奈维-斯托克斯知识点讲解

Hefei University《化工传递过程基础》题目：奈维—斯托克斯方程系别：化学材料与工程系班级：12级化工（3）班姓名：唐楠楠学号：1203023002教师：胡坤宏日期：2014-03-26一、基本简介奈维-斯托克斯方程（英文名；Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程，简称N-S方程。

是牛顿第二定律在粘性流体运动时的具体表达式。

等式左边是流体微元的加速度和质量之积，右端是作用于其上的合外力，也可将该方程看作是惯性力.重力.压力和粘性力这四种力的平衡。

1821年由C.-L.-M.-H.奈维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。

这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。

这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。

这样，奈维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。

他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。

它们可以用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、翼型周围的气流。

它们也可以用于飞行器和车辆的设计、血液循环的研究、电站的设计、污染效应的分析，等等。

Navier Stokes(奈维叶－斯托克斯)方程是流体力学中描述粘性牛顿流体的方程，是目前为止尚未被完全解决的方程，目前只有大约一百多个特解被解出来，是最复杂的方程之一。

二、N-S方程的意义当流体运动时，相邻两流体隔离体之间的相互作用，一方面体现为压力(一般说来，压力这个量依赖于密度和温度)；另一方面体现为粘性力（而粘性力和变形率有关）。

斯托克斯假设应力张量同变形率张量成正比。

在最一般的情形下，用直角坐标系x、y、z和时间t作自变量，这些方程把速度的三个分量u、υ、w 同密度ρ、压力p用下列三个微分方程联系起来：N-S方程相配的固体壁边界条件是紧靠固体壁的流体附着在固体壁上，并和固体壁同速运动，这叫做流体的附着条件.同欧拉方程相比，N-S方程多了同粘性有关的项（包含η和η的项），它们的项数多、阶次高；固体壁边界条件也多，附着条件比欧拉方程的绕流条件（即允许流体沿固体壁滑过去，也就是比允许沿固体壁切面方向，流体有不同于固体壁的分速度）增多了要求。

可见解 N-S方程比解欧拉方程难得多。

用位势流理论可以求解欧拉方程，但不用它解N-S方程，关键在于满足不了附着条件。

在很多情形下，流线型物体的边界层的厚度可以不计（或者是把它理解成固体壁的加厚），边界层以外的粘性力（粘度小、变形率也小）也可以不计(见雷诺数)，那就相当于在纳维-斯托克斯方程中置η=η'=0，使N-S 方程就变成了欧拉方程。

方程简化了，固体壁处的条件也就松了，即可将绕流条件代替附着条件。

纳维- 斯托克斯方程同欧拉方程的上述关系（包括边界条件），说明了在流体力学中不同形式的基本运动方程之间的逻辑上的和谐一致.从1845年纳维-斯托克斯方程建立起，准确满足这方程的有实际意义的解还不多。

在此基础上导出适用于可压缩流体的奈维-斯托克斯方程。

以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。

奈维-斯托克斯方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。

它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，在求解思路或技术没有进一步发展和突破前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。

例如当雷诺数时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，奈维-斯托克斯方程简化为理想流动中的欧拉方程；而在边界层内，奈维-斯托克斯方程又可简化为边界层方程，等等。

在计算机问世和迅速发展以后，奈维-斯托克斯方程的数值求解才有了很大的发展。

三、对N-S 的基本假设在解释奈维-斯托克斯方程的具体细节之前，我们必须对流体作出几个必要的假设。

第一个假设就是流体要连续的，这强调它不包含形成内部的空隙，例如：溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。

而另一个必要的假设则是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强P 、速度v 、密度、温度Q 等等。

该方程从质量、动量和能量的守恒的基本原理导出。

对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。

该控制体积可以在空间中固定也可能随着流体运动。

四、用应力表示的运动方程X 方向上以应力表示的力-动量衡算方程zy x X D Du zx yx xx x ∂∂+∂∂+∂∂+=τττρθρ (1-1a) Y 方向上以应力表示的力-动量衡算方程zy x Y D Du zy yy xy y ∂∂+∂∂+∂∂+=τττρθρ (1-1b) Z 方向上以应力表示的力-动量衡算方程zy x Z D Du zz yz xz z ∂∂+∂∂+∂∂+=τττρθρ (1-1c) 上式称为以应力表示的粘性流体的运动方程，它是进一步推倒奈维-斯托克斯方程的基础，在式（1-1a ）~（1-1c ）中，共有9个表面应力。

其中3个是法向应力，即zz τττ、、yy xx ；6个是剪应力，即zy yz xz zx ττττττ、、、、、yx xy 。

这6个剪应力变量彼此并非相互独立的。

五、牛顿型流体的运动方程X 分量)(3)(222222zu y u x u x z u y u x u x p X D Du z y x x x x x ∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ （1-2a ） Y 分量)(3)(222222z u y u x u y z u y u x u y p Y D Du z y x y y y y∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ （1-2b ） Z 分量)(3)(222222zu y u x u z z u y u x u z p Z D Du z y x z z z z ∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ （1-2c ） 将以上三式写成向量形式，为)(312u u p f D Du B ∇∇+∇+∇-=μμρθρ （1-2d ）上式（1-2a ）~（1-2d ）称为牛顿型流体的运动方程，或奈维—斯托克斯方程。

该方程对稳态或非稳态流动、可压缩或不可压缩流体、理想或实际流体均适用。

但需指出，本构方程是针对牛顿型流体而言的，故该方程仅适用于牛顿型流体。

对于不可压缩流体，ρ=常数，此时无论是稳态流动还是非稳态流动，连续性方程为0=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u z y x (1-3) 将(1-3)带入奈维—斯托克斯方程有X 分量)(1222222zu y u x u x p X u z u u y u u x u u D Du x x x x x z x y x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=νρθθ (1-4a) Y 分量)(1222222z u y u x u y p Y u z u u y u u x u u D Du y y y yy z y y y x y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=νρθθ (1-4b) Z 分量)(1222222zu y u x u z p Z u z u u y u u x u u D Du z z z z z z z y z x z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=νρθθ (1-4c) 写成向量形式，为u p f D Du B 21∇+∇-=μρθ （1-5） 式中ρμν/=为流体的运动粘度，或称动量扩散系数。

六、奈维—斯托克斯方程的分析（一）方程组的可解性以直角坐标系下的奈维-斯托克斯方程式（1-2a ）~（1-2c ）为例讨论，对于等温流动（0=μ），方程中共有5个未知量，即ρ、、、、p u x z y u u 。

而方程亦有5个，三个方向的N-S 方程，连续性方程及（1-2a ）~（1-2c ），以及流体的状态方程0),(=p f ρ。

因此，方程是闭合的，只要满足边界条件和初始条件（初始条件仅仅对非稳态传递才需要给出）原则上讲，奈维-斯托克斯方程是可以用数学方法求解的。

但事实上，到目前为止，还无法将奈维-斯托克斯方程的普遍解求出。

其原因是方程组的非线性以及边界条件的复杂性，只有针对某些特定的简单情况才可能求得其解析解。

这也间接的证明了推导该方程时所作的假定是合理的。

（二）初始条件与边界条件对于具体的流体问题，在求解运动方程时给一定的初始及边界条件。

初始条件指0=θ时，在所考虑的问题中给出下述条件：),,(),,,(z y x p p z y x u u ==边界条件的形式很多，下面仅列出3种最常见的边界条件。

1、静止固面：在静止固面上，由于流体具有黏性，u=0。

2、运动固面：在运动固面上，流体应满足u 流=u 固。

3、自由表面：自由表面指一个流动的液体暴露于空气中的部分界面。

在自由表面上应满足0,=-=ij ii p ττ ),,,(z y x j i =上式表明，在自由表面上法向应力分量在数值上等于气体的压力，而剪应力分量等于零。

（三）关于重力项的处理多数实际问题中，其体积力为重力，即奈维-斯托克斯方程中的B f 为单位质量流体的重力g （重力加速度）。

对于不可压缩流体有xp X s ∂∂=ρ1 （1-6a ） yp Y s ∂∂=ρ1 （1-6b ） z p Z s ∂∂=ρ1 （1-6c ） 式中s p 为流体的静压力（static pressure ）。

将以上3式带入（1-4），可得)()(1222222zu y u x u x p p D Du x x x s x ∂∂+∂∂+∂∂+∂-∂-=νρθ （1-7a ） )()(1222222zu y u x u y p p D Du y y y s y ∂∂+∂∂+∂∂+∂-∂-=νρθ （1-7b ） )()(1222222zu y u x u z p p D Du z z z s z ∂∂+∂∂+∂∂+∂-∂-=νρθ （1-7c ） 令s d p p p -= （1-8）式中d p 为流体的动力压力（dynamic pressure ），简称动压力，它是流体流动所需的压力。

将（1-8）带入（1-7），可得)(1222222zu y u x u x p D Du x x x d x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=νρθ （1-8a ） )(1222222zu y u x u y p D Du y y y d y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=νρθ （1-8c ） )(1222222zu y u x u z p D Du z z z d z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=νρθ （1-8c ） 写成向量形式为u p D Du d 21∇+∇-=μρθ （1-9） 式中（1-8）（1-9）是以动压力梯度表示的运动方程,式中不出现重力项。