｄｐ“Ｌ口 飘∥Ｊ一ｓ 万１０ １（８）
第一个佯谬发生在光的薄膜干涉问题中．
时，光束２１和２２相位差必为零，能量集中到哪里 去了．然而光束１１和２１经观察者的瞳孔在视网 膜上才交叠，有学生问：１１和２１两束光原本各自 都带有能量，到了交叠时才发现相位不对头，不该 有能量来到这里，赶快把能量退回到另一路２１和 ２２那里去，来得及吗？
我对这个问题的解答是，我们讨论的是光场 达到定态分布后的情形，不涉及如何达到定态的 暂态过程．
会上教指委副主任委员顾牡教授和霍剑青教 授分别做了《理Ｔ科类大学物理课程教学基本要 求》和《理丁科类大学物理实验课程教学基本要 求》的宣讲报告，进一步推动两个基本要求的实 施．两个基本要求是教育部高等学校物理基础课 程教学指导分委员会历时５年编制的，２００８年１ 月通过了教育部高等学校物理学与天文学教学指 导委员会的再次审核，３月经教育部高教司同意，６ 月由高等教育出版社正式发行．会上高等教育出版 社向每位代表赠送了刚出版发行的两个基本要求．
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
赵凯华 北京大学物理学院,北京,100871
物理与工程 PHYSICS AND ENGINEERING 2008，18(5) 0次
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１
ｗ一÷（ｅｏＥ２＋／１０ Ｈ２）
（１）
厶
能场Ｅ的方向表示电磁波的振动方
万方数据
向，磁场Ｈ的方向与之垂直，且Ｅ、Ｈ与传播方向 ｓ构成右手螺旋关系．图４（ｂ）中两反向传播的电 磁脉冲里电场和磁场的方向如图５所示．当两脉 冲重叠时，电场方向相反，磁场方向相同，电场能 全部转化为磁能，总能量是守恒的．
教育部高等学校物理基础课程教学指导分委员会 中国物理学会物理教学委员会
２００８年７月２５日
（上接第３页）
与声波传递的能量无关． 与与声吉波浦相相联群系磊的的能能量暑是县 后两项：
叫，一号（等２ ｅ２＋ｐｏｖ２） …，
上式右端第二项正比于可２，是动能；第一项正比 于Ｐ”，相当于势能（某种热力学势能）．
ｓｉｎ（ｗｔ－ｋｘ）
ｓｉｎ（（ｏｔ＋ｋｘ）
图４两相向传播的波列
这个问题先后是几位老师向我提出的，问题 都来源于学生（本科生和研究生），确实把我难倒 了好长一段时间．最近下决心认真考虑一下，才
自认为把它搞清楚了．下面是我的解答． 为了讨论能量的去处比较简单，我们只讨论
无耗散波．在色散介质电动力学中有一条基本定