ch1-1,2数列极限
考研：求数列极限的十五种解法
求数列极限的十五种方法1.定义法；-N 定义：设｛a .｝为数列，a 为定数，若对任给的正数；，总存在正数 N ，使得当n . N 时,有a . -a | .；：「，则称数列｛a .｝收敛于a ；记作：l im a^a ，否则称｛a .｝为发散数列.例1 •求证： 1nim：a —1，其中a 0.证：当a =1时，结论显然成立.III当 a >1 时，记 a =a n_1，则 a >0 ,由 a =n+a $ K 1 +n a =1 + n(c^ _1)，得_1 兰王，v‘ n彳 1 1 1任给E >0，则当n >口 =N 时，就有—1 ，即a 下一1 c 呂，即lim=1 .1综上， lim a n =1，其中 a >0 .例2 .求： 7nlim—.M^n!解： 变式： 7n_7 77 7 77 7 .7 7 771 .. n7--0 7丄丄n! 1 27 8 9 n —1 n 7! n 6! nn! 6! n2•利用柯西收敛准则由柯西收敛准则，数列 ｛x,｝收敛.1丄当—时，令b 蔦，则b 1，由上易知：”呻1lim a nn丄-11 —1lim b 下n ::0，N 丄6!则当n . N 时, •••lim 7=0.f n!柯西收敛准则：数列｛a n ｝收敛的充要条件是: 一；・0 , T 正整数N ，使得当n 、m • N 时，总有：|a n -a m I ■:"'成立.例3 •证明：数列x n 八§n当（n 才，2, 3,）为收敛数列. k 2±2证：X n -X m =sin(m 勺)-2m +当n • m • N 时，有有二丄「；6! n例4 .（有界变差数列收敛定理 ）若数列｛x ｝满足条件:（n =1, 2,），则称｛人｝为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛.=0, y n 二 X n —X nJ —%1—X n 』"| X ? - X ’那么｛y n ｝单调递增，由已知可知： ｛y n ｝有界，故｛%｝收敛, 从而0， -I 正整数N ，使得当n .m . N 时，有y n -y m ：：：；; 此即X n -X m _X n -X n 』"|X n 丄^/"| X m 1 - X m |八；由柯西收敛准则，数列｛ X,｝收敛.注：柯西收敛准则把 ；—N 定义中的a n 与a 的关系换成了 a n 与a m 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.3 •运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.例5 •证明：数列 x n = J a +J a +''描 （n 个根式，a >0，n =1, 2, 11|）极限存在，并求l i ^X n • 证：由假设知X n = a • X n1 ；①用数学归纳法可证： X n 1 X, , ^ N :② 此即证｛X,｝是单调递增的.事实上，0 ：：： Xn 1 • ..=a • Xn •；： J a • a • 1 ：：：、'（ ：a • 1）2二 a 1 ；由①②可知： ｛X n ｝单调递增有上界，从而 lim X^ =1存在，对①式两边取极限得：1二JFR ，解得： 1」1如和|/-1 4a(舍负)；.・.limX 」1如.22F 24.利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列｛a n ｝、｛b n ｝都以a 为极限，数列｛C n ｝满足：存在正数 N ，当n • N 时，有:1*2 n "郭 n 2 +n 勺 n 2+2n 2+n +n)卫j <X ^n (n 1)；从而lim 単』亠m 吵"2(n ②) 2(n 5 1) "一斗2 (n 2n) 2 r ：2( n n 1)•••由迫敛性，得：朝人+冷…冷弓.注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.证：令力 a^lC n 乞b ，则数列｛C n ｝收敛，且l nim Cn =a .例6 .求:解：记：X n备？■生，则:....1 2 小“丘 n ； 21 n 2n 1亠 ％ - x ,| M5•利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为f(x)定义在［a, b ］上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数g >0 ,总存在某一正数 5，使得对［a, b ］的任意分割T ，在其上任意选取的点集 {©}，1X 」,x ］，n只要—就有送f(©)织—J £ ■则称函数f(x)在［a, b ］上(黎曼)可积，数J 为f(x)在［a, b ］i J_.兀 .2兀 sin — sin —— lim------ + ---- - +"f 1n 1< 22n2n2n .sin — sinsin sin — sinsin si n — sin sin-n nn ____ n . ___ 亠 亠 n ... n nnnn注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时， 可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积 分定义可能比较困难，这上的定积分，记作 bJ f (x)dx •=exp "li 琴瓦 ^In(1 +丄)卜exp(』ln(1 +x)dx )=exp(2ln2 —1例8.求: 解：因为:又:.兀亠• 2兀亠亠.n 兀sin — sin sin -n n nn +1 n 1 =lim — ■- y ：n 1 二二 二 2 二 n 二 -—(sin — sin — ■ ■■-sin —) •兀丄• 2兀丄亠• nn sin sin sin 一 •- lim n nJnY ：n -1■nsin同理:sin — si n — s in 」由迫敛性，得:例7.求:1112 n n+評+廿1+討2兀时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论.6•利用（海涅）归结原则求数列极限（x ）=A=对任何人必（n 宀），有 ”叮（Xn ）=A •2=[im(1 •啤)]im(1 ^^1)^ ^lim(1 n^)^^lim(1 」)x =e ； lim(1 -1 -4)n=e • i ： n n注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决. 7•利用施托尔茨（Stolz ）定理求数列极限stolz 定理1: （__）型：若｛y n ｝是严格递增的正无穷大数列，它与数列 ｛X n ｝一起满足:□0"m ：x 二辭1，则有卩叹辭1，其中l为有限数，或；，或一stolz 定理2： （0）型：若｛yn ｝是严格递减的趋向于零的数列， n —「:：时，Xn —；0且lim X 1 Xn=］，则有lim Xn=l ，其中I 为有限数，或•：：，或-. n「y n1. -y n7%例11 .求：乍 2P 加:小n p愠 np+ (P^N) •解：令X n =1p ，2p 爲…圧-P , y n =n p1, n • N ，则由定理1,得:lim 1P 2P1 nP Rim (n P11)P P1，lim心 「 rn p1"：( n1)p_ n p n]p1) n p_(P ⑴卩P 1注：本题亦可由 方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略.例9•求：lim n-<-.: 1e n-1 1 解：lim■n-s ： 1-1 1例10 •计算: 解：一方面, 另一方面, 1= lim 学n T_on( lim 1 n 扛 (1 - n由归结原则: 1、n “ 1、n 2）：：：（1 ） > n(nr ')；1 1(1 ——1)n （取 X n=(1 2丄_2_ 丁 )心丄—(1—)5-; nn2n n—1 ,n = 2, 3,…)， 归结原则：lim f X十2n2由迫敛性，得:n'TnC ：S n，求：Hm S n •n8.利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级 数求和的知识使问题得到解决.1 2n例13 .求：lim( 21) ， (a >1). n： - a aa n1od解：令x =—，则|x | .；：1，考虑级数：V nx nan 1x而S(x)二x f (x)2;因此，原式(1—X)9.利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此 数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题.例14.设焉0，X ：^^ ^(n r O, 1, 2,)，证明：数列｛X ：｝收敛，并求极限2 +X ：证：由x 0・0 ,可得： x：0(：巾 1 2, )，令 f(x ^22 x C),(x 0)，例12 •设 解：令y =n 2，则｛y n ｝单调递增数列，于是由定理2得:nE ln C ；lim S n = lim k~ 2—— j nY ：2n 1n7 ln C n k1 -7 ln C ：= lim - n二 k 纟 k 土 2 2" (n 1) —nn” ln^^ k_on —k +1=lim n：■： 2n -1n +(n - 1)ln(n y ln kk -1=lim — n二2n 1(n 七)ln( n +1) — n In n -ln(n +1) = lim n:2n 1 .z n 1 nln( ) 1= lim :-n注：Stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用Stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达(L'Hospita )法则.lim an = lim =1，•••此级数是收敛的.令Q QS(x) nx n士二八'nx n1，再令n —f (x) =7 nx n」，x:: x::o f(t)dt ■ 0nt n1dt ■ x nn ±n 1f (x)二(产)二1 -x1 (1 -==S(a 」)=a(1-a 于2(1 亠x )=x ：1，x ： 0, (n =0,1,2,)，oo考虑级数：.J |X ： 1 -人； n 倉则 0 . f '(x)2(2 x)2由于X n 牛一X f (X n ) f (X nJf '(©(X n -X n£1X n —人iXn—人 1人一X n 1J?2所以, 级数"_人收敛，从而n£Q0壬(X n 牛-X n )收敛.n_0_令Sn=E (x kk_0_%牛一X k ） = X n 牛一人，叮臂^存在，二 n ^X n 丰 M^+U^S nJ (存在)；对式子：X 」= 2（1+X），两边同时取极限：| =2（1知）,2 *2 +I\ =^J 2或 I =―J2 （舍负）；二 lim 人=J2 .n与、 1 1 i例15 .证明：lim （1In n ）存在.（此极限值称为 Euler 常数）ii i i证：设 a n =i +— +—…+— —In n ，贝U a * —a*丄=—［in n —ln （n —i ）］；2 3 n n对函数y =1 n n 在［n -i, n ］上应用拉格朗日中值定理，可得：Inn —ln(n —1) - (0：：：小1)，10 •利用幕级数求极限例 16•设 sin x =sinx, sin x 二sin(sin n ±x) (n =2, 3, ■■- )，若 sinx 0 ,求:— i解：对于固定的x ，当n —•:时，单调趋于无穷，由stolz 公式，有:sin n x2nn ，1-1 lim nsin n x =lim lim — n 二 nn ：”： 1n 1 [2 2 2sin n x sin n 1 x sin n x所以 a n —a “ 丄=一1 .n(n -1+0) In -1)2 'OC A因为J 收敛，由比较判别法知: n三（n -1）2心a n -a ni 也收敛,n士1 1所以l j m® 存在，即lim^Vi*1iln n)存在. n利用基本初等函数的麦克劳林展开式, 常常易求岀一些特殊形式的数列极限... 1= lim ——y ： 1 ___ 1 sin 2(sin x) s in 2sin . x .2 2丄1 t sin t= lim lim 2 2 lim -“士一* t0 t -int(0 t^(t2-1t4 o(t4))sin t t 3t 4 -- t 6 o （t 6） 1 -- t 2 o （t 2） = lim 3 lim 33 .3t o （t ）3 o （i ）ii •利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质,其应用十分广泛•下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用. 、 a a 例仃•求：limn 2(arctan arctan ) , (a =0).n二 n n 1解：设f （x ） =arctanx ，在［—a, a］上应用拉格朗日中值定理, n +1 n得：吩…（洽）="吟话），启，故当2知，J 。
1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则
xn
a
，
lim
n
yn
b
，
且 a b ，则 N N ，当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1（唯一性）若{ xn } 收敛，则其极限唯一。
证明：用反证法。
假设
lim
n
xn
a
，
lim
n
xn
b ，（ a b），取
ba 2
0，
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2（有界性） 若{ xn } 收敛，则{ xn } 必有界，
即 M 0， n N , 有 xn M 。
注证明：②①：收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命，；题反是之:若有界xn数无列界未，必则收敛xn。发散。
lim
n
n3
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
（2） lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解： lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明：可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考：
① 若：{ xn } 收敛，{ yn } 发散， 它们的和、差、积、商 数列的敛散性如何？
② 若：{ xn } ， { yn } 都发散呢？
1-2 数列的极限
xn
A
M
注: 如果xnxn1 nN 就称数列{xn}是单调增加的 如果xnxn1 nN 就称数列{xn}是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列
15
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பைடு நூலகம்
例8 已知 x0 = 1, xn1 = 3 3 2 xn . 证明 lim xn 存在.
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n
9
例2 计算 lim 4n 1 . n 2n 1
4n 1 1 = lim (2 ) 解1 lim n 2n 1 n 2n 1 1 = lim 2 lim n n 2n 1 = 20 = 2 1 1 4 lim (4 ) 4n 1 40 n n n = lim = 解2 lim = =2 1 1 n 2n 1 n 2 lim (2 ) 2 0 n n n
8
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三、极限的四则运算法则
极限的四则运算法则 设有数列{xn}和{yn} 如果 那么
n
n
lim xn = A lim yn = B
n
(1) lim (xn yn ) = A B ; (2) lim (xn yn ) = A B ;
xn A = (3)当 yn 0 (n=1 2 )且 B0 时 lim n yn B
数列的极限
一、数列极限的定义
二、收敛数列的性质 三、极限的四则运算法则 四、极限存在准则
1
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一、数列极限的定义
ch1-2数列、函数的极限
第二讲Ⅰ.授课题目（章节）§1.1 数列的极限 §1.3 函数的极限 Ⅱ.教学目的与要求1. 理解数列极限与函数极限的概念；明确极限是描述变量的变化趋势；了解极限的X N ---εδεε,,定义中的X N ,,,δε的含义2. 理解极限的性质 Ⅲ.教学重点与难点：重点：数列极限与函数极限的概念 难点：极限的定义 Ⅳ.讲授内容：§1.1数列极限的定义 一． 列极限的定义定义：设{}n x 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得n>N 时,不等式ε<-a x n 都成立,那么就常数a 是数列{}n x 的极限,或者称数列{}n x 收敛与a,记为)(lim∞→→=∞→n a x a nn n x 或.如果不存在这样的常数a,就说数列{}n x 没有极限,或者说数列{}n x 是 发散的,习惯上也说nx n ∞→lim 不存在.例1.证明数列2, ,)1(,,43,34,211nn n --+的极限是1.证:a x nnn a x n n n -=--+=--为了使,11)1(1小于任意给定的正数ε,只要εε111><nn或.所以,,1,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡=>∀εεN 取则当n>N 时,就有n n n 1)1(--+<ε,即1)1(1lim=-+-∞→nn n n例2.设,1<q 证明等比数列 ,,,,,112-n q q q 的极限是0. 证:)1,0<>∀εε（设,因为,0011--=-=-n n n qqx 要使εε<<--1,0n n qx 只要取自然对数,得qn q q q n ln ln 1,0ln ,1.ln ln )1(εε+><<<-故因,取N n q N <⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=则当,ln ln 1ε时,就有0lim ,011=<--∞→-n n n q q 即ε.二． 敛数列的性质定理1（极限的唯一性）：如果{}n x 收敛，则它的极限唯一证明 用反证法.假设同时有2.,b a b a b x a x n n -=<→→ε取且及.因为11,,lim N n N a x n n <∃=∞→当正整数故时,不等式2a b a x n -<-都成立.同理,因为22,,lim N n N b x n n <∃=∞→当正整数故时,不等式2a b b x n -<-都成立.取{}21,max N N N =(这式子表示21N N N 和是中较大的那个数),则当N n <时,(2)式及(3)式会同时成立.但由(2)式有,2b a x n +<由(3)式有,2b a x n +>,这是不可能的.这矛盾证明了本定理的断言. 数列的有界性概念定义：对于数列{}n x ,如果存在着正数M,使得对于一切n x 都满足不等式M x n ≤,则称数列{}n x 是有界的;如果这样的正数M 不存在,就说数列{}n x 是无界的.定理2（收敛数列的有界性） 如果{}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界 定理3：（收敛数列的保号性）如果a x n n =∞→lim 且a>0（或a<0）那么存在正整数N>0，当n>N 时，都有n x >0（或n x <0）推论：如果{}n x 从某项起有n x ≥0（或n x ≤0）且)0(0,lim ≤≥=∞→a a a x n n 或则子数列的概念：在数列{}n x 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{}n x 中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列{}n x 的子数列(或子列).设在数列{}n x 中,第一次抽取1n x ,第二次在1n x 后抽取2n x ,第三次在2n x 后抽取⋅⋅⋅3n x ,这样无休止地抽取下去,得到一个数列1n x ,2n x , ,kn x ,这个数列{}n x 就是{}n x 的一个子数列.定理4.（收敛数列与其子数列间的关系）如果{}n x 收敛于a ，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a §1.3 函数的极限 一、函数极限的定义1.自变量趋于有限值时函数的极限定义1：设函数0)(x x f 在点的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得当x 满足不等式δ<-<00x x 时,对应的函数值)(x f 都满足不等式ε<-A x f )(,那么常数A 就叫做函数0)(x x x f →当时的极限,记作)()()(lim 00x x A x f A x f x x →→=→当或.例1. 证明211lim21=--→x x x证明:这里,函数在点x=1是没有定义的饿，但是函数当1→x 是的极限存在或不存在与它并无关系.事实上,εε<-->∀11,02x x 不等式约去非零因子x-1，就化为ε<-=-+121x x ，因此，只要取εδ=，那么当ε<-<10x 时，就有ε<---2112x x所以 211lim21=--→x x x单侧极限的概念：上述0x x →时函数)(x f 的极限概念中，x 是既从0x 的左侧也从0x 的右侧趋于0x 的.但有时只能或只需考虑x 仅从0x 的左侧趋于0x (记作-→0x x )的情形,或x 仅从0x 的右侧趋于0x (记作+→0x x )的情形.在-→0x x 的情形,x 在0x 的左侧,0x x <.在A x f x x =→)(lim 0的定义中,把δ<-<00x x 改为00x x x <<-δ,那么A 就叫做函数)(x f 当0x x →时的左极限,记作A x f x x =-→)(lim 0或A x f =-)(0.类似的,在A x f x x =→)(lim 0的定义中,把δ<-<00x x 改为δ+<<00x x x ,那么A 就叫做函数)(x f 当0x x →时的右极限,记作A x f x x =+→)(lim 0或A x f =+)(0.右极限与左极限统称为单侧极限.解:仿例3可证当0→x 时)(x f 的左极限1)1(lim )(lim 0-=-=--→→x x f x x x而右极限1)1(lim )(lim 0=+=++→→x x f x x x ,因为左极限和右极限存在但不相等,所以)(lim 0x f x →不存在.2.自变量趋于无穷大时函数的极限定义2：设函数)(x f 当x 大于某一正数时有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在着正数X,使得当x 满足不等式X x >时,对应的函数值)(x f 都满足不等式ε<-A x f )(,那么常数A 就叫做函数)(x f 当∞→x 时的极限,记作A x f x =∞→)(l i m 或）（当∞→→x A x f )(.定义2可简单地表达为:A x f x =∞→)(lim X x X >>∃>∀⇔当,0,0ε时有ε<-A x f )(.例3:证明.01lim=∞→xx证：X x X >>∃>∀，当要证0,0ε时，不等式ε<-01x成立.因这个不等式相当于ε<x1或ε1>x由此可知,如果取ε1=X ,那么当<-=>01,1xX x 不等式时εε成立.这就证明了.01lim=∞→x x一． 数极限的性质：定理1（函数极限的唯一性）：如果)(lim 0x f x x →存在，则这极限必唯一定理2（函数极限的局部有界性）:如果A x f x x =→)(lim 0,那么存在常数M>0和0>δ,使得当M x f x x ≤<-<）（时，有δ00.证:因为)(lim 0x f x x →=A,所以取ε=1,则当,0>∃δδ<-<00x x 时,有1)()(1+<+-≤⇒<-A A A x f x f A x f ）（,记,1+=A M 则定理2就获证明.定理3（函数极限的局部保号性）:如果A x f x x =→)(lim 0,而且)0(0<>A A 或,那么存在常数0>δ,使得当δ<-<00x x 时,有00)(<>）（（或x f x f ).如果)(lim 0x f x x →=A ，而且A>0（或A<0），那么存在常数ξ>0，使得当ξ<-<00x x 时，有f (x )>0 ( 或f (x ) <0 )推论：如果在0x 的某去心邻域内)0)((0)(≤≥x f x f 或而且A x f x x =→)(lim 0，那么)0(0≤≥A A 或,定理4（函数极限与数列极限的关系）如果极限)(lim 0x f x x →存在，{}n x 为函数f (x)的定义域内任意收敛于0x 的数列，且满足：)(0+≠∈N n x x n ，那么相应的函数列{})(n x f 必收敛，且)(lim )(lim 0x f x f x x n n →∞→=Ⅴ. 小结与提问：小结：极限定义是本讲的难点，必须结合极限的直观描述和集合解释弄懂其本质。
数列极限的知识点总结
数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。
数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。
数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。
1.2 数列极限接着要了解数列的极限。
数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。
如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。
如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。
1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。
这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。
1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。
对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。
1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。
2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。
3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。
以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。
二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。
2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。
2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。
1-2数列极限-1-文档资料42页
证: 用反证法. 假设
及
且 ab.
取
因 nl im xna, 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
从而
xn
ab 2
同理, 因 nl im xn b, 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有 从而 xn a2b
矛盾取 . 故 N b 假 2 a设m 不xn 真 N b a 1 ! , 因N a b b 2 2 2 此a a , 收则x 敛当数n列3a>a22的bNb极时x限nx,nx必n3满b唯a22a足b一的. 不等式
分析 当n无限增大时, xn无限接近于a .
当n无限增大时, |xna|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xna|可以任意小,要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意 小的正数.
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事 先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近 于常数a.
高等数学的特点
概念更复杂 理论性更强
表达形式更加抽象 推理更加严谨
高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极 限概念是高等数学的重要概念。
极限理论是高等数学的基础理论， 是高等数学的精华所在， 是高等数学的灵魂。
因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键， 也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。
例3.
设
xn0,且 lni m xna0,证明
lim
n
xn
a.
证:
0,
因为
lim
n
xn
a,
所以
当 n > N 时, 总有
从而
xn a
§1-2极限的概念数列的极限
f (0 0) lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
由定理1.2.3
f (0 0) f (0 0)
，所以
1 A e
.
4． x→∞时，函数 f (x) 的极限
定义1.2.6 设函数f(x)在 |x|>a 时有定义（a为某个正
实数)，如果当自变量的绝对值 |x| 无限增大时，相应
( 0) ,称为
x0
的去心邻域.
定义1.2.3
设函数y =f (x)在x0的某一去心邻域
ˆ 0 , ) N(x
内有定义，当自变量x(x≠x0)无限接近于 x0 时，相应的 函数值无限接近于常数A，则称x→x0时, A为函数f(x)的
的极限. 记作
x x0
lim f ( x ) A
或
un un1
则称数列{un}为单调递增数列； 类似地， 如果从第二项起，每一项比前一项小，即
un un1
则称数列{un}为单调递减数列；
单调增加的数列和单调减少的数列，统称为单调数列。
有界数列
如果存在一个正常数
M，使数列
{un }
的每一项 un ，都有
un M
则称数列{un}为有界数列．否则称为无界数列。 如果数列含有无穷多项，则成为无穷数列。 如果数列含有有限项则称为有穷数列。 下面将讨论无穷数列的极限
2． 数列的极限
例12 当 n→∞时,观察下列数列的变化趋势： 1）对于数列
un n 3 n , , ,..., ,... 2 3 4 n 1
un
当n →∞时，显然数列的一般项无限接近常数1。 1 1 1 1 1 u （2）对于数列 n , 2 , 3 ,..., n ,... ，即 2n 2 2 2 2 当n →∞时，显然数列的一般项un。无限接近常数0。
1-1数列的极限
lim(a n ± bn ) = α ± β
n →∞ n →∞
lim (a n ⋅ bn ) = α ⋅ β an α ) = , ( β ≠ 0) n→∞ b β n c 是 常 數 ， lim (c ⋅ a n ) = c ⋅ α lim(
n →∞
註 ： 只 要 極 限 存 在 (但 仍 需 有 意 義 )， 四 則 運 算 及 次 方 運 算 之 極 限 均 存 在
Ex19. 求 lim ( 3 ⋅ 4 3 ⋅ 8 3 ⋅ ..... ⋅ 2 n 3 ) 。 答 :3
n →∞
Ex20. 求 lim(
n →∞
3n 2 + 1 2n − 6 11 − )。答: 2 35 5n + 3n + 2 7n + 2
1 1 ) 。答： 2 2 n
1 1 1 Ex21. 求 lim (1 − 2 )(1 − 2 )(1 − 2 ) n→∞ 2 3 4 1 2
n →∞
(3) ∀n ∈ N ， 恆 有 an ≤ bn ≤ cn ， 且 < a n > 及 < c n > 均 收 斂 ， 則 < b n > 也 收 斂 (4) ∀n ∈ N ， 恆 有 an ≤ bn ≤ cn ， 且 < a n > 及 < c n > 均 收 斂 到 7 ， 則 < b n > 也 收 斂 到 7 (5) 設 < a n > 及 < b n > 均 收 斂 且 lim an =α ， lim bn =β ， 若 ∀n ∈ N ， 恆 有 an < bn ， 則 α<β
6-1-1-4/15
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y
y x2
n个小矩形面积 Sn
Sn
1 n
2
1 n
22 n
1
n
nn2
1 n
o1 2 …i 1 i … 1 x
nn n n
1 n3
n
i2
i1
n131 6n(n1)2 (n1)16(1n1)(2n1)
Snl im Sn
lim 1(11)2 (1)
n 6 n n
1 3
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14
三、数列的极限
14 n(1)n1
2, , , , 23
n,
观察(1数 (1 n 列 )n1) n1当 n 时的变 . 化
xn
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15
n
播放
问题: 当 n 无限增大时, xn 的变化趋势如何？
把n无限增大这个重要的变化过程记为 n。 当 n 时 ,xn1(1n )n1无限接 1. 近于 当n时 ,xn21n无限接 0.近于 当 n 时 ,xn2n无限.增大
课程特点
本课程与中学数学课程有很大不同， 课程相当紧凑，每一节课讲的内容多， 进度快。 较多的内容需要演算论证和 逻辑推理，还有一些运算比较复杂，需要 有耐心和细心。
高数是学习专业基础课、专业课 一 种重要的数学工具。
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教学安排
第一章 极限与连续
16学时
第二章 一元函数微分学 20学时
播放
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二、数列的定义
数列定义 按照某一法则 , 对每个自然数 n , 都
有确定的实数xn与之对应，这列有序的数： x1 , x2 , ... , xn , ...
称为数列 (sequence),
数列中的每个数叫做数列的项，
第 n 项 xn 叫做数列的一般项或通项, 数列简记为 (xn)n1
1 n
给定 1 , 100
要
xn
1
1, 100定 1 , 1000
要xn
1
1, 1000
只要n1000 ,
给定 1 , 要xn 10000
1 1 , 10000
只要n10000,
(这时, xn就无限接近于1)
给定 0, 要 xn1成 立 ， 只要n N
当n时,xn(1)n没有确定的. 变化
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当n时, xn的变化趋势分 ：为三类
1) xn 无限接近于某个常确数定 a. 的
2) xn无限增 ,即大 趋向无 . 穷大
3) xn 没有确定的变化趋. 势
对数 (xn)列 n1,若n 当 时 ,xn无限接 一近 个
定a数 ,则(称 xn) n1的极a限 ,并是 记 ln i m x 为 na.
7
例2、瞬时速度问题
设质点沿直线运动的位置函数为 s = s(t) ， 求其在时刻 t0 的(瞬时)速度.
取一邻t0的 近时 于t,刻 运动时间 t,
t0 到 t 的平均速度为 v s s(t) s(t0 )
s(t0 )
s(t )
o t 0 t t
s
t
t t0
当tt0时 , v v(t0 ),
或说数列是发散的. 说明：
例子 >>>
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12
例如
i)2,4,8, ,2n, , xn 2n;
ii)12,14,18,,21n,, xn
1 2n
;
(2n)n1
1
2
n
n1
ii1 i, )1 ,1 , ,( 1 )n 1, , xn(1)n1;
(1)n1
n1
iv2),1 2,4 3, ,n( n1)n1, , xn
(结论)
(条件)
1
.
无论给定多么小的正数ε(距离)
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定义 >0 (不论它多么小) N Z+,
当n N 时,有 xn a ,
则称常数a是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛
于a,记为
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果这样的常数 a 不存在, 就说数列没有极限,
第三章 一元函数积分学 24学时
第四章 微分方程
12学时
(期中考 复习
2 学时)
期末总复习
6 学时
本学期授课内容从第一章至第四章。
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3
基本要求
一、课前要预习,至少要翻一下书， 知道上课讲什么。(自学能力)
二、课堂上要认真听讲，适当做一些 课堂笔记以便课后复习。
三、课后要认真独立完成布置的作业， 作业要准时交。每次上课前交。
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4
参考书目：
《高等数学全真课堂 》 北京大学数学科学院编， 学苑出版社， 2019年
《高等数学习题集》 北京大学数学科学学院 韩松 主编，
科学技术文献出版社，2000年
第一节 微积分中的极限方法
例1、曲边三角形面积问题 求 y = x2 与 x 轴、直线 x = 1 所围曲边三角形的面积 S.
ln i m 1(1n)n11,
1 lnim 2n
0,
lim2n
n
(不存在)
而数 xn2 列 n,xn( 1)n没有 . 极限
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问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言
刻划它.
(xn 与1 的距离)
例如
ln i m 1(1n)n11,
xn1(1)n1
1 n
故在 t0 时刻的瞬时速度为 v(t0)lti m t0 s(tt)ts0(t0)
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第二节 数列极限的定义
一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四、数列极限的性质
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一、概念的引入
1、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
n(1)n1 n
;
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n
(1)n1 n
n1
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3 ,3 3 , ,3 3 3 , 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1,x2, ,xn, . x3 x1 x2 x4 xn
2. 数列实质上是定义在正整数集上的函数： xn = f ( n )，n Z+ 整标函数
第一天截下的杖 X1 长 12;为
第二 天截 下的为 杖 X2长 12总212和 ;
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
Xn
1
1 2n
1
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2、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽