建筑工程力学9.3 计算多跨静定梁的内力(于英14.12)-文档资料
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建筑力学：静定结构的内力分析
静定结构的内力分析第一节多跨静定梁、斜梁一、多跨静定梁若干根梁用中间铰连接在一起，并以若干支座与基础相连，或者搁置于其他构件上而组成的静定梁，称为多跨静定梁。
在实际的建筑工程中，多跨静定梁常用来跨越几个相连的跨度。
图13—1a所示为一公路或城市桥梁中，常采用的多跨静定梁结构形式之一，其计算简图如图13—1b所示。
在房屋建筑结构中的木檩条，也是多跨静定梁的结构形式，如图13—2a所示为木檩条的构造图，其计算简图如图13—2b所示。
连接单跨梁的一些中间铰，在钢筋混凝土结构中其主要形式常采用企口结合(图13—1a)，而在木结构中常采用斜搭接或并用螺栓连接(图13—2a)。
从几何组成分析可知，图13—1b中AB梁是直接由链杆支座与地基相连，是几何不变的。
且梁AB本身不依赖梁B C和CD就可以独立承受荷载，所以，称为基本部分。
如果仅受竖向荷载作用，CD梁也能独立承受荷载维持平衡，同样可视为基本部分。
短梁BC是依靠基本部分的支承才能承受荷载并保持平衡，所以，称为附属部分。
同样道理在图13—2b 中梁AB，CD和EF均为基本部分，梁BC和梁DE为附属部分。
为了更清楚地表示各部分之间的支承关系，把基本部分画在下层，将附属部分画在上层，分别如图13—1c和图13—跨梁的内力图连在一起，便得到多跨静定梁的内力图。
要依靠AC 梁才能保证其几何不变性，所以CE 梁为附属部分。
（2）计算支座反力从层叠图看出，应先从附属部分CE 开始取隔离体，如图13-3c 所示。
∑=0CM 04680=⨯-⨯D V kN V D 120=（↑） ∑=0DM04280=⨯-⨯C V kN V C 40=（↓）将C V 反向，作用于梁AC 上，计算基本部分∑=0X 0=AH∑=0AM －40×10+V B ×8+10×8×4-64=0 ∑=0BM－40×2－10×8×4－64+V A ×8=0V A =58kN （↑） V B =18kN （↓） 校核：由整体平衡条件得∑Y ＝—80十120—18十58—10×8＝0， 无误。
本章主要介绍了单跨静定梁和多跨静定梁的内力分析计算1
图10
图11
图12
3.3.2
多跨静定梁的内力计算
由层次图可见，作用于基本部分上的荷载，并不 影响附属部分，而作用于附属部分上的荷载，会以支 座反力的形式影响基本部分，因此在多跨静定梁的内 力计算时，应先计算高层次的附属部分，后计算低层 次的附属部分，然后将附属部分的支座反力反向作用 于基本部分，计算其内力，最后将各单跨梁的内力图 联成一体，即为多跨静定梁的内力图。
例6 试作出如图13(a)所示的四跨静定梁的弯矩图和剪 力图。
解：（1） 绘制层次图，如图13(b)所示。
（2） 计算支座反力，先从高层次的附属部分开 始，逐层向下计算：
① EF段：由静力平衡条件得
∑ME=0: ∑Y=0: YF×4-10×2=0 YF=5kN YE=20+10-YF=25kN
解：（1）求支座反力 先假设反力方向如图所示，以 整梁为研究对象： ∑X=0: XA-P=0 XA=P=4kN ∑MB=0: YA*l-q*l*0.5*l=0 YA=0.5ql =0.5×3×4kN=6kN ∑Y=0: YA+YB=ql YB=ql-VA =(3×4-6) kN=6kN
即:
q′l′=ql q=q′l′/l=q′/cosα
下面以承受沿水平向分布的均布荷载的斜梁为例进 行内力分析，如图(b)所示。 根据平衡条件，可以求出支座反力为： XA=0, YA=YB=1/2ql
则距A支座距离为x的截面上的内力可由取隔离体求出。 如图(c)所示，荷载qx、YA，在梁轴方向（t方向）的分 力分别为qxsinα、YAsinα；在梁法线方向（n方向） 的分力分别为：qxcosα、YAcosα。则由平衡条件得： ∑T=0： YAsinα-qxsinα+NX=0 NX=(qx-1/2ql)sinα ∑N=0: YAcosα-qxcosα-QX=0 QX=(1/2ql-qx)cosα ∑MX=0: YAx-qx· x/2-MX=0 MX=1/2qx(1-x)
《建筑工程力学》结构的计算简图其分类
例3：
结构的计算简图举例
例3：
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓
细石混凝土填充 重新播放
9.1 结构的计算简图 平面杆件结构的分类
按几何特征分类: 1.杆件结构 梁
板 2.薄壁结构
壳
3.实体结构 例如：水坝、地基、挡土墙……等。
9.1 结构的计算简图
按结构的受力特点分类，杆件结构又可分为:
例如:
qP
9.1 结构的计算简图
支座的类型：
⑴活动铰支座
A FAy
⑵固定铰支座
A FfAx
FAy
9.1 结构的计算简图
⑶ 固定支座
节点的类型：
FAx A MA FAy
⑴ 铰结点
⑵ 刚结点
结构的计算简图举例 例1：
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l
结构的计算简图举例
例2：
结构的计算简图举例
9.1 结构的计算简图
一、 结构的计算简图的简化原则
计算简图: 能表现结构的主要受力和变形特点,略 去次要因素的原结构的简化图形。
计算简图的简化原则: １、考虑结构的主要受力和变形特点； ２、略去次要因素，使计算简便。
9.1 结构的计算简图
二、 结构的计算简图的简化内容
简化内容
1.杆件的简化; 2.荷载的简化； 3.支座和结点的简化。
生的随机荷载等)。
9.1 结构的计算简图
2.荷载的分类
恒载(永久荷载), 如自重、土压力等。 按作用时间久暂
活载(可变荷载)，如车辆、人群、风、雪等。
按作用位置是否变化 移动荷载(位置可变)，如：移动的活载等。
固定荷载(位置不变)，包括恒载及某些活载。
按动力效应大小 静力荷载(荷载的大小、方向和位置不随时间变 化或变化很缓慢—动力效应小)。
结构的计算简图举例
例3：
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓
细石混凝土填充 重新播放
9.1 结构的计算简图 平面杆件结构的分类
按几何特征分类: 1.杆件结构 梁
板 2.薄壁结构
壳
3.实体结构 例如：水坝、地基、挡土墙……等。
9.1 结构的计算简图
按结构的受力特点分类，杆件结构又可分为:
例如:
qP
9.1 结构的计算简图
支座的类型：
⑴活动铰支座
A FAy
⑵固定铰支座
A FfAx
FAy
9.1 结构的计算简图
⑶ 固定支座
节点的类型：
FAx A MA FAy
⑴ 铰结点
⑵ 刚结点
结构的计算简图举例 例1：
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l
结构的计算简图举例
例2：
结构的计算简图举例
9.1 结构的计算简图
一、 结构的计算简图的简化原则
计算简图: 能表现结构的主要受力和变形特点,略 去次要因素的原结构的简化图形。
计算简图的简化原则: １、考虑结构的主要受力和变形特点； ２、略去次要因素，使计算简便。
9.1 结构的计算简图
二、 结构的计算简图的简化内容
简化内容
1.杆件的简化; 2.荷载的简化； 3.支座和结点的简化。
生的随机荷载等)。
9.1 结构的计算简图
2.荷载的分类
恒载(永久荷载), 如自重、土压力等。 按作用时间久暂
活载(可变荷载)，如车辆、人群、风、雪等。
按作用位置是否变化 移动荷载(位置可变)，如：移动的活载等。
固定荷载(位置不变)，包括恒载及某些活载。
按动力效应大小 静力荷载(荷载的大小、方向和位置不随时间变 化或变化很缓慢—动力效应小)。
《工程力学》课题十二：静定结构的内力计算
只需求出与杆轴线垂直的反力。
1.悬臂刚架
可以不求反力，由自由端开始直接 求作内力图。
L
q ½qL²↓↓↓↓↓↓↓↓↓
L
qL² qL²
2.简支刚架弯矩图
简支型刚架绘制弯矩图时，往往
只须求出一个与杆件垂直的支座
反力，然后由支座作起。
q
l
D
qa2/2
C
l/2
l/2
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/2
qL2/2
（3）绘制内力图(弯矩图 剪力图 轴力图）
由已求得各杆端力，分别按各杆件作内力图。
弯矩图可由已知杆端弯矩，按直杆段的区段叠加法作杆
件的弯矩图。
连接两个杆端的刚结点,若 结点上无外力偶作用,则两 个杆端的弯矩值相等,方向 相反.
M图（KN·m）
拆成单个杆,求出杆两端的所 有内力,按与单跨梁相同的方法 画内力图.
铰拱的合理拱轴线的纵
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下 的合理拱轴线。
MC0=ql2/8 H=ql2/8f M0(x)=qlx/2-qx2 /2 =qx(l-x)/2
y=4fx(l-x)/l2
抛物线
拱的合理拱轴线的形状与相应的简支梁的弯矩 图相似。
三铰拱在竖向集中荷载作用下的的无荷载区段上， 合理拱轴是一条直线，并在集中荷载作用点出现转折； 在均布荷载作用区段上，合理拱轴是一条抛物线。
（２）计算杆端力 取AB杆B截面以下部分， 计算该杆Ｂ端杆端力：
MBA = 160kN·m (右侧受拉) 同理：取BD杆B截面以右部 分，计算该杆B端杆端力： MBD = 160kN·m (下侧受拉)
建筑工程力学9.3 计算多跨静定梁的内力(于英14.12)共24页
9.3 计算多跨静定梁的内力
复习相关内容
内力的正负号规定：
剪力的正负号 使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正；反之，为 负。
弯矩的正负号 使梁段产生下侧受拉的弯矩为正；反之，为负。 轴力的正负号 使杆段产生拉伸变形的轴力为正；反之，为负。
截面法计算指定截面上内力的步骤：
计算支座反力； 用假想的截面在需求内力处将梁截成两段，取其中任一段为研究
【解】（１）画层次图如图b所示
（２）计算各单跨梁的约束反力 按层叠图依次画出各单跨梁的受力图，注意杆
BC在杆端只有竖向约束反力，并按从右至左的 顺序分别计算，结果如图c所示。
（３）作多跨静定梁内力图 按从左至右分别依次连续作出各单跨梁的弯矩 图和剪力图，即得到原多跨静定梁的内力图。
如图d、e所示。
例题9-1
简支斜梁在竖向荷载作用下的剪力和轴力，分 别等于相应水平简支梁的剪力沿斜梁截面的切 线方向和法线方向的投影。
作业一：P179 9-2
9-2试绘制下图所示多跨静定梁的内力图。
题9-2图
作业二:
1.试作下图所示多跨静定梁的内力图。
2.试作下图所示多跨静定梁的M 图。
作业二:
3.试作下图所示多跨静定梁的M 图。
《建筑工程力学》
单元9 计算静定结构的内力
高等教育出版社
单元9 计算静定结构的内力
9.1 结构的计算简图 9.2 平面体系的几何组成分析 9.3 计算多跨静定梁的内力 9.4 计算静定平面刚架的内力 9.5 计算静定梁平面桁架的内力
9.3 计算多跨静定梁的内力
一、多跨静定梁的组 画出研究对象的受力图（截面上的剪力、弯矩和轴力都先假设为
正的方向）； 建立平衡方程，出解内力。
建筑力学 第九章(最终)
图9-7
② 求各杆杆端的内力。 考虑结点 D 的平衡: 由
求得
由 求得
由
求得 考虑结点 E 的平衡: 由
求得
由 求得
由 求得
M D 0, M DE 18 0
M DE 18 kN m
Fx 0, FNDE 3 0
FNDE 3 kN
Fy 0, FQDE 4.5 0
FQDE 4.5 kN
截取横梁 CF 为研究对象，根据 FN 图、FQ 图 和 M 图，画出其受力图如图9-6e 所示。
MC 24 20 20 2 12 5 36 4 0 Fx 10 10 0
Fy 36 4 20 12 0
可见横梁 CF 满足平衡条件，表明所求作的内 力图正确。
图9-6
【例9-4】试作出图9-7a 所示三铰刚架的内力图。 解：① 计算支座反力。
图9-3
由本例可见，求作多跨静定梁内力图的关键是 要分清梁的组成层次，作出层次图，以及如何将梁 拆开来计算其支座反力。梁的支座反力一旦求出， 求作多跨静定梁内力图的问题就归结为求作各单跨 静定梁内力图的问题，而单跨静定梁的内力图绘制 已是熟悉的求作问题。所以，求作多跨静定梁内力 图只不过是在单跨静定梁的内力图绘制基础上所做 的一种引伸，而并非新的计算问题。
12 110
2
4
kN
由
Fy 0, FBy FAy 20 12 0
求得
FBy 20 12 FAy 20 12 4 36 kN
② 求各杆的杆端弯矩，作 M 图。
杆AC： M AC 0, MCA 22 4 8 4 2 24kN m
用区段叠加法绘出杆 AC 段弯矩图。应用虚线连接杆端弯 矩 MAC 和 MCA，再叠加该杆段为简支梁在均布荷载作用下的弯 矩图。
建筑力学：静定结构内力分析
静定平面刚架的组成特点及类型
一、平面刚架结构特点： 刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成，优点是
将梁柱形成一个刚性整体，结构刚度较大，内力 分布较均匀合理，便于形成大空间。
图（a）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房 屋，图（c）是具有部分铰结点的刚架。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
刚架结构优点：
（1）内部有效使用空间大；
受弯杆件称为梁。横截面有矩形，工字形， T形和圆形。
在外力作用下梁的轴线变为一条平面曲线， 称为梁的挠曲线。
平面弯曲
一、梁上的内力：剪力和弯矩
P
l /2
l /2
P
平行于横截面的竖向内力V称为
M
剪力。
V RA
位于荷载作用平面内的内力偶 矩M称为弯矩。
二、截面上内力符号的规定：
N
N 轴力：杆轴切线方向
6qa
2qa 2
2qa 2 2q
4qa 2
M图
14qa 2
（4）绘制结构Q图和N图
2qa2
q
C 6qa
E
2qa2
8qa2 10qa2
6qa 2
3a
D
B
2q A
4a
2qa 2
4qa 2
14qa 2
2qa 2
M图
QDC 0
2a 2a
QDB 0
3.2qa
QBD 6qa
QBE 3.2qa
6qa
QBA 0
2）杆DB
N DC
6qa
2qa 2
D 6qa 2
M BD
B
N BD
QBD
10qa 2
NBD 0 QBD 6qa M BD 10qa2
一、平面刚架结构特点： 刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成，优点是
将梁柱形成一个刚性整体，结构刚度较大，内力 分布较均匀合理，便于形成大空间。
图（a）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房 屋，图（c）是具有部分铰结点的刚架。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
刚架结构优点：
（1）内部有效使用空间大；
受弯杆件称为梁。横截面有矩形，工字形， T形和圆形。
在外力作用下梁的轴线变为一条平面曲线， 称为梁的挠曲线。
平面弯曲
一、梁上的内力：剪力和弯矩
P
l /2
l /2
P
平行于横截面的竖向内力V称为
M
剪力。
V RA
位于荷载作用平面内的内力偶 矩M称为弯矩。
二、截面上内力符号的规定：
N
N 轴力：杆轴切线方向
6qa
2qa 2
2qa 2 2q
4qa 2
M图
14qa 2
（4）绘制结构Q图和N图
2qa2
q
C 6qa
E
2qa2
8qa2 10qa2
6qa 2
3a
D
B
2q A
4a
2qa 2
4qa 2
14qa 2
2qa 2
M图
QDC 0
2a 2a
QDB 0
3.2qa
QBD 6qa
QBE 3.2qa
6qa
QBA 0
2）杆DB
N DC
6qa
2qa 2
D 6qa 2
M BD
B
N BD
QBD
10qa 2
NBD 0 QBD 6qa M BD 10qa2
多跨静定梁的内力计算
☆ 多跨梁的内力分析
基本部分
附属部分
基本部分
解题步骤： 1）画组成关系图。（层叠图、层次图） 2）先附属后基本求约束反力。 3）画内力图。
【例 题】 画内力图
58kN
18kN
120kN
画层叠图
求支座反力
FA
FB
FCBiblioteka FDF’C画剪力图
58kN
18kN
120kN
BC
D
A
E
画
弯
矩
图
58kN
A
A
18kN
多跨静定梁的内力计算
多跨静定梁：若干根梁，用中间铰连接在一起， 并以若干支座与地基相连。
1、结构特点
多跨静定梁由两部分组成，即基本部分和附属部分 组成的次序是先固定基本部分，再固定附属部分。
附属部分
基本部分
基本部分
2. 受力特点
附属部分
基本部分
基本部分
多跨静定梁的内力分析顺序：先附属后基本
（1）若荷载作用在基本部分上，则附属部分不受力 （2）若荷载作用在附属部分上，则基本部分同样受力
120kN
BC
D E
B C
DE
总结
•中间铰处弯矩为零
•各中间铰处的约束力属于内力， 不会使剪力图发生突变
利用上述两条，可简化计算工作，即不 用再算铰处的约束力就能迅速地绘制多跨静 定梁的内力图。
多跨静定梁 相互独立的系列简支梁相连
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9.3 计算多跨静定梁的内力
一、多跨静定梁的组成及传力特征 1.多跨静定梁的组成
将若干根短梁彼此用铰相联接，并用若干 支座再与基础联接而组成的无多余约束的几何 不变体系，称为多跨静定梁。
图a所示为一静定公路桥梁结构图，图b是 其计算简图，由图 c 可清楚地看到梁各部分之 间的依存关系和力的传递层次。因此，称图 c 为多跨静定梁的层叠图或层次图。
例题9-1
计算图a所示多跨静 定梁，并作内力图. 解:（１）画层次图 如图b所示 （２）计算各单跨 梁的约束反力如图c 所示
FS图（kN）
（３）作多跨静 定梁内力图如图d、 e所示
教材【例9-6】计算 图a所示多跨静定梁， 并作内力图.
【解】（１）画层 次图如图b所示 （２）计算各单跨 梁的约束反力如图c 所示 （３）作多跨静 定梁内力图如图d、 e所示
《建筑工程力学》
主编 于 英
课件制做
于 英 乔晨旭
高等教育出版社
《建筑工程力学》
单元9 计算静定结构的内力
高等教育出版社
单元9 计算静定结构的内力
9.1 结构的计算简图 9.2 平面体系的几何组成分析
9.3 计算多跨静定梁的内力 9.4 计算静定平面刚架的内力 9.5 计算静定梁平面桁架的内力
9.3 计算多跨静定梁的内力
1.多跨静定梁的内力计算 多跨静定梁的内力可以由静力平衡条件 求出，也可由简便方法求出。即 剪力FS——等于截面一侧所有外力在垂 直于杆轴方向投影的代数和。 弯矩M——等于截面一侧所有外力对截 面形心力矩的代数和。
Leabharlann 9.3 计算多跨静定梁的内力
二、多跨静定梁的内力计算及内力图绘制
2.多跨静定梁的内力图 弯矩图：将弯矩画在杆件受拉一侧，不 需注明正、负号； 剪力图：将正剪力画在轴线上方，负剪 力画在轴线下方，必需注明正、负号。
按从左至右分别依次连续作出各单跨梁 的弯矩图和剪力图，即得到原多跨静定 梁的内力图。
二、多跨静定梁的内力计算及内力图绘制
2.多跨静定梁的内力图
【例9-1】计算图a所示多跨静定梁，并作内力图 【解】（１）画层次图如图b所示 （２）计算各单跨梁的约束反力 按层叠图依次画出各单跨梁的受力图，注意杆 BC在杆端只有竖向约束反力，并按从右至左的 顺序分别计算，结果如图c所示。 （３）作多跨静定梁内力图 按从左至右分别依次连续作出各单跨梁的弯矩 图和剪力图，即得到原多跨静定梁的内力图。 如图d、e所示。
作业一：P179
9-2
9-2试绘制下图所示多跨静定梁的内力图。
题9-2图
作业二:
1.试作下图所示多跨静定梁的内力图。
2.试作下图所示多跨静定梁的M 图。
作业二:
3.试作下图所示多跨静定梁的M 图。
作业三:
试作下图所示斜梁的M 图。
一、多跨静定梁的组成及传力特征 二、多跨静定梁的内力计算及内力图
9.3 计算多跨静定梁的内力
复习相关内容 内力的正负号规定：
剪力的正负号 使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正；反之，为 负。 弯矩的正负号 使梁段产生下侧受拉的弯矩为正；反之，为负。 轴力的正负号 使杆段产生拉伸变形的轴力为正；反之，为负。 计算支座反力； 用假想的截面在需求内力处将梁截成两段，取其中任一段为研究 对象； 画出研究对象的受力图（截面上的剪力、弯矩和轴力都先假设为 正的方向）； 建立平衡方程，出解内力。
9.3 计算多跨静定梁的内力
一、多跨静定梁的组成及传力特征
计算简图
层叠图或层次图
9.3 计算多跨静定梁的内力
一、多跨静定梁的组成及传力特征
基本部分和附属部分 能独立承受荷载的部分称为基本部分 需依靠基本部分才能承受荷载的部分称 为附属部分
附属部分
基本部分
9.3 计算多跨静定梁的内力
一、多跨静定梁的组成及传力特征
图9-27 例9-6图
FS图（kN）
左上图 所示多跨简 支梁和左下 图所示多跨 静定梁进行 比较可见， 多跨静定梁 弯矩峰值较 小，且分布 较均匀。
拓展知识 斜 梁
楼梯
拓展知识 斜 梁
拓展知识 斜 梁
简支斜梁在竖向荷载作用下的支座反力，等于 相应水平简支梁的支座反力。 简支斜梁在竖向荷载作用下的弯矩，等于相应 水平简支梁的弯矩。 简支斜梁在竖向荷载作用下的剪力和轴力，分 别等于相应水平简支梁的剪力沿斜梁截面的切 线方向和法线方向的投影。
2.多跨静定梁力的传递关系
基本部分上的荷载作用，不传递给附属部 分 。即附属部分不产生内力和外力； 而附属部分的荷载作用，则一定传递给基本 部分。即基本部分一定要产生内力和外力。 多跨静定梁的组成顺序：先基本，后附属。 多跨静定梁的计算顺序：先附属，后基本。
9.3 计算多跨静定梁的内力
二、内力计算及内力图绘制
截面法计算指定截面上内力的步骤：
9.3 计算多跨静定梁的内力
复习相关内容
直接根据外力计算梁内力的规律
剪力在数值上等于该截面一侧所有外力在垂直于轴线 方向投影的代数和。若外力对所求截面产生顺时针方 向转动趋势时，剪力取正号；反之，取负号。此规律 可记为“顺转剪力正”。 弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力（包括力偶） 对该截面形心力矩的代数和。将所求截面固定，若外 力矩使所考虑的梁段产生下凸弯曲变形时（即上部受 压，下部受拉），弯矩取正号；反之，取负号。此规 律可记为“下凸弯矩正”。