6.2正向级数

∞
例6.2.3 判别级数n∑1 ( n 3 + 1 − n 3 − 1)的敛散性. =
解：将级数的一般项有理化，并作两次放大得
∞
n +1 − n −1 =
3 3
2
因为级数 n∑1 =
∞
n3 +1 + n3 −1 n3 +1 n3 ∞ 2 1 = 2 n∑1 3 收敛，所以，原级数收 敛. 3 = n n
∞ ∞
∞
∞
于是，再由定理6.2.1知，级数n∑1 un收敛. = 若n∑1un发散，则又由定理6.2.1知， n }无上界， {S =
∞
从而{S n′}也无上界，因而级数 n∑1 vn发散. =
∞
证毕.
推论1 设n∑1un 和n∑1 vn为正项级数，且存在常数C > 0和自然数N，使当 = = n > N时，有 un ≤ Cvn 则
2
n
n
所以，原级数收敛 .
( 2) 因为 lim n un = lim n ( n→∞ n→∞ na n ) = a, a > 0. n +1
所以，当0 < a < 1时，原级数收敛；当a > 1时原级数发散； ∞ n n 当a = 1时，级数为n∑1 ( ) , 此时，根值判别法失效. = n +1
定理6.2.4 对于正项级数n∑1un , 若 lim n un = r , n→∞ = 则（ ） r < 1时，级数收敛； 1 当 ( 2) 当r > 1时，级数发散； （3） r = 1时，级数可能收敛，也可能发散. 当
证：（ ） r < 1时,因为 lim n un = r , 1 当 n→∞ 即对于任意给定的ε = 1− r > 0, 存在正整数N , 使当n > N时，恒有 2
∞
∫1
1 p dx < . p x p −1
1 于是，由定理6.2.1知，当p > 1时，p − 级数n∑1 p 收敛. = n 综上，有： 1 p − 级数 n∑1 p , 当 p > 1时收敛；当 p ≤ 1 数，在利用比较判别法 时，几何级数和 p − 级数经常用来作为对比 级数，要牢记它们的敛 散性情况。
由于 n n 1 ) = ≠ 0, n +1 e 所以，由级数收敛的必要条件知，级数发散. (3) 因为 1 1 n n lim un = lim n + ( −1) = < 1, n→∞ n→∞ 2 2 lim( n→∞
∞
nn π (2) n∑1 sin n . = n! 3
∞
解：（ ） 1 因为
(n + 1) n +1 u n +1 1 n (n + 1)! lim = lim = lim(1 + ) = e > 1, n n→∞ n→∞ n→∞ n un n n! 由定理6.2.3知，该级数发散.
nn π nn π sin n ≤ , n n! 3 n! 3
§6.2 正项级数及其收敛准则
由于级数的敛散性判定 问题，常常归结为特殊 的正项 级数的敛散性判别问题 ，所以，本节主要探讨 正项级数 的敛散性及几个常用的 判别法.
∞
定义 6 .2 . 1 若级数
∞
n =1
∑ u n 满足条件
u n ≥ 0 ( n = 1, 2 , L ),
则称该级数为正项级数
数列{S n }有上界 .
二、比值判别法 u n +1 定理6.2.3 设n∑1un为正项级数，且 lim = r. n→∞ = un
∞
1 当 则（ ） r < 1时，级数收敛； ( 2) 当r > 1(包括r = +∞)时，级数发散； （3） r = 1时，级数可能收敛也可能发散. 当 比值判别法又称为达朗贝尔( D′Alembert )判别法.
利用上述充要条件，可以建立几个检验正项级数敛散性的方法：
一、比较判别法 定理6.2.1 设正项级数n∑1un与n∑1 vn，且un ≤ vn (n = 1,2,L). = = (1) 若级数 ∑ vn收敛，则 ∑ un也收敛；
n =1 ∞ n =1 ∞ ∞ ∞ ∞
（2） 若级数n∑1un发散，则n∑1 vn也发散. = =
n
收敛，再由定理 6.2.2知，原级数收敛 .
x 例6.2.6 证明：级数n∑0 对于任何正数x都收敛. = n! x n +1 证：因为 u n +1 x (n + 1)! lim = lim = lim = 0 < 1, n n→∞ n→∞ n→∞ x un n +1 n! 所以，由定理6.2.3知，对任何x > 0，所给级数都收敛. 三、根值判别法
∑ （ ） n∑1 vn收敛时，1un收敛； 1 当= n= ∑ （2） n∑1un发散时，1 vn发散. 当= n=
∞ ∞ ∞ ∞
∞
∞
由定理6.2.2、性质6.1.1和性质6.1.3易证此推论. 1 ( p是常数）的敛散性 . p n 解：对常数p分以下两种情况讨论： 1 1 (1) 当p ≤ 1时， 有 ≤ p , n = 1,2,L n n ∞ 1 ∞ 1 .因为调和级数n∑ 发散，由比较判别法知， 此时，P − 级数n∑1 p 发散. =1 = n n 例6.2.1 讨论 P − 级数 n∑1 =
.
定理 6.2.1 正项级数 n∑1 u n收敛的充分必要条件是 它的部分和 = 证：必要性是显然的，下证充分性.
若级数的部分和数列{S n }有上界， un ≥ 0, 所以S n +1 = S n + un +1 ≥ S n . 由于
由于单调有界数列必有极限，从而级数收敛. 即数列{S n }单调增加， 证毕.
即
u n +1 1− r 1+ r <r+ = = q < 1, un 2 2
即
u n+1 < qu n
u N +1 < u N q , u N + 2 < u N +1 q < u N q 2
LL
u N + m < u N + m −1q < L < u N q m , m = 1,2, L
∑ 又因为几何级数m =1u N q (0 < q < 1)收敛，而级数m∑1u N + m的各项均小于 =
∞
( 2) n∑1 =
∞
n −1 . 3 n +1
1 ln(1 + 2 ) n = 1, 解：（ ） 1 因为 lim n→∞ 1 n2 ∞ 1 ∞ 1 而n∑1 2 是收敛的p − 级数，由推论2知，级数n∑1 ln(1 + 2 )收敛. = = n n n −1 n 3 + 1 = 1, （2） 因为 lim n→∞ 1 n
n
∞
即
n
1− r 2 1+ r un < r + ε = = q < 1, 2 un − r <
从而
∞ n
un < qn
∞
由于几何级数n∑1 q (0 < q < 1)收敛，可知n∑1un收敛. = =
类似地，可以证明r > 1的情况. 而对于r = 1时的情形，仍可以以p − 级数为例加以说明.
u n +1 证：因为 lim = r, n→∞ un
则对于任意给定的ε > 0, 总存在正整数N , u n +1 − r < ε. un 1− r (1) 当r < 1时，对于给定的ε = > 0, 存在正整数N , 使当n > N时， 2 有 u n +1 1− r −r < . un 2 使当n > N时，恒有
∞
( 2) 当P > 1时，由于 0< 1 1 1 m m = ∫m −1 p dx < ∫m −1 p dx, m = 1,2,L mp m x
n
所以， p − 级数的部分和 n n m 1 1 S n = 1 + ∑ p < 1 + ∑ ∫m −1 p dx = 1 + x m=2 m m=2
∞
( 2) 因为
nn π 而级数n∑1 满足 n = n! 3
所以，由定理 6.2.3知，级数 n∑1 =
∞ n
(n + 1) n +1 ⋅ π u n +1 (n + 1)!⋅3n +1 e lim = lim = < 1, n n→∞ n→∞ n ⋅π un 3 n!⋅3n n π
∞ n
n! 3
≤
2
≤
2
, n = 2,3,L
推论2 （比较判别法的极限形式）设n∑1un与n∑1 vn均为正项级数，且有 = = un lim = A n→∞ vn 1 若 则（ ） 0 < A < +∞, 则级数n∑1un与n∑1 vn同时敛散； = = （2） A = 0且n∑1 vn收敛，则n∑1un也收敛； 若 = = （3） A = +∞且n∑1 vn发散，则n∑1un也发散. 若 = = u A 证：（1） 由于 lim n = A, 且 0 < A < +∞ , 故对于任意给定的 ε = > 0, n→∞ vn 2
必存在正整数 N , 使当 n > N时，有 A un 3 < < A, 2 vn 2 即有 3 A vn < u n < Av n . 2 2
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
∞
∞
∑ 所以，由推论1知，1un与n∑1 vn同时敛散. n= =