中考数学复习最值专题一精品课件
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2020年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(56张PPT)
5
y
B
M1
O
点M1为最值点， P1D1为所求线段 M
x
D1
H
P1
P
D C
“阿氏圆”问题
【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B， 则所有满足PA/PB=k（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹 最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿波罗尼斯圆”简称 “阿氏圆”.如下图所示，其中PA：PB＝OP：OB＝OA：OP＝k.
小伙子从A走到P，然后从P折往B，可望最早到达B。
问 题 ： 若 在 驿 道 上 行 走 的 速 度 为 v1=8km/h ， 在 沙 地 上 行 走 的 速 度 为
v2=4km/h.（1）小伙子回家需要的时间可表示为 （2）点P选择在何处他回家的时间最短？
AP P; B
84
1 4
1 2
PA
PB
PA最长 PB最短
⑦圆圆之间，连心线截距最短（长）
基本图形
E
A
O
C
B DM
F
结论
AB最长 CD最短
解决策略
复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式 得到的，在解决这一类问题的时候，常常需要通过几何变换 进行转化，逐渐转化为“基本图形”，再运用“基本图形” 的知识解决。常运用的典型几何变换有： （1）平移------“架桥选址” （2）翻折------“将军饮马“ （3）旋转------“费马点问题“ （4）相似------“阿氏圆问题“ （5）三角------“胡不归问题“ （6）多变换综合运用
解题要点：
将定点沿定长方向平移
定长距离 将军饮马
B1
B1
架桥选址类
【例20】如图，在矩形ABCD中，AB＝ 3 ，BC＝1，将△ABD
y
B
M1
O
点M1为最值点， P1D1为所求线段 M
x
D1
H
P1
P
D C
“阿氏圆”问题
【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B， 则所有满足PA/PB=k（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹 最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿波罗尼斯圆”简称 “阿氏圆”.如下图所示，其中PA：PB＝OP：OB＝OA：OP＝k.
小伙子从A走到P，然后从P折往B，可望最早到达B。
问 题 ： 若 在 驿 道 上 行 走 的 速 度 为 v1=8km/h ， 在 沙 地 上 行 走 的 速 度 为
v2=4km/h.（1）小伙子回家需要的时间可表示为 （2）点P选择在何处他回家的时间最短？
AP P; B
84
1 4
1 2
PA
PB
PA最长 PB最短
⑦圆圆之间，连心线截距最短（长）
基本图形
E
A
O
C
B DM
F
结论
AB最长 CD最短
解决策略
复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式 得到的，在解决这一类问题的时候，常常需要通过几何变换 进行转化，逐渐转化为“基本图形”，再运用“基本图形” 的知识解决。常运用的典型几何变换有： （1）平移------“架桥选址” （2）翻折------“将军饮马“ （3）旋转------“费马点问题“ （4）相似------“阿氏圆问题“ （5）三角------“胡不归问题“ （6）多变换综合运用
解题要点：
将定点沿定长方向平移
定长距离 将军饮马
B1
B1
架桥选址类
【例20】如图，在矩形ABCD中，AB＝ 3 ，BC＝1，将△ABD
中考数学 专题聚焦一 最值问题课件
[对应训练] 1．在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°， D是BC边的中点， E是AB上的一个动点，则EC＋ED的最小值是__3__5____.
点拨：以 AC 为边作正方形 ACBP，如图，连接 CP，则 AB 与 CP 互相 垂直平分，连接 DP 交 AB 于点 E, 连接 CE，∵AC＝BC＝6，D 是 BC 的中点，∴DB＝3，又∵∠CBP＝90°，PB＝6，在 Rt△DBP 中，由 勾股定理有，DP＝ 32＋62＝ 45＝3 5，又∵EC＝EP，∴EC＋ED＝EP ＋ED＝DP＝3 5，即：EC＋ED 的最小值是 3 5
专题一 最值问题
美国著名数学家哈尔莫斯曾经说过：“数学的真正部分是问题的解” ．毋庸置疑，学习数学就意味着解题．解题，联想是基础，转化是手段 ，问题解决是目的．如果说：解题它是表达一个命题从题设到结论的演 变过程，那么联想与转化它可以迅速沟通这一演变过程的作用．联想是 基础，转化是手段，灵活应用是关键，问题解决是目的，把握好这一解 题策略，对于我们学习数学，提高解题质量，提高学习成绩，可以起到 事半功倍的作用．
为(－43，0)，PQ′＝ （－2－0）2＋（2＋4）2＝2 10
【点评】此题主要考查线路最短问题的作图和求值问题，有一定的难度．
[对应训练] 1．在平面直角坐标系中，设P(－1，1)，Q(2，3)，x轴上有一点R， 则PR＋RQ的最小值为__5__．
2．(2016·创新题)若一次函数y＝kx＋b的图象与x，y轴分别交于点 A(4，0)，B(0，6)． (1)求该一次函数的解析式； (2)O为坐标原点，设OA，AB的中点分别为C，D，P为OB上一动点 ，求PC＋PD的最小值．
解：设 t 秒后 PQ＋QC 最小，取点 P 关于 AD 的对称点 P′，连接 CP′与 AD 相交，由轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的使 PQ＋QC 最小 的点 Q 的位置，∵AB＝6 cm，AD＝12 cm，∴AP＝AP′＝6－t，AQ＝2t， QD＝12－2t，∵AB∥CD，∴△AP′Q∽△DCQ，∴ACPD′＝AQQD，
中考数学专题复习-例说线段的最值问题 (共62张)
MA MD 1 AD 1，FDM 60. 2
A
N
B
解答过程：
F M D 3 0 ， F D = 1 M D = 1 .
2
2
FM =MD cos30= 3 . 2
MC = FM 2+CF 2 = 7.
A 'C = M C M A ' = 7 1.
FD
C
M
A‘'
A
N
B
小结：
“关联三角形”的另外两条边尽可能长度已知（或 可求），再利用三角形三边关系求解，线段取得最值时 ，“关联三角形”不存在（三顶点共线）.
解答过程：
连接OC交e O于点P，此时PC最小. 在RtBCO中， Q BC=4，OB=3， OC=5，PC=OC OP=2. 即PC最小值为2.
小结：
此道作业题构造“辅助圆”的突破口在于发现动点与 两定点连线的夹角为确定值；若点P在△ABC外部，则CP 长存在最大值；若∠APB为非直角时，则作△ABP的外接 圆，此时AB为非直径的弦.
'
2
2
2
在 R t C D D '中 ，
C D '= C D 2 D D '2 3 2 4 2 5 , 即 PC PD的 最 小 值 为 5.
小结：
1. 本题从形的角度得到点P的位置，再从数的角度计算 出点P的坐标，进而得到最小值.这正是体现了数形结合 的重要性.
典型例题2：
D
C
M
A‘'
，52
)，B(4，m)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点
，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的表达式.
y
2023中考数学专题复习-利用“两点之间,线段最短”解决最值问题(课件)
三是实际背景问题，来求最优化问题．
问题2：解决以几何图形为背景的最值问题我们
将运用到哪些知识？
“两点之间，线段最短”、轴对称点、勾股定理、
三角形三边关系、垂线段最短、线段垂直平分线的
性质、矩形、菱形……
复习回顾
O
(1)两点之间线段最短。
(1)两点之间线段最短。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
第2题答图
3．如图，在菱形 ABCD 中，若 AD＝6，∠ABC＝120°，E 是 BC 的中点，
P 为对角线 AC 上的一个动点，连接 PB，PE，则 PE＋PB 的最小值为
3 3
__________．
【解析】如答图，连接 BD，DP，DE.∵四边形 ABCD 是菱形，∴B，D
关于直线 AC 对称，∴DE 的长即为 PE＋PB 的最小值．∵∠ABC＝120°，
M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小
值是__________．
6
【解析】如答图，作点 P 关于 OB 的对称点 P′，作点 P 关于 OA 的对称
点 P″，连接 P′P″，则 P′P″的长就是△PMN 周长的最小值．在△OP′P″
中，OP′＝OP″，∠AOB＝30°，∴∠P′OP″＝60°.∵OP＝6，∴P′P″＝6.
即为所求，△PCD 周长的最小值即为线段 P′P″的长．
“两定两动”型
6．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上且 BE＝1，点
P，Q 分别是边 BC，CD 上的动点(均不与顶点重合)，则四边形 AEPQ 周
2＋2 13
长的最小值是__________．
问题2：解决以几何图形为背景的最值问题我们
将运用到哪些知识？
“两点之间，线段最短”、轴对称点、勾股定理、
三角形三边关系、垂线段最短、线段垂直平分线的
性质、矩形、菱形……
复习回顾
O
(1)两点之间线段最短。
(1)两点之间线段最短。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
第2题答图
3．如图，在菱形 ABCD 中，若 AD＝6，∠ABC＝120°，E 是 BC 的中点，
P 为对角线 AC 上的一个动点，连接 PB，PE，则 PE＋PB 的最小值为
3 3
__________．
【解析】如答图，连接 BD，DP，DE.∵四边形 ABCD 是菱形，∴B，D
关于直线 AC 对称，∴DE 的长即为 PE＋PB 的最小值．∵∠ABC＝120°，
M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小
值是__________．
6
【解析】如答图，作点 P 关于 OB 的对称点 P′，作点 P 关于 OA 的对称
点 P″，连接 P′P″，则 P′P″的长就是△PMN 周长的最小值．在△OP′P″
中，OP′＝OP″，∠AOB＝30°，∴∠P′OP″＝60°.∵OP＝6，∴P′P″＝6.
即为所求，△PCD 周长的最小值即为线段 P′P″的长．
“两定两动”型
6．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上且 BE＝1，点
P，Q 分别是边 BC，CD 上的动点(均不与顶点重合)，则四边形 AEPQ 周
2＋2 13
长的最小值是__________．
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二、解题策略与解法精讲
• 选择题解题旳基本原则是：充分利用选择题旳特点，小题 小做，小题巧做，切忌小题大做.
• 解选择题旳基本思想是既要看到各类常规题旳解题思想， 但更应看到选择题旳特殊性，数学选择题旳四个选择支中 有且仅有一种是正确旳，又不要求写出解题过程. 因而， 在解答时应该突出一种“选”字，尽量降低书写解题过程， 要充分利用题干和选择支两方面提供旳信息，根据题目旳 详细特点，灵活、巧妙、迅速地选择解法，以便迅速智取， 这是解选择题旳基本策略. 详细求解时，一是从题干出发 考虑，探求成果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支 出发探求是否满足题干条件. 实际上，后者在解答选择题 时更常用、更有效.
• 例3 下列四个点中，在反百分比函数y＝− 旳图象上旳是（ ）
• A．（3，-2） B．（3，2） C．（2，3） D．（-2，-3）
• 思绪分析：根据反百分比函数中k=xy旳特点进行解答即可．
• 解：A、∵3×（-2）=-6，∴此点在反百分比函数旳图象上，故本选项正确； B、∵3×2=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错误； C、∵2×3=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错误； D、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错 误． 故选A．
• 思绪分析：反百分比函数旳图象是中心对称图形， • 则与经过原点旳直线旳两个交点一定有关原点对称． • 解：因为直线y=mx过原点，双曲线 旳两个分支有关原点对称，
所以其交点坐标有关原点对称，一种交点坐标为（3，4），另一种交 点旳坐标为（-3，-4）． 故选：C． • 点评：此题考察了函数交点旳对称性，经过数形结合和中心对称旳定 义很轻易处理．
• 一. 一次函数、反百分比函数和二次函数图象旳分析问题
第33讲 最值专题-2020届广东九年级数学中考总复习课件 (共24张PPT)
易错题汇总
1.用60 m的篱笆围成一面靠墙且分隔成两个矩形的养
鸡场，则养鸡场的最大面积为
（ B）
A.450 m2
B.300 m2
C.225 m2
D.60 m2
2.当x=__-_1___时，二次函数y=－x2-2x+6有最___大____
值____7____.
3.二次函数y=x2+1的最小值是___1____. 4.（1）当x=___6___时，二次函数y=-x2+12x-20（0≤ x≤10）的最大值是___1_6____; （2）当x=___0___时，二次函数y=-x2+12x-20（0≤x ≤10）的最小值是___-_2_0___. 5.当-1≤x≤1时，一次函数y=2x+4的最大值为___6___, 最小值为____2____.
解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8.∠B＝∠BCD＝90°. 由翻折可知AD＝AF＝10， DE＝EF. 设EC＝a，则DE＝EF＝8-a.
在Rt△ABF中，BF＝ ∴CF＝BC-BF＝10-6＝4. 在Rt△EFC中，则有（8-a）2＝a2+42， 解得a＝3.∴EC＝3.
分层训练
A组 5.（2017新疆）如图2-33-4，在边长为6 cm的正方形 ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发, 均以1 cm/s 的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E 到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当 运动时间为___3___s时，四边形EFGH的面积最小，其最 小值是___1_8____cm2.
6.如图2-33-1，A，B两点在直线l的同侧,在直线l上 取一点P，使PA+PB最小.
中考数学最值问题讲座课件
分析：（1）根据题意可列出二元一次方程组，求出甲乙两 种词典的单价分别是70元，50元。 （2）如果设购买甲种词典x本，则乙种词典就是（30-x） 本，然后根据总费用不超过1600元，可列出不等式 70x+50(30-x)≤1600，解得x≤5，所以最多可购买甲种词 典5本。
例3.为加快复工复产，某企业需运输一批物资。据调查得知，2辆 大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车 一次可以运输1350箱。 （1）一辆大货车和一辆小货车，一次可以分别运输多少箱物资；
（2）该企业计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一 次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元，若运输物资不 少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并 指出哪种方案所需总费用最少，最少总费用是多少 ？
例3.为加快复工复产，某企业需运输一批物资。据调查得知，2辆 大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车 一次可以运输1350箱。 （1）一辆大货车和一辆小货车，一次可以分别运输多少箱物资；
初中数学的最值问题
（代数方面）
一、根据绝对值的意义求最值
二、利用二次根式的非负性求最值
例：当x取什么实数时，式子 最小？最小值是多少？
的值
根据二次根式被开方数是非负数可知3x-1≥0, 所以当3x-1=0时式子的值最小，此时最小值为2。
三、利用配方法求最值
1.当x为_______时， 多项式x2+6x+10有最小值________
分析：（1）购买甲种蔬菜x千克，那么购买乙种蔬菜就是 （100-x）千克，进货的总资金就是10x+14（100-x），然后 根据投入资金不少于1160元，又不多于1168元 ，就可以建立 不等式组1160≤10x+14（100-x）≤168，进而找到x的取值范 围58≤x≤60，然后找出符合条件的x的所有正整数解 58,59,60,这样购买方案就是3种。
例3.为加快复工复产，某企业需运输一批物资。据调查得知，2辆 大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车 一次可以运输1350箱。 （1）一辆大货车和一辆小货车，一次可以分别运输多少箱物资；
（2）该企业计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一 次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元，若运输物资不 少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并 指出哪种方案所需总费用最少，最少总费用是多少 ？
例3.为加快复工复产，某企业需运输一批物资。据调查得知，2辆 大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车 一次可以运输1350箱。 （1）一辆大货车和一辆小货车，一次可以分别运输多少箱物资；
初中数学的最值问题
（代数方面）
一、根据绝对值的意义求最值
二、利用二次根式的非负性求最值
例：当x取什么实数时，式子 最小？最小值是多少？
的值
根据二次根式被开方数是非负数可知3x-1≥0, 所以当3x-1=0时式子的值最小，此时最小值为2。
三、利用配方法求最值
1.当x为_______时， 多项式x2+6x+10有最小值________
分析：（1）购买甲种蔬菜x千克，那么购买乙种蔬菜就是 （100-x）千克，进货的总资金就是10x+14（100-x），然后 根据投入资金不少于1160元，又不多于1168元 ，就可以建立 不等式组1160≤10x+14（100-x）≤168，进而找到x的取值范 围58≤x≤60，然后找出符合条件的x的所有正整数解 58,59,60,这样购买方案就是3种。
中考数学最值问题ppt课件
选编辑ppt
Q
9
求两点间距离的最值，常依据两点间线段最短 （三角形两边之和大于第三边）
精选编辑ppt
10
求直线上动点到两定点距离和的最值， 常将两定点变化到直线异侧，再利用 对称的性质解决。本题是几何方法求 最值较经典的例题，依据是三角形两 边之和大于第三边（两点间线段最短）
精选编辑ppt
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14
求直线上动点到两定点距离差的最值， 常将两定点变化到直线同侧，再利用 对称的性质解决。依据是三角形两 边之差小于第三边
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15
【例】（2016•成都）如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，∠BAD＝ 45°，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再 将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；
第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；
第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重 合，△PQM与△DCF在CD同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN 处（边PR与BC重合，△PRN与△BCG在BC同侧）。
33将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移设平移的时间为t秒平移后的直尺为wxyz其中边xy所在的直线与x轴交于点m与抛物线的其中一个交点为点n请直接写出当t为何值时可使得以cdmn为顶点的四边形是平行四边形
最值问题
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1
最值问题是初中数学的重要内容，从难度上看，既可以是很简 单的小题，也可以是综合性较强的大题，一直是中考命题的热 点，在压轴题和选择填空题中都经常出现。
Q
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求两点间距离的最值，常依据两点间线段最短 （三角形两边之和大于第三边）
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10
求直线上动点到两定点距离和的最值， 常将两定点变化到直线异侧，再利用 对称的性质解决。本题是几何方法求 最值较经典的例题，依据是三角形两 边之和大于第三边（两点间线段最短）
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求直线上动点到两定点距离差的最值， 常将两定点变化到直线同侧，再利用 对称的性质解决。依据是三角形两 边之差小于第三边
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15
【例】（2016•成都）如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，∠BAD＝ 45°，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再 将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；
第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；
第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重 合，△PQM与△DCF在CD同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN 处（边PR与BC重合，△PRN与△BCG在BC同侧）。
33将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移设平移的时间为t秒平移后的直尺为wxyz其中边xy所在的直线与x轴交于点m与抛物线的其中一个交点为点n请直接写出当t为何值时可使得以cdmn为顶点的四边形是平行四边形
最值问题
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1
最值问题是初中数学的重要内容，从难度上看，既可以是很简 单的小题，也可以是综合性较强的大题，一直是中考命题的热 点，在压轴题和选择填空题中都经常出现。
二次函数的最值问题-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第三单元 函数及其图象专题3.5 二次函数的最值问题知识点利用二次函数的区间最值求值01利用二次函数求代数式的最值02利用二次函数求面积的最值03拓展训练04【例1】已知二次函数y=-(x-h)2.(1)若当x＜3时,y随x的增大而增大,当x＞3时,y随x的增大而减少,则h=___.(2)若当x＜3时,y随x的增大而增大,则h的取值范围为______.(3)当自变量x的取值满足2≤x≤5时,函数值y的最大值为-1,则h=______.3h≥31或6a＞0(开口向上)a＜0(开口向下)a≤x≤b＜h,y随x增大而减小,当x=a时,y有最大值,y max =m；当x=b时,y有最小值,y min =na≤x≤b＜h,y随x增大而增大,当x=a时,y有最小值,y min =m；当x=b时,y有最大值,y max =ny O xm n a bh k (h,k)yOx(h,k)hb a knma ＞0(开口向上)a ＜0(开口向下)h＜a≤x≤b,y随x增大而增大,当x=a时,y有最小值,y min =m；当x=b时,y有最大值,y max =nh ＜a ≤x ≤b ,y 随x 增大而减小,当x =a 时,y 有最大值,y max =m ；当x =b 时,y 有最小值,y min =ny O xh k(h,k)b a n m yO x(h,k)h k nm baa ＞0(开口向上)a ＜0(开口向下)a≤x≤b,a＜h＜b,|a-h|＜|b-h|当x=h时,y有最小值,y min =k；当x=b时,y有最大值,y max =n(a＞0,离对称轴越远的点,位置越高)a≤x≤b,a＜h＜b,|a-h|＞|b-h|当x=h时,y有最大值,y max =k；当x=a时,y有最小值,y min =m(a＜0,离对称轴越远的点,位置越低)y Oxhk (h,k)b a n m yO x(h,k)hk n bam1.已知二次函数y=(x-h)2+1,在1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为( ) A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或32.已知二次函数y=x 2-2x-3,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是( ) A.0，-4 B.0，-3 C.-3，-4 D.0,03.已知二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3,当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a=____.4.如图,抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两个点),顶点C是矩形DEFG区域内(包括边界和内部)的一个动点,则a的取值范围是__________.B知识点一强化训练利用二次函数的区间最值求值A 1xy-2-11143232知识点利用二次函数的区间最值求值01利用二次函数求代数式的最值02利用二次函数求面积的最值03拓展训练04【例【例22】】点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x 2+ax+4的图象上,则m-n的最大值等于( ) A.15/4 B.4 C.-15/4 D.-17/4C∵y轴为对称轴把P(m,n)代入y=x 2+ax+4得：n=m 2+4∴m-n=m-(m 2+4)=-(m-1/2)2-15/4∴a=0∴m-n的最大值为-15/4a＞0(开口向上)a＜0(开口向下)设M(x,kx+d).∵MN∥y轴，N在抛物线上，∴N(x,ax2+bx+c).当xA ＜x＜xB,MN=(kx+d)-(ax2+bx+c)设M(x,kx+d).∵MN∥y轴,N在抛物线上,∴N(x,ax2+bx+c).当xA＜x＜xB,MN=(ax2+bx+c)-(kx+d).yO xxAMBAxBNy=ax2+bx+c y=kx+dyOxNxAMABxBy=ax2+bx+cy=kx+d1.若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a＞0)两根相差1,令t=12a-b2,则t的最大值为____.2.已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)(m＜n)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是_____.1.解析：Δ=b2-4a∴b2=a2+4a∴t=12a-b2=12a-(a2+4a)∴t=-(a-4)2+16当a=4时,tmax =16167/42.解析：y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1∴对称轴为x=-2∵AB≤4,A(m,3),B(n,3)∴当m=-4,n=0时a最小把B(0,3)代入y=ax2+4ax+4a+1得a=1/2∴a2+a+1=(a+1/2)2+3/4=(1/2+1/2)2+3/4=7/43.如图直线y=x与抛物线y=x 2-2x-3交于点E、F,直线MN∥y轴,交直线y=x于点N,交抛物线于点M.(1)若点M为于点N的下方,求当MN 最长时,M的坐标；(2)若以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标。
第38课最值问题中考数学一轮复习教学市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
∵点 A(4，0)，点 B(0，－3)， ∴OA＝4，OB＝3. ∴AB＝ OA2＋OB2 ＝ 16＋9 ＝5.
设点 Px，12x2－45x－3 54＜x＜4 ，
则点 Dx，34x－3 ，
∴BD＝ （x－0）2＋34x－3＋32 ＝54 x， PD＝34x－3 －12x2－54x－3 ＝－12 x2＋2x.
利用函数增减性求区间最值
【例 3】(2020·云南)众志成城抗疫情，全国人民在行 动．某公司决定安排大、小货车共 20 辆，运送 260 吨 物资到 A 地和 B 地，支援当地抗击疫情．每辆大货车 装 15 吨物资，每辆小货车装 10 吨物资，这 20 辆货车 恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
∴S△ACD＝12 ·DG·OA
＝12 (－x2－3x)×3＝－32 x2－92 x
＝－32 x＋32 2 ＋287 .
∴当 x＝－32 时，S 最大＝287 ，
此时点 D－23，－145 .
∴点 D 到直线 AC 的距离取得最大时，
D－23，－145 .
中考实战
一、选择题
1．(2018·贵港)如图，在菱形 ABCD 中，AC＝6 2 ， BD＝6，E 是 BC 边的中点，P，M 分别是 AC，AB
上的动点，连接 PE，PM，则 PE＋PM 的最小值是
( C)
A．6
B．3 3
C．2 6
D．4.5
二、填空题 2．(2020·毕节)如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是边 AB 的中点，点 P 是对角线 BD 上的 动点，则 AP＋PE 的最小值是____2___5____．
3．(2020·新疆改编)如图，在△ABC 中，∠A＝90°， ∠B＝60°，AB＝2，若 D 是 BC 边上的动点，则
设点 Px，12x2－45x－3 54＜x＜4 ，
则点 Dx，34x－3 ，
∴BD＝ （x－0）2＋34x－3＋32 ＝54 x， PD＝34x－3 －12x2－54x－3 ＝－12 x2＋2x.
利用函数增减性求区间最值
【例 3】(2020·云南)众志成城抗疫情，全国人民在行 动．某公司决定安排大、小货车共 20 辆，运送 260 吨 物资到 A 地和 B 地，支援当地抗击疫情．每辆大货车 装 15 吨物资，每辆小货车装 10 吨物资，这 20 辆货车 恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
∴S△ACD＝12 ·DG·OA
＝12 (－x2－3x)×3＝－32 x2－92 x
＝－32 x＋32 2 ＋287 .
∴当 x＝－32 时，S 最大＝287 ，
此时点 D－23，－145 .
∴点 D 到直线 AC 的距离取得最大时，
D－23，－145 .
中考实战
一、选择题
1．(2018·贵港)如图，在菱形 ABCD 中，AC＝6 2 ， BD＝6，E 是 BC 边的中点，P，M 分别是 AC，AB
上的动点，连接 PE，PM，则 PE＋PM 的最小值是
( C)
A．6
B．3 3
C．2 6
D．4.5
二、填空题 2．(2020·毕节)如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是边 AB 的中点，点 P 是对角线 BD 上的 动点，则 AP＋PE 的最小值是____2___5____．
3．(2020·新疆改编)如图，在△ABC 中，∠A＝90°， ∠B＝60°，AB＝2，若 D 是 BC 边上的动点，则
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中考数学复习最值专题一精品课件
中考复习
最值专题
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九
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微专题一：单线段最值+单动点型
类型一：动点轨迹--直线型 考法指导 动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。 （1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值 （2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定 ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与 定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。 ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。 ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则 点的轨迹为直线。
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【详解】
如图，设 AD 的中点为点 E，则 EA ED 1 AD 1 4 2
2
2
由题意得，点 H 的运动轨迹在以点 E 为圆心，EA 为半径的圆上
由点与圆的位置关系得：连接 BE，与圆 E 交于点 H，则此时BH 取得
最小值， EH 2
连接 BD
AB 为半圆 O 的直径
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【典型例题】
例题 1．如图，点 D 在半圆O 上，半径OB 5 ，AD 4 ，点C 在弧BD 上 移动，连接 AC ，作 DH AC ，垂足为 H ，连接 BH ，点C 在移动的过 程中， BH 的最小值是______．
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ADB 90
BD AB2 AD2 (5 5)2 42 2 21
7，
∴CD=CF=2 7 .
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类型二：动点轨迹--圆或圆弧型 考法指导
动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为 定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差” 的性质求解。 确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法: （1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。 （2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具 体运用如下; ①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形 ②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形
解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理 由如下：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质 得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE， ∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE．
（2）如图 2，过点 A 作 AF⊥EB 交 EB 延长线于点 F．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠A=60°，
∴点 E 的运动轨迹是直线 BE，
根据垂线段最短可知：当点 E 与 F 重合时，AE 的值最小，
此时 CD=CE=CF，
∵∠ACB=∠CBE=60°，
∴AC∥EF，
∵AF⊥BE，
∴AF⊥AC，
在 Rt△ACF 中，
∴CF=
AC2 AF 2 =
2
42 2 3 =2
点P 到 AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段 AD 垂直平分线 MN 上， 连接 AC ，交MN 与点P ，此时 PC PD 的值最小， 且 PC PD AC AB2 BC2 42 62 52 2 13 故答案为：2 13
【针对训练】
1．（2018·湖北中考真题）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为 AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点 P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）
在 Rt△AOP 和△COQ 中
A OCQ
AO
CO
，
AOP COQ
∴Rt△AOP≌△COQ，
∴PE= 2 AP= 2 CQ，QF= 2 BQ，
2
2
2
∴PE+QF=
2 （CQ+BQ）=
2 BC=
2
2 =1，
2
2
2
∵M 点为 PQ 的中点，
∴MH 为梯形 PEFQ 的中位线，
∴MH= 1 （PE+QF）= 1 ，
【答案】C
【详解】连接 OC，作 PE⊥AB 于 E，MH⊥AB 于 H，QF⊥AB 于 F，如图，
∵△ACB 为到等腰直角三角形，
易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角
2 ，∠A=∠B=45°，
2
∵O 为 AB 的中点， ∴OC⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1， ∴∠OCB=45°， ∵∠POQ=90°，∠COA=90°， ∴∠AOP=∠COQ，
2
2
即点 M 到 AB 的距离为 1 ， 2
而 CO=1， ∴点 M 的运动路线为△ABC 的中位线，
∴当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 所经过的路线长= 1 AB=1， 2
故选 C．
∴AP=CQ，
【针对训练】
2．（2017·江苏中考真题）如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动 点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足 PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．
【典型例题】
例题 1． （2020·全国初三单元测试）如图，矩形 ABCD 中，AB 4 ，BC 6 ， 点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 SPAB SPCD ，则 PC PD 的最小值为 _____．
【答案】 2 13 【详解】
ABCD 为矩形，
AB DC
又 S PAB S PCD
【答案】 6 2 ． 【详解】 解：如图，由题意可知点 C 运动的路径为线段 AC′，点 E 运动的路径 为 EE′，由平移的性质可知 AC′=EE′，在 Rt△ABC′中，易知 AB=BC′=6， ∠ABC′=90°，∴EE′=AC′= 62 62 =6 2 ，故答案为：6 2 ．
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【针对训练】
3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针 旋转60°得到线段DE，连结BE． （1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE； （2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．
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微专题一：单线段最值+单动点型
类型一：动点轨迹--直线型 考法指导 动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。 （1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值 （2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定 ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与 定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。 ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。 ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则 点的轨迹为直线。
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【详解】
如图，设 AD 的中点为点 E，则 EA ED 1 AD 1 4 2
2
2
由题意得，点 H 的运动轨迹在以点 E 为圆心，EA 为半径的圆上
由点与圆的位置关系得：连接 BE，与圆 E 交于点 H，则此时BH 取得
最小值， EH 2
连接 BD
AB 为半圆 O 的直径
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【典型例题】
例题 1．如图，点 D 在半圆O 上，半径OB 5 ，AD 4 ，点C 在弧BD 上 移动，连接 AC ，作 DH AC ，垂足为 H ，连接 BH ，点C 在移动的过 程中， BH 的最小值是______．
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ADB 90
BD AB2 AD2 (5 5)2 42 2 21
7，
∴CD=CF=2 7 .
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类型二：动点轨迹--圆或圆弧型 考法指导
动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为 定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差” 的性质求解。 确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法: （1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。 （2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具 体运用如下; ①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形 ②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形
解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理 由如下：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质 得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE， ∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE．
（2）如图 2，过点 A 作 AF⊥EB 交 EB 延长线于点 F．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠A=60°，
∴点 E 的运动轨迹是直线 BE，
根据垂线段最短可知：当点 E 与 F 重合时，AE 的值最小，
此时 CD=CE=CF，
∵∠ACB=∠CBE=60°，
∴AC∥EF，
∵AF⊥BE，
∴AF⊥AC，
在 Rt△ACF 中，
∴CF=
AC2 AF 2 =
2
42 2 3 =2
点P 到 AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段 AD 垂直平分线 MN 上， 连接 AC ，交MN 与点P ，此时 PC PD 的值最小， 且 PC PD AC AB2 BC2 42 62 52 2 13 故答案为：2 13
【针对训练】
1．（2018·湖北中考真题）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为 AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点 P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）
在 Rt△AOP 和△COQ 中
A OCQ
AO
CO
，
AOP COQ
∴Rt△AOP≌△COQ，
∴PE= 2 AP= 2 CQ，QF= 2 BQ，
2
2
2
∴PE+QF=
2 （CQ+BQ）=
2 BC=
2
2 =1，
2
2
2
∵M 点为 PQ 的中点，
∴MH 为梯形 PEFQ 的中位线，
∴MH= 1 （PE+QF）= 1 ，
【答案】C
【详解】连接 OC，作 PE⊥AB 于 E，MH⊥AB 于 H，QF⊥AB 于 F，如图，
∵△ACB 为到等腰直角三角形，
易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角
2 ，∠A=∠B=45°，
2
∵O 为 AB 的中点， ∴OC⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1， ∴∠OCB=45°， ∵∠POQ=90°，∠COA=90°， ∴∠AOP=∠COQ，
2
2
即点 M 到 AB 的距离为 1 ， 2
而 CO=1， ∴点 M 的运动路线为△ABC 的中位线，
∴当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 所经过的路线长= 1 AB=1， 2
故选 C．
∴AP=CQ，
【针对训练】
2．（2017·江苏中考真题）如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动 点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足 PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．
【典型例题】
例题 1． （2020·全国初三单元测试）如图，矩形 ABCD 中，AB 4 ，BC 6 ， 点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 SPAB SPCD ，则 PC PD 的最小值为 _____．
【答案】 2 13 【详解】
ABCD 为矩形，
AB DC
又 S PAB S PCD
【答案】 6 2 ． 【详解】 解：如图，由题意可知点 C 运动的路径为线段 AC′，点 E 运动的路径 为 EE′，由平移的性质可知 AC′=EE′，在 Rt△ABC′中，易知 AB=BC′=6， ∠ABC′=90°，∴EE′=AC′= 62 62 =6 2 ，故答案为：6 2 ．
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【针对训练】
3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针 旋转60°得到线段DE，连结BE． （1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE； （2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．
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