高一数学函数的零点与二分法教案
【B版】人教课标版高中数学必修一《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》教学教案1-新版
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法──二分法一、教学目标1、知识与技能目标：理解用二分法求函数零点的原理，能借助计算器用二分法求出给定函数满足一定精度要求的零点的近似解；2、过程与方法目标：通过具体实例的求解，总结用二分法求函数零点近似解的过程与步骤，感受、体验二分法中的算法思想；3、情感、态度与价值观目标：了解有关解方程的历史，感受函数与方程的内在联系，在探究解决问题的过程中，培养学生与他人合作的态度、表达与交流的意识；培养认真、耐心、严谨的数学品质。
二、重点、难点分析：学习重点：学会用二分法求函数零点的近似解学习难点：对用二分法求函数零点近似解的步骤的概括和理解；对精确度要求的理解。
二分法作为求函数零点近似解的一种常用方法，也是一种通法，它操作简单，程序性强，只要按部就班地去做，总会算出结果，现在又有了计算机，更容易实现。
同时此处也为后续的算法内容作了铺垫。
所以重点放在会用二分法求函数零点的近似解。
二分法的一般算法，比较抽象，学生不易理解。
求函数零点近似解的过程中，又蕴含着极限的思想，它可以达到要求的任何精度，这种思想可以用于确定函数值。
而一种方法的学会以及“精确到”、“精确度”等概念的理解只有结合实例、亲手计算、辅以工具等才易领悟。
所以难点放在对用二分法求函数零点近似解的步骤的概括和理解；对精确度要求的理解。
三、教材内容分析（一）本节课在教材中的地位二分法是高中数学新课程的新增内容，这节内容安排在函数、函数性质、函数的零点之后，引入它的重要意义在于：体现了函数与方程的联系及蕴含其中的数形结合思想，打开了求解方程的新思路；引入二分法的另一个重要意义在于它引入了“近似”的概念。
一方面，在实际中离不开近似，另一方面求函数零点近似解的过程，蕴含着极限的思想，它可以达到要求的任何精度，这种思想可以用于确定函数值等等。
二分法是求函数零点近似解的一种常用方法，它的特点是操作简单，程序性强，为后续的算法内容作了铺垫。
人教版高数必修一第8讲：函数的零点与二分法(教师版)
函数的零点与二分法__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a) f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a) f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a) f （ ）＜0，则令1b x =；若f( ) f（b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、 三、四步。
《2.4.2 计算函数零点的二分法》教案
《2.4.2 计算函数零点的二分法》教案【学习要求】1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理；2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解．【学法指导】通过借助计算器用二分法求方程的近似解，了解数学中逼近的思想和程序化地处理问题的思想；通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一，体会“近似是普遍的，精确则是特殊的”辩证唯物主义观点.填一填：知识要点、记下疑难点如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值，即，则这个函数在这个区间上，至少有，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为零点.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，但是没有公式求根，如何求得方程的根呢？探究点一变号零点与不变号零点问题函数y＝3x＋2，y＝x2，y＝x2－2x－3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值怎样变化？小结：如果函数f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．探究点二二分法的概念问题1由变号零点的概念我们知道，函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，那么如何求出这个零点的近似值？例1利用计算器，求方程x2－2x－1＝0的一个正实数零点的近似解(精确到0.1)．问题2例1中求方程近似解的方法就是二分法，根据解题过程，你能归纳出什么是二分法吗？问题3给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤是怎样的？跟踪训练1借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)＝x3＋1.1x2＋0.9x－1.4在区间(0,1)内的零点(精确到0.1)．探究点三二分法的应用例2求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点的近似值(精确到0.1)．小结：判定一个函数能否用二分法求其零点的近似值的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．跟踪训练2求32的近似值(精确到0.1)．练一练：当堂检测、目标达成落实处1.已知函数f(x)的图象是不间断的，x、f(x)的对应法则见下表，则函数f(x)存在零点的区间有()，[4,5]，[5,6]2.设函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不间断的，且f(a)·f(b)<0，取x0＝a＋b2，若f(a)·f(x0)<0，则利用二分法求函数零点时，零点所在区间为__________．3.已知函数f(x)＝mx＋2m－7 (m≠0)在区间[－2,5]上有零点，求实数m的取值范围．课堂小结：1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法．2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近似解，体会程序化的思想即算法思想．3.进一步认识数学来源于生活，又应用于生活．4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的思想.。
二分法求函数零点教案(可编辑修改word版)
１、二分法的概念用二分法求方程的近似解对于在区间[a, b]上连续不断且 f (a ) · f (b ) < 0 的函数 y = f (x ) , 通过不断把函数f (x ) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。
２、用二分法求函数 f (x ) 的零点的近似值的步骤：（１）确定区间[a, b], 验证： f (a ) · f (b ) < 0，确定精确度（２）求区间(a , b)的中点 x 1（３）计算 f (x 1 )若 f (x 1 ) =0, 则就 x 1 是函数的零点若 f (a ) · f (x 1 ) <０，则令 b = x 1 （此时零点 x 0∈(a,x 1 )）若 f (x 1 ) · f (b ) <０，则令 a = x 1 （此时零点 x 0∈( x 1 , b)） （４）判断是否达到精确度即若 | a – b | <, 则得到零点的近似值为 a （或 b ），否则重复（２）～（４） 3、用二分法求函数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。
否则为不变号零点。
二分法只能求函数的变号零点。
例题讲解：例 1：下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）解：应选 B ，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。
1 例 2、 利用二分法求方程 x= 3 - x 的一个近似解（精确到 0.1）。
解：设 f (x ) = 1 + x - 3 ，则求方程 1= 3 - x 的一个近似解，即求函数 f (x ) 的一个近似零x x点。
∵ f (2) = - 1 < 0 ， f (3) = 1> 0 ，∴取区间[2,3]作为计算的初始区间。
高一 数学 函数的零点与二分法课件
理解函数的零点概念，掌握二分法的 基本原理和应用。
难点
如何应用二分法求解函数的零点，以 及处理函数零点存在性判定的问题。
下节课预告
主题
函数的单调性与导数
内容概述
介绍函数的单调性概念，学习如何利用导数研究 函数的单调性，以及单调性与函数极值的关系。
学习目标
掌握判断函数单调性的方法，理解单调性与极值 的关系，为后续学习打下基础。
答案
$lbrack 2,4)$
习题三
要点一
题目
已知函数$f(x) = x^{2} - ax + a$在 区间$( - infty,1)$上有且只有一个零 点，则实数$a$的取值范围是____．
要点二
答案
$( - infty,2rbrack cup (3, + infty)$
要点三
解析
首先，将函数$f(x) = x^{2} - ax + a$的零点问题转化为二次方程的根的 问题。由于函数在区间$( - infty,1)$ 上有且只有一个零点，所以二次方程 $x^{2} - ax + a = 0$在区间$( infty,1)$上只有一个根。这要求判别 式$Delta = a^{2} - 4a geq 0$且$infty < a < 1$。解这两个不等式得 到$a$的取值范围为$( infty,2rbrack cup (3, + infty)$。
06
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
函数的零点定义
函数的零点是指函数值为零的点 ，即满足$f(x) = 0$的$x$值。
二分法原理
二分法是一种通过不断将区间一分 为二来逼近函数零点的迭代方法。
二分法的应用
高一 数学 函数的零点与二分法课件
二分法在寻找函数零点中的应用
二分法是一种通过不断将区间 一分为二来逼近函数零点的数 值方法。
在给定一个连续函数和一个闭 区间，不知道零点所在的大致 位置时，可以使用二分法来找 到零点。
二分法的基本思想是，如果函 数在区间两端取值异号，则该 区间内必定存在一个零点。
二分法在解决函数零点问题中的优势
实例
以 $f(x) = x^2 - 2x - 3$ 为例， 其零点为 $x = -1, x = 3$。
高次函数的零点问题
高次函数零点定义
高次函数 $f(x)$ 的零点是满足 $f(x) = 0$ 的 $x$ 值。
零点求解方法
通过解高次方程来找到零点。
实例
以 $f(x) = x^3 - x - 1$ 为例，其零点为 $x = 1, x = -1, x = frac{1}{3}$。
以 $f(x) = x - 3$ 为例，其零点为 $x = 3$。
零点求解方法
通过解方程 $ax + b = 0$ 来找到零 点。
二次函数的零点问题
二次函数零点定义
二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的零点是满足 $f(x) = 0$ 的
$x$ 值。
零点求解方法
通过解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 来找到零点。
导数法
通过判断导数的正负来判 断函数的单调性，进而找 到函数的零点。
03 二分法原理
二分法的定义
二分法定义
二分法是一种求解实数近似值的方法，通过不断将区间一分 为二，使区间长度逐渐缩小，当区间长度小于给定的误差范 围时，区间内的任意实数近似值即可作为所求的近似解。
函数的零点与二分法(优质课)教案
函数的零点与二分法（优质课）教案教学目标：1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
教学过程：一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、 三、四步。
类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点： 解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点． 答案：－2,1,2.练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72D ．－7答案：C类型二 零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定答案：B练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9 D ．a >0或a <0答案：A类型三 函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．解析：设函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －2＋2k －1>0，解得，12<k <23，∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．答案：(－∞，－1)练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． 答案：12类型四 二分法的概念例4：函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．解析：选项B中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．答案：B练习1：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上( )A．只有一个变号零点B．有一个不变号零点C．至少有一个变号零点D．不一定有零点答案：C练习2：用二分法求函数f(x)＝x3－2的零点时，初始区间可选为( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案：B类型五用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)．解析：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：求函数精确到0.1的实数解．答案：1.7练习1: 试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)． 答案：－0.7.练习2: (2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)答案：B1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案： D2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1答案: C3、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案: C4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5答案:C5、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案： B2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12答案： C3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案： A4．下列命题中正确的是( )A ．方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B ．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数是1C ．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D ．利用二分法所得方程的近似解是惟一的 答案： A5．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0, f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6答案： C能力提升6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46答案： (7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．答案：98．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效． 答案： ②③9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02 x >0，若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． 答案：310. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．答案：（1）1<a <2.（2）若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，1 2.∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为。
数学高中零点的概念教案
数学高中零点的概念教案
教学目标：
1. 了解零点的定义及其在方程中的意义；
2. 掌握求解零点的方法；
3. 能够应用零点的概念解决实际问题。
教学重点：
1. 零点的定义和含义；
2. 求解零点的步骤和方法；
3. 零点在方程中的应用。
教学难点：
1. 理解零点的概念；
2. 熟练运用找零点的方法。
教学准备：
1. 教师备课内容：了解零点的定义和含义，掌握求解零点的方法；
2. 学生备课内容：复习和掌握一次函数的基本知识；
3. 教学工具：黑板、彩色粉笔、教材、举例题目。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师简要介绍零点的概念，引出零点在方程中的应用。
二、讲解（15分钟）
1. 讲解零点的定义和含义；
2. 介绍求解零点的方法和步骤；
3. 演示一些实际例题，帮助学生理解和掌握。
三、练习（20分钟）
教师设计一些练习题，让学生独立或小组完成，加深对零点概念的理解和掌握。
四、拓展（10分钟）
教师出一些拓展性题目，让学生运用所学知识解决新问题。
五、总结（5分钟）
教师对本节课的内容进行总结，并强调零点的重要性和应用。
六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固学生的学习成果。
教学反思：
本节课主要介绍了零点的概念和求解方法，通过讲解、练习和拓展，可以帮助学生深入理解零点在方程中的作用，提高解题能力。
需要注意的是引导学生多做实例，加强训练，掌握方法，进一步提高解题能力。
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一. 教学内容：函数的零点与二分法 三. 知识要点 1、函数的零点一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。
（1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零； （2）对于函数的零点问题我们只在实数范围内讨论；（3）方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式2、函数零点的意义： 函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，亦即函数)x (f y =的图象与x 轴交点的横坐标．归纳：方程0)x (f =有实数根⇔函数)x (f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)x (f y =有零点． 3、函数零点存在性的判定方法如果函数)x (f y =在区间[]b ,a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b (f )a (f <⋅，那么，函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点.即存在()b ,a c ∈，使得0)c (f =，这个c 也就是方程0)x (f =的根。
说明：（1）函数)x (f y =在区间[]b ,a 上有定义； （2）函数的图象是连续不断的一条曲线；（3）函数)x (f y =在区间[]b ,a 两端点的函数值必须满足0)b (f )a (f <⋅； （4）函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点，但不唯一；（5）用判定方法验证函数2x )x (f =，说明该方法仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方法。
4、函数零点的求法：Ⅰ：可以解方程0)x (f =而得到（代数法）；Ⅱ：可以将它与函数)x (f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．（几何法） 5、二次函数零点的判定二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表。
判别式方程的根 函数的零点 0>∆两个不相等的实根 两个零点 0∆= 两个相等的实根 一个二重零点 0∆<无实根无零点6、二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（变号零点），函数值变号。
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。
引申：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立。
7、二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图。
②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质。
8、用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异号，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中。
第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+。
计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==； ③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+。
计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==； ③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b == ……继续实施上述步骤，直到区间[],n n a b ，函数的零点总位于区间[],n n a b 上，当n a 和n b 按照给定的精确度索取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x =的近似零点，计算终止。
这时函数()y f x =的近似零点满足给定的精确度。
【典型例题】例1. 利用二分法求方程x3x 1-=的一个近似解（精确到0.1）。
解：设3x x 1)x (f -+=，则求方程x3x1-=的一个近似解，即求函数)x (f 的一个近似零点。
∵21)2(f <-=，31)3(f >=，∴取区间[]3,2作为计算的初始区间。
用二分法逐次计算，列表如下：端点（中点）坐标计算中点的函数值取区间[]3,2 5.2x 0= 01.0)5.2(f <-= []3,5.275.2x 0= 011.0)75.2(f >≈ []75.2,5.2 625.2x 0= 0006.0)625.2(f >≈ []625.2,5.25625.2x 0=0047.0)5625.2(f <-≈[]625.2,5625.2∵区间[]625.2,5625.2的左右端点精确到0.1所取的近似值都是2.6， ∴函数)x (f 满足题设的一个近似零点是2.6故方程x3x1-=满足题设的一个近似解是2.6例2. 二次函数)R x (c bx ax y 2∈++=的部分对应值如下表：x－3 －2 －10 1 2 3 4y6 0 －4 －6 －6 －40 6则使函数值大于0的自变量的取值集合是___________。
解：由上表提供信息，知函数的零点是－2，3，且开口向上，借助二次函数示意图可得函数值大于0的自变量的取值集合是),3()2,(+∞⋃--∞例3、已知函数6x 5x 2x )x (f 23+--=的一个零点为1 （1）求函数的其他零点；（2）求函数值大于0时自变量x 的取值范围。
解：（1）由题意，设n x )m n (x )1m (x )n mx x )(1x ()x (f 232--+-+=++-=，∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-6n 5m n 21m解得⎩⎨⎧-=-=6n 1m令0)x (f =，即0)6x x )(1x (2=---，解得=x 1，－2，3 ∴函数的其他零点是－2，3（2）函数的三个零点将x 轴分成4个区间：]2,(--∞，]1,2(-，]3,1(，],3(+∞作出函数的示意图，观察图象得函数值大于0时自变量x 的取值范围是：),3()1,2(+∞⋃-评析：（1）函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，方程有几个实数根函数就有几个零点，方程没有实数根，函数就没有零点；（2）借助函数零点作出函数的示意图，借助图象可求出函数值大于或小于零时自变量的取值范围（即不等式0)x (f >或0)x (f <的解集）。
例4. 若二次函数1mx x y 2-+-=的图象与两端点为)0,3(B ),3,0(A 的线段AB 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围。
解：线段AB 的方程是)3x 0(3y x ≤≤=+由题意，得方程组⎩⎨⎧-+-==+1mx x y 3y x 2在3x 0≤≤上有两组实数解解得：04x )1m (x 2=++-在3x 0≤≤上有两个实根令4x )1m (x )x (f 2++-=，则二次函数)x (f 在3x 0≤≤上有两个零点。
∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥++-=≥=<+<>-+=∆04)1m (39)3(f 04)0(f 321m 0016)1m (2解得310m 3≤<;故实数m 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛310,3【模拟试题】一、选择题1、方程lg x ＋x ＝0的根所在的区间是（ ）A. （－∞，0）B. （0，1）C. （1，2） D, （2，4）2、若函数b ax )x (f +=的零点是2，则函数ax bx )x (g 2-=的零点是（ ）A. 0，2B. 0，21C. 0，21-D. 2，21-3、已知偶函数f （x ）的图象与x 轴共有四个交点，则函数f （x ）的所有零点之和等于（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0**4、若函数2x 2x x )x (f 23--+=的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f （1）＝－2 f （1.5）＝0.625 f （1.25）＝－0.984 f （1.375）＝－0.260f （1.4375）＝0.162f （1.40625）＝－0.054那么方程02x 2x x 23=--+的一个近似根（精确到0.1）为（ ）．A. 1.4B. 1.3C. 1.2D. 1.55、函数)0a (c bx ax )x (f 2>++=的零点为2，3，若2＜x ＜3,则f （x ）的值（ ） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法确定正负 *6、设函数2,0,()(4)(0),(2)2,2,0.x b x c x f x f f f x ⎧++≤=-=-=-⎨>⎩若则关于x 的方程x )x (f =解的个数为（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题*7、若函数b ax x )x (f 2-+=的两个零点是2和4-，则实数a 、b 的值为_________。
8、若方程ax 2－x －1＝0在（0，1）内有解，则实数a 的取值范围是_____。
**9、若函数ƒ（x ）＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g （x ）＝bx 2－ax －1的零点是______。
三、解答题*10、已知二次函数ƒ（x ）＝x 2－（m －1）x ＋2m 在区间[0,1]上有且只有一个零点，求实数m 的取值范围。
11、求函数32()33f x x x x =+--的零点。
**12、已知函数f （x ）＝xax 2x 2++,x ∈［1,＋∞)（1）当a ＝21时，求函数f （x ）的最小值。
（2）若对任意x ∈［1,＋∞),f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围。