同济大学 线性代数2.1-2.2节(2学分)

（*）的系数矩阵,
未知数列向量,
常数项列向量.
我们可以把（*）用矩阵乘法来表示: b a11 a12 L a1n x1 a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn 1 b a x 2 a22 L a2 n 21 2 = a21 x1 + a22 x2 + L + a2n xn = = β . AX = L L L L M L L L L L M a x + a x + L + a x b m m2 2 mn n am1 am 2 L amn xn m1 1
第二章 矩阵及其运算
§1 矩 阵
m行n列的矩阵 由m×n个数aij排成的m行n列的数表 行 列的矩阵 列的矩阵: a11 a12 L a1n a21 a22 L a2 n L L L L A=
am1 am 2 L amn
简记为: A=(aij) =Am×n=(aij)m×n. 其中aij位于矩阵A的第 i 行第 j列的元素. 称为矩阵的 元. 矩阵的(i,j)元 矩阵的 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 实矩阵, 复矩阵. 实矩阵 复矩阵
从左上角到右下角的连线称为主对角线 主对角线. 主对角线 注意：矩阵的记号与行列式的记号很相象, 矩阵的记号是数 表外加括号, 而行列式的记号是数表外加两根竖线.但是矩阵 和行列式是两个不同的概念, 矩阵是一个数表, 而行列式是一 个数, 对任何一个n阶矩阵, 它都唯一的确定一个行列式.
1 0 L 0 0 1 L 0 . n阶单位阵 n(或E) ： E = En = 阶单位阵E 阶单位阵 或 L L L L 0 0 L 1
2 2 = −2 −2 2 2 = −2 −2 0 0 = 0 0
注意：矩阵乘法规律与数的乘法规律是不同的. 注意 1.乘法交换率一般不成立. 即 AB≠BA. 所以我们熟悉的一些 关于数的乘法成立的乘法公式不能随便使用. 例如 (A+B)(A－B)=A2+BA－AB－B2≠ A2－B2. 所以(A+B)(A－B) = A2－B2当且仅当AB=BA.
−1 bn1 bn 2 L bnn
0 a21 r1 + a11rn +1 M D r1 + a12 rn + 2 an1 −1 L r1 + a1n r2 n 0 M
0
L
0
c11 0 M 0 b11
c12 L c1n 0 M 0 L L 0 M 0
a22 L a2 n M M an 2 L ann 0 L 0 0 M −1 L M
规定A0=E.
( . ) 注意： ( AB) k ≠ Ak B k . 因为乘法不满足交换律
Ak Al = Ak +l ( Ak )l = Akl .
四 矩阵的转置
a11 a12 a a22 21 定义. 定义 设 A = L L am1 am 2
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2 n
3. A ≠ 0, AB = AC ⇒ B = C . ×
2. A ≠ 0, B ≠ 0 ⇒ AB ≠ 0. ×
问题: 什么时候消去率成立? 若矩阵A可逆, 则消去率成立. 性质 1. 结合律 (AB)C=A(BC); 2. 左分配律 A(B+C)=AB+AC; 右分配率 (B+C)A=BA+CA; 3. λ(AB)=(λA)B=A(λB)n =Am×n. 根据性质4, 我们知道单位矩阵相当于数集中 1的作用.
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 其中x1,x2, ⋅⋅⋅, xn 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组: 线性方程组 （*） 是未知数. L L L L L L L am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm b1 x1 a11 a12 L a1n b2 x2 a21 a22 L a2 n β = X = A= M M L L L L b x a m am 2 L amn n m1
m=1时, A= (a11 a 12 ⋅ ⋅ ⋅ a1n),称为n维行向量 维行向量
a11 a n = 1时，A = 21 称为m维列向量. M am1
a11 a21 m=n时, A = 时, L a n1 a12 L a1n a22 L a2 n 称为n阶方阵 阶方阵. 阶方阵 L L L an 2 L ann
1 −1 1 1 2 0 例. 设 A = , B = −1 −1 , C = 0 −2 . −1 1
求AB , AC 及BA.
1 −1 1 1 解: AB = −1 1 −1 −1 1 −1 2 0 AC = −1 1 0 −2 1 1 1 −1 BA = −1 −1 −1 1
二. 数λ与矩阵A=(aij)的数量乘积： (λaij)称为λ与矩阵A的 数量乘积. 记为λA. 注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别.
1 2 2 2 1 2 2 4 例 2 : = 6 8 . 2 3 4 = 6 4 = −4. 3 4
性质. 设A、B都是m×n矩阵, λ、µ是数, 则 1. 1·A=A. 2. 分配率 (λ+µ)A=λA+µA; 3.分配率 λ(A+B)=λA+λB 4. (λµ)A=λ(µA).
性质：1. |AT|=|A|; 2. |λA|=λn|A|;其中n为矩阵A的阶数
a11 a12 λ a11 λ a12 例. λ = = λ2 a21 a22 λ a21 λ a22 a11 a12 a a22 21
3. |AB|=|A||B|, 其中A,B都是方阵. 注意虽然一般来说AB≠BA, 但是如果A,B都是方阵, 则 |AB|=|A|·|B|= |B|·|A|= |BA|,
1 2 3 则AT = 2 5 . 例 A= : , 3 6 4 5 6 注意：1. 若A是m行n列的矩阵，则AT是n行m列的矩阵. 注意
L am1 L am 2 称为A的转置矩阵, 记为AT . L L L amn n×m 1 4
*
O λn
0
§2 矩阵的运算
数集有四则运算，也就是加减乘除这四种运算. 类似的对于矩阵而言，我们可以引进加法，减法， 和乘法运算，但是除法运算不能推广到矩阵当中. 矩阵相等：如果A=(aij)与B=(bij)的行数和列数相等, 且aij 矩阵相等 =bij对任何i,j, 则称矩阵A与矩阵B相等, 记作A=B.
五 方阵的行列式
a11 L a1n 定义. 定义 n阶方阵 A = M M 定义一个 n阶行列式 a L a nn n1
a11 L a1n 1n M M an1 L ann
称为方阵A的行列式, 记作|A|或detA.
注意: 只有对一个 n 阶方阵，才能取行列式，如果矩阵不是 方阵的不能取行列式.
λ λ 纯 量矩 阵 ： E = (λ E ) A = A(λ E )
λ
0
O λ
0
因为(λ E ) A = λ ( EA) = λ ( AE ) = A(λ E ).
Ak = AL A . 矩阵A的 次幂 次幂: 矩阵 的k次幂 k A
其中k≥1.
一.矩阵的加法 矩阵的加法：设有两个m×n矩阵A=(aij)和B=(bij), 则 (aij+bij ) 矩阵的加法 称为A与B的和. 记为A+B .
1 2 5 6 6 8 例 + 7 8 = 10 12 . 3 4
零矩阵：元素全为0的矩阵，记为0. 零矩阵 A的负矩阵 ： (−aij)称为A的负矩阵, 记为−A. 矩阵的减法： 矩阵的减法 (aij − bij )=A+(−B)称为A与B的差，记为A − B. 性质：1. 交换律 A+B=B+A; 2. 结合律(A+B)+C=A+(B+C). 3. 加法单位元：A+0=0+A=A. 4.加法逆元：A+(−A)=0.
−1 0 L 0 −1 L M 0 M 0
M M M M L − 1 bn1 bn 2 L bnn
c11 c21
c12 L c1n c22 L c2 n
0 0 M 0 −1 0 M 0
0 0 M 0 0
L L L L
0 0 M 0 0 0 M
M M M c cn 2 L cnn ci ↔ cn + i n n1 (−1) b11 b12 L b1n 1≤ i ≤ n b21 b22 L b2 n M M M bn1 bn 2 L bnn
证：我们只证3. 记C := AB, 则cij = ∑ aik bkj
记
a11 a21 a12 L a1n a22 L a2 n 0 0 0 0
k
L L
0 0
M M M an1 an 2 L ann D= −1 0 L 0 0 −1 L 0 M M M 0 0 L
M M M 0 0 L 0 = A⋅B b11 b12 L b1n b21 b22 L b2 n M M M
对角矩阵： 对角矩阵：
上三角矩阵： 上三角矩阵：