概率论与数理统计第7章
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概率论与数理统计复习7章
( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 = 1 − α 即P 2 <σ2 < 2 χα 2 ( n − 1) χ1−α 2 ( n − 1) ( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 置信区间为： 2 , χα 2 ( n − 1) χ12−α 2 ( n − 1)
则有：E ( X v ) = µv (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k ) 其v阶样本矩是：Av = 1 ∑ X iv n i =1
n
估计的未知参数，假定总体X 的k阶原点矩E ( X k ) 存在，
µ θ , θ ,⋯ , θ = A k 1 1 1 2 µ2 θ1, θ 2 ,⋯ , θ k = A2 用样本矩作为总体矩的估计，即令： ⋮ µ θ , θ ,⋯ , θ = A k k k 1 2 ɵ ɵ ˆ 解此方程即得 (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k )的一个矩估计量 θ 1 , θ 2 ,⋯ , θ k
+∞
−∞
xf ( x ) dx = ∫ θ x θ dx =
1 0
令E ( X ) = X ⇒
θ +1
θ
ˆ = X ⇒θ =
( )
X 1− X
θ +1
2
θ
7.2极大似然估计法
极大似然估计法： 设总体X 的概率密度为f ( x,θ ) (或分布率p( x,θ )),θ = (θ1 ,θ 2 ,⋯ ,θ k ) 为 未知参数，θ ∈ Θ, Θ为参数空间，即θ的取值范围。设 ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) 是 样本 ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n )的一个观察值：
i =1 n
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
《概率论与数理统计》第七章假设检验.
《概率论与数理统计》第七章假设检验.第七章假设检验学习⽬标知识⽬标：理解假设检验的基本概念⼩概率原理；掌握假设检验的⽅法和步骤。
能⼒⽬标：能够作正态总体均值、⽐例的假设检验和两个正态总体的均值、⽐例之差的假设检验。
参数估计和假设检验是统计推断的两种形式，它们都是利⽤样本对总体进⾏某种推断，然⽽推断的⾓度不同。
参数估计是通过样本统计量来推断总体未知参数的取值范围，以及作出结论的可靠程度，总体参数在估计前是未知的。
⽽在假设检验中，则是预先对总体参数的取值提出⼀个假设，然后利⽤样本数据检验这个假设是否成⽴，如果成⽴，我们就接受这个假设，如果不成⽴就拒绝原假设。
当然由于样本的随机性，这种推断只能具有⼀定的可靠性。
本章介绍假设检验的基本概念，以及假设检验的⼀般步骤，然后重点介绍常⽤的参数检验⽅法。
由于篇幅的限制，⾮参数假设检验在这⾥就不作介绍了。
第⼀节假设检验的⼀般问题关键词：参数假设；检验统计量；接受域与拒绝域；假设检验的两类错误⼀、假设检验的基本概念（⼀）原假设和备择假设为了对假设检验的基本概念有⼀个直观的认识，不妨先看下⾯的例⼦。
例7.1 某⼚⽣产⼀种⽇光灯管，其寿命X 服从正态分布)200 ,(2µN ，从过去的⽣产经验看，灯管的平均寿命为1550=µ⼩时，。
现在采⽤新⼯艺后，在所⽣产的新灯管中抽取25只，测其平均寿命为1650⼩时。
问采⽤新⼯艺后，灯管的寿命是否有显著提⾼？这是⼀个均值的检验问题。
灯管的寿命有没有显著变化呢？这有两种可能：⼀种是没有什么变化。
即新⼯艺对均值没有影响，采⽤新⼯艺后，X 仍然服从)200 ,1550(2N 。
另⼀种情况可能是，新⼯艺的确使均值发⽣了显著性变化。
这样，1650=X 和15500=µ之间的差异就只能认为是采⽤新⼯艺的关系。
究竟是哪种情况与实际情况相符合，这需要作检验。
假如给定显著性⽔平05.0=α。
在上⾯的例⼦中，我们可以把涉及到的两种情况⽤统计假设的形式表⽰出来。
《概率论与数理统计》7
未知参数 , ,, 的函数.分别令
12
k
L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
或令
i
ln L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
i
由此方程组可解得参数 i 的极大似然估计值 ˆi.
例5 设X~b(1,p), X1, X2 , …,Xn是来自X的一个样本,
求参数 p 的最大似然估计量.
解 E( X ) ，E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2
由矩估计法,
【注】
X
1
n
n i 1
X
2 i
2
2
ˆ X ,
ˆ
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
对任何总体,总体均值与方差的矩估计量都不变．
➢常见分布的参数矩估计量
(1)若总体X~b(1, p), 则未知参数 p 的矩估计量为
7-1
第七章
参数估计
统计 推断
的 基本 问题
7-2
参数估 计问题
(第七章）
点估计 区间估 计
假设检 验问题 (第八章）
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量.
当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计.
例如，X ~N ( , 2),
若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出
k = k(A1, A2 , …, A k)
用i 作为i的估计量------矩估计量.
例1 设总体X服从[a，b]上的均匀分布，a，b未知，
X1, X2 , …,Xn为来自总体X的样本,试求a，b的 矩估计量．
解 E(X ) a b , D(X ) (b a)2
《概率论与数理统计》第七章
i 1
n
n
ln xi
（4）的极大似然估计量为：ˆ
n
n2 i1
lnX
i
2
i1
第七章 参数估计 ‹#›
例 9 设X~b(1,p), X1,X2,…,Xn是来自X的一个样本， 试求参数p的最大似然估计量
解: 设x1, x2,, xn,是相应于样本X1,X2,…,Xn 的一个样本值，X
的分布律为：
(3)以样本各阶矩A1, ,Ak代替总体各阶矩1,
得各参数的矩估计
ˆi gi(A1, ,Ak )， i 1, , k
, k，
第七章 参数估计 ‹#›
注意：
在实际应用时，为求解方便，也可以用
中心矩 i 代替原点矩i，相应地以样本中心矩Bi 估计 i.
（二）最大似然估计法
最（极）大似然估计的原理介绍
第七章
参数估计
目录/Contents
第1章 随机事件与 2 概率
§ 1 点估计
§3
估计量的评选标准
第七章 参数估计 ‹#›
问题的提出:
在实际进行统计时，有不少总体的（我们关心的某 确定指标）概率分布是已知的。比如
例 1 产品寿命服从的分布
X~
f
(
x)
1
x
e
x0
0
其他
但其中有参数是未知的: θ
n
似然函数 L f xi , 。 i 1
, xn ，
极大似然原理：L(ˆ( x1 ,
,
xn
))
max
L(
).
计算简化方法：
在求L 的最大值时，通常转换为求：lnL 的最大值，
lnL 称为对数似然函数.
利用
n
n
ln xi
（4）的极大似然估计量为：ˆ
n
n2 i1
lnX
i
2
i1
第七章 参数估计 ‹#›
例 9 设X~b(1,p), X1,X2,…,Xn是来自X的一个样本， 试求参数p的最大似然估计量
解: 设x1, x2,, xn,是相应于样本X1,X2,…,Xn 的一个样本值，X
的分布律为：
(3)以样本各阶矩A1, ,Ak代替总体各阶矩1,
得各参数的矩估计
ˆi gi(A1, ,Ak )， i 1, , k
, k，
第七章 参数估计 ‹#›
注意：
在实际应用时，为求解方便，也可以用
中心矩 i 代替原点矩i，相应地以样本中心矩Bi 估计 i.
（二）最大似然估计法
最（极）大似然估计的原理介绍
第七章
参数估计
目录/Contents
第1章 随机事件与 2 概率
§ 1 点估计
§3
估计量的评选标准
第七章 参数估计 ‹#›
问题的提出:
在实际进行统计时，有不少总体的（我们关心的某 确定指标）概率分布是已知的。比如
例 1 产品寿命服从的分布
X~
f
(
x)
1
x
e
x0
0
其他
但其中有参数是未知的: θ
n
似然函数 L f xi , 。 i 1
, xn ，
极大似然原理：L(ˆ( x1 ,
,
xn
))
max
L(
).
计算简化方法：
在求L 的最大值时，通常转换为求：lnL 的最大值，
lnL 称为对数似然函数.
利用
概率论与数理统计课后习题答案 第七章
习题 7.2 1. 证明样本均值 是总体均值
证:
的相合估计
由定理
知 是 的相合估计
2. 证明样本的 k 阶矩
是总体 阶矩
证:
的相合估计量
3. 设总体 (1)
(2)
是
的相合估计
为其样品 试证下述三个估计量
(3)
都是 的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证:
都是 的无偏估计
故 的方差最小.
大?(附
)
解: (1) 的置信度为 的置信区间为
(2) 的置信度为 故区间长度为
的置信区间为
解得
四、某大学从来自 A,B 两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生,测其身高(单位:厘米)后,算的
.假设两市新生身高分别服从正态分布:
,
其中 未知 试求
的置信度为 0.95 的置信区间.(附:
解:
.从该车床加工的零件中随机抽取
4 个,测得长度分别为:12.6,13.4,12.8,13.2.
试求: (1)样本方差 ;(2)总体方差 的置信度为 95%的置信区间.
(附:
解: (1)
(2) 置信度 的置信区间为
三、设总体
抽取样本
为样本均值
(1) 已知
求 的置信度为 的置信区间
(2) 已知
问 要使 的置信度为 的置信区间长度不超过 ,样本容量 n 至少应取多
施磷肥的
620 570 650 600 630 580 570 600 600 580
设不施磷肥亩产和施磷肥亩产均服从正态分布,其方差相同.试对施磷肥平均亩产与不施磷肥平均
亩产之差作区间估计(
).
解:
查表知
概率论和数理统计(第三学期)第7章数理统计的基本概念
n i1
i
1 n
n
Ei
i1
D
D 1 n
n i 1
i
1 n2
n
Di
i 1
2
n
2
S~ 1 n
n i 1
i
2
1 n
n i 1
i2 2i
2
1 n
n
i2
i 1
2
n
i
i 1
n
2
1 n
n
i2
i 1
2
2
2
1 n
n
i2
i 1
2
E S~2
E
1 n
n
i2
i 1
23
.209
2
2 0.95
20
10
.851
当自由度n 45时，可用下面近似公式去求2 n:
x2 n
1 2
u
2
2n 1
例3
求
2 0.05
60 ．
解
2 0.05
60
1 2
u0.05
2
2 60 1
1 1.645
2
119 78.798
2
3、t分布的上侧分位点
对于给定的α(0<α<1)，使
2
e
xi 2 2
2
(2
) e 2
n 2
1
2 2
n i1
xi 2
在数理统计中，总体的分布往往是未知的，需 要通过样本找到一个分布来近似代替总体分布。
§7.3 分布的估计
频率分布 例 某炼钢厂生产的钢由于各种因素的影响，各炉
钢的含硅量可以看作是一个随机变量，现记录了 120炉钢的含硅量百分数，求出这个样本的频数分 布与频率分布。
概率论与数理统计教程第七章答案
.第七章假设检验7.1设总体J〜N(4Q2),其中参数4, /为未知，试指出下面统计假设中哪些是简洁假设，哪些是复合假设：(1) W o: // = 0, σ = 1 ；(2) W o√∕ = O, σ>l5(3) ∕70:// <3, σ = 1 ；(4) % :0< 〃 <3 ；(5)W o :// = 0.解：(1)是简洁假设，其余位复合假设7.2设配么，…，25取自正态总体息(19),其中参数〃未知，无是子样均值,如对检验问题“0 ：〃 = 〃o, M ：4工从)取检验的拒绝域：c = {(x1,x2,∙∙∙,x25)r∣x-χ∕0∖≥c},试打算常数c ,使检验的显著性水平为0. 05_ Q解：由于J〜N(〃,9),故J~N(",二)在打。
成立的条件下，一/3 5cP o(∖ξ-^∖≥c) = P(∖ξ-μJ^∖≥-)=2 1-Φ(y) =0.05Φ(-) = 0.975,-= 1.96,所以c=L176°3 37. 3 设子样。
,乙，…，25取自正态总体，cr：已知，对假设检验%邛=μ0, H2> /J。
,取临界域c = {(X[,w,…,4)：片>9)}，(1)求此检验犯第一类错误概率为α时，犯其次类错误的概率夕，并争论它们之间的关系；(2)设〃o=0∙05, σ~=0. 004, a =0.05, n=9,求"=0.65 时不犯其次类错误的概率。
解：(1)在儿成立的条件下，F~N(∕o,军)，此时a = P^ξ≥c^ = P0< σo σo )所以，包二为册=4_,,由此式解出c°=窄4f+为% ∖∣n在H∣成立的条件下，W ~ N",啊 ,此时nS = %<c°) = AI。
气L =①(^^~品)二①匹%=①(2δξ^历σoA∣-σ+A)-A-------------- y∕n)。
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第七章
假设检验
假设检验的基本概念 单正态总体的假设检验 双正态总体的假设检验
7.1假设检验的基本概念
数理统计的主要任务是从样本出发，对总体的分布 作出推断。作推断的方法，主要有两种，一种是上一章 讲的参数估计，另一种是假设检验。 在总体分布未知或虽知其类型但含有未知参数的 时候，为推断总体的某些未知特性，提出某些关于总 体的假设。再根据样本所提供的信息及运用适当的统 计量，对提出的假设作出接受或拒绝的决策，假设检 验是作出这一决策的过程。假设检验包括两类：参数 假设检验；非参数假设检验。 参数假设检验是针对总体分布函数中的未知参数 而提出的假设进行检验 ；非参数假设检验是针对总 体分布函数形式或类型的假设进行检验。
对于检验统计量的选择，故下面分两种情形进行讨论. 1、总体方差σ2已知，正态总体均值μ的检验 设总体 X ~ N ( , 2 ) ,其中 2 已知,X1,…,Xn是取自 总体X的一个样本. (1)检验假设H0：μ= μ0，H1：μ≠μ0； μ0已知常数 X 0 H 0为 真 时 ， U ~ N (0, 1) n 故选取U作为检验统计量, 记其观察值为u,相应的检 验法称为u检验法.
因为X是的无偏估计量，当 H 0成立时， U 不应太大， 当H1成立时， U 有偏大的趋势，故拒绝 域形式为 x 0 u k（k待 定 ） 0 n
对给定的显著性水平α，查标准正态分布表有 k u / 2 P{| U | u / 2 } 使
x 0 u / 2 由此即得拒绝域为 | u | / n 即 W (,u 2 ) (u 2 ,) 根据一次抽样后得到的样本值x1,x2,…,xn计算出U的观 察值u，若| u | u / 2 , 则拒绝原假设H0，即认为总体均
2、总体方差σ2未知，正态总体均值μ的检验 (1)检验假设 H0：μ= μ0，H1：μ≠μ0； X 0
H0为真时
T
S
n
~ t (n 1)
故选取T作为检验统计量,其观察值记为t，相应的检验 法称为t检验法。
因 为X 是的 无 偏 估 计 量 ， S 2是 2的 无 偏 估 计 量 。 当 H 0成 立 时， t 不应太大，当 H1成 立 时 ， t 有 偏 大 的 趋 势 。 故 拒域 绝的 形式为
例7.1中取α=0.05，则有 (1)建立假设 H0：μ= μ0 =500， H1：μ≠ μ0 ， (2)以H0成立为前提确定统计量及其分布 (3)对给定的显著性水平α=0.05 ,确定H0接受域 W 或拒绝 域W. 取临界点为 u 2 1.96 ,使 P{| U | u 2} , 故H0被 接受与拒绝的区域分别为 W [1.96, 1.96], W , 1.96 1.96,
值与 0有显著差异。若 | u | u / 2
,则接受原假设H0.
(2) H0：μ μ0，H1：μ>μ0；检验规则为 当 u x 0 u 时，拒绝H0 n 当 u x 0 u 时，接受H0 n
(3) H0：μ μ0，H1：μ<μ0；检验规则为
x 0 当 u u 时，拒绝H0 n x 0 当 u u 时，接受H0 n
例7.2 设某产品的某项质量指标服从正态分布，已知它的标准差 σ=150，现从一批产品中随机地抽取26个，测得该项指标的平均 值为1637。问能否认为这批产品的该项指标值为1600(α=0.05) ？ 解 (1)提出原假设： H0：μ=1600，H1：μ≠1600； (2)选取统计量 U X 0
X 0 选取统计量 U n
查标准正态分布表
对于给定的显著性水平α=0.05 ，
u u0.05 1.65
已知n=9，σ=3， x 13.5 计算统计量观察值 x 0 13.5 15.5 u 2 n 3 9 由于 u 2 u 1.65 所以拒绝原假设H0，而接受H1， 即说明用新方法所需时间比用老方法所需时间短。
假设检验的步骤： (1)提出原假设H0和备择假设H1； (2)给定显著性水平α以及样本容量n； (3) 选取合适的统计量，当H0为真时其分布是确定的,且 其分布不依赖于任何未知参数; ； (4)由H1内容确定拒绝域的形式，通常在水平α下， 由 P{拒绝 H0| H0为真}= α 确 定拒绝域的临界值, 从而确定拒绝域; (5) 作一次具体的抽样, 根据得到的样本观察值和所得的 拒绝域，作出拒绝还是接受H0的判断。
认为总体均值与 有显著差异。 0
| x 0 | 当t t (n 1)时，接受 H0. s n 2
2
(2) H0：μ μ0，H1：μ>μ0；检验规则为 当 T X 0 t (n 1) 时，拒绝H0 1 S n X 0 当T t1 (n 1) 时，接受H0 S n
H 0 : 0 , H1 : 0 .
左侧(边)检验;
为检验提出的假设，通常需构造检验统计量，并取 总体的一个样本值，根据样本提供的信息来判断假 设是否成立。当检验统计量取某个区域W中的值时， 拒绝原假设H0，则称区域W为拒绝域，否则为接受 域，拒绝域的边界点称为临界点。
五、假设检验的一般步骤
(3) H0：μ μ0，H1：μ<μ0；检验规则为
X 0 当 T t1 (n 1) 时，拒绝H0 S n X 0 t1 (n 1) 时，接受H0 当T S n
例7.4 某地区青少年犯罪年龄构成服从正态分布，现随机抽取9 名罪犯，其年龄如下： 22，17，19，25，25，18，16，23，24 试在α=0.05下判断犯罪青少年的平均年龄是否为18岁。 解 (1)提出原假设： H0：μ=18，H1：μ≠18； (2)选取统计量 T
二、假设检验的基本思想
假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反 证法。为了检验一个假设H0是否正确，首先假定该假设H0 正确，然后由抽取到的样本对假设H0作出接受或拒绝的决 策。如果样本观察值导致了不合理的现象发生，就应拒绝 假设H0 ，否则应接受假设H0 。
假设检验中所谓“不合理”，并非逻辑中的绝对矛盾， 而是基于人们在实践中广泛采用的实际推断原理：“小概率 事件在一次试验中是几乎不发生的”。但概率小到什么程度 才能算作“小概率事件”？显然， “小概率事件”的概率越 小，否定原假设H0就越有说服力。常记这个概率值 0 1 为 ，称为检验的显著性水平。 的大小视具体情况 而定，通常取为0.1,0.05,0.01,0.005等值 。
问饮酒对工作能力是否由显著的影响？
两组工人完成工作的时间，可以分别看作是两个服 从正态分布的总体X~N(μ1,σ12)和Y~N(μ2,σ22) ，如 果饮酒对工作能力没有影响，两个总体的均值应该 相等。本例的假设检验问题可简记为：
H0：μ1= μ2， H1： μ1 ≠ μ2，
在实际问题中, 有时还需要检验下列形式的假设: H 0 : 0 , H1 : 0 . 右侧(边)检验;
一、引例
设一箱中有红白两种颜色的球共100个，甲说这里有98 个白球，乙从箱中任取一个，发现是红球，问甲的说法是否 正确？ 先作假设H0：箱中确有98个白球。 如果假设H0正确，则从箱中任取一个球是红球的概率只 有0.02，是小概率事件。通常认为在一次随机试验中，概率 小的事件不易发生，因此，若乙从箱中任取一个，发现是 红球，即小概率事件竟然在一次试验中发生了，故有理由 拒绝假设H0 ，即认为甲的说法不正确。
对于给定的一对H0和H1，总可找出许多临界域W，
人们自然希望找到这种临界域W，使得犯两类错误的概率都 很小。
四、假设检验问题的一般提法
在假设检验问题中，提出要求检验的假设，称为原假设 或零假设，记为H0，把原假设的对立面称为备择假设或对立 假设，记为H1。
例7.1 某车间用包装机包装洗衣粉，洗衣粉包装机在 正常工作时，装包量X~N(500,152)。每天开工后，需 先检验包装机工作是否正常。某天开工后随机抽查9 袋，其重量为 497, 506, 518,524,498,511,520,515,512 试问这天包装机工作是否正常？ 本例的假设检验问题可简记为： H0：μ= μ0 =500， H1：μ≠ μ0 ， 形如“H1：μ≠ μ0”的备择假设表示μ可以大于μ0也可 以小于μ0 ，称为双边备择假设，而称形如此式的假 设检验为双边假设检验。
X 0 ~ t (n 1) 对给定的显著性水平α=0.05 ， S n (3)确定k,使P{|T|>k}= α查t分布表 k t (n 1) t0.025 (8) 2.3060
2
即不能否定这批产品该项指标为1600。
例7.3 完成生产线上某件工作的平均时间不少于15.5分钟，标准 差为3分钟。对随机抽取的9名职工讲授一种新方法，训练期结束 后，9否说明用新方法所需时间比用老方法所需时间短？设α=0.05，并 假定完成这件工作的时间服从正态分布。 解（单边检验问题）提出原假设H0：μ 15.5，H1：μ<15.5；
511 500 2.2 1.96 (4)再由样本值算得 u 15 / 9 (5)由于u W (拒绝域), 于是拒绝H0 ，认为这天包装机
X 0 X 500 U ~ N (0,1) 15 3 n
工作不正常。
7.2
单正态总体的假设检验
一、总体均值的假设检验 当检验关于总体均值 （数学期望）的假设时, 该 2 总体中的另一个参数，即方差 是否已知，会影响到
例7.2 为了研究饮酒对工作能力的影响，任选19名工人 分成两组，一组工人工作前饮一杯酒，一组工人工作前 不饮酒，让他们每人做一件同样的工作，测得他们的完 工时间(单位：分钟)如下： 饮酒者 30 46 51 34 48 45 39 61 58 67
未饮酒者 28 22 55 45 39 35 42 38 20
| x 0 | t k (k待定） s n
假设检验
假设检验的基本概念 单正态总体的假设检验 双正态总体的假设检验
7.1假设检验的基本概念
数理统计的主要任务是从样本出发，对总体的分布 作出推断。作推断的方法，主要有两种，一种是上一章 讲的参数估计，另一种是假设检验。 在总体分布未知或虽知其类型但含有未知参数的 时候，为推断总体的某些未知特性，提出某些关于总 体的假设。再根据样本所提供的信息及运用适当的统 计量，对提出的假设作出接受或拒绝的决策，假设检 验是作出这一决策的过程。假设检验包括两类：参数 假设检验；非参数假设检验。 参数假设检验是针对总体分布函数中的未知参数 而提出的假设进行检验 ；非参数假设检验是针对总 体分布函数形式或类型的假设进行检验。
对于检验统计量的选择，故下面分两种情形进行讨论. 1、总体方差σ2已知，正态总体均值μ的检验 设总体 X ~ N ( , 2 ) ,其中 2 已知,X1,…,Xn是取自 总体X的一个样本. (1)检验假设H0：μ= μ0，H1：μ≠μ0； μ0已知常数 X 0 H 0为 真 时 ， U ~ N (0, 1) n 故选取U作为检验统计量, 记其观察值为u,相应的检 验法称为u检验法.
因为X是的无偏估计量，当 H 0成立时， U 不应太大， 当H1成立时， U 有偏大的趋势，故拒绝 域形式为 x 0 u k（k待 定 ） 0 n
对给定的显著性水平α，查标准正态分布表有 k u / 2 P{| U | u / 2 } 使
x 0 u / 2 由此即得拒绝域为 | u | / n 即 W (,u 2 ) (u 2 ,) 根据一次抽样后得到的样本值x1,x2,…,xn计算出U的观 察值u，若| u | u / 2 , 则拒绝原假设H0，即认为总体均
2、总体方差σ2未知，正态总体均值μ的检验 (1)检验假设 H0：μ= μ0，H1：μ≠μ0； X 0
H0为真时
T
S
n
~ t (n 1)
故选取T作为检验统计量,其观察值记为t，相应的检验 法称为t检验法。
因 为X 是的 无 偏 估 计 量 ， S 2是 2的 无 偏 估 计 量 。 当 H 0成 立 时， t 不应太大，当 H1成 立 时 ， t 有 偏 大 的 趋 势 。 故 拒域 绝的 形式为
例7.1中取α=0.05，则有 (1)建立假设 H0：μ= μ0 =500， H1：μ≠ μ0 ， (2)以H0成立为前提确定统计量及其分布 (3)对给定的显著性水平α=0.05 ,确定H0接受域 W 或拒绝 域W. 取临界点为 u 2 1.96 ,使 P{| U | u 2} , 故H0被 接受与拒绝的区域分别为 W [1.96, 1.96], W , 1.96 1.96,
值与 0有显著差异。若 | u | u / 2
,则接受原假设H0.
(2) H0：μ μ0，H1：μ>μ0；检验规则为 当 u x 0 u 时，拒绝H0 n 当 u x 0 u 时，接受H0 n
(3) H0：μ μ0，H1：μ<μ0；检验规则为
x 0 当 u u 时，拒绝H0 n x 0 当 u u 时，接受H0 n
例7.2 设某产品的某项质量指标服从正态分布，已知它的标准差 σ=150，现从一批产品中随机地抽取26个，测得该项指标的平均 值为1637。问能否认为这批产品的该项指标值为1600(α=0.05) ？ 解 (1)提出原假设： H0：μ=1600，H1：μ≠1600； (2)选取统计量 U X 0
X 0 选取统计量 U n
查标准正态分布表
对于给定的显著性水平α=0.05 ，
u u0.05 1.65
已知n=9，σ=3， x 13.5 计算统计量观察值 x 0 13.5 15.5 u 2 n 3 9 由于 u 2 u 1.65 所以拒绝原假设H0，而接受H1， 即说明用新方法所需时间比用老方法所需时间短。
假设检验的步骤： (1)提出原假设H0和备择假设H1； (2)给定显著性水平α以及样本容量n； (3) 选取合适的统计量，当H0为真时其分布是确定的,且 其分布不依赖于任何未知参数; ； (4)由H1内容确定拒绝域的形式，通常在水平α下， 由 P{拒绝 H0| H0为真}= α 确 定拒绝域的临界值, 从而确定拒绝域; (5) 作一次具体的抽样, 根据得到的样本观察值和所得的 拒绝域，作出拒绝还是接受H0的判断。
认为总体均值与 有显著差异。 0
| x 0 | 当t t (n 1)时，接受 H0. s n 2
2
(2) H0：μ μ0，H1：μ>μ0；检验规则为 当 T X 0 t (n 1) 时，拒绝H0 1 S n X 0 当T t1 (n 1) 时，接受H0 S n
H 0 : 0 , H1 : 0 .
左侧(边)检验;
为检验提出的假设，通常需构造检验统计量，并取 总体的一个样本值，根据样本提供的信息来判断假 设是否成立。当检验统计量取某个区域W中的值时， 拒绝原假设H0，则称区域W为拒绝域，否则为接受 域，拒绝域的边界点称为临界点。
五、假设检验的一般步骤
(3) H0：μ μ0，H1：μ<μ0；检验规则为
X 0 当 T t1 (n 1) 时，拒绝H0 S n X 0 t1 (n 1) 时，接受H0 当T S n
例7.4 某地区青少年犯罪年龄构成服从正态分布，现随机抽取9 名罪犯，其年龄如下： 22，17，19，25，25，18，16，23，24 试在α=0.05下判断犯罪青少年的平均年龄是否为18岁。 解 (1)提出原假设： H0：μ=18，H1：μ≠18； (2)选取统计量 T
二、假设检验的基本思想
假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反 证法。为了检验一个假设H0是否正确，首先假定该假设H0 正确，然后由抽取到的样本对假设H0作出接受或拒绝的决 策。如果样本观察值导致了不合理的现象发生，就应拒绝 假设H0 ，否则应接受假设H0 。
假设检验中所谓“不合理”，并非逻辑中的绝对矛盾， 而是基于人们在实践中广泛采用的实际推断原理：“小概率 事件在一次试验中是几乎不发生的”。但概率小到什么程度 才能算作“小概率事件”？显然， “小概率事件”的概率越 小，否定原假设H0就越有说服力。常记这个概率值 0 1 为 ，称为检验的显著性水平。 的大小视具体情况 而定，通常取为0.1,0.05,0.01,0.005等值 。
问饮酒对工作能力是否由显著的影响？
两组工人完成工作的时间，可以分别看作是两个服 从正态分布的总体X~N(μ1,σ12)和Y~N(μ2,σ22) ，如 果饮酒对工作能力没有影响，两个总体的均值应该 相等。本例的假设检验问题可简记为：
H0：μ1= μ2， H1： μ1 ≠ μ2，
在实际问题中, 有时还需要检验下列形式的假设: H 0 : 0 , H1 : 0 . 右侧(边)检验;
一、引例
设一箱中有红白两种颜色的球共100个，甲说这里有98 个白球，乙从箱中任取一个，发现是红球，问甲的说法是否 正确？ 先作假设H0：箱中确有98个白球。 如果假设H0正确，则从箱中任取一个球是红球的概率只 有0.02，是小概率事件。通常认为在一次随机试验中，概率 小的事件不易发生，因此，若乙从箱中任取一个，发现是 红球，即小概率事件竟然在一次试验中发生了，故有理由 拒绝假设H0 ，即认为甲的说法不正确。
对于给定的一对H0和H1，总可找出许多临界域W，
人们自然希望找到这种临界域W，使得犯两类错误的概率都 很小。
四、假设检验问题的一般提法
在假设检验问题中，提出要求检验的假设，称为原假设 或零假设，记为H0，把原假设的对立面称为备择假设或对立 假设，记为H1。
例7.1 某车间用包装机包装洗衣粉，洗衣粉包装机在 正常工作时，装包量X~N(500,152)。每天开工后，需 先检验包装机工作是否正常。某天开工后随机抽查9 袋，其重量为 497, 506, 518,524,498,511,520,515,512 试问这天包装机工作是否正常？ 本例的假设检验问题可简记为： H0：μ= μ0 =500， H1：μ≠ μ0 ， 形如“H1：μ≠ μ0”的备择假设表示μ可以大于μ0也可 以小于μ0 ，称为双边备择假设，而称形如此式的假 设检验为双边假设检验。
X 0 ~ t (n 1) 对给定的显著性水平α=0.05 ， S n (3)确定k,使P{|T|>k}= α查t分布表 k t (n 1) t0.025 (8) 2.3060
2
即不能否定这批产品该项指标为1600。
例7.3 完成生产线上某件工作的平均时间不少于15.5分钟，标准 差为3分钟。对随机抽取的9名职工讲授一种新方法，训练期结束 后，9否说明用新方法所需时间比用老方法所需时间短？设α=0.05，并 假定完成这件工作的时间服从正态分布。 解（单边检验问题）提出原假设H0：μ 15.5，H1：μ<15.5；
511 500 2.2 1.96 (4)再由样本值算得 u 15 / 9 (5)由于u W (拒绝域), 于是拒绝H0 ，认为这天包装机
X 0 X 500 U ~ N (0,1) 15 3 n
工作不正常。
7.2
单正态总体的假设检验
一、总体均值的假设检验 当检验关于总体均值 （数学期望）的假设时, 该 2 总体中的另一个参数，即方差 是否已知，会影响到
例7.2 为了研究饮酒对工作能力的影响，任选19名工人 分成两组，一组工人工作前饮一杯酒，一组工人工作前 不饮酒，让他们每人做一件同样的工作，测得他们的完 工时间(单位：分钟)如下： 饮酒者 30 46 51 34 48 45 39 61 58 67
未饮酒者 28 22 55 45 39 35 42 38 20
| x 0 | t k (k待定） s n