初三二次根式的性质与运算(鲁教版)
九年级上册二次根式知识点
九年级上册二次根式知识点作为初中数学的重要部分，二次根式是需要我们掌握的一个重要概念。
在九年级上册，我们将学习并深入理解二次根式的性质、运算以及应用。
下面，我将为大家总结九年级上册二次根式的知识点。
一、二次根式的定义二次根式是指具有形如√a（其中a为一个非负实数）的数。
其中，√称为根号，a称为被开方数，√a称为二次根式。
二、二次根式的性质1. 非负性：二次根式的结果不小于0，即√a≥0。
2. 排除负号：我们规定根号不能取负值，即√a≠-√a。
3. 分解因数：对于任何正实数a，有√a = √(n² × m)，其中n²是a 的一个因数。
三、二次根式的化简当被开方数能够分解成两个因数的乘积时，我们可以通过分解因数的方法将二次根式化简。
例如√12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3。
四、二次根式的运算1. 加减运算：二次根式的加减运算需要满足根号下的数相等，才能进行运算。
例如√5 + √5 = 2√5，2√3 - √3 = √3。
2. 乘法运算：二次根式的乘法运算可以将根号下的数相乘，并将结果放在根号下。
例如√2 × √3 = √6。
3. 除法运算：除法运算需要使用有理化的方法，即通过将除数和被除数分别乘上其共轭式的形式来进行运算。
例如，（√5 + √3）/ (√5 - √3) = （√5 + √3）×（√5 + √3）/ [(√5 - √3) × （√5 + √3）] = 8 + 2√15。
五、二次根式的应用1. 几何应用：在几何学中，二次根式经常用于计算图形的边长、面积、体积等。
2. 物理应用：在物理学中，二次根式可以用于计算电流、电压、速度、力等相关问题。
3. 经济应用：在经济学中，二次根式可以用于计算平均收益、成本、利润率等。
六、二次根式的拓展1. 无理数的定义：二次根式属于无理数，即不能表示为两个整数之比的实数。
二次根式的性质
二次根式的性质二次根式是数学中的一个重要概念，也是代数学中的一个常见表达式。
它们具有一些特殊的性质，我们来详细探讨一下。
一、定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
这里√称为根号，a称为被开方数。
当然，a可以是一个整数、小数或者分数。
二、性质1. 非负性：二次根式的被开方数a必须是非负实数，即a≥0。
因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。
2. 唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。
这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。
例如，√9=3，√25=5，√36=6，等等。
3. 运算性质：（1）加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。
当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。
例如，√a + √a = 2√a，√25 - √16 = √9 = 3。
（2）乘法：二次根式可以进行乘法运算。
两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。
例如，√a × √b = √(ab)，2√3 × 3√5 = 6√15。
（3）除法：二次根式可以进行除法运算。
两个二次根式相除时，被开方数相除，根号下的系数也可以相除。
例如，√a ÷ √b = √(a/b)，6√15 ÷ 3√5 = 2√3。
4. 化简与整理：（1）化简：有时候二次根式可以化简为更简单的形式。
例如，√4 = 2，√9 = 3，等等。
化简的关键是找到被开方数的平方因子，然后将依次提取出来。
（2）整理：有时候需要将二次根式按照一定的规则整理，使得表达式更具可读性。
例如，将√3 × 2√5整理为2√15，将5√a + 3√a整理为8√a，等等。
3. 近似值：对于无理数的二次根式，我们可以用近似值来表示。
这里的近似值可以使用小数形式或者分数形式。
四、应用二次根式是数学中广泛应用的一个概念，它在几何、代数、物理等领域都有重要作用。
1. 几何：二次根式在几何中常常用来表示线段的长度。
鲁教版二次根式的乘除(2)
二次根式的加减（2）导学案学习目标：1.熟练地进行二次根式的混合运算，乘法公式在二次根式运算中的运用；2.通过二次根式混合运算，进一步掌握二次根式的几种运算及其运算技巧；3.通过对二次根式混合运算的学习，并与四则混合运算及整式的混合运算进行比较，理解知识间的相互关系。
学习重点：二次根式的混合运算。
学习难点：二次根式混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。
学习过程：一、温故互查1.填空（1）整式混合运算的顺序是：（2）二次根式的乘除法法则是：（3）二次根式的加减法法则是：（4）写出已经学过的乘法公式：①②2．计算（1）（2x+y）·zx（2）（2x2y+3xy2）÷xy（3）（2x+3y）（2x-3y）（4）（2x+1）2+（2x-1）2二、设问导读探究新知阅读课本44和45页中的例3、例4、例5，完成下列问题【探究】如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•探究计算：（1）（）×（2）三、自我检测依照例题探究计算：1、（1）（2）2、计算:（1）（+）×（2）（4-3）÷2（3）（+6）（3-）（4）（+）（-）【课本练习】课本Р46 习题7.6 1题，3题四、拓展提升分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1）；（2）；（3）；（4）．五、小结评价1.请说说你本节课的收获？（口述给组长）2.小组对你这节课表现进行评价：（较好；好；一般；差；较差）组长：。
鲁教版《二次根式》
( a ) 2 a(a 0)
高效上好每节课·快乐上好每天学
新知探究
议一议：
(1)正方形的面积为2，它的边长是多少？面积为3呢？ 面积为S呢？
2
3
S
(2)正方形的面积为S，如果把它的面积增加1，新正方
形的边长是多少？
S 1
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？ 它们都是形如 a 的式子，并且被开方数都是非负数.
(1)( 7)
2
1 2 (2)(4 ) 5
解: (1)( 7)2 7;
1 2 1 2 1 16 2 (2)(4 ) 4 ( ) 16 . 5 5 5 5
高效上好每节课·快乐上好每天学
4、已知a，b为实数，且满足 a 你能求出a及 a+b 的值吗？
2b 1 1 2b 1
高效上好每节课·快乐上好每天学
3、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根是0； 负数没有平方根.
4、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？
4
4
高效上好每节课·快乐上好每天学
学习目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是 二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
解：依题意知：2b-1≥0，1-2b ≥0, 所以b= 把b=
1 代入原式，得a=1, 2
3 2
1 , 2
3 2
所以a+b=
答案：a=1, a+b=
高效上好每节课·快乐上好每天学
课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握：
（1）二次根式的概念；
（2）根号内字母的取值范围； （3）二次根式的性质： a 0(a 0) ；
二次根式的运算和性质
二次根式的运算和性质二次根式是指具有平方根的数，它是数学中的重要概念，与一次根式不同，二次根式的运算涉及到平方根的加减乘除，以及二次根式的化简和简化等操作。
本文将围绕二次根式的运算和性质展开讨论，帮助读者更好地理解和应用二次根式。
一、二次根式的运算1. 二次根式的加减运算对于同类项，即根号下的数相同的二次根式，可以进行加减运算。
例如：√2 + √2 = 2√2√5 - √2 = √5 - √2 （不可化简）不同类项的二次根式无法进行加减运算，如√2 + √3。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过合并同类项、利用乘法公式等方法进行。
例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3) × (√2 - √3) = √2^2 - √2√3 + √2√3 - √3^2 = 2 - 3 = -13. 二次根式的除法二次根式的除法运算可以通过有理化的方法进行。
例如：√2 ÷ √3 = (√2 × √3) ÷ (√3 × √3) = √6 ÷ 3 = √6/3 = √6/3 × √3/√3 =√18/3 = √2/√3二、二次根式的性质1. 二次根式的化简当二次根式中的根号下的数为完全平方数时，可以进行化简。
例如：√4 = 2√9 = 3√16 = 4通过化简可以简化计算过程，使得计算更加方便快捷。
2. 二次根式的大小比较对于两个二次根式的大小比较，可以通过平方的方法进行。
例如：(√2)^2 = 2(√3)^2 = 3(√4)^2 = 4可以通过比较二次根式的平方大小来确定它们的大小关系。
3. 二次根式的应用二次根式在实际应用中有广泛的用途，常见于几何学、物理学等领域的计算中。
例如，在三角形的勾股定理中，就涉及到二次根式的运算。
综上所述，二次根式的运算和性质是数学学习中的重要内容。
掌握二次根式的运算规则，了解二次根式的性质，有助于提高数学计算能力，并能应用于实际问题的解决中。
【鲁教版】山东省中考数学一轮复习三《数的开方与二次根式》说课稿
【鲁教版】山东省中考数学一轮复习三《数的开方与二次根式》说课稿一. 教材分析《数的开方与二次根式》是山东省中考数学一轮复习三的内容，主要包括数的开方法则、二次根式的性质和运算。
这一部分内容是初中数学的基础知识，也是中考的热点考点。
在教材中，数的开方与二次根式被安排在同一章节，目的是让学生通过对比学习，更好地理解和掌握这两个概念。
二. 学情分析在学习数的开方与二次根式之前，学生已经学习了实数、有理数和无理数等基础知识，对数学运算有一定的了解。
但部分学生对数的开方与二次根式的概念理解不深，容易混淆。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，引导学生深入理解概念，熟练掌握运算方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握数的开方与二次根式的定义、性质和运算方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.教学重点：数的开方与二次根式的定义、性质和运算方法。
2.教学难点：二次根式的混合运算，以及数的开方与二次根式在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、数学软件等，辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活实例引入数的开方与二次根式，激发学生的学习兴趣。
2.讲解数的开方：讲解数的开方的定义、性质和运算方法，引导学生通过观察、分析、归纳总结出规律。
3.讲解二次根式：讲解二次根式的定义、性质和运算方法，引导学生对比学习，加深理解。
4.二次根式的混合运算：通过典型例题，讲解二次根式的混合运算方法，引导学生学会运用所学知识解决实际问题。
5.数的开方与二次根式在实际问题中的应用：通过实际问题，引导学生运用数的开方与二次根式知识解决问题，提高学生的应用能力。
二次根式的性质与运算
二次根式的性质与运算二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。
在数学中，二次根式是一种常见的数学表达式，它具有一些特定的性质与运算规则。
本文将探讨二次根式的性质与运算，帮助读者更好地理解和运用二次根式。
1. 二次根式的简化与化简二次根式可以通过简化和化简来使得表达更简洁、易读。
简化是指通过寻找因式分解或者找到平方数的形式来减少根号下的数字。
例如，√12可以简化为2√3。
化简是指将数的乘方分解成不包含二次根式的形式。
例如，√16可以化简为4。
2. 二次根式的加减运算在进行二次根式的加减运算时，需要满足被加减数的被开方数相同。
例如，√2 + √3无法进行直接运算，但可以通过换元化简为(√2 + √3)(√2 + √3)。
运用公式(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²，可以得到√2 + √3 = √2 +√3 + (√2)(√3)。
因此，二次根式的加减运算可以转化为求和的形式。
3. 二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算可以通过将两个二次根式相乘，并通过关键的化简步骤来简化最终结果。
例如，√2 * √3 = √6。
如果需要计算更复杂的二次根式乘法，可以利用公式√a * √b = √(ab)进行化简。
4. 二次根式的除法运算二次根式的除法运算也是通过适当的化简步骤来求解。
例如，√6 /√2 = √3。
类似于乘法运算，可以利用公式√a / √b = √(a/b)进行化简。
5. 二次根式的幂运算二次根式也可以进行幂运算，即将二次根式的指数设置为非负整数。
例如，(√2)² = 2。
值得注意的是，在进行幂运算时，需要将指数应用于根号内的数字，并对结果进行简化。
6. 二次根式的有理化有理化是将二次根式与分母中的二次根式相消，使得根号仅出现在被开方数中。
例如，将分数1/√3有理化，可以通过乘以√3 / √3进行，得到√3 / 3。
综上所述，二次根式具有许多特定的性质与运算规则。
二次根式-鲁教版
双重非负性： a 0 （a≥0）
( a )2 a（a≥0）
例1
a 0,a 0
当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) a 1
(2) 1 3a
解:(1)由题意得 a ＋1 ≥ 0， 得a≥﹣1.
当a≥ ﹣1时， a 1 在实数范围内有意义.
(2)由题意得 1 －3a ≥ 0， 得a≤ 1 . 3
计算：
(1)( 5m )2 (m 0);
(3)( x y )2(x y)
(2)(3 1 )2 2
解：
(1)( 5m)2 5m(m 0)
(2)(3 1 )2 (3)2 ( 1 )2 9 1 9
2
2
22
(3)( x y)2 x y(x y)
课本P33 随堂练习 2 P34习题2、3
4
22
议一议
填空：-22 =2 -0.12 = 0.1
2
-
2 3
2
=
3
当 a 0时，二次根式 a2 的值是什么？：
a2 a(a 0)
当a为任意实数时，
a2
a
aa aa
0 0
例题讲解
例1 化简：
(1 ) 36 ;
解：
(2 ) 9 . 4
解(1) 36 62 6;
(2) 9 ( 3 )2 3 .
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1
(2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x 0 x
(5) x3 x 0
(6)
1 x2
x0
例2 计算： ( 2.1)2
=2.（11）
( a )2 a（a≥0）
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一、二次根式的概念及性质 重要公式：
(0)
(0)
a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．
一、对二次根式定义的考察
【例1】 判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
1
x
0)x >、1x y +x ≥0，y ≥0）．
【练一练】下列式子中，是二次根式的是（ ）．
A ．
B
C
D ．x
【例2】 当x
【例3】 当x 1
1
x +在实数范围内有意义？
【练一练】x 有（ ）个 ．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．无数
【练一练】某工厂要制作一批体积为13m 的产品包装盒，其高为0．2m ，按设计需要， 底面应做成正方形，
试问底面边长应是多少？
【例4】 解答下列题0=，求20112011a b +的值．
二次根式性质与运算
新知学习
基础演练
【练一练】已知a 、b 5b =+，求a 、b 的值．
【练一练】已知实数a 与非零实数x 满足等式：2
22130x x ⎫⎛
-+ ⎪⎝
⎭
二、对二次根式性质的考察
【例5】 计算
（1） 2 （2） 2 （3）2( （4） 2
【练一练】计算
（1） 2(0)x ≥ （2）2
（3）2 （4）2
【例6】 在实数范围内分解下列因式:
（1）25x - （2）44x - （3） 223x -
【例7】 先化简再求值：当a=9时，求a 的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=(1)1a a a =+-=；
乙的解答为：原式=(1)2117a a a a =+-=-=．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
【练一练】若-3≤x ≤2时，试化简2x -．
【例8】 x ，y 必须满足条件 ．
【例9】 如果)3(3-=
-⋅x x x x ，那么（ ）． A ．0x ≥ B ． 3x ≥
C ．03x ≤≤
D ． x 为任意实数
【练一练】已知三角形一边长为cm 2，这条边上的高为cm 12，求该三角形的面积．
【例10】 把4
3
2
4根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）． A ．11-
B ．11
C ．44-
D ．44
【练一练】把下列各式中根号外的因式移到根号里面：
（1） ;1
a
a -
（2）⋅---1
1
)
1(y y
【例11】 已知a ，b 为实数，且01)1(1=---+b b a ，求20112011a b -的值．
【练一练】探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）=
验证：
=
验证：==
同理可得：=
=……
通过上述探究你能猜测出： =_______（a >0），并验证你的结论．
【练一练】a b =，a 、b 式子表示 。
【例12】 已=x 为偶数，求(1x +
(（m >0，n >0）
三、最简二次根式的概念
【例13】 下列各式中是最简二次根式的是（ ）．
A ．a 8
B ．32-b
C ．
2
y
x - D ．y x 23
【练一练】把下列各式化成最简二次根式：
（1 （2 （3 （4
【例14】 计算：（1 （2） （3
【例15的有理化因式是 ；y 的有理化因式是 ．
的有理化因式是 ．
【例16】 把下列各式分母有理化：
（1
（22
（3 （4
【练一练】
【例17
【例18】 观察规律：
323
21,
232
31,
121
21-=+-=+-=+，……，求值．
（1）
7
221
+＝______；（2）10
111+＝______；（3）
n
n ++11
＝______．
【练一练】
=_______．
【例19】 把
有 ；与的被开方数相同的有 ；
的被开方数相同的有 ．
【例20】 若是可以合并的二次根式，则____a =．
【例21】 若n m 、n 的值．
【练一练】若a a ，b 的值．
【练一练】已知最简根式a ，b 的值（ ） A ．不存在 B ．有一组 C ．有二组 D ．多于二组
【例22】 化简计算：
（1
（2）(a b -0a b >>)
四、二次根式的加减
【例23】 计算：（1） （2
【练一练】485127-＝______．
【例24】 计算：
（1） （2
【练一练】计算：
（1
）（2
【例25】如图，一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么它的底端是否也下滑1m？
五、二次根式的乘除
【例26】计算：
（1
（2
六、二次根式的混合运算【例27】计算：
（1
）2（2
）(2
（3
）22
(2(2
--（4
）20112012 (3(3
【练一练】（1
）（2
）3ab（0,0
a b
≥≥）
C B
A。