第一节频率特性的基本概念资料重点
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精品文档-自动控制原理(第二版)(千博)-第5章
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图 5-5 惯性环节的波德图
25
三、对数幅相图(Nichols图)
对数幅相图是以相角(°)为横坐标, 以对数幅频L(ω)(dB)
为纵坐标绘出的G(jω)曲线。频率ω为参变量。因此它与幅相
频率特性一样, 在曲线的适当位置上要标出ω的值, 并且要用
箭头表示ω增加的方向。
用对数幅频Hale Waihona Puke 性及相频特性取得数据来绘制对数幅相
第五章 频 域 分 析 法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 关系 第九节 德图
频率特性的基本概念 频率特性的表示方法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性 奈奎斯特稳定性判据和波德判据 稳定裕度 闭环频率特性 开环频率特性和系统阶跃响应的
利用MATLAB绘制奈奎斯特图和波
8
图 5-2 频率特性与系统描述之间的关系
9
利用频率特性曲线分析研究控制系统性能的方法称为频域 分析法。频域分析法主要有傅氏变换法和经典法。
(1) 傅氏变换法就是系统在输入信号r(t)的作用下，其输 出响应为
即把时间函数变换到频域进行计算并以此分析研究系统的方法。 (2) 经典法就是先求出系统的开环频率特性G(jω)并绘成
的对数频率
22
(1) 对数幅频特性曲线。通常用L(ω)简记对数幅频特性, 故
ω从0变化到∞时的对数幅频特性曲线如图5-3所示。
23
(2) 相频特性曲线。通常以j(ω)表示相频特性, 即 j (ω)=∠G(jω)。对于惯性环节, 有
j (ω)=-arctanTω 对不同ω值, 逐点求出相角值并绘成曲线即为相频特性曲线, 如图5-5所示。
45
图 5-11 振荡环节近似波德图
图 5-5 惯性环节的波德图
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三、对数幅相图(Nichols图)
对数幅相图是以相角(°)为横坐标, 以对数幅频L(ω)(dB)
为纵坐标绘出的G(jω)曲线。频率ω为参变量。因此它与幅相
频率特性一样, 在曲线的适当位置上要标出ω的值, 并且要用
箭头表示ω增加的方向。
用对数幅频Hale Waihona Puke 性及相频特性取得数据来绘制对数幅相
第五章 频 域 分 析 法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 关系 第九节 德图
频率特性的基本概念 频率特性的表示方法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性 奈奎斯特稳定性判据和波德判据 稳定裕度 闭环频率特性 开环频率特性和系统阶跃响应的
利用MATLAB绘制奈奎斯特图和波
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图 5-2 频率特性与系统描述之间的关系
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利用频率特性曲线分析研究控制系统性能的方法称为频域 分析法。频域分析法主要有傅氏变换法和经典法。
(1) 傅氏变换法就是系统在输入信号r(t)的作用下，其输 出响应为
即把时间函数变换到频域进行计算并以此分析研究系统的方法。 (2) 经典法就是先求出系统的开环频率特性G(jω)并绘成
的对数频率
22
(1) 对数幅频特性曲线。通常用L(ω)简记对数幅频特性, 故
ω从0变化到∞时的对数幅频特性曲线如图5-3所示。
23
(2) 相频特性曲线。通常以j(ω)表示相频特性, 即 j (ω)=∠G(jω)。对于惯性环节, 有
j (ω)=-arctanTω 对不同ω值, 逐点求出相角值并绘成曲线即为相频特性曲线, 如图5-5所示。
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图 5-11 振荡环节近似波德图
1第一节频率特性的基本概念newPPT课件
频率特性为：G (j)x y((jj ))(j)23 1(j)4
Rmቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
() G( j)
9/15/2020
8
上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信
号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响
应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了
A()|G(j)|倍，相位移动了() G(j)。 A() 和
() 都是频率的函数。
9/15/2020
9
定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 Ym A()|G(j)|
若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 t，即稳态时：
e p 1 t 0 ， e p 2 t 0 ， ， e p n t 0
ys(t)kc1ejtkc2ejt
式中，kc1, kc2 分别为：
kc1Y(s)s(j)|sjG(s)(sR m j(s) s(jj ))sjRmG2( jj)
kc2Y(s)s(j)|sjG(s)(sR m j(s) s(jj ))sjRmG 2(jj)
Y(j )Ymej(yx)A ( )ej() R (j ) R m
可见，频率特性就是输出、输入正弦函数用矢量表示时之比。
表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正弦信号之间的数学 关系。是频率域中的数学模型。
9/15/2020
12
[结论]：当传递函数中的复变量s用jw 代替时，传递函数就转变
为频率特性。反之亦然。
y s( t) k c 1 e j t k c 2 e j t A ()R m e j( t ( )2 )j e j( t ( ))
A () R m si t n ()( Y ) m si t n ()()
式中：Rm 、Ym分别为输入、输出信号的幅值。
Rmቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
() G( j)
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上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信
号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响
应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了
A()|G(j)|倍，相位移动了() G(j)。 A() 和
() 都是频率的函数。
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定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 Ym A()|G(j)|
若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 t，即稳态时：
e p 1 t 0 ， e p 2 t 0 ， ， e p n t 0
ys(t)kc1ejtkc2ejt
式中，kc1, kc2 分别为：
kc1Y(s)s(j)|sjG(s)(sR m j(s) s(jj ))sjRmG2( jj)
kc2Y(s)s(j)|sjG(s)(sR m j(s) s(jj ))sjRmG 2(jj)
Y(j )Ymej(yx)A ( )ej() R (j ) R m
可见，频率特性就是输出、输入正弦函数用矢量表示时之比。
表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正弦信号之间的数学 关系。是频率域中的数学模型。
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[结论]：当传递函数中的复变量s用jw 代替时，传递函数就转变
为频率特性。反之亦然。
y s( t) k c 1 e j t k c 2 e j t A ()R m e j( t ( )2 )j e j( t ( ))
A () R m si t n ()( Y ) m si t n ()()
式中：Rm 、Ym分别为输入、输出信号的幅值。
《频率特性》课件
通信系统
通信系统的频率特性决定了信号传输的质量和效率，如调频（FM ）和调相（PM）通信。
音频处理
在音频处理中，频率特性用于音频信号的分析、合成和编辑，实现 音频的降噪、均衡和混响效果。
振动控制
在振动控制中，频率特性用于分析机械系统的固有频率和阻尼比， 优化系统的动态性能。
02
频率特性的基础知识
傅里叶变换
解析法
总结词
利用数学解析方法直接求解系统的频 率特性。
详细描述
解析法是一种理论分析方法，通过数 学解析方法直接求解系统的频率响应 。解析法可以获得系统频率特性的精 确解，但需要较强的数学基础和技巧 。
04
频率特性的测量技术
频谱分析仪
1
频谱分析仪是一种常用的测量频率特性的工具， 它可以测量信号的幅度和频率，以及信号的谐波 失真和调制特性等参数。
要定性和性能优化的关 键因素。
要点二
详细描述
在控制系统中，系统的频率特性决定了系统的动态响应和 稳定性。通过分析控制系统的频率特性，可以了解系统的 稳定性和性能优化的潜力。此外，控制系统的频率特性也 是实现系统抗干扰和噪声抑制的重要手段。
THANKS
感谢观看
信号接收器是一种用于接收和测量信号的设备， 它可以测量信号的幅度、频率、相位等参数。
信号发生器和信号接收器通常配合使用，可以对 电子设备进行全面的测试和评估。
05
频率特性的应用实例
通信系统中的频率特性
总结词
通信系统中的频率特性是实现信号传输和接收的关键因素。
详细描述
在通信系统中，信号的传输和接收依赖于频率特性。信号的调制和解调过程需要利用不同频率的信号 特性来实现信号的频谱搬移，从而实现在信道中的有效传输。此外，频率选择性衰落和多径效应等频 率特性也影响信号的传输质量。
电气自动控制原理与系统(第三版)
比例环节的波德图
（2）对数相频特性 由于υ（ω）=0，因此其对数相 频特性曲线是一条与横轴重合的水平线。
图4-3 比例环节 的Bode图
积分环节的波德图
1．传递函数
2．频率特性
1 G ( s) is
G( j )
1 j i
j
1
i
1
i
e
j
π 2
(4-10) (4-11) (4-12)
• 对比积分环节对数频率特性公式可知，它们之间仅 差一个负号，因此它们的Bode图对称于横轴。即对 数幅频特性L（ω ）为一条斜率为20dB/dec的直线。 当τ d=1时（理想微分环节），该直线通过横轴 ω =1处。 • 当τ d≠1时，该直线通过横轴ω =1/τ d处。由于对 数相频特性φ （ω ）=π /2，因此对数相频特性曲 线是一条通过纵轴φ （ω ）=π /2处、与横轴平行 的直线。
惯性环节的波德图
惯性环节相移计算表
ωτ 0.1 0.25 -14.1 0.4 0.5 1.0 -45 2.0 2.5 4.0 10.0 -84.3 相移/（°） -5.7 -21.8 -26.6 -63.4 -68.2 -75.9
第四章自动控制系统的频域分析法
主要内容
• • • • • • • 第一节 频率特性的基本概念 第二节 典型环节的博德图 第三节 控制系统开环博德图的绘制 第四节 对数频率稳定判据与稳定裕量 第五节 典型系统的开环博德图与频域指标 第六节 开环频率特性与阶跃响应之间的关系 本章小结
电气自动控制原理与系统 第3版
惯性环节的波德图
惯性环节对数幅频特性误差修正表
τω 误差/dB 0.1 -0.04 0.25 -0.32 0.4 -0.65 0.5 -1.0 1.0 -3.0 2.0 -1.0 2.5 -0.65 4.0 -0.32 10.0 -0.04
自动控制第四章
Nyquist步骤：1 2 3 频率特性
幅频 G ( jw ) =
1 1+w 2T 2
w 0，幅值，相角
w ，幅值，相角
与实轴或虚轴的交点
幅相特性(Nyquist)
Re
相频 G( jw)=-arctg(wT)
2 wn ⑹ 振荡环节 G( s) 2 2 s 2wn s w n w 2 1 ( ) wn U (w ) w 2 2 w 2 2 [1 ( ) ] 4 ( ) wn wn w 2 wn V (w ) w 2 2 w 2 [1 ( ) ] 4 2 ( ) wn wn
一、典型环节的奈氏图
⑴ 比例环节 G( s) K ⑵ 微分环节 G( s ) s
1 ⑶ 积分环节 G ( s ) s
G( jw ) K G ( jw ) jw
幅值相角
G K G 0 G w G 90 G 1 w G 90
G 1
奈氏图
1 G( jw ) jw
0.237 76
G
G ( j )
2(2 j ) 0 j 0 0 90 2 2 2
证明：惯性环节 G ( jw )
G ( jw )
1 1 jwT的幅相特性为半圆
1 1 jw T X jY 2 2 1 jw T 1 w T
G( j 0.6) 0.92 j 0.27 0.959 16.4 G( j1) 0.8 j 0.4 0.804 26.6 G( j 2) 0.5 j 0.5 0.707 45 G( j 4) 0.2 j 0.4 0.447 63.4 G( j8) = 0.06 - j 0.24
频率特性的基本概念
•表1-1 RC网络的幅频特性和相频0.707 0.45 0.196 0
() 0
45 63.4 78.69 90
图1-2 RC网络的幅频和相频特性 图1-3 RC网络频率特性的幅相曲线
对数频率特性图又称伯德图（Bode图），包括对数幅频特性 和对数相频特性两条曲线，其中，幅频特性曲线可以表示 一个线性系统或环节对不同频率正弦输入信号的稳态增益； 而相频特性曲线则可以表示一个线性系统或环节对不同频 率正弦输入信号的相位差。对数频率特性图通常绘制在半 对数坐标纸上，也称单对数坐标纸。
（3）利用对数运算可以将幅值的乘除运算化为加减运算， 并可以用简便的方法绘制近似的对数频率幅相特性，从而 大大简化系统频率特性的绘制过程。
自动控制原理
来求取。 （3）通过实验所测数据，进行分析求取。
G( j) G(s) s j
1.2频率特性的图形表示方法
频率特性函数最常用的两种图形表示 方法，分别为极坐标图和对数频率特 性图。
极坐标图，又称奈奎斯特图、幅相频 率特性图，其特点是将频率 作为参 变量。
当正弦信号的频率 由0 变化时， 系统频率特性向量的幅值和相位也随 之作相应的变化，其端点在复平面上 移动而形成的轨迹曲线称为幅相曲线， 其中曲线上的箭头表示频率增大的方 向。
自动控制原理
频率特性的基本概念
1.1频率特性的定义 频率特性反映了系统的频率响应与正弦
输入信号之间的关系。
图1-1 RC网络
控制系统频率特性的求解方法具有如下三种途径： （1）根据已知的系统方程，输入正弦函数求出其稳态解， 而后求解输出稳态分量和输入正弦信号的复数比。 （2）根椐系统传递函数，利用表达式
对数幅频特性图是表示环节的对数幅值 L() 20lg A()和频率 的关系曲线。
自动控制原理 第五章第一节频率特性的基本概念
《自动控制原理》第五章线性系统的频域分析与校正西北工业大学自动化学院1.频率特性的基本概念2. 幅相频率特性（Nyquist图）3. 对数频率特性（Bode图）4.频域稳定判据5. 稳定裕度6. 利用开环频率特性分析系统的性能7.利用闭环频率特性分析系统的性能8.频率法串联校正频域分析法特点（1）研究稳态正弦响应的幅值和相角随输入信号频率的变化规律（2）由开环频率特性研究闭环系统的性能（3）图解分析法（4）有一定的近似性5.1 频率特性的基本概念RC 电路如图所示，u r (t )=A sin ωt , 求u c (t )=?建模[]r c=+CR 1U s U ()1()()CR 1c r U s G s ==U s s +例1 r c=+R u i u c=C i u r c c=+CR u u u 频率响应()()()c r s s =====+++T CR 111T CR 1T 11TU G s U s s s 0122222()c +=⋅=+++++1T 1T 1T C A ωC s C U s s s s s ωω02222lim →−==++1T T T 1T s A A C s ωωωω222=+1T A C ωω122-=+T 1T A C ωω222222222222()c ⎡⎤=⋅+⋅−⋅⎢⎥+++++++⎣⎦T 11T 1T 1T 1T 1T 1T A A s U s s s s ωωωωωωωωωRC 电路如图所示，u r (t )=A sin ωt , 求u c (t )=?例1 []T 2222T ()sin cos cos sin 1T 1Tt c A A u t e t t ωωαωαωω−=+⋅−⋅++22−=++T T 1Tt A e ωω频率响应：线性系统稳态正弦响应的幅值、相角随输入频率的变化规律。
22()sin(-arctan T)1T s A c t t ωωω=+()sin r t A tω=RC 电路频率特性G (j ω)的定义：()()()=∠j j j G G G ωωω()sin r t A t ω=22()sin(-arctan T)1T s A c t t ωωω=+22()()()==+s 1j 1T c t G r t ωωs ()()()arctan ∠=∠−∠=−j T G c t r t ωω幅频特性相频特性频率特性的获取方法：()()==j j s G G s ωω=−221arctan T 1T ωω∠+=∠++111j T 1j T ωω1=1+j T ωj 1T 1s ωs =+()sin r t A t ω=22()sin(-arctan T)1T s A c t t ωωω=+系统模型间的关系总结()()()=∠j j j G G G ωωωs 22()()()==+1j 1T c t G r t ωωs ()()()∠=∠−∠=−j arctan T G c t r t ωωG(j ω)的定义：G(j ω)的获取方法：()()==j j s G G s ωω感谢聆听，下节再见。
第一节频率特性的基本概念
此外，在验证推导出的传递函数的正确性时，也往往用它 所对应的频率特性同测试结果相比较来判断。
2019/9/29
频率分析法--频率特性的基本概念
11
定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 Cm A( ) | G( j ) |
为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输Rm入信号在稳态时
的放大特性；
定义稳态响应与正弦输入信号的相位差() G( j) 为系统
的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相
频率特性与传递函数的关系为：
G( j ) G(s) |s j
由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域 法在数学上是等价的。
2019/9/29
频率分析法--频率特性的基本概念
13
[结论]：当传递函数中的复变量s用 j代替时，传递函数就转变
为频率特性。反之亦然。
到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下
u i(t)
R C
u o(t)
G(s) Ui (s) 1 Uo (s) Ts 1
式中，T=RC，为电路的时间常数，单位为s。
若向电路输入一个振幅为Ui、角频率为ω的正弦信号，即 ui (t) Ui sin t (5-1)
当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为
U
o
(s)
1 Ts
U 1
s j
RmG( j )
2j
2019/9/29
频率分析法--频率特性的基本概念
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而 G( j ) G(s) |s j | G( j ) | e jG( j ) A( )e j ( )
G( j ) G(s) |s j | G( j ) | e jG( j ) A( )e j ( )
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频率分析法--频率特性的基本概念
11
定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 Cm A( ) | G( j ) |
为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输Rm入信号在稳态时
的放大特性；
定义稳态响应与正弦输入信号的相位差() G( j) 为系统
的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相
频率特性与传递函数的关系为：
G( j ) G(s) |s j
由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域 法在数学上是等价的。
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频率分析法--频率特性的基本概念
13
[结论]：当传递函数中的复变量s用 j代替时，传递函数就转变
为频率特性。反之亦然。
到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下
u i(t)
R C
u o(t)
G(s) Ui (s) 1 Uo (s) Ts 1
式中，T=RC，为电路的时间常数，单位为s。
若向电路输入一个振幅为Ui、角频率为ω的正弦信号，即 ui (t) Ui sin t (5-1)
当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为
U
o
(s)
1 Ts
U 1
s j
RmG( j )
2j
2019/9/29
频率分析法--频率特性的基本概念
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而 G( j ) G(s) |s j | G( j ) | e jG( j ) A( )e j ( )
G( j ) G(s) |s j | G( j ) | e jG( j ) A( )e j ( )
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不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了 A() | G( j) | 倍， 相位移动了 () G( j) 。 A( ) 和 ( ) 都是频率的函数。
Monday, October 19, 2020
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定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 Cm A( ) | G( j ) |
为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输Rm入信号在稳态时
A() P2 () Q2 ()
() tg 1 Q() P( )
频率特性与传递函数的关系为：
G( j ) G(s) |s j
由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域 法在数学上是等价的。
Monday, October 19, 2020
9
[结论]：当传递函数中的复变量s用 j代替时，传递函数就转变
第五章 控制系统的频率法分析
Monday, October 19, 2020
1
本章主要内容
频率特性的基本概念 频率特性的对数坐标图 频率特性的极坐标图 奈魁斯特稳定判据 稳定裕度 闭环系统的性能分析
Monday, October 19, 2020
2
第一节 频率特性的基本概念
Monday, October 19, 2020
为频率特性。反之亦然。
到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下
几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们
之间的关系如下： 微分方程
j d
dt
频率特性
s d dt
传递函数
s j
L{g(t)} L1{G(s)}
脉冲函数
Monday, October 19, 2020
10
从另一方面，若线性系统在正弦信号输入作用下，在稳态 情况下，输入输出都是正弦函数，可用矢量表示：
s j
RmG( j )
2j
Monday, October 19, 2020
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而 G( j ) G(s) |s j | G( j ) | e jG( j ) A( )e j ( )
G( j ) G(s) |s j | G( j ) | e jG( j ) A( )e j ( )
kc1
Rm 2j
R( j ) Rme jx ,C( j ) Cme jy C( j ) Cm e j( y x ) A( )e j ( ) R( j ) Rm
可见，频率特性就是输出、输入正弦函数用矢量表示时之比。
表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正弦信号之间的数学 关系。是频率域中的数学模型。
Monday, October 19, 2020
3
考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应 来分析系统的动态性能和稳态性能。
有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并 不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率 由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。 因此，这种响应也叫频率响应。
频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间接地表示 了系统的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方便又 有效的工具。
G( j) P() jQ() 这里 P() Re[G( j)] 和 Q() Im[G( j)] 分别称为系统的实
频特性和虚频特性。
Monday, October 19, 2020
8
幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列
关系：
Байду номын сангаасP() A() cos()
Q() A() sin()
e p1t 0, e p2t 0,..., e pnt 0
cs (t) kc1e jt kc2e jt
式中，kc1, kc2 分别为：
kc1
C(s)(s
j
)
|s
j
G(
s)
(
Rm ( s j
s )(s
j ) j
)
s j
RmG( 2j
j )
kc2
C(s)(s
j ) |s j
G(s) Rm(s j) (s j)(s j)
11
[例子]：设传递函数为：G(s)
y(s) x(s)
s2
1 3s
4
微分方程为：y(t)
x(t)
d2 dt 2
1 3 d
dt
, 4
d 2 y(t) dt 2
3 dy(t) dt
4 y(t)
x(t)
频率特性为：G( j)
式中， p j , j 1,2,..., n为极点。
若： r(t)
Rm sint,则R(s)
Rm s2 2
(s
Rm j)(s
j )
则：C(s)
N (s)R(s)
N (s)
Rm
(s p1)(s p2 )...(s pn ) (s p1)(s p2 )...(s pn ) (s j )(s j )
k1 k2 ... kn kc1 kc2
s p1 s p2
s pn s j s j
Monday, October 19, 2020
5
拉氏反变换为： c(t) k1e p1t k2e p2t ... kne pnt kc1e jt kc2e jt
若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 t ，即稳态时：
A( )e j ( ) , kc2
Rm 2j
A( )e j ( )
cs (t)
kc1e jt
kc2e jt
A( ) Rm
e j(t ( ))
e j(t ( )) 2j
A()Rm sin(t ()) Cm sin(t ())
式中：Rm 、Cm分别为输入输出信号的幅值。
上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号， 它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入
的放大特性；
定义稳态响应与正弦输入信号的相位差() G( j) 为系统
的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相
位移特性；
幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量G( j), G( j) A()e j() ，它也是 的函数。G( j) 称为频率特性。
还可将 G( j )写成复数形式，即
Monday, October 19, 2020
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一、频率特性的定义： 系统的频率响应定义为系统在正弦作用下稳态响应的振幅、
相位与所加正弦作用的频率之间的依赖关系。
对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和 c(t)，系统的传递函数为G(s)。
G(s) C(s)
N (s)
R(s) (s p1)( s p2 )...( s pn )
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定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 Cm A( ) | G( j ) |
为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输Rm入信号在稳态时
A() P2 () Q2 ()
() tg 1 Q() P( )
频率特性与传递函数的关系为：
G( j ) G(s) |s j
由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域 法在数学上是等价的。
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[结论]：当传递函数中的复变量s用 j代替时，传递函数就转变
第五章 控制系统的频率法分析
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本章主要内容
频率特性的基本概念 频率特性的对数坐标图 频率特性的极坐标图 奈魁斯特稳定判据 稳定裕度 闭环系统的性能分析
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第一节 频率特性的基本概念
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为频率特性。反之亦然。
到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下
几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们
之间的关系如下： 微分方程
j d
dt
频率特性
s d dt
传递函数
s j
L{g(t)} L1{G(s)}
脉冲函数
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从另一方面，若线性系统在正弦信号输入作用下，在稳态 情况下，输入输出都是正弦函数，可用矢量表示：
s j
RmG( j )
2j
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而 G( j ) G(s) |s j | G( j ) | e jG( j ) A( )e j ( )
G( j ) G(s) |s j | G( j ) | e jG( j ) A( )e j ( )
kc1
Rm 2j
R( j ) Rme jx ,C( j ) Cme jy C( j ) Cm e j( y x ) A( )e j ( ) R( j ) Rm
可见，频率特性就是输出、输入正弦函数用矢量表示时之比。
表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正弦信号之间的数学 关系。是频率域中的数学模型。
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考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应 来分析系统的动态性能和稳态性能。
有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并 不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率 由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。 因此，这种响应也叫频率响应。
频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间接地表示 了系统的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方便又 有效的工具。
G( j) P() jQ() 这里 P() Re[G( j)] 和 Q() Im[G( j)] 分别称为系统的实
频特性和虚频特性。
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幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列
关系：
Байду номын сангаасP() A() cos()
Q() A() sin()
e p1t 0, e p2t 0,..., e pnt 0
cs (t) kc1e jt kc2e jt
式中，kc1, kc2 分别为：
kc1
C(s)(s
j
)
|s
j
G(
s)
(
Rm ( s j
s )(s
j ) j
)
s j
RmG( 2j
j )
kc2
C(s)(s
j ) |s j
G(s) Rm(s j) (s j)(s j)
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[例子]：设传递函数为：G(s)
y(s) x(s)
s2
1 3s
4
微分方程为：y(t)
x(t)
d2 dt 2
1 3 d
dt
, 4
d 2 y(t) dt 2
3 dy(t) dt
4 y(t)
x(t)
频率特性为：G( j)
式中， p j , j 1,2,..., n为极点。
若： r(t)
Rm sint,则R(s)
Rm s2 2
(s
Rm j)(s
j )
则：C(s)
N (s)R(s)
N (s)
Rm
(s p1)(s p2 )...(s pn ) (s p1)(s p2 )...(s pn ) (s j )(s j )
k1 k2 ... kn kc1 kc2
s p1 s p2
s pn s j s j
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拉氏反变换为： c(t) k1e p1t k2e p2t ... kne pnt kc1e jt kc2e jt
若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 t ，即稳态时：
A( )e j ( ) , kc2
Rm 2j
A( )e j ( )
cs (t)
kc1e jt
kc2e jt
A( ) Rm
e j(t ( ))
e j(t ( )) 2j
A()Rm sin(t ()) Cm sin(t ())
式中：Rm 、Cm分别为输入输出信号的幅值。
上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号， 它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入
的放大特性；
定义稳态响应与正弦输入信号的相位差() G( j) 为系统
的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相
位移特性；
幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量G( j), G( j) A()e j() ，它也是 的函数。G( j) 称为频率特性。
还可将 G( j )写成复数形式，即
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一、频率特性的定义： 系统的频率响应定义为系统在正弦作用下稳态响应的振幅、
相位与所加正弦作用的频率之间的依赖关系。
对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和 c(t)，系统的传递函数为G(s)。
G(s) C(s)
N (s)
R(s) (s p1)( s p2 )...( s pn )