高二数学课件 2.椭圆的几何性质(简单性质)
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高二数学选修1、2-1-2椭圆的简单几何性质
人 教 A 版 数 学
值．
第二章
圆锥曲线与方程
设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F1 作椭圆长轴 的垂线交椭圆于点 P， 若△F1PF2 为等腰直角三角形， 则 椭圆的离心率为 ( 2 A. 2 C．2－ 2
[答案] D
人 教 A 版 数 学
)
2－1 B. 2 D. 2－1
第二章
圆锥曲线与方程
第二章
圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
1．通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、
中心)、准线、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线 的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中 应注意，图形与方程对照、方程与性质对照，只有通过数 形结合的方式才能牢固掌握椭圆的几何性质．
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
[点评] 解决这类问题关键是将所给方程正确地化为
标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴 上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何性质．
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝
，求
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
1．知识与技能
掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a，b以及c， e的几何意义，a，b，c，e之间的相互关系． 2．过程与方法 能根据椭圆的方程讨论椭圆的几何性质
人 教 A 版 数 学
会用代数方法研究曲线的特殊几何性质，如：对称中
值．
第二章
圆锥曲线与方程
设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F1 作椭圆长轴 的垂线交椭圆于点 P， 若△F1PF2 为等腰直角三角形， 则 椭圆的离心率为 ( 2 A. 2 C．2－ 2
[答案] D
人 教 A 版 数 学
)
2－1 B. 2 D. 2－1
第二章
圆锥曲线与方程
第二章
圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
1．通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、
中心)、准线、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线 的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中 应注意，图形与方程对照、方程与性质对照，只有通过数 形结合的方式才能牢固掌握椭圆的几何性质．
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
[点评] 解决这类问题关键是将所给方程正确地化为
标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴 上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何性质．
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝
，求
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第二章
圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
1．知识与技能
掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a，b以及c， e的几何意义，a，b，c，e之间的相互关系． 2．过程与方法 能根据椭圆的方程讨论椭圆的几何性质
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会用代数方法研究曲线的特殊几何性质，如：对称中
2.2.2椭圆的几何性质1(高二数学精品课件)
（心3对）称把。x换成-x，同时把y换成-yy方程不变，图象关于原点成中
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
结论 ：通过上面的分析,我们得到判断曲线 是否对称的方法：
以－x代换x,若方程不变,则曲线关于y轴对称；若以
-y代换y,方程不变,曲线关于x轴对称;
同时以－ x代换x,以－ y代换y,方程不变,则方 程关于坐标原点对称.
二、椭圆
简单的几何性质
1 b2
1得：
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
椭圆的对称性
Y
P1（-x，y）
P（x，y）
O
X
P2（-x，-y）
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 6 。
(1) x2 y2 1
32
(2)
x2 y2 1 36 100
(3) 16x2+25y2=400
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
结论 ：通过上面的分析,我们得到判断曲线 是否对称的方法：
以－x代换x,若方程不变,则曲线关于y轴对称；若以
-y代换y,方程不变,曲线关于x轴对称;
同时以－ x代换x,以－ y代换y,方程不变,则方 程关于坐标原点对称.
二、椭圆
简单的几何性质
1 b2
1得：
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
椭圆的对称性
Y
P1（-x，y）
P（x，y）
O
X
P2（-x，-y）
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 6 。
(1) x2 y2 1
32
(2)
x2 y2 1 36 100
(3) 16x2+25y2=400
高二数学人教A版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
心一定是原点吗？ y
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
3_1_2 椭圆的简单几何性质2 课件——高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
所以直线的方程为 = 2 + 1或 = − 2 + 1.
=−
1
.
2 +2
6 中点弦问题
2
例8.已知椭圆
4
+
2
2
= 1的弦的中点P坐标为(1,1)，求直线的方程.
法 1(方程组法)：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为 y－1＝k(x－1)，
弦的两端点为 A(x1，y1 )、B(x2，y2 )，
y－1＝kx－1，
由 x2 y2
消去 y 得：(2k2 ＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k 2－2k－1)＝0，
＋ ＝1，
4 2
4kk－1
∴x1＋x2 ＝
，
2
2k ＋1
4kk－1
1
又∵x1＋x2 ＝2，∴
＝2，得 k＝－ ．
2
2k2＋1
1
故弦所在直线方程为 y－1＝－ (x－1)，即 x＋2y－3＝0．
2
+ 2 = 1.
故设直线的方程为 = + 1，联立椭圆方程，化简，
得( 2 + 2) 2 + 2 − 1 = 0.
= 1( > > 0) ，
5 弦长问题
练2.已知椭圆有两个顶点(−1,0)，(1,0),过其焦点(0,1)的直线与椭圆交于，
两点，若|| =
4 2
②-①可得
1 −��2
∴
1 −2
=
x1 ＋x2x 1－x2 y1＋y2y1－y2
＋
＝0，
4
2
1 +2
−
2(1 +2 )
=
1
− ，即
高二数学 2-1-2-2椭圆的简单几何性质
【解】 将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，
消去y整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.
当Δ＝0时，得m＝± 25，直线与椭圆相切；
当Δ>0时，得－
5 2 <m<
25，直线与椭圆相交；
当Δ<0时，得m<－ 25或m> 25，直线与椭圆相离．
第18页
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答案 C
第7页
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第二章·2.1 · 2.1.2·第二课时
2．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过两点
(4,0)和(0,2)，则该椭圆的离心率等于( )
3
1
A. 2
B.2
3
3
C.4
D. 4
第8页
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第二章·2.1 · 2.1.2·第二课时
解析 由题意可知a＝4，b＝2，∴c＝ a2－b2＝2 3，
c＝2，∴a＝
b2＋c2＝2
2，∴e＝ac＝2 2
＝ 2
2 2.
答案 B
第39页
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第二章·2.1 · 2.1.2·第二课时
3．在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－
7 18
，若以A，B为焦
点的椭圆经过点C，求该椭圆的离心率e.
解 在△ABC中， ∵AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝295AB2， ∴AC＝53AB. ∵椭圆以A、B为焦点且经过点C，∴2c＝AB，
【解】 解法 1：∵直线 l 过椭圆x52＋y42＝1 的右焦点 F1(1,0)， 又直线的斜率为 2，∴直线 l 的方程为 y＝2(x－1)，
2x－y－2＝0， 即 2x－y－2＝0.由方程组x52＋y42＝1， 得交点 A(0，－2)，B53，43. |AB|＝ xA－xB2＋yA－yB2
课时1 椭圆的简单几何性质+课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质
从椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等从整体
上把握曲线的形状、大小和位置
1.范围
问题3：范围：椭圆图象分布范围是否有限？如果有限，最左、最右、最低、
最高分别到什么位置？找出最左、最右、最低、最高的点．
由椭圆的标准方程
+
= > > 可知，椭圆上任意一点的坐标
学习目标
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(重点)
2.能运用椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程.(难点)
3.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.(重点)
复习导入
问题1 椭圆的定义是什么?
平面内到两个定点、的距离之和等于常数（大于||）的点的轨
迹叫做椭圆
+ = ( > )
叫作椭圆的离心率．
因为 > > ，所以 < < ．
注：因为
=
+
，所以
=
=
( ) =
−
=
−
越接近，越接近， = − 越小，椭圆越扁平；
越接近，越接近，越接近，这时椭圆就越接近于圆.
.
知识梳理
焦点的位置
(－，)，(，)，(，－)，(，)是椭圆的四个顶点
分别是椭圆最左、最右、最低、最高的点．
椭圆的长轴：线段
长为
叫作长半轴长
椭圆的短轴：线段
长为
叫作短半轴长
3.对称轴与对称中心
问题5：对称性：椭圆图象是否为中心对称图形？如果是，找出对称中心．
人教A版高二数学选修2-1第二章第二节椭圆的简单几何性质
令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（±a, 0 ）。
*顶点：椭圆与它的对称轴
的四个交点，叫做椭圆的顶 点。
y B1(0,b)
*长轴、短轴： 线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴和
A1
短轴。长轴长2a,短轴长2b.
o
A2(a,0) x
a、b分别叫做椭圆的长半轴 长和短半轴长。
- B2(0, b)
性质4.椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长的比 c 叫做椭圆的离心率,用e
表示，即 e c .
a
y
a
因为a>c>0，所以0 < e <1.
当e c 1, c a, a
b a2 c2 0, 椭圆 扁
b
x
●c
a
O
当e c 0, c 0, a
b a2 c2 a,椭圆 圆
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重
(2)已知椭圆x2 + (m+3)y2 =m(m>0)的离心率为 3
2
求m的值及椭圆长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.
题型二：利用椭圆的性质求标准方程
例2．过合适下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(3,、0) Q(0；, 2)
3
（2）长轴长等于 20,离心率等于 ．5
解:（1）由题意， a 3 ,b又∵2长轴在
A2 123 4 5 x
-2
-3 B1
-4
题型一：椭圆方程的基本计算问题
例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点的坐标．
解：把已知方程化成标准方程
x2 52
y2 42
1，
高二数学人教A版选修2-1ppt课件：.2椭圆的简单几何性质
2、椭圆的离心率对椭圆形状的影响： 椭圆的焦距与长轴长的比称作椭圆的离心率，记作 e＝22ac＝ac. ∵a>c>0，∴0<e<1.
e 越接近于 1，则 c 就越接近于 a，从而 b＝ a2－c2越小，因此
椭圆越扁；反之，e 越接近于 0，c 就越接近于 0，从而 b 越接 近于 a，这时椭圆就越接近于圆，当且仅当 a＝b 时，c＝0，这 时两个焦点重合，这时图形就变为圆，此时方程即为 x2＋y2＝ a2.
圆的离心率.
y
0<e<1
o
x
e越接近1，椭圆越扁； e越接近于0，椭圆越接近于圆.
二、新课讲解：
4、椭圆的离心率：用a和b表示椭圆的离心率e
e 2c c 2a a
c2 a2
a2 b2 a2
1
b a
2
b→0，e→1，椭圆越扁； b→a，e→0，椭圆越接近于圆.
二、新课讲解：
5、通径：过椭圆的焦点作垂直于长轴的弦叫做通径.
1 (2)若
的左焦点F1到直线AB
题型四 分类讨论的思想
2
用焦点三角形面积公式 题型二 由椭圆的几何性质求标准方程
通径、焦点三角形面积公式 方程的左边是平方和，右边是1.
3、设椭圆
的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使PF1⊥PF2，求椭圆的离心率的取值范围.
题型三 求椭圆的离心率 通径、焦点三角形面积公式
称轴的四个交点，叫 做椭圆的顶点.
长轴、短轴：线段
A1A2、B1B2分别叫做 椭圆的长轴和短轴.
A1(-a,0)
a、b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长.
y B2(0,b)
o
A2(a,0)x
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练习2:
1、一个中截面为椭圆形工艺品的短轴长为8cm，离心率e=
2 2,
要将这个工艺品平放在一圆形盒中邮寄，则盒子底面圆的
直径至少为 8 2cm 。
2、2005年10月17日，神州六号载人飞船带着亿万中华儿女千
万年的梦想与希望，遨游太空返回地面。其运行的轨道是以地
球中心为一焦点的椭圆，设其近地点距地面m(km)，远地点距 地面n(km)，地球半径R(km)，则载人飞船运行轨道的短轴长
4、以椭圆 x2 y2 1的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆
25 16 方程为 . ----------------------------
为（ D ）
A. mn(km)
B. 2mn(km)
C．(m+R)(n+R)(km)
D．2 (m+R)(n+R)(km)
3、椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的左焦点F到顶点A(a, 0), B(0,b)的直线的
距离为 b , 则椭圆的离心率e=-----------------------. 7
B. x2 y2 1. 25 16
C. x2 y2 1或 x2 y2 1. D. x2 y2 1
25 16
16 25
16 25
2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y 轴
都对称的是（ D ）
A、X2=4Y B、X2+2XY+Y=0 C、X2-4Y2=X D、9X2+Y2=4
3、在下列每组椭圆中，哪一个更接近
A
BO
C
X
x2 y2
例3、已知椭圆C：25 9 1, 的左右焦点 分别为F1，F2，P是椭圆的动点： （1）求|PF1|·|PF2|的最大值； （2）当∠F1PF2=60º时，求△F1PF2的 面积S；
（3）已知点A（2，2），求|PA|+|PF2|的 最大值.
练习1:
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
的最小值为 a-c 。
例4、如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨 道,是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆,已知 它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地 点B距地面2348km.并且F2、A、B在同一直线上， 地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程（精 确到1km).
2
为
2。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角
1
形，则其离心率为 2 。
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其
离心率为
1
3。
4、若椭圆
x2
k 8
+
y
2
=1的离心率为
0.5，则：k=__45_或__4
9
5、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3 则其离心率e=___5_______
于圆？
①9x2＋y2＝36与x2/16＋y2/12＝1；
x2/16＋y2/12＝1 ②x2＋9y2＝36与x2/6＋y2/10＝1
x2/6＋y2/10＝1
例1、求椭圆9x2+16y2=144的长半轴、短半轴长、 离心率、焦点、顶点坐标，并画出草图.
例2、已知B、C是两个定点，︱BC︱=6， 且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方 程.
a2=b2+c2
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
6、点P是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上的动点，当P的坐标为(±a,0)时，
P到原点O的最大距离为
a
；当P的坐标为(0, ±b时) ，
P到原点O的最小距离为---b----------；设F（1 c,0),则当P的
坐标为--(---a--,-0--)-时，PF1
的最大值为 a+c ；则当P的
坐标为---(-a-,-0--)--时，PF1
e c a
a2=b2+c2
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
复习练习：
1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆 的标准方程为（ C ）
A. x2 y2 1. 9 16
复习：
标准方程 范围 对称性 顶点坐标
x2 a2
y2 b2
1(a
bLeabharlann 0)|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成
中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
焦点坐标
(c,0)、(-c,0)
半轴长
离心率
a、b、c的 关系
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b e c a
地球
例4、如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨
道,是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆,已知 它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地
点B距地面2348km.并且F2、A、B在同一直线上， 地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程（精
确到1km).
Y
F1 F2
B
DO
CA X