函数应用、零点、二分法知识点和练习

一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．
3、函数零点的求法：
○
1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、基本初等函数的零点：
①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)k y k x
=≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．
（1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.
⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是
函数()f x 零点的个数。

即f(x)=g(x)的解集 f(x)的图像和g(x)的图像的交点。

6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。

7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续，且()()0f a f b <②在区
间(),a b 上单调。

8、函数零点的性质：
从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；
从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；
若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；
若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．
9、二分法的定义
对于在区间[a ，]b 上连续不断，且满足()()0f a f b ⋅<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
10、给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤：
（1）确定区间[a ，]b ，验证()()f a f b ⋅0<，给定精度ε；
（2）求区间(a ，)b 的中点1x ；
（3）计算1()f x ：
①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；
②若()f a ⋅1()f x <0，则令b =1x （此时零点01(,)x a x ∈）；
③若1()f x ⋅()f b <0，则令a =1x （此时零点01(,)x x b ∈）；
(4)判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点值a （或b ）；否则重复步骤(2)-(4)．
11、二分法的条件()f a ·()f b 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

12、解决应用题的一般程序：
① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；
④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
例题分析
【例1】若方程243x x m -+=有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 . 【例2】若函数f （x ）＝x 2－（2a －4）x －3在[1，3]上的最小值是g （a ），求g （a ）的函数表达式．
针对练习
一、选择题
1．已知函数)(x f 唯一的零点在区间(1,3)内，那么下面命题错误的（ ）
A 函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点
B 函数)(x f 在(3,5)内无零点
C 函数)(x f 在(2,5)内有零点
D 函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点
2. 函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为（ ）
A 1
B 2
C 3
D 4
3.若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A. (-1,1)
B. (-2,2)
C. (-∞，-2) ∪（2，+∞）
D.（-∞，-1）∪（1，+∞）
4．函数62ln )(-+=x x x f 的零点落在区间 （ ）
A ．（2，2.25）
B ．（2.25，2.5）
C ．（2.5，2.75）
D ．（2.75，3）
5. 方程lgx ＋x ＝0在下列的哪个区间内有实数解（ ）
A.[-10，-
110] B. (,0]-∞ C.[1,10] D. 1[,1]10
6. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s
看作时间t 的函数，其图象可能是（ ）
7.若方程0x a x a --=有两个解，则实数a 的取值范围是（ ）
A 、(1,)+∞
B 、(0,1)
C 、(0,)+∞
D 、Φ
8.在下列区间中，函数
()43x f x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A. 1,04⎛⎫- ⎪⎝
⎭ B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9.方程5x 21x =+-的解所在的区间是（ ）
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
10. 若关于x 的方程0)1(2=+--m x x 在]11
[，-上有解，则m 的取值范围是（ ） A ． ]1,45[- B. ]1,1[- C ． ),4
5
[+∞- D ． ]1,(-∞ 11、方程12x x +=根的个数为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
12. 方程03)4(log 2=-+x x 的实根的个数是（ ）
A ．1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
13．用“二分法”求方程x 3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0=2.5，那么下一个有
根的区间是
14.若方程232-=x x 的实根在区间()n m ,内，且1,,=-∈m n Z n m ，
则=+n m .
15.设y=f （x ）的图象在[a,b]上连续，若满足 ，则方程f （x ）=0
在[a,b]上有实根.
三、解答题
16、有一块长为20cm ，宽为12cm 的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然
后折成一个无盖的盒子，写出这个盒子的体积V 与边长x 的函数关系式，并讨论这个函数的定义域。

17. 设1x 与2x 分别是实系数方程20ax bx c ++=和20ax bx c -++=的一个根，且
1212,0,0x x x x ≠≠≠ ，求证：方程202
a x bx c ++=有且仅有一根介于1x 和2x 之间。

19．已知函数()f x 的定义域为（0，+∞），且满足对任意的x ＞0，y ＞0，()()()f xy f x f y =+，(3)1f =.当x ＞1时，()f x ＞0.
（1）求(9)f 的值；(2)判断()f x 的单调性，并加以证明；（3）解不等式()(8)2f x f x +-<.
三、布置作业
1.方程34560x x -+=的根所在的区间为 （ ）
A 、(3,2)--
B 、(2,1)--
C 、(1,0)-
D 、(0,1)
2．已知2()22x
f x x =-，则在下列区间中，()0f x =有实数解的是 （ ）
(A)（-3，-2） (B)（-1，0） (C) （2，3） (D) （4，5）
[]()3.⇔⋅2下列说法不正确的是 ( )
A.方程f(x)=0有实根函数y=f(x)有零点
B.-x +3x+5=0有两个不同实根
C.y=f(x)在a,b 上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在a,b 内有零点
D.单调函数若有零点,则至多有一个。