04 第四节 极限的概念
极限的概念及其应用
极限的概念及其应用极限是数学中一个重要的概念，广泛应用于科学和工程等领域。
在大多数情况下，极限是一个趋近于某个值的过程，它们描述的是数学对象的某个方面在趋向某个特定的状态时的行为。
一、极限的定义在数学中，极限的定义又称为“Ε-δ语言”。
以函数为例，函数$f(x)$当$x$趋近于$a$时，如果存在一个与任意正数$\varepsilon$相对应的正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时有$|f(x)-L|<\varepsilon$，则称函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时以$L$为极限，记作$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$。
其中，$|f(x)-L|$称为$f(x)$与$L$的差，$\varepsilon$可理解为$f(x)$与$L$的误差，$\delta$是控制误差的因素。
二、极限的性质极限的性质包括唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则和复合函数法则等。
例如，如果$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L_1$，$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L_2$，则$L_1=L_2$；如果$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$，则存在一个$a$的邻域，使得$f(x)$在这个邻域内有界；如果$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$，则当$x\toa$时，$f(x)$与$L$的符号相同；如果$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$，$\lim\limits_{x\to a}g(x)=M$，则$\lim\limits_{x\to a}(f(x)\pmg(x))=L\pm M$，$\lim\limits_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=L\cdot M$，$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{L}{M}$，$\lim\limits_{x\to a}f(g(x))=f(\lim\limits_{x\to a}g(x))=f(M)$。
极限的概念与计算
极限的概念与计算极限是微积分中的重要概念之一，它使我们能够准确描述和计算函数在某个点附近的行为。
通过研究函数的极限，我们可以更好地理解函数的特性，并应用于实际问题的求解中。
本文将会详细介绍极限的概念以及常用的计算方法。
一、极限的概念极限是数学分析中用于描述函数在某个点的邻域内的行为的概念。
如果函数f(x)在x趋近于a的过程中，无论a的左右两侧取值多么接近，但f(x)都逐渐趋近于一个确定的值L，那么我们称L为函数f(x)当x趋近于a时的极限，记作lim(x→a)f(x) = L。
在极限的定义中，我们可以看到两个重要的要素：点a和趋近。
点a表示我们要研究的是函数在这个点的邻域内的行为，而趋近表示我们关注的是函数在这个点附近的值的变化情况。
二、极限的计算方法为了计算函数的极限，我们常用以下几种方法：1. 代入法：当函数在某一点处有定义并且不会发生除数为零的情况时，我们可以直接通过代入该点的值来计算极限。
2. 分式法则：对于两个函数相除，若极限的分子和分母都存在有限极限，且分母的极限不为零，则它们的极限等于分子的极限除以分母的极限。
3. 基本初等函数的极限：对于常见的基本初等函数，我们可以利用它们的性质来计算极限，如指数函数、对数函数、三角函数等。
4. 极限的运算法则：极限具有一些运算法则，如加减乘除法则、乘方法则、复合函数法则等，我们可以根据这些法则来简化极限的计算过程。
5. L'Hospital法则：当我们遇到形如0/0或∞/∞的不定型极限时，可以利用L'Hospital法则将其转化为形式相同但更容易计算的极限。
以上是常用的极限计算方法，需要根据具体问题选择合适的方法进行求解。
三、极限的应用极限在各个科学领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用：1. 导数的定义和计算：导数是极限的一种特殊形式，在微积分中广泛应用于研究函数的变化率、切线斜率等问题。
2. 无穷小量的概念：无穷小量的引入是为了更准确地描述极限的性质。
数学极限知识点总结
数学极限知识点总结一、极限的概念极限是一个重要的数学概念，它描述了一个函数在自变量趋近某个特定值时的行为。
具体地说，当自变量x在某一点a附近不断靠近，同时函数f(x)的取值也逐渐接近某个特定的数L时，我们就说函数f(x)在自变量x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义可以用符号表示为：对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε。
在这个定义中，ε和δ分别表示"误差"和"变化范围"，而当自变量x距离a足够近时，函数f(x)的取值与极限L的差异也会变得足够小。
换句话说，极限描述了函数在某点附近的稳定性和趋势。
在实际问题中，极限的概念常常用于描述随着自变量的变化，函数取值的趋势。
比如，在物理学中，我们可以用极限来描述速度、加速度、流体的流动等随着时间或空间的变化而变化的量。
而在工程中，极限也可以描述材料的强度、电路的稳定性等。
因此，极限是数学中一个十分重要、普遍且有广泛应用的概念。
二、极限的性质1.极限的唯一性如果一个函数在某点附近有极限，那么这个极限是唯一的。
换句话说，对于一个自变量x趋近于a的函数f(x)，其极限只能有一个确定的值。
这个性质使得我们可以不用担心在计算函数的极限时会出现多个可能的结果，从而保证了极限的一致性和确定性。
2.极限的局部保号性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则当L>0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都大于0；当L<0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都小于0。
这个性质表明了在极限存在的情况下，函数在足够靠近极限点的地方都具有一致的正负性。
3.极限的局部有界性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则存在一个正数M，使得a的某个邻域内函数的取值都在区间(-M,M)之间。
教资极限知识点总结
教资极限知识点总结一、极限概念1. 极限的定义极限是数学分析中的一个重要概念，用于描述函数在某一点附近的变化趋势。
数学上，对于一个函数f(x)，当x无限接近某一点a时，f(x)的取值会无限接近于某一特定的值L，这个值L就是函数f(x)在点a处的极限，通常用lim(x->a) f(x) = L来表示。
2. 极限存在性一个函数在某一点的极限存在的条件是：当x无限接近于该点时，f(x)的取值会趋于某一具体的值，即存在一个数L，使得对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
这个数L就是函数f(x)在点a处的极限。
3. 极限的性质（1）唯一性：若lim(x->a) f(x)存在，则函数f(x)在点a处的极限唯一。
（2）局部有界性：若lim(x->a) f(x)存在，则存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，函数f(x)有界。
（3）夹逼定理：若对于所有的x（a-h和a+h之间）都有g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim(x->a)g(x) = lim(x->a) h(x) = L，则lim(x->a) f(x) = L。
4. 极限的计算（1）利用函数性质：例如使用分解因式、换元等方法来计算。
（2）利用极限性质：例如夹逼定理、加减乘除等方法来计算。
（3）利用洛必达法则：当使用代入法计算不便或不可行时，可以使用洛必达法则来计算不定式的极限。
二、常见的极限1. 无穷大极限当函数f(x)在无穷远的点x=a处的极限满足lim(x->∞) f(x) = L或lim(x->-∞) f(x) = L时，称为无穷大极限。
2. 无穷小极限当函数f(x)在某一点x=a处的极限满足lim(x->a) f(x) = 0时，称为无穷小极限。
3. 函数的连续性函数f(x)在某一点x=a处连续的条件是lim(x->a) f(x)存在且f(a)存在且lim(x->a) f(x) =f(a)。
04 第四节 大数定理与中心极限定理
第四节 大数定理与中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 而随机现象的规律性在相同的条件下进行大量重复试验时会呈现某种稳定性. 例如, 大量的抛掷硬币的随机试验中, 正面出现频率; 在大量文字资料中, 字母使用频率; 工厂大量生产某种产品过程中, 产品的废品率等. 一般地, 要从随机现象中去寻求事件内在的必然规律, 就要研究大量随机现象的问题.在生产实践中, 人们还认识到大量试验数据、测量数据的算术平均值也具有稳定性. 这种稳定性就是我们将要讨论的大数定律的客观背景. 在这一节中，我们将介绍有关随机变量序列的最基本的两类极限定理----大数定理和中心极限定理.内容分布图示★大数定理的引入 ★切比雪夫不等式 ★例1 ★例2 ★大数定理 ★推论 大数定律 ★中心极限定理的引入 ★林德伯格—勒维定理 ★棣莫佛—拉普拉斯定理★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★例8★高尔顿钉板试验 中心极限定理 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题4-4内容要点：一、依概率收敛与微积分学中的收敛性的概念类似, 在概率论中, 我们要考虑随机变量序列的收敛性. 定义1 设 ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列, a 为一个常数,若对于任意给定的正数ε,有 ,1}|{|lim =<-∞→εa X P n n 则称序列 ,,,,21n X X X 依概率收敛于a , 记为).(∞→−→−n a X Pn定理1 设,,b Y a X Pn P n −→−−→−又设函数),(y x g 在点),(b a 连续, 则),(),(b a g Y X g Pn n −→−.二、切比雪夫不等式定理2设随机变量X 有期望μ=)(X E 和方差2)(σ=X D ,则对于任给0>ε, 有22}|{|εσεμ≤≥-X P .上述不等式称切比雪夫不等式.注：(i) 由切比雪夫不等式可以看出,若2σ越小, 则事件}|)({|ε<-X E X的概率越大, 即, 随机变量X 集中在期望附近的可能性越大. 由此可见方差刻划了随机变量取值的离散程度.(ii) 当方差已知时,切比雪夫不等式给出了X 与它的期望的偏差不小于ε的概率的估计式.如取,3σε= 则有.111.09}3|)({|22≈≤≥-σσσX E X P故对任给的分布,只要期望和方差2σ存在, 则随机变量X 取值偏离)(X E 超过σ3的概率小于0.111.三、大数定理1．切比雪夫大数定律定理3 (切比雪夫大数定律)设 ,,,,21n X X X 是两两不相关的随机变量序列,它们数学期望和方差均存在, 且方差有共同的上界, 即,,2,1,)( =≤i K X D i 则对任意0>ε, 有1)(11lim 11=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-∑∑==∞→εn i i n i i n X E n X n P 注: 定理表明: 当n 很大时,随机变量序列}{n X 的算术平均值∑=ni i X n 11依概率收敛于其数学期望∑=ni i X E n 1)(1.2．伯努利大数定理定理4 (伯努利大数定律)设A n 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数, p 是事件A 在每次试验中发生的概率, 则对任意的0>ε, 有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-→∞εp n n P A n 或 0l i m =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-→∞εp n n P A n . 注：(i) 伯努利大数定律是定理1的推论的一种特例, 它表明: 当重复试验次数n 充分大时, 事件A 发生的频率nn A依概率收敛于事件A 发生的概率p .定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性. 在实际应用中, 当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来近似代替事件的概率.(ii) 如果事件A 的概率很小，则由伯努利大数定律知事件A 发生的频率也是很小的，或者说事件A 很少发生. 即“概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生”，这一原理称为小概率原理，它的实际应用很广泛. 但应注意到，小概率事件与不可能事件是有区别的. 在多次试验中，小概率事件也可能发生.3．辛钦大数定理 定理5 (辛钦大数定律) 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立, 服从同一分布,且具有数学期望,,2,1,)( ==i X E i μ 则对任意0>ε, 有11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμn i i n X n P . 注: (i) 定理不要求随机变量的方差存在;(ii) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况;(iii) 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 例如, 要估计某地区的平均亩产量, 可收割某些有代表性的地块, 如n 块,计算其平均亩产量, 则当n 较大时,可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计. 此类做法在实际应用中具有重要意义.四、中心极限定理在实际问题中, 许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成, 其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的. 这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 以一门大炮的射程为例, 影响大炮的射程的随机因素包括: 大炮炮身结构的制造导致的误差, 炮弹及炮弹内炸药在质量上的误差, 瞄准时的误差, 受风速、风向的干扰而造成的误差等. 其中每一种误差造成的影响在总的影响中所起的作用是微小的, 并且可以看成是相互独立的, 人们关心的是这众多误差因素对大炮射程所造成的总影响. 因此需要讨论大量独立随机变量和的问题.中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题, 其结论表明: 当一个量受许多随机因素(主导因素除外) 的共同影响而随机取值, 则它的分布就近似服从正态分布.1．林德伯格—勒维定理定理6 (林德伯格—勒维) 设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列, 且,,,2,1,)(,)(2n i X D X E i i ===σμ则 ⎰∑∞--=∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-x t n i i n dt e x n n X P 2/1221lim πσμ 注: 定理6表明: 当n 充分大时, n 个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布. 虽然在一般情况下, 我们很难求出n X X X +++ 21的分布的确切形式, 但当n 很大时, 可求出其近似分布. 由定理结论有.1),/,(~)1,0(~/1)1,0(~1211∑∑∑====⇒-⇒-n i i ni i ni i X n X n N X N nX n N n n X σμσμσμ近似近似故定理又可表述为: 均值为μ, 方差的02>σ的独立同分布的随机变量 ,,,,21n X X X 的算术平均值X , 当n 充分大时近似地服从均值为μ,方差为n /2σ的正态分布. 这一结果是数理统计中大样本统计推断的理论基础.2. 棣莫佛—拉普拉斯定理在第二章中，作为二项分布的正态近似，我们曾经介绍了棣莫佛—拉普拉斯定理，这里再次给出，并利用上述中心极限定理证明之.定理7（棣莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量n Y 服从参数p n ,)10(<<p 的二项分布, 则对任意x , 有)(21)1(lim 22x dt e x p np np Y P x tn n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--⎰∞--∞→π注: 易见，棣莫佛—拉普拉斯定理就是林德伯格—勒维定理的一个特殊情况.3．用频率估计概率的误差设n μ为n 重贝努里试验中事件A 发生的频率, p 为每次试验中事件A 发生的概率,,1p q -=由棣莫佛—拉普拉斯定理,有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-pq n npqnp pq nP p n P n n εμεεμ .12-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈pq n pq n pq n εεε这个关系式可用解决用频率估计概率的计算问题:4. 李雅普诺夫定理定理8（李雅普诺夫定理） 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立, 它们具有数学期望和方差: ,2,1,0)(,)(2=>==i X D X E kk k k σμ，记.122∑==nk k nB σ 若存在正数δ, 使得当∞→n 时,,0}|{|1122→-∑=++nk k knXE Bδδμ则随机变量之和∑=n k k X 1的标准化变量:nnk kn k kn k k n k k nk k n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111μ的分布函数)(x F n 对于任意x , 满足).(21lim )(lim 2/112x dt e x B X P x F x t n n k k n k k n n n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎰∑∑∞--==∞→∞→πμ注：定理8表明, 在定理的条件下, 随机变量.11nnk kn k kn B X Z ∑∑==-=μ当n 很大时,近似地服从正态分布)1,0(N . 由此, 当n 很大时,∑∑==+=nk k n n nk k Z B X 11μ近似地服从正态分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=21,n n k k B N μ.这就是说,无论各个随机变量),2,1( =k X k 服从什么分布,只要满足定理的条件,那么它们的和∑=nk k X 1当n 很大时,就近似地服从正态分布.这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因.在很多问题中,所考虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和,例如,在任一指定时刻,一个城市的耗电量是大量用户耗电量的总和;一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、可加的微小误差所合成的,它们往往近似地服从正态分布.例题选讲：切比雪夫不等式例1 已知正常男性成人血液中, 每一毫升白细胞数平均是7300, 均方差是700. 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解设每毫升白细胞数为,X 依题意, ,7300=μ,70022=σ所求概率为}94005200{≤≤X P }73009400730073005200{-≤-≤-=X P }21002100{≤-≤-=μX P }.2100|{|≤-=μX P 由切比雪夫不等式22)2100/(1}2100|{|σμ-≥≤-X P 2)2100/700(1-=,9/89/11=-=即每毫升白细胞数在5200 ~ 9400之间的概率不小于8/9.例2 (讲义例1) 在每次试验中, 事件A 发生的概率为0.75, 利用切比雪夫不等式求: 事件A 出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?解 设X 为次试验中, 事件A 出现的次数, 则)75.0,(~n b X , ,75.0n =μ ,1875.025.075.02n n =⨯=σ所求为满足90.0}76.0/74.0{≥<<n X P 的最小的.n }76.0/74.0{<<n X P 可改写为}76.074.0{n X n P <<}01.075.001.0{n n X n P <-<-=}01.0|{|n X P <-=μ 在切比雪夫不等式中取,01.0n =ε 则}76.0/74.0{<<n X P }01.0|{|n X P <-=μ22)01.0/(1n σ-≥20001.0/1875.01n n -=n /18751-=依题意, 取n 使,9.0/18751≥-n 解得 ,18750)9.01/(1875=-≥n即n 取18750 时, 可以使得在n 次独立重复试验中, 事件A 出现的频率在76.0~74.0之间的概率至少为 0.90.中心极限定理例3 (讲义例2) 一盒同型号螺丝钉共有100个, 已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是100g, 标准差是10g, 求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg 的概率.解 设为第i 个螺丝钉的重量, ,100,,2,1 =i且它们之间独立同分布, 于是一盒螺丝钉的重量为,1001∑==i i X X且由,100)(==i X E μ,10)(==i X D σ,100=n 知,10000)(100)(=⨯=i X E X E ,100)(=X D由中心极限定理有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-=>∑=n n nn X P X P n i iσμσμ10200}10200{1⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-=100100001020010010000X p⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=2100100001210010000X P X P.02275.097725.01)2(1=-=Φ-≈例4 (讲义例3) 计算机在进行数学计算时, 遵从四舍五入原则. 为简单计. 现在对小数点后面第一位进行舍入运算, 则误差X 可以认为服从]5.0,5.0[-上的均匀分布. 若在一项计算中进行了100次数字计算, 求平均误差落在区间]20/3,20/3[-上的概率.解,100=n 用i X 表示第i 次运算中产生的误差.10021,,,X X X 相互独立, 都服从]5.0,5.0[-上的均匀分布,且,0)(=i X E ,12/1)var(=i X 100,,2,1 =i , 从而).1,0(~5312/100010010011001100N XX Y i ii i 近似∑∑===⨯-=故平均误差∑==10011001i i X X 落在⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-203,203上的概率为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-∑=20310012032032031001i iX P X P⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=∑=35331001i i X P )3()3(-Φ-Φ≈.9973.0=例5(讲义例4) 某车间有200台车床, 在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工作等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的, 且在开工时需电力1千瓦, 问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?解 对每台车床的观察作为一次试验, 每次试验观察台车床在某时刻是否工作, 工作的概率为0.6, 共进行200次试验. 用X 表示在某时刻工作着的车床数, 依题意, 有),6.0,200(~b X现在的问题是: 求满足999.0}{≥≤N X P 的最小的.N由定理3,)1(p np np X --近似服从),1,0(N 这里,120=np ,48)1(=-p np于是.48120}{⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈≤N N X P 由,999.048120≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ΦN 查正态分布函数表得,999.0)1.3(=Φ故,1.348120≥-N 从中解得,5.141≥N 即所求.142=N 也就是说, 应供应142千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.例6 (讲义例5) 某市保险公司开办一年人身保险业务, 被保险人每年需交付保险费160元, 若一年内发生重大人身事故, 其本人或家属可获2万元赔金. 已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为,005.0 现有5000人参加此项保险, 问保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万到40万元之间的概率是多少?解记⎩⎨⎧=事故个被保险人未发生重大若第故个被保险人发生重大事若第i i X i ,0,1 )5000,,2,1( =i于是i X 均服从参数为005.0=p 的两点分布, 且,005.0}1{==i X p .25=np∑=50001i i X 是5000个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数, 保险公司一年内从此项业务所得到的总收益为∑=⨯-⨯5000125000016.0i i X 万元.于是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-⨯≤∑=4025000016.02050001i i X P ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=∑=302050001i i X P ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⨯-≤⨯-≤⨯-=∑=995.0252530995.02525995.025*********i i X P 6826.0)1()1(=-Φ-Φ≈例7 对于一个学校而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量, 设一个学生无家长, 1名家长, 2名家长来参加会议的概率分别0.05, 0.8, 0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. 求参加会议的家长数X 超过450的概率.解以)400,,2,1( =k X k 记第k 个学生来参加会议的家长数, 则k X 的分布律为15.08.005.0210kk p X易知,1.1)(=k X E ,19.0)(=k X D ,400,,2,1 =k 而,4001∑==k k XX 由定理3, 随机变量),1,0(~19.04001.140019.04001.14004001N X Xk k近似⨯-=⨯-∑= 故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯->⨯-=>19.04001.140045019.04001.1400}450{X P X P⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⨯--=147.119.04001.14001X P.1357.0)147.1(1=Φ-≈例8 设有1000人独立行动, 每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9. 以95%概率估计, 在一次行动中, 至少有多少人能进入掩蔽体.解用i X 表示第i 人能够按时进入掩蔽体, 令.100021X X X S n +++=设至少有m 人能进入掩蔽体, 则要求,95.0}{≥≤n S m P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤⨯⨯⨯-=≤909001.09.010009.01000}{n n S m S m由中心极限定理, 有),1,0(~90900N S n 近似- 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤9090090900}{n n S m P S m P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<--=90900909001m S P n查正态分布数值表, 得 ,65.190900-=-m 故88435.88465.15900≈=-=m 人.课堂练习某地有甲、乙两个电影院竞争当地每天的1000名观众, 观众选择电影院是独立的和随机的,问: 每个电影院至少应设有多少个座位, 才能保证观众因缺少座位而离去的概率小于1%?。
极限概念知识点总结
极限概念知识点总结一、极限的基本概念1.1 极限的引入极限的概念最早是在微积分的发展过程中被引入的。
当人们试图解决一些问题时，发现需要对一些数列、函数、变量等的趋势进行描述和分析。
例如，当我们用一个数列的前几项来逼近某个数时，我们希望能够明确当数列的项数趋于无穷时，该数列是否真的能够逼近这个数；再如，当我们试图分析一个函数在某一点的性质时，我们也会遇到极限的概念。
因此，为了能够更加准确地描述数学对象在某个方面的性质，人们引入了极限的概念。
1.2 极限的定义数列的极限是极限的最基本形式之一。
对于一个数列{an}，当n趋于无穷时，如果an可以无限地地接近某个确定的数a，则称a为数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。
这个定义也可以推广到函数的极限、变量的极限等其他情形，如对于函数f(x)，当x趋于某一点c时，如果f(x)可以无限地地接近某个确定的数L，则称L为函数f(x)当x→c时的极限，记作lim（x→c）f(x)=L。
这就是极限的基本定义形式。
1.3 极限的性质极限具有一系列重要的性质，在实际应用中，这些性质被广泛地用于求解各种问题。
以下是一些极限的基本性质：1）唯一性：如果数列an有极限a，则这个极限是唯一的。
也就是说，一个数列只能有一个极限。
类似地，函数f(x)当x→c时的极限也是唯一的。
2）保号性：如果数列an的极限a>0（或a<0），则对于充分大的n，an>0（或an<0）。
3）夹逼准则：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim（n→∞）an=lim（n→∞）cn=a，那么必有lim（n→∞）bn=a。
这个性质在确定一些数列的极限时常常会被用到。
4）四则运算法则：如果lim（n→∞）an=a，lim（n→∞）bn=b，那么有lim（n→∞）（an±bn）=a±b，lim（n→∞）（an×bn）=a×b，lim（n→∞）（an÷bn）=a÷b（b≠0）。
极限的概念和求解方法
极限的概念和求解方法在数学中，极限是一个重要的概念。
它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。
本文将探讨极限的定义、特性以及求解方法。
一、极限的定义极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于一个确定的值。
通常用符号x→a来表示自变量x趋于a的极限。
如果当x无限接近a时，函数f(x)的取值无限接近某个值L，我们就说函数f(x)在x趋近于a时的极限是L，记作lim_(x→a)f(x)=L。
二、极限的特性1. 唯一性特性：如果函数f(x)在x趋近于a时有极限L，那么极限L 是唯一确定的。
2. 保号性特性：如果函数f(x)在x趋近于a时的极限L大于0，那么在a的邻域内，函数f(x)的取值也大于0；同理，如果极限L小于0，那么在a的邻域内，函数f(x)的取值也小于0。
3. 夹逼定理：如果函数f(x)、g(x)与h(x)满足在x趋近于a的过程中，存在一点x_0使得当x靠近x_0时，f(x)≤g(x)≤h(x)，并且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)h(x)=L，那么lim(x→a)g(x)=L。
三、求解极限的方法1. 代入法：当函数在某个点存在定义时，可以直接将自变量的值代入函数中计算。
例如，对于函数f(x)=2x+3，当x趋近于2时，可以将x=2代入函数中计算，得到极限值为7。
2. 分析法：利用函数的性质和极限特性，通过分析函数在极限点附近的取值趋势，来求解极限。
例如，对于函数f(x)=x^2+3x-1，当x趋近于2时，可以将函数化简为lim_(x→2)(x^2)+lim_(x→2)(3x)-lim_(x→2)(1)=6+6-1=11。
3. 套用已知极限：有时可以利用已知的一些常见极限来求解复杂函数的极限。
常见的一些极限包括sinx/x和e^x的极限值。
例如，对于函数f(x)=(e^x-1)/x，当x趋近于0时，可以套用已知的极限lim_(x→0)(e^x-1)/x=1。
4. L'Hôpital法则：对于一些特殊的函数形式，如0/0或∞/∞，可以使用L'Hôpital法则来求解极限。
函数的极限重要极限无穷大与无穷小
设
f (x)
2 x,
x2
2,
验证lim f ( x) 2.
x 0 y 2 xy
x0
2 y x2 2
x0
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近0, 函数值无限接近于2.
x从右侧无限趋近0, 函数值无限接近于2.
左极限 0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 f (x) A .
1
1
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
定理1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到
A 或 B 以及（3）中的某些情形：
考虑自变量 x 趋近于有限值x0 ，记这一变 化过程为x x0 .
仿照数列极限的定义，给出 x x0 时函数
的极限的定义.
1. 定义 :
定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切 x,对应的函数值 f ( x)都 满足不等式 f ( x) A ,那末常数 A就叫函数
f ( x)当 x x0时的极限,记作
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 )
" "定义 0, 0,使当0 x x0 时,
恒有 f ( x) A . 则 lim f (x) A x x0
讨论单侧极限
函数的极限六种存在形式
lim f ( x) A; lim f ( x) A; lim f ( x) A.
x x0
x x0
x
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第四节 极限的概念
极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术（参看光盘演示）, 就是极限思想在几何学上的应用. 又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子.天下篇》一书中对“截丈问题”（参看光盘演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想.
极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法. 本节将首先给出数列极限的定义.
分布图示
★ 极限概念的引入
★ 数列的极限 ★ 例1 ★ 例2
★ 函数极限的引入
★ 自变量趋向无穷大时函数的极限
★ 例3 ★ 例4 ★例5
★ 自变量趋向有限值时函数的极限 ★ 例6
★ 函数的左极限与右极限 ★ 例7 ★ 例8
★ 极限的性质
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题 1-4
内容要点
一、数列的定义
二、数列的极限
N -ε论证法，其论证步骤为：
（1）对于任意给定的正数ε, 令 ε<-||a x n ；
（2）由上式开始分析倒推, 推出 )(εϕ>n ；
（3）取 )]([εϕ=N ，再用N -ε语言顺述结论.
三、函数的极限
四、自变量趋于无穷大时函数的极限
五、自变量趋于有限值时函数的极限
六、左右极限的概念
七、函数极限的性质：唯一性 有界性 保号性
例题选讲
数列的极限
例1 (E01)下列各数列是否收敛, 若收敛, 试指出其收敛于何值.
(1){}n 2; (2)⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1; (3){}
1)1(+-n ; (4)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n 1. 解 (1)数列{}
n 2即为
,2,,8,4,2n 易见,当n 无限增大时,n 2 也无限增大, 故该数列是发散的;
(2)数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n 1即为 ,1,,31,21,1n
易见,当n 无限增大时,n
1无限接近于0, 故该数列是收敛于0; (3)数列{}
1)1(+-n 即为 ,)1(,,1,1,1,11+---n
易见,当n 无限增大时,1)1(+-n 无休止地反复取1、-1两个数,而不会接近于任何一个确定的常数,故该数列是发散的;
(4)数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-n n 1即为 ,1,,43,32,21,0n
n - 易见,当n 无限增大时, n
n 1-无限接近于1, 故该数列是收敛于1.
例2 (E02) 证明.1)1(lim 1
=-+-∞→n
n n n 证 由n
n n x n n 11)1(|1|1=--+=--，故对任给,0>ε要使,|1|ε<-n x 只要,1ε<n 即.1
ε>n 所以，若取,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN 则当N n >时，就有 .1)1(1
ε<--+-n
n n 即 .1)1(lim 1
=-+-∞→n
n n n
例3（E03）求极限.11lim ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+∞→x x 解 因为当x 的绝对值无限增大时，x 1无限接近于0，即函数x
11+无限接近于常数1，所以
.111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x 例4 (E04) 讨论极限.sin lim x x ∞
→ 解 观察函数x y sin =的图形(见图1－4－1)易知：
当自变量x 的绝对值||x 无限增大时，对应的函数值y 在区间]1,1[-上振荡，不能无限接近于任何常数.所以极限x x sin lim ∞
→不存在.
例5 (E05) 讨论极限,arctan lim x x -∞→ x x arctan lim +∞→及.arctan lim x x ∞
→ 解 观察函数x y arctan =的图形(见图1-4-2)易知：
当-∞→x 时，曲线x y arctan =无限接近于直线,2π-
=y 即对应的函数值y 无限接近于常数;2π-当+∞→x 时，对应的函数值y 无限接近于.2
π所以极限,2arctan lim π-=-∞→x x .2
arctan lim π=+∞→x x 由于,arctan lim arctan lim x x x x +∞→-∞→≠所以极限x x arctan lim ∞→不存在.
例6 (E06) 试根据定义说明下列结论：
(1) 00lim x x x x =→; (2) C C x x =→0
lim (C 为常数). 解 (1) 当自变量x 趋于0x 时，显然，函数x y =也趋于0x ，故00
lim x x x x =→. (2) 当自变量x 趋于0x 时，函数C y =始终取相同的值,C 故C C x x =→0
lim . 例7 (E07) 设,0,10,)(⎩
⎨⎧<+≥=x x x x x f 求 )(lim 0x f x →. 解 因为)(lim 0x f x -→)1(lim 0+-=-→x x ,1=)(lim 0x f x +→x x +→=0
lim .0= 即有)(lim 0x f x -→≠),(lim 0x f x +→所以)(lim 0
x f x →不存在.
例8 设,0,10,1)(2⎩
⎨⎧≥+<-=x x x x x f 求 ).(lim 0x f x → 解 0=x 是函数的分段点，如下图(见系统演示).
两个单侧极限为
,1)1(lim )(lim 00=-=--→→x x f x x .1)1(lim )(lim 20
0=+=++→→x x f x x
左右极限存在且相等, 故.1)(lim 0
=→x f x
课堂练习
1. 判别下列极限是否存在，如果存在，求出其值. (1) x x 102lim →; (2) x x e 1lim ∞→; (3) 210lim x x e -→.
2. 若,0)(>x f 且.)(lim A x f =问：能否保证有0>A 的结论？试举例说明.。