近世代数考试复习
近世代数复习
近世代数复习(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系；集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。
第二章群的定义a.设G是一个非空集合，“▫”是其上一个二元运算，若满足1.“▫”满足结合律；2.{G，▫}中有单位元；3.{G，▫}每个元都与逆元则称{G，▫}是一个群，简称G是一个群。
b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。
群的性质1.单位元唯一；2.逆元唯一；3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1注：可以推广到无限：111211m1m1m21ma...aaa)...aa(aG,a..,------=⇒∈∀,.a,a215.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。
6.群满足左右消去律。
推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。
7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k。
8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。
9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。
交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。
元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。
若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。
有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。
一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。
定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b 和 ya = b§5变换群定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。
近世代数复习题
近世代数复习题例1 :写出剩余类加群Z15的(1) 全部元素; { [0], [1], …, [14]}(2) 全部⽣成元; { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(3) 全部⼦加群；?[0]?, ?[1]?= Z15, ?[5]?={[0], [5], [10]}= ?[10]?,[3]={ [0], [3], [6], [9], [12]} = [6]= [9]= [12].(4) 每个元素的负元；-[1]=[14], -[2]=[13], -[3]=[12],-[4]=[11], -[5]=[10], -[6]=[9], -[7]=[8].(5) 全部理想；([0]), ([1]) = Z15, ([5])={[0], [5], [10]}= ([10]), ([3])={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ([6])= ([9])= ([12]).(6) 全部可逆元；{ [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(7) 全部零因⼦；{ [3], [5], [9], [10], [12]}(8) Z15是域吗？说明理由; 不是。
因为有零因⼦。
⼀、选择题1、设实数在有理数域Q上的极⼩多项式f(x)的次数为n, 则可以⽤圆规直尺作图作出的条件是(A)(A) n是2的⽅幂；(B) n是素数；(C) n是素数的⽅幂；(D) n>2。
2、设H是群G的正规⼦群，商群G/H中的元素是(C)(A) H中的元素；(B) G\H中的元素；(C) G 关于H 的所有右陪集；(D) H 的所有共轭1Hg -g.3、设是环同态, 则同态的核是 (D)(A) Ker(?)={a ∈S: 有 ?b ∈R, 使得 ?(b )=a }；(B) Ker(?)={a ∈R: ? (a )=a }；(C) Ker(?)={a ∈?R: ? (a )=1}；(D) Ker(?)={a ∈?R: ? (a )=0}。
近世代数试题及答案
近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。
答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。
答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。
答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。
答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。
答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。
答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。
正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。
2. 请解释什么是群的同态和同构。
答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。
群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。
3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。
答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。
如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。
近世代数 复习整理
【lagrange 定理及推论】定理5 (Lagrange 定理) 设G H ≤ ,如果n H N G ==,,且[]H G :j =,那么 .nj N = 证明: []H G :j =,这表明H 在G 中的右陪集只有j 个,从而有G 的右陪集分解: j Ha Ha Ha Ha G 321= （其中H Ha =1） 由引理知,n Ha Ha Ha j==== 21所以 nj N j Ha G =⇒=1.由上等式“nj N =”知子群H 的阶n 是G 的N 阶的因子，于是可得到下面 推论：设是G 有限群，G a ∈∀，若m a =，那么m 必是G 的因子。
证明：由元素a 生成G 的一个循环子群 ()a H =.由Lagrange 定理知G H ,但 .m H =G m ∴.推论2：设G =N ，则G ∈∀H ，有H 的阶数只能是N 的因式例：{}，，，对G10a a 0Z G ==其所有子群阶数只能是1,2,5,10证：书p70|3：假定a 和b 是一个群G 的两个元，并且ab=ba ，又假定a 的阶是m ，b 的阶是n ，并且（m ，n ）=1，证明：ab 的阶是mn 。
证明：【群同态】例1：设}0|||)({)(≠∈=A R M A R GL n n .}1|||)({)(=∈=A R M A R SL n n .},{⋅=∙R G ——非零实数的乘法群。
首先有，G R GLn →)(:ϕ,其中||)(A A =ϕ，可知ϕ是群同态满射（证明略），即∙R R GLn ～)(，因为1=e ， 故知)()(R SL Ker n =ϕ，由定理2∙≅⇒R R SL R GLn n )()(.定理3—4. 设G G →:ϕ是群同态满射,于是有下列结果(1) 若 G H ≤,那么 ()G H ≤ϕ. (2) 若 G H ,那么 ()G H ϕ.(3) 若 ()G H G H ≤⇒≤-1ϕ,并ker ()()H 1-≤ϕϕ (4) 若 ()G H G H 1-⇒ϕ且 ker ()()H 1-≤ϕϕ.证明: (1) ()()g g H g G g H =∈∃∈=ϕϕ使 表示H 在ϕ下的象.于是 ()H y x H y x ∈∃⇒∈∀,,ϕ 使 ()()y y x x ϕϕ==, ,进而 , ()()()xy y x y x ϕϕϕ==,因为 H xy G H ∈⇒≤ ()H x ϕ=∴-1.由上知 ()G H ≤ϕ.(2) G H ≤, 由(1)()G H ≤⇒ϕ,另外, ()G g H x ∈∀∈∀,ϕ, ()()g g x x G g H x ϕϕ==∈∃∈∃∴,使 和 于是 ()()()()111---==gxgg x g g x g ϕϕϕϕ，因为 H gxgG H∈⇒-1()()()H gx g H gxgϕϕϕ∈⇒∈∴--11 即 ()G H ϕ.注意4. 在(1)的证明中,没有用到ϕ是满射的条件,但在(2)中用到了.(3) ()H y x 1,-∈∀ϕ,那么 ()().,H y y H x x ∈=∈=ϕϕ于是 ()()()H y x y x xy ∈==ϕϕϕ ()()H xy G H 1-∈⇒≤ϕ另外,()()H xx x ∈==---111ϕϕ ()G H ()H x11--∈∴ϕ由上知 ()G H ≤-1ϕ，且 ()()()()()H H He a a 11ker ker --≤⇒⇒∈=⇒∈∀ϕϕϕϕϕ（4） ,G H ≤ 由 （3）()G H ≤⇒-1ϕ()H x 1-∈∀ϕ，G g ∈∀. 则 ϕ()()()()()()111---==g x g g x g gxg ϕϕϕϕϕH gx g ∈=-1,()()H gxgG H 11--∈⇒ϕ, ()G H 1-∴ϕ.注意5. (3)和(4)的证明都没有用到ϕ是满射的条件.【子群的判定】 例1设G 为任意一个群，那么由G 的单位元组成子集}{e ，自然有G e ≤}{，另外G 本身也有G G ≤，所以G 一般有两个子群，统称它们为的G 平凡子群。
近世代数考试复习
V近世代数复习题>一、定义描述（8'1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。
如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a, b, c都有（a b）c = a （be）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e . 则称G对代数运算做成一个群。
12、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa =N，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。
3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）e = a（be）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+e）= ab + ae，（b+e）a = ba + ea .其中a，b，e为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。
4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N M R如果除R和N夕卜，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。
5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。
如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。
整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。
6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1 ）有一个从K的非零元集K -{ 0}到非负整数集的映射“存在；（2）这个2对K中任意元素a及b M 0,在K中有元素q, r使a=bq + r, r=0 或“ （r）< 2 （b）,则称R关于”作成一个欧氏环。
-------------------------------7、素理想：设R是一个交换环，P ? R •如果ab€ P => a€ P或b€ P,其中a, b € R,则称P是R的一个素理想。
显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。
最新近世代数复习题(陕西师范大学版)
陕西师大08级近世代数（一）一、单项选择题1. 如果B A B A ⋃= ， 则 ( )。
A.B A ⊂B. B A ⊃C. B A =D. B A ≠2.设}2,1,0{=S ，则S 上的等价关系有（ ）个。
A. 2B. 3C. 4D. 53. 指出下列运算（ ）是对应集合的二元运算A ．在有理数集Q 上，ba b a = B. 在非零有理数集*Q 上，b a b a -= C. 在有理数集Q 上，b a b a -= D. 在非零有理数集*Q 上，22b a b a -=4. 下列集合（）对运算b a =2-+b a 作成交换群。
A ．整数集Z B. 非零实数集*R C. 非零有理数集*Q D. 非零整数集*Z5. 模6加群6Z 的生成元有（ ）个。
A. 2B. 3C. 4D. 56.设),(*•=R G ，下列（ ）规则是群G 的自同态映射。
A.x x 2B. 2x xC. x x -D. xx 1-7. 下面（ ）环是非交换环。
A. ),),((•+F M nB. ),,(•+ZC. ),,(•+m ZD. 高斯整环8. 设F 是域，且16||=F ，则F 的特征为（ ）。
A. 2B. 3C. 4D. 89. 模12的剩余类环12Z 中，子环（ ）无零因子。
A. }6,0{B. }8,4,0{C. }9,6,3,0{D. }10,8,6,4,2,0{10. 设R ，-R 是两个环，且-R R ~，则下列命题中的错误的是（ ）。
A. 若R 是可换环，则-R 可换B. 若R 有单位元，则-R 有单位元C. 若R 无零因子，则-R 无零因子D. 若a 是R 的逆元，则a 象是-R 逆元。
二、计算题设5,S ∈τσ，其中)45)(123(=σ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2314554321τ。
1.求σ的周期; 2.求1-τστ及其周期;3.将1-τστ表示成形式为(1i)的2-循环置换的乘积。
三、计算与证明题设3S 是三次对称群。
近世代数辅导(四)(复习指导).doc
近世代数辅导（四）（复习指导）第一部分内容提要一、基本概念1.集合概念；子集；运算：交、并、积2.映射定义；满射；单射；一一映射；变换3.代数运算定义；运算律：结合律、交换律、分配律4.同态与同构同态映射；同态满射；同态；同构映射；同构；自同构5.等价关系与集合的分类二、群论1.样的定义及基本性质笫一定义：I, II, in；笫二定义：I, II, iv, v；有限群的另一定义：I, II, nr2.了集定义；判定条件3.群的同态群的同态；样的同构4.变换群与置换群定义；置换的两种表示方法；凯莱定理5.循环群定义；整数加样与模n的剩余类加群；循环样的构造6.子群的陪集右陪集与左陪集；两个元同在一个右（左）陪集的条件；子群的指数；拉格朗口定理7.不变子群与商群不变子群的定义及其判定条件；商群的定义；群的同态基本定理三、环与域1.环的定义及其计算规则2.有附加条件的环交换环；冇单位元环；无零因了环及其特征；整环；除环及其乘群；域3.子环、环的同态子环、子除环的定义及其判定条件；环的同态（同构）4.理想与剩余类环理想（了环）的定义；主理想的定义；剩余类环的定义；环的同态基木定理5. 设A=｛所有实数｝, 入=｛所有2()的实数｝, A和瓜的代数运算是普通乘法，证明：A第二部分思考题1.设A=｛1, 2,…，10｝,给出一个AXA到A的映射，这个映射是不是单射？2.设A=｛1, 2, 3｝,规定A的一个代数运算，这个代数运算是不是适合交换律?3.设人=｛所有实数｝,瓜=｛所有>0的实数｝,给出一个A-L/I间的一一映射。
4.设A=｛所有实数｝,给出A的两个不同的一一变换(恒等变换除外)。
到入的映射O : X -> X2, x G A是A到入的一个同态满射。
6.设A二｛所有有理数｝, A的代数运算是普通加法，证明：A到A的映射①:x —> 2x , x e A是A的一个自同构映射。
7.举一个有两个元的群的例，并写出它的运算表。
近世代数复习
第一章集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系；集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。
第二章群的定义a.设G是一个非空集合，“▫”是其上一个二元运算，若满足1.“▫”满足结合律；2.{G，▫}中有单位元；3.{G，▫}每个元都与逆元则称{G，▫}是一个群，简称G是一个群。
b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。
群的性质1.单位元唯一；2.逆元唯一；3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1注：可以推广到无限：111211m1m1m21ma...aaa)...aa(aG,a..,------=⇒∈∀,.a,a215.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。
6.群满足左右消去律。
推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。
7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k n|k。
8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。
9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。
交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。
元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。
若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。
有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。
一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。
定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b 和ya = b§5变换群定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。
若是对于上述乘法来说G做成一个群，那么G只包含A的一一变换。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。
如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e .则称G对代数运算做成一个群。
2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。
3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。
4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。
5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。
如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。
整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。
6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0 或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。
-------------7、素理想：设R是一个交换环，P ◁R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。
显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。
8、主理想：设R是一个环，任取a∈R，R中包含a的全部理想的交也是R的一个理想，且是R的包含元素a的最小理想，并称其为R的由a生成的主理想，记为< a > .9、理想：设N是环R的一个子加群，即对N中任意元素a，b，差a-b仍属于N，如果又有r∈R，a∈N => ra∈N，则称N是环R的一个左理想；如果r∈R，a∈N => ar∈N，则称N是环R的一个右理想；如果N既是R的左理想又是右理想，则称N是环R的一个双边理想，简称理想，并用符号N ◁R表示。
否则记为N ◁R .10、商群：群G的正规子群N的全体陪集对于陪集的乘法作成一个群，称为G关于N的商群，记为G/N .11、主理想环：设K是一个有单位元的整环。
如果K的每一个理想都是一个主理想，则称K是一个主理想整环。
整数环和域F上的多项式环F[ x]都是主理想整环。
但是，整数环Z上的多项式环Z[ x]不是一个主理想整环。
二、填空（30’）1、集合M的一个分类决定M的一个等价关系。
2、集合M的一个等价关系决定M的一个分类。
3、设G是一个半群，则G作为成群的充要条件是，对G中任意元素a、b，方程ax=b , ya=b在G中都有解。
4、群G的一个非空子集H作成子群的充要条件是：（1）a，b∈H => ab∈H ;（2）a∈H => a-1∈H.5、设H,k是群G的两个子群，则HK≤G HK=KH.6、整数加群Z是无限循环群。
7、无限循环群<a>有两个生成元，即a与a-1；n阶循环群有ψ（n）个生成元，其中ψ（n）为Euler函数。
例如，4、5、6阶循环群分别有ψ（4）=2 ，ψ（5）=4 ，ψ（6）=2 个生成元。
8、设<a>是任意一个循环群。
（1）若|a|=∞，则<a>与整数加群Z同构；（2）若|a|=n，则<a>与n次单位根群U n 同构。
9、循环群的子群仍为循环群。
10、不相连循环相乘时可以交换。
11、k—循环的阶为k；不相连循环乘积的阶为各因子的阶的最小公倍。
12、（grange，1736—1813）设H是有限群G的一个子群，则|G|=|H|（G：H）.从而任何子集的阶和指数都是群G的阶的因数。
13、有限群中每个元素的阶都整除群的阶。
14、左陪集的重要性质（1）a∈aH . （2）a∈H ⇔ aH=H . （3）b∈aH ⇔ aH=bH .（4）aH=bH，即a与b同在一个左陪集中⇔ a-1b∈H（或b-1a∈H）。
（5）若aH∩bH≠φ，则aH=bH .对任二陪集来说，要么相等要么无公共元素。
15、循环群的商群也是循环群。
16、（第一同构定理）设ψ是群G到G的一个同态满射，又KerψN ◁G，N=ψ（N），则G/N ≌G/N .17、（第二同构定理）设G是群，又H≤G，N ◁G .则H∩N ◁H，并且HN/N≌H/(H∩N) .18、（第三同构定理）设G是群，又N ◁G，H≤G/N .则（1）存在G的惟一子群H N，且H=H/N ；（2）又当H ◁G/N时，有惟一的H ◁G使H=H/N且G/H≌G/N／H/N .19、设G是一个群，a∈G，则（1）σa：x —> axa-1（x∈G）是G的一个自同构，称为G的一个内自同构；（2）G的全体内自同构作成一个群，称为群G的内自同构群，记为Inn G；（3）Inn G ◁Aut G .20、环R的非空子集S作成子环的充要条件是：a，b∈S => a - b∈S ，a，b∈S => ab∈S .21、如果p是素数，则环Z p是一个域；如果n是合数，则环Z n有零因子，从而不是域。
22、（环同态基本定理）设R与R是两个环，且R ~ R . 则（1）这个同态核N，即零元的全体逆象，是R的一个理想；（2）R/N ≌R．23、设P是交换环R的一个理想。
则P是R的素理想的充分与必要条件是，商环R/P无零因子，即为整环。
24、整数环Z的理想N是Z的极大理想，当且仅当N是由素数生成的理想。
25、整环K中的元素一定是不可约元。
26、设K是任意一个惟一分解整环。
则p是K的元素当且仅当p是K的不可约元。
27、设K是有单位元的整环。
如果（1）K中每个既不是零又不是单位的元素都可分为不可约元的乘积；（2）K中的不可约元都是素元；则K是一个惟一分解整环。
28、Gauss整环Z[ i]是主理想整环。
29、整数环Z是欧氏环。
30、域F上多项式环F[ x]是一个欧氏环。
31、欧氏环必是主理想环，因而是惟一分解整环。
（反之不成立）32、主理想整环是惟一分解整环。
（反之不成立）33、群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G里的指数，记（G：H）.34、设p∈K .p≠0，且p不是单位。
如果p|ab就必有p|a或p|b，则称p是K的一个元素。
35、同态：反身、传递（不满足对称）；同构：反身、传递、对称。
例一、设σ=（14）（235），τ=（153）（24）. 求στσ-1 =？解：由定理可知：στσ-1 = （σ（1）σ（5）σ（3））（σ（2）σ（4））= （425）（24）.例二、证明：K={（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）} 作成交代群A4 的一个交换子群。
这个群（以及与其同构的群）称为Klein（C.L.Klein，1849--1925）四元群。
证显然K4中的置换全为偶置换，而且除恒等置换外其余三个置换的阶都是2，而且其中任二个相乘等于第三个，即K4 对置换的乘法封闭。
从而K4 是A4的一个子群，且显然是一个交换子群。
（证毕）例三、证明：Z[ i]={a + bi|a，b∈Z } 作成一个有单位元的整环（这个环称为Gauss整环），并且其单位群是{±1，±i } .证Z[ i ]作成有单位元的整环显然。
又显然±1，±i均为其单位。
下证：Z[ i ]没有别的单位。
设ε=a + bi 是Z[ i]的任一单位，则有η∈Z[ i ]使εη=1，|ε|2|η|2 =1 .这只有|ε|2 =a2 + b2=1，从而只有a=±1，b=0；或a=0，b=±1 .即ε只能是±1及±i .因此，±1和±i是环Z[ i ]的全部单位。
故U（Z[ i ]）={±1，±i } .例四、在模8剩余类环Z8 中，令< 4 >={ 0 , 4 }，< 2 >={0 , 2 ,4 , 6 }，则< 4 >不是Z8的素理想（因为2·2=4∈< 4 >，但是2∈< 4 >），也不是Z8的极大理想（因为< 4 > < 2 > Z8）.但是，易知< 2 >既是Z8的素理想也是Z8的极大理想。
例五、设G=< a > 为6阶循环群。
给出G的一切生成元和G的所有子群。
解：a，a5 ；ψ（6）=2 .例六、试求下列各置换的阶：τ1=（1378）（24）；【4】τ2=（1372）（234）；【6】τ3= 1 2 3 4 5 66 4 1 5 2 3 ；【3】τ4= 1 2 3 4 5 6 75 76 3 1 4 2 ；【6】例七、设τ=（327）（26）（14），σ=（134）（57）. 则στσ-1 = （13）（2654）；σ-1τσ=（265）（34）.三、判断（10’）1、在环R中，当a不是左零因子时，则ab =ac ，a≠0 => b=c ；（1）当a不是右零因子时，则ba= ca ，a≠0 => b=c . （2）2、无零因子的交换环称为整环。
3、除环和域没有零因子。
4、Z n中非零元m如果与n互素，则为可逆元；如果不与n互素，则为零因子。
5、欧氏环主理想整环惟一分解整环有单位元整环6、一个群的两个子群的乘积一般不再是子群。
7、正规子群的正规子群不一定是原群的正规子群。
8、群G的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群，两个正规子群的乘积仍是一个正规子群。
9、理想的理想不一定是原环的理想，亦即理想也不具有传递性。