双曲线的定义及性质练习题(一) 菁优网2018.4.27
双曲线练习题及答案
双曲线相关知识双曲线的焦半径公式：1：定义：双曲线上任意一点P 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1 点P(x,y)在左支上│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a) 点P(x,y)在右支上│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a运用双曲线的定义例1．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限练习1．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ）A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23例2. 已知双曲线的两个焦点是椭圆10x 2＋32y 52=1的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（ ）。
（A ）6x 2－4y 2=1 （B ）4x 2－6y 2=1 （C ）5x 2－3y 2=1 （D ）3x 2－5y 2=1练习2. 离心率e=2是双曲线的两条渐近线互相垂直的（ ）。
（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）不充分不必要条件例3. 已知|θ|<2π,直线y=－tg θ(x －1)和双曲线y 2cos 2θ－x 2 =1有且仅有一个公共点，则θ等于（ ）。
（A ）±6π （B ）±4π （C ）±3π （D ）±125π课堂练习1、已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 2、焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x3. 设e 1, e 2分别是双曲线1b y a x 2222=-和1ay b x 2222=-的离心率，则e 12+e 22与e 12·e 22的大小关系是 。
双曲线的定义及性质练习题一菁优网2018427
双曲线的定义及性质练习题.选择题（共20小题）1 .已知两定点F1 （- 5, 0）, F2 （5, 0）,动点P满足I PF| - | PF2| =2a,则当a=3 和5时，P点的轨迹为（）A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线=1的渐近线方程为（）A.尸土* B•尸±寺£ C y=±y X D-尸土号"2 23 .如果方程-^+^=1表示双曲线，贝U m的取值范围是（血2 jTrflA. (2, +X)B. (-2,- 1)C. (-X,- 1)D. (1,2 24.已知点P在曲线C1：牯专二1上，点Q在曲线C2：（X-5）在曲线C3：（X+5）2+y2=1上，则I PQI - I PR的最大值是（）2)2+y2=1 上，点RA. 6B. 8C. 10D. 125.在△ ABC 中, 已知A (-4, 0), B (4, 0),且si nA-sin B扣也，则C 的轨迹方程是（B.C £厶C- 12 4 —1D.124二LCvAl)6.已知F i、巨为双曲线C: X2-y2=1 的左、右焦点，点P在C上,/ F i PF2=6O°则P到X轴的距离为（A咿B.惬 C. Vs D.伍A. B.手 C •需 D. 2言--丫^1上的一点，F 1, F 2是C 的左、右两 个焦点，若・MF ；v 0,则y 。
的取值范围是（ ）C ,2^2 2V2 ,D . 2<3 2V3, C r ‘ 丁）D ・ r ‘ 丁）11. 将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b12. 已知F 为双曲线C: x 2-my 2=3m （m >0）的一个焦点,渐近线的距离为（）A .贡 B. 3 C. VS m D . 3m7.已知F 是双曲线C: x 2-£L =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与 x 轴垂直, 3则△APF 的面积为（）A. 1B. 1C. 2 D . 332 32^=1 （a >0, b >0）的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线a.上，△ OAF 是边长为2的等边三角形（0为原点），则双曲线的方程为（2肿 2A T 备】B 令 D .9.已知F 1, F 2是双曲线2 E 丄 2 a阴2 -识 =1的左, 右焦点，点M 在E 上, MF 1与x 轴垂直，sin/MF2F4，则E 的离心率为（10.已知M （x 0, y o ）是双曲线C: （aMb ）同时增加m（m > 0）个单位长度，得到离心率为 e 2的双曲线。
(精校)《双曲线》练习题经典(含答案)(可编辑修改)
∴Error!＝－Error!，解得 λ＝－14。∴曲线 C 的方程是 x2－Error!＝1。
31．(本题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2, 0 ，右顶点为 3, 0 。
y2 D. － ＝1
3
11．设 F1，F2 是双曲线 x2－ ＝1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点,且 3｜PF1|＝4｜PF2｜，则△
PF1F2 的面积等于( C ） A．4Error!
B．8
C．24
D．48
12．过双曲线 x2－y2＝8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上，若｜PQ|＝7，F2 是双曲线的右焦点，
9λ
（2）由题设知直线 l 的方程为 y＝Error!x－2，设 A（x1，y1）,B(x2，y2），
联立方程组
y y2
2x x2
2, 1.
消去
y
得：（λ＋2)x2－4
x＋4－λ＝0.
∵方程组有两解,∴λ＋2≠0 且 Δ>0,
∴λ>2 或 λ〈0 且 λ≠－2,x1·x2＝Error!,
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
17．如图，F1、F2 是双曲线
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过 F1 的直
线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）
A．4 B． C．
D．
18．如图，已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为 F1，F2，｜F1F2|=4，P 是
30。已知 曲线 C： ＋x2＝1.
双曲线的简单几何性质及经典习题
知识回顾：二、讲解新课： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-by a x 中，令y=0得ax ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x 轴为双曲线12222=-by a x 的对称轴，所以()0,),0,(21a A a A -与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a.在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。
但Y 轴上的两个特殊点()b B b B -,0),,0(21把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B作X 轴的平行线b y ±=矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ±=（0=±bya x ）分析：要证明直线x ab y ±=（0=±b ya x ）是双曲线12222=-by a x 的渐近线，即要证明随着X4．等轴双曲线a=b 结合图形说明：a=b 时，双曲线方程变成222a y x =-(或)2b ，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为x y ±= 它们互相垂直且平分5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x6．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的三、讲解范例：例1 求双曲线1422=-y x 的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近例2 求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K 例2 (1)已知双曲线的两条渐近线方程是xy 23±=，焦点坐标是)26,0(-，)26,0(，求双曲线的标准方程．(2)求与双曲线13422=-x y 有共同的渐近线，且经过点)2,3(-M 的双曲线的标准方程．（2）已知双曲线的一条渐近线方程是043=+y x ，且焦距为8，求此双曲线的离心率及标准方程．四、课堂练习：1．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是12)(12)(1164)(1416)(22222222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A24.过点(3,0)的直线l 与双曲线4x 2-9y 2=36只有一个公共点,则直线l 共有 (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条34.若方程ak 4y a k 3x 22-++=1表示双曲线，其中a 为负常数，则k 的取值范围是( )(A)(3a ,-4a ) (B)(4a ,-3a ) (C)(-3a ,4a ) (D)(-∞,4a )∪(-3a,+∞)45.中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是(A)138********x y -= (B)13361381122x y -= (C)536554122x y -= (D)554536122x y -=55.与双曲线x y 22916-=λ有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是（ ）(A)x y 22144811-= (B)--=x y 22144811 (C)x y 221691-= (D)-+=x y 22274811(/)65.一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(±5，0)、32，则它的共轭双曲线的焦点坐标、离心率分别是 （ ） (A)(0，±5)，35 (B)(0，±532)， (C)(0，±532)， (D)(0，±535)，75.双曲线2kx 2-ky 2=1的一焦点是F(0，4)，则k 等于 ( )１．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为)2,0(，则双曲线的标准方程为 ．２．双曲线与椭圆1641622=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线方程为 ．３．双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为 ．４．中心在原点，离心率为35的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为 ．５．与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且经过点)32,3(-A 的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ．五、小结 ：双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线草图的画法；双曲线12222=-by a x 的渐近线是x aby ±=，但反过来此渐近线对应的双曲线则是)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x λ=-2222b y a x。
圆锥曲线专题二：双曲线(含详细答案)
基础知识：一 双曲线的定义：在平面内，到两个定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数a 2（a 大于0且212F F a <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点21F F 、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数a 2应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：21212F F a PF PF <=-)0(>a ，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若21122F F a PF PF <=-（)0(>a ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支；3. 若常数满足约束条件：21212F F a PF PF ==-，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：21212F F a PF PF >=-，则动点轨迹不存在； 5．若常数0=a ，则动点轨迹为线段21F F 的垂直平分线。
二 双曲线的标准方程：1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222>>=-b a b y a x ，其中222b a c +=；2．当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222>>=-b a bx a y ，其中222b a c +=；3.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x ；如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x ；4. 共焦点的双曲线系方程12222=--+k b y k a x 或 12222=--+kb x k a y三 双曲线的几何性质：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的几何性质1.对称性：对于双曲线标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x ，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
双曲线的性质练习题 菁优网
双曲线的性质练习题一．选择题（共23小题）1．（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m （m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e22．（2015•重庆）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A ．±B．±C．±1 D．±3．（2014•闸北区三模）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A ．B．C．D．4．（2014•江西）过双曲线C：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=15．（2013•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A ．1 B．C．2 D．36．（2013•三门峡模拟）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A ．B．C．D．7．（2011•长春二模）设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•=0，则|+|=（）A ．B．2C．D．28．（2010•浙江）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=09．（2010•浙江）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，|OP|=a，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=010．（2008•四川）已知双曲线C：=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2的面积等于（）A ．24 B．36 C．48 D．9611．（2008•湖南）双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．B．C．D．12．（2007•安徽）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞b＞0）的两个焦点，A和B是以O（O为坐标原点）为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．B．C．D．+113．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A ．B．C．D．14．（2015•南昌校级二模）如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．4 B．C．D．15．（2015•潍坊模拟）设F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A ．B．C．D．16．（2015•温州二模）如图所示，A，B，C是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）A ．B．C．D．317．（2014•太原一模）点P在双曲线：（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A ．2 B．3 C．4 D．518．（2014•陈仓区校级一模）已知F1，F2分别为双曲的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A ．（1，+∞）B．（0，3]C．（1，3]D．（0，2]19．（2014•高州市模拟）设双曲线C：（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A ．（1，2]B．C．D．（1，2）20．（2012•毕节市校级模拟）双曲线方程为，过右焦点F向一条渐近线做垂线，垂足为M，如图所示，已知∠MFO=30°（O为坐标原点），则其离心率为（）A ．B．C．D．221．（2015•广西校级一模）如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是（）A ．B．C．D．22．（2015•仁寿县模拟）已知F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A B 3 C D 2．．．．23．（2015•湖北校级模拟）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，则双曲线的离心率为（）A ．3 B．2 C．D．二．填空题（共7小题）24．（2015•山东）过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为．25．（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．26．（2014•浦东新区校级模拟）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．27．（2014•浙江）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．28．（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C 上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．29．（2006•江西）已知F1，F2为双曲线的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题（）A、△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上；B、△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上；C、△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；D、△PF1F2的内切圆必通过点（a，0）．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．30．（2005•浙江）过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于．2015年07月23日nxyxy的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m （m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A ．对任意的a，b，e1＞e2B ．当a＞b时，e1＞e2；当a ＜b时，e1＜e2C ．对任意的a，b，e1＜e2D ．当a＞b时，e1＜e2；当a ＜b时，e1＞e2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．解答：解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，故选：D．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．2．（2015•重庆）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A ．±B．±C．±1 D．±考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），利用A1B⊥A2C，可得，求出a=b，即可得出双曲线的渐近线的斜率．解答：解：由题意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），∵A1B⊥A2C，∴，∴a=b，∴双曲线的渐近线的斜率为±1．故选：C．点评：本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．3．（2014•闸北区三模）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A ．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．解答：解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选C．点评：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．4．（2014•江西）过双曲线C：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程．解答：解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，令x=a，则y=b，即A（a，b），∵右焦点F（4，0），|FA|=4，∴（a﹣4）2+b2=16，∵a2+b2=16，∴a=2，b=2，∴双曲线C的方程为﹣=1．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（2013•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A ．1 B．C．2 D．3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．解答：解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，∴则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p=2．故选C．点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．6．（2013•三门峡模拟）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A ．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：压轴题．分析：由题设条件设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，由此可以求出双曲线的离心率．解答：解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=t，|AF1|=3t，（t＞0）双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2t，t，∴离心率，故选B．点评：挖掘题设条件，合理运用双曲线的性质能够准确求解．7．（2011•长春二模）设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•=0，则|+|=（）A ．B．2C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：由点P在双曲线上，且•=0可知|+|=2||=||．由此可以求出|+|的值．解答：解：根据题意，F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．∵点P在双曲线上，且•=0，∴|+|=2||=||=2．故选B．点评：把|+|转化为|||是正确解题的关键步骤．8．（2010•浙江）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题9．（2010•浙江）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，|OP|=a，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=0考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：假设|F1P|=x，进而分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得c2+5a2=14a2﹣2c2，求得a和c的关系，进而根据b=求得a和的关系进而求得渐近线的方程．解答：解：假设|F1P|=xOP为三角形F1F2P的中线，根据三角形中线定理可知x2+（2a+x）2=2（c2+7a2）整理得x（x+2a）=c2+5a2由余弦定理可知x2+（2a+x）2﹣x（2a+x）=4c2整理得x（x+2a）=14a2﹣2c2进而可知c2+5a2=14a2﹣2c2求得3a2=c2∴c= ab= a那么渐近线为y=±x，即x±y=0故选D点评：本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题10．（2008•四川）已知双曲线C：=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2的面积等于（）A ．24 B．36 C．48 D．96考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的额性质求得||PF1|，作PF1边上的高AF2则可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，则△PF1F2的面积可得．解答：解：∵双曲线中a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）∵|PF2|=|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16作PF1边上的高AF2，则AF1=8，∴∴△PF1F2的面积为故选C．点评：此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性．11．（2008•湖南）双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据右支上存在一点到右焦点及左准线的距离相等，通过得到关于e的不等式，最后根据e＞1，综合可得答案．解答：解：∵，∴，∴e2﹣2e﹣1≤0，，而双曲线的离心率e＞1，∴，故选C点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．本题灵活利用了双曲线的定义．12．（2007•安徽）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞b＞0）的两个焦点，A和B是以O（O为坐标原点）为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．B．C．D．+1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；数形结合．分析：先设F1F2=2c，根据△F2AB是等边三角形，判断出∠AF2F1=30°，进而在RT△AF1F2中求得AF1和AF2，进而根据栓曲线的简单性质求得a，则双曲线的离心率可得．解答：解：如图，设F1F2=2c，∵△F2AB是等边三角形，∴∠AF2F1=30°，∴AF1=c，AF2=C，∴a=e==+1，故选D点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用．属基础题．13．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A ．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．解答：解：由题意，=（﹣x0，﹣y0）•（﹣﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．点评：本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．14．（2015•南昌校级二模）如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．4 B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，利用等边三角形的定义可得：|AB|=|AF2|=|BF2|，．在△AF1F2中使用余弦定理可得：=﹣，再利用离心率的计算公式即可得出．解答：解：∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，．由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|BF1|=2a．又|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=4a．∴|AF2|=4a，|AF1|=6a．在△AF1F2中，由余弦定理可得：=﹣，∴，化为c2=7a2，∴=．故选B．点评：熟练掌握双曲线的定义、余弦定理、离心率的计算公式是解题的关键．15．（2015•潍坊模拟）设F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A ．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的加减法可得，故有OP=OF2=c=OF1，可得PF1⊥PF2，由条件可得∠PF1F2=30°，由sin30°==求出离心率．解答：解：∵，∴，∴﹣=0，OP=OF2=c=OF1，∴PF1⊥PF2，Rt△PF1F2中，∵，∴∠PF1F2=30°．由双曲线的定义得PF1﹣PF2=2a，∴PF2=，sin30°====，∴2a=c（﹣1），∴=+1，故选D．点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的简单性质的应用，其中，判断△PF1F2是直角三角形是解题的关键．16．（2015•温州二模）如图所示，A，B，C是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）A ．B．C．D．3考点：双曲线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案．解答：解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n），则m2+n2=c2，又﹣=1，解得m=，n=，即有A（，），B（﹣，﹣），又F（c，0），由于BF⊥AC 且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有•=﹣1，又（c+）2+（）2=（x﹣c）2+y2，可得x=，y=﹣，将C（，﹣）代入双曲线方程，可得﹣=1，化简可得（b2﹣a2）=a3，由b2=c2﹣a2，e=，可得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1，对照选项，代入检验可得e=成立．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，同时注意选择题的解法：代入检验，属于难题．17．（2014•太原一模）点P在双曲线：（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A ．2 B．3 C．4 D．5考点：双曲线的简单性质；等差数列的性质．专题：压轴题．分析：通过|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=，由此求得离心率的值．解答：解：因为△F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m﹣d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=，故离心率e===5，故选D．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．18．（2014•陈仓区校级一模）已知F1，F2分别为双曲的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A ．（1，+∞）B．（0，3]C．（1，3]D．（0，2]考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：由定义知：|PF2|﹣|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==，当且仅当，即|PF1|=2a时取得等号．再由焦半径公式得双曲线的离心围．解答：解：由定义知：|PF2|﹣|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==，当且仅当，即|PF1|=2a时取得等号设P（x0，y0）（x0≤﹣a）由焦半径公式得：|PF1|=﹣ex0﹣a=2aex0=﹣2ae=﹣≤3又双曲线的离心率e＞1∴e∈（1，3]．故选C．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意焦半径公式的合19．（2014•高州市模拟）设双曲线C：（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A ．（1，2]B．C．D．（1，2）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先利用双曲线的定义，得焦半径|PF2|=a，再利用焦半径的取值范围，得离心率的取值范围，再由已知b＞a求得双曲线的离心率范围，两个范围求交集即可得双曲线的离心率范围解答：解：∵P在双曲线的右支上，∴|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|=2a，∴|PF2|=a≥c﹣a∴e=≤2又∵b＞a，∴c2﹣a2＞a2，∴e=＞∴e∈故选B点评：本题主要考查了双曲线的定义和几何性质，焦半径的取值范围及其应用，双曲线离心率的取值范围求法，属基础题20．（2012•毕节市校级模拟）双曲线方程为，过右焦点F向一条渐近线做垂线，垂足为M，如图所示，已知∠MFO=30°（O为坐标原点），则其离心率为（）A ．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据双曲线方程可知渐近线方程，根据点到直线的距离求得|MF|，根据∠MFO=30°可知|OF|=2|MF|，根据|OF|=c代入，即可求得a和c的关系，离心率可得．解答：解：依题意可知，其中一个渐近线的方程y=x，|OF|=c=，F（，0）|MF|==a∵∠MFO=30°∴|OF|=2|MF|，即c=2a∴e==2故选D点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解此题的关键是从边的关系中找到a和c的关系．21．（2015•广西校级一模）如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是（）A ．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义，可求出|F2A|=2，|F1F2|=4，进而有|F1A|+|F2A|=6，由此可求C2的离心率．解答：解：由题意知，|F1F2|=|F1A|=4，∵|F1A|﹣|F2A|=2，∴|F2A|=2，∴|F1A|+|F2A|=6，∵|F1F2|=4，∴C2的离心率是=．故选B．点评：本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．22．（2015•仁寿县模拟）已知F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A B 3 C D 2．．．．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．解答：解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选D．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．23．（2015•湖北校级模拟）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，则双曲线的离心率为（）A ．3 B．2 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出圆心到直线的距离，利用以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，求出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．解答：解：由题意，圆心到直线的距离为d==，∵以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，∴2=a，∴2（c4﹣a2b2）=3a2c2，∴2c4﹣2a2（c2﹣a2）=3a2c2，∴2e4﹣5e2+2=0，∵e＞1，∴e=．故选：D．点评：熟练掌握双曲线的性质和圆中弦长的计算、离心率计算公式是解题的关键．二．填空题（共7小题）24．（2015•山东）过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为2+．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出P的坐标，可得直线的斜率，利用条件建立方程，即可得出结论．解答：解：x=2a时，代入双曲线方程可得y=±b，取P（2a，﹣b），∴双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，∴=∴e==2+．故答案为：2+．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．25．（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．解答：解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．26．（2014•浦东新区校级模拟）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．考点：双曲线的简单性质．专题：压轴题．分析：利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．解答：解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6点评：本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．27．（2014•浙江）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．解答：解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．28．（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．解答：解：因为F1、F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足|PF 1|+|PF 2|=6a ，不妨设P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF 1|﹣|PF 2|=2a所以|F 1F 2|=2c ，|PF 1|=4a ，|PF 2|=2a ，∵△PF 1F 2的最小内角∠PF 1F 2=30°，由余弦定理，∴|PF 2|2=|F 1F2|2+|PF 1|2﹣2|F 1F 2||PF 1|cos ∠PF 1F 2，即4a 2=4c 2+16a 2﹣2c ×4a ×，∴c 2﹣2ca+3a 2=0，∴c= a所以e==．故答案为：．点评： 本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．。
高中双曲线基础练习题及讲解
高中双曲线基础练习题及讲解### 高中双曲线基础练习题及讲解#### 双曲线的定义与性质双曲线是圆锥曲线的一种，其定义为平面上所有点到两个固定点（焦点）距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。
双曲线有以下基本性质：1. 焦点距离：双曲线的两个焦点之间的距离是常数。
2. 实轴与虚轴：双曲线有两条对称轴，分别称为实轴和虚轴。
3. 离心率：双曲线的离心率大于1。
#### 练习题一：双曲线的标准方程给定一个双曲线，其焦点在x轴上，中心点为(0, 0)，且a=3，b=2，求双曲线的方程。
解答步骤：1. 根据双曲线的标准方程 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
2. 代入给定的a和b的值，得到 \(\frac{x^2}{3^2} -\frac{y^2}{2^2} = 1\)。
3. 简化得到 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)。
#### 练习题二：双曲线的焦点坐标已知双曲线的中心点为(0, 0)，a=4，b=3，求双曲线的焦点坐标。
解答步骤：1. 计算离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。
2. 计算焦点到中心的距离 \(c = ae\)。
3. 由于焦点在x轴上，焦点坐标为 \((\pm c, 0)\)。
4. 代入数值计算，得到焦点坐标为 \((\pm 5, 0)\)。
#### 练习题三：双曲线的渐近线方程已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)，求其渐近线方程。
解答步骤：1. 渐近线方程形式为 \(y = \pm \frac{b}{a}x\)。
2. 代入a和b的值，得到 \(y = \pm \frac{3}{4}x\)。
#### 练习题四：双曲线的参数方程已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1\)，求其参数方程。
(完整版)双曲线标准方程及几何性质知识点及习题
双曲线标准方程及几何性质知识点及习题1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。
2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。
当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
无限接近，但不可以相交。
例1. 方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。
注：c 2＝a 2＋b 2【例2】求虚轴长为12，离心率为54双曲线标准方程。
【例3】求焦距为26，且经过点M （0，12）双曲线标准方程。
练习。
焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x【例4】与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -练习。
求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出ce a=和222c a b =+的关系式。
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双曲线的定义及性质练习题一．选择题（共20小题）1．已知两定点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=2a，则当a=3和5时，P点的轨迹为（）A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线2．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．3．如果方程表示双曲线，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，2）4．已知点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：（x﹣5）2+y2=1上，点R在曲线C3：（x+5）2+y2=1上，则|PQ|﹣|PR|的最大值是（）A．6 B．8 C．10 D．125．在△ABC中，已知A（﹣4，0），B（4，0），且sinA﹣sinB=，则C的轨迹方程是（）A．B．C．D．6．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（）A．B．C．D．7．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．9．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x 轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．210．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．11．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m （m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e212．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m13．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A．B．C．D．14．双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（）A．（1，3） B．（1，3]C．（3，+∞）D．[3，+∞]15．已知双曲线C：=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2的面积等于（）A．24 B．36 C．48 D．9616．设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•=0，则|+|=（）A． B．2C．D．217．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2） C．[2，+∞）D．（2，+∞）18．P是双曲线﹣=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．919．已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且，则点M到x轴的距离为（）A．B．C．D．20．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1二．填空题（共11小题）21．如果点M（x，y）在运动过程是总满足关系式，则点M的轨迹方程为．22．设动圆C与两圆=4，=4中的一个内切，另一个外切．则动圆C的圆心M轨迹L的方程是．23．已知圆（x+4）2+y2=25的圆心为M1，圆（x﹣4）2+y2=1的圆心为M2，动圆与这两个圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为．24．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为．25．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．26．设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．27．设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．28．已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．29．过双曲线左焦点F的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|+|NF2|﹣|MN|的值为．30．已知F1，F2为双曲线的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题（）A、△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上；B、△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上；C、△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；D、△PF1F2的内切圆必通过点（a，0）．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．31．过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于．2018年04月27日****@丑的想撞墙的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．已知两定点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=2a，则当a=3和5时，P点的轨迹为（）A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线【分析】先看a=3时，根据双曲线的定义可推断出P点的轨迹是双曲线，同时利用已知条件可推断出|PF1|＞|PF2|，进而可知其轨迹是双曲线的一支；再看当a=5时，可求得P的轨迹方程，同时根据|PF1|＞|PF2|推断出P的轨迹为射线．最后综合可得答案．【解答】解：当a=3时，根据双曲线的定义可推断出P点的轨迹是双曲线，|PF1|＞|PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支．当a=5时，方程y2=0，可知其轨迹与x轴重合，舍去在x轴负半轴上的一段，又因为|PF1|﹣|PF2|=2a，说明|PF1|＞|PF2|所以应该是起点为（5，0），与x轴重合向x轴正方向延伸的射线，故选：D．【点评】本题主要考查了双曲线的定义，轨迹方程问题．考查了学生对基础知识的综合运用．2．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【分析】由双曲线方程与渐近线方程的关系，只要将双曲线方程中的“1”换为“0”，化简整理，可得渐近线方程．【解答】解：由题意，由双曲线方程与渐近线方程的关系，可得将双曲线方程中的“1”换为“0”，双曲线的渐近线方程为y=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线方程与渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题．3．如果方程表示双曲线，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，2）【分析】根据双曲线的标准方程，可得只需2+m与1+m只需异号即可，则解不等式（2+m）（1+m）＜0即可求解．【解答】解：由题意知（2+m）（1+m）＜0，解得﹣1＜m＜﹣1．故λ的范围是（﹣2，﹣1）．故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的定义，属基础题；解答的关键是根据双曲线的标准方程建立不等关系．4．已知点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：（x﹣5）2+y2=1上，点R在曲线C3：（x+5）2+y2=1上，则|PQ|﹣|PR|的最大值是（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】由已知条件可得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再把|PQ|﹣|PR|的最大值转化为求|PQ|max﹣|PR|min即可．【解答】解：由双曲线的知识可知：C1的两个焦点分别是F1（﹣5，0）与F2（5，0），且|PF1|﹣|PF2|=8而这两点正好是两圆（x+5）2+y2=1和（x﹣5）2+y2=1的圆心，两圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1的半径分别是r1=1，r2=1，∴|PQ|max=|PF1|+1，|PR|min=|PF2|﹣1，∴|PQ|﹣|PR|的最大值为：（|PF1|+1）﹣（|PF2|﹣1）=|PF1|﹣|PF2|+2=8+2=10，故选：C．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，合理地进行等价转化是解决问题的关键．5．在△ABC中，已知A（﹣4，0），B（4，0），且sinA﹣sinB=，则C的轨迹方程是（）A．B．C．D．【分析】根据正弦定理，将sinA﹣sinB=化为a﹣b=c，判断出点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支，根据数据求出其方程即可．【解答】解：∵sinA﹣sinB=，由正弦定理得a﹣b=c，即|CB|﹣|CA|=4＜8=|AB|，由双曲线的定义可知∴点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支，且a=2，c=4，∴b2=c2﹣a2=12．∴顶点C的轨迹方程为．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，判断点C的轨迹是以B、A为焦点的双曲线一支，是解题的关键．易错点是误判为整个双曲线．6．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（）A．B．C．D．【分析】设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos∠F1PF2=，由此可求出P到x轴的距离．【解答】解：不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos∠F1PF2=，即cos60°=，解得，所以，故P到x轴的距离为故选：B．【点评】本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力．7．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【分析】由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题．8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c=2，，即，，解得a=1，b=，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x 轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】由条件MF1⊥MF2，sin∠MF2F1=，列出关系式，从而可求离心率．【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则丨MF1丨=，丨MF2丨=，∴sin∠MF2F1=，∴=，可得：2b4=a2c2，即b2=ac，又c2=a2+b2，可得e2﹣e﹣=0，e＞1，解得e=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题．10．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．11．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m （m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2，故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．12．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．13．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y 0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得．【解答】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=x0（x0+2）+=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值=，故的取值范围是，故选：B．【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．14．双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（）A．（1，3） B．（1，3]C．（3，+∞）D．[3，+∞]【分析】可用三角形的两边和大于第三边，及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立，因为可以三点一线．也可用焦半径公式确定a与c的关系．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，则有，解得x=4a，y=2a，∵在△PF1F2中，x+y＞2c，即4a+2a＞2c，4a﹣2a＜2c，∴，又因为当三点一线时，4a+2a=2c，综合得离心率的范围是（1，3]，故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了关于离心率范围的确定．可以在平时的教学过程中总结常见的有关离心率的求法及范围的求法．15．已知双曲线C：=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2的面积等于（）A．24 B．36 C．48 D．96【分析】先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的第一定义求得||PF1|，作PF1边上的高AF2则可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，则△PF1F2的面积可得．【解答】解：∵双曲线中a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）∵|PF2|=|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16作PF1边上的高AF2，则AF1=8，∴∴△PF1F2的面积为故选：C．【点评】此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性．16．设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•=0，则|+|=（）A． B．2C．D．2【分析】由点P在双曲线上，且•=0可知|+|=2||=||．由此可以求出|+|的值．【解答】解：根据题意，F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．∵点P在双曲线上，且•=0，∴|+|=2||=||=2．故选：B．【点评】把|+|转化为|||是正确解题的关键步骤．17．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2） C．[2，+∞）D．（2，+∞）【分析】若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=，∴e≥2，故选C【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．18．P是双曲线﹣=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由题设通过双曲线的定义推出|PF1|﹣|PF2|=6，利用|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，推出|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|﹣|NF2|，求出最大值．【解答】解：双曲线﹣=1中，如图：∵a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0），∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6，∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|，所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|+|NF2|=6+1+2=9．故选：D．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．19．已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且，则点M到x轴的距离为（）A．B．C．D．【分析】由可知点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上，由此可以推导出点M到x轴的距离．【解答】解：∵，∴点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上故由=，∴点M到x轴的距离为，故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．20．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选：D．【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．二．填空题（共11小题）21．如果点M（x，y）在运动过程是总满足关系式，则点M的轨迹方程为．【分析】方程，表示点M（x，y）与定点（0，5），（0，﹣5）的距离的差为8，利用双曲线的定义，即可得到结论．【解答】解：方程，表示点M（x，y）与定点（0，5），（0，﹣5）的距离的差为8∵8＜10∴点M（x，y）的轨迹是以两定点为焦点的双曲线的下支∵2a=8，c=5∴b=3∴点M的轨迹方程为故答案为：【点评】本题考查双曲线的轨迹方程，解题的关键是掌握双曲线的定义，属于基础题．22．设动圆C与两圆=4，=4中的一个内切，另一个外切．则动圆C的圆心M轨迹L的方程是=1．【分析】由题意直接利用已知列出关系式，结合圆锥曲线的定义，即可求出圆心M的轨迹方程．【解答】解：根据题意，有，或∴|MC1|﹣|MC2|=4＜|C1C2|=2，或|MC2|﹣|MC1|=4＜|C1C2|=2所以，圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线，故M的轨迹方程为：故答案为：【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，圆的几何性质的应用和圆锥曲线的定义是解决问题的关键，属基础题．23．已知圆（x+4）2+y2=25的圆心为M1，圆（x﹣4）2+y2=1的圆心为M2，动圆与这两个圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为﹣=1（x≥2）．【分析】根据两圆外切的性质，动圆圆心到点M1的距离与它到M2的距离之差为4（常数），由此可得动圆圆心的轨迹是以M1、M2为左、右焦点，2a=4的双曲线右支，再结合双曲线的基本量及其关系，不难求出相应的轨迹方程．【解答】解：圆（x+4）2+y2=25的圆心为M1（﹣4，0），半径为5；而圆（x﹣4）2+y2=1的圆心为M2（4，0），半径为1．设动圆M与圆M1和M2都相外切，动圆半径为R，则|MM1|=R+5，|MM2|=R+1，可得|MM1|﹣|MM2|=4，∴点M在以M1、M2为左、右焦点，2a=4的双曲线右支上a=2且c=4，可得b2=c2﹣a2=12∴双曲线方程为﹣=1，因此，动圆圆心的轨迹方程为：﹣=1（x≥2）故答案为：﹣=1（x≥2）【点评】本题给出动圆与两个定圆都相外切，求动圆圆心的轨迹方程，着重考查了两圆的位置关系和双曲线的定义与标准方程等知识，属于基础题．24．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为9．【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为9．【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用．25．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b 为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．26．设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．27．设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c=a所以e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．28．已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．29．过双曲线左焦点F的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|+|NF2|﹣|MN|的值为8．【分析】根据双曲线第一定义有|MF2|﹣|MF|=2a，|NF2|﹣|NF|=2a，两式相加得|MF2|+|NF2|﹣|MN|的值．【解答】解：根据双曲线定义有|MF2|﹣|MF|=2a，|NF2|﹣|NF|=2a，两式相加得|MF2|+|NF2|﹣|MN|=4a=8．答案：8．【点评】本题主要考查双曲线定义的灵活运用．30．已知F1，F2为双曲线的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题（）A、△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上；B、△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上；C、△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；D、△PF1F2的内切圆必通过点（a，0）．其中真命题的代号是A，D（写出所有真命题的代号）．【分析】设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，点P在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，因此|F1M|﹣|F2M|=2a，设M点坐标为（x，0），代入即可求得x，判断A，D正确．【解答】解：设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|﹣|PF2|=2a，故|F1M|﹣|F2M|=2a，而|F1M|+|F2M|=2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|﹣|F2M|=2a可得（x+c）﹣（c﹣x）=2a解得x=a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．特别是灵活利用了双曲线的定义．31．过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于2．【分析】先设出双曲线的左焦点和右顶点，根据以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，可知|F1M|=|F1A|，进而得，整理后即可求得e．【解答】解：设双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F1，右顶点为A，因为以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，故|F1M|=|F1A|，∴，即b2=a2+ac=﹣a2+c2，由e=，∴e2﹣1=1+e∴e=2故答案为2【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．。