等分图形面积

（2）若四边形ABCD是梯形． 点P在BC上什么位置?
A D
点P在线段CS上呢？
M B P S C N
T
P
设MC的中点为S． 点P在线段BS上时， 在线段CD上存在点Q，
设BN的中点为T． 点P在线段TC上时， 在线段AB上存在点Q， 直线PQ将△ABN面积 2等分．
直线PQ将△DMC面积 2等分．
经过边BC上的点P作直线将△ABC分割成 2个面积相等的图形．
A
（1）若点P与点B(或C)重合；
Q
取AC中点Q，连接PQ．
B
PA
C
（2）设BC边中点为M，点P与点M重合．
连接AP．
B
M P
C
（3）设BC中点为M，若点P与点B(C)、点M不重合． 如图，P在BM上．
A
Q
连接AP． 可能是AP吗？
满足条件的直线与三角形边的交 点Q可能在AB上吗？
等分图形面积
如何用直线将一个多边形分割成几个面积相等的图形？ n边形 m个面积相等的图形
如何研究这个问题？
从最简单的开始研究． n＝3，m＝2．
活动1：将△ABC分割成2个面积相等的图形．
A
作法：（1）取BC边中点M； （2）作直线AM． 则直线AM即所求的分割线．
B
M
C
S△ABM＝ S△ACM（等底同高的三角形面积相等）．
X
Y
S△XST＝ S△YST
T
数量关系
SE
F
XY∥ST
位置关系
过X作XE⊥ST，过Y作XF⊥ST ，垂足为E、F． 因为S△XST＝ S△YST，所以XE＝YF． 所以XE∥YF．
反之，因为XE∥YF， 所以XE＝YF．
所以S△XST＝ S△YST（同底等高的三角形面积相等）．
如何确定点Q的位置？ 设BC边中点为M，连接AM．
取CQ中点T，连接PT ．
结论：点P在BC上的位置的不同对分割线的位置有影响， 要分情况分析！
n＝3，m＝4， n＝3，m＝5， n＝3，m＝6，
…
活动3：将四边形ABCD分割成2个面积相等的图形．
（1）若四边形ABCD是平行四边形．
A O B P C D
经过对角线AC、BD的交点O的直线即可以将 平行四边形的面积等分．
B
P
M
C
连接AM．
则S△ABM＝ S△ACM． S△APC＞S△ACM． Q一定在边AC上（与A不重合）． 即使S△PQC＝ S△ACM．
如何确定点Q的位置？
要使S△PQC＝ S△ACM，
A
Q O
就要使S△AQO＝ S△PMO．
连接QM，
就要使S△AQM＝ S△PQM．
M
C
B
P
△AQM与△PQM的有相同的底QM． 就要使A、P到QM的距离相等． 就要有AP∥QM．
活动2：将△ABC分割成3个面积相等的图形．
A
作法：（1）取BC边三等分点M、N； （2）连接AM、AN． 则直线AM、AN即所求的分割线．
B
M
N
C
S△ABM＝ S△ANM ＝S△CAN．
（等底同高的三角形面积相等）
经过边BC上的点P作直线将△ABC分割成3个面积相等的图形．
A
Q
（1）若点P在点B(或C)，则方法同前；
（2）若四边形ABCD是梯形． 点P在BC上什么位置?
A D
Q
设MC的中点为S． 设BN的中点为T．
点P在线段ST上呢？
N
M
B
S
P
T
C
设 AD＝a，BC＝b．
a＋b 则 BM＝CN＝a，SC＝BT＝ ． 2
因为 BT＋SC－ST＝BC， 所以 ST＝a＋b－b＝a．
所以 BS＝TC．
在线段AD上存在点Q，满足AQ＝PT，直线PQ将梯形ABCD 面积2等分．
B
M (P )
C
（2）若点P在取BC边三等分点M（或N）处．
（3）设BC边三等分点M、N，若点P不在M(N)处及B(C)处．
点P可能在什么位置？ 线段BM、MN、CN上． A 点P在线段MN上．
Q
T
连接AM、AN、AP． 过M作QM ∥ AP，交AB于点Q ．
N
C
B
M P
连接QP． 则S△AQM＝ S△PMQ，
经过边BC上的点P作直线将△ABC分割成2个面积相等的图形． （3）设BC中点为M，若点P与点B(C)、点M不重合．
A
如图，P在CM上．
连接AM，AP．
Q
则S△ABM＝ S△ACM．
B
M
P
C
满足条件的直线与三角形边的交点Q可能在AC上吗？ Q一定在边AB上（与A不重合）． 结论：点P在BC上的位置的不同对分割线的位置有影响， 要分情况分析！
（3）若四边形ABCD是一般四边形．
A D
M
B
P
C
类比梯形，进行研究!
n＝4，m＝3． n＝4，m＝4．
…
n＝5，
n＝6，
…
活动感悟
1．解决问题的思路：从简单的问题开始研究，积累一定数 学活动经验，形成问题解决的策略． 2．渗透的数学思想方法有： 从特殊到一般、化归、类比、分类讨论．
所以S△PQB＝ S△ABM．
（3）设BC边三等分点M、N，若点P不在M(N) 处及B(C)处．
A
点P在线段BM上．
Q T
连接AM、AP． 过M作QM ∥ AP，交AC于点Q ． 连AP＝ S△MAP，
则S△QAP ＋S△BAP ＝ S△MAP ＋S△BAP ．
即S四边形ABPQ＝ S△ABM．
活动3：将四边形ABCD分割成2个面积相等的图形． （2）若四边形ABCD是梯形．
点P在BC上，经过P作直线，将四边形ABCD的面积2等分．
①连接BD； ②过A作AM∥BD，交CB的延长线于M； ③连接DM． 则S△MBD＝ S△ABD，
A D
即S四边形ABCD＝ S△MDC．
M
B
P
C
将四边形的问题转化为三角形的问题．
A
Q
AP∥QM． 过M作QM ∥ AP，交AC于点Q ．
B
则S△AQM＝ S△PMQ．
P M
C
则S△AQM ＋S△CQM ＝ S△PMQ ＋S△CQM ． 所以S△ACM ＝ S△PQC ．
A
Q
作法：（1）连接AP； （2）取BC中点M； （3）过M作QM ∥ AP，交AC于点Q ；
B
P
M
C
（4）连接PQ． 则直线PQ是满足要求的分割线．