高中数学完整讲义——排列与组合2.乘法原理

高中数学讲义 1
思维的发掘 能力的飞跃
1．基本计数原理
⑴加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．
⑵乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．
⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．
2． 排列与组合
⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m
n 表示．
排列数公式：A (1)(2)
(1)m
n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．
⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．
组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m
n 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!
m
n n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0
C 1n =）
知识内容 乘法原理
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⑶排列组合综合问题
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：
1．特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．
3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．
5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，
从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．
7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！
8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．
1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．
2．具体的解题策略有：
①对特殊元素进行优先安排；
②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；
⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．
乘法原理
【例1】 公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．
典例分析
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思维的发掘 能力的飞跃 【例2】 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______．
【例3】 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，
要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种．
【例4】 高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织
的调查团，问选取代表的方法有几种．
【例5】 六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？
【例6】 六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？
【例7】 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，
且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．
【例8】 从集合{12311}，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22
221x y m n
+=中的m 和n ，则能组成落在
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矩形区域{()|||11B x y x =<，
，且||9}y <内的椭圆个数为（ ） A ．43 B ．72 C ．86 D ．90
【例9】 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那
么函数解析式为2y x =-，值域为{19}--，
的“同族函数”共有（ ） A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个
【例10】 某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的
数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（ ）
A ．90个
B ．99个
C ．100个
D ．112个
【例11】 从集合{4321012345}----，，，，，，，，，中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（ ）
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思维的发掘 能力的飞跃 A ．10 B ．32 C ．110 D ．220
【例12】 若x 、y 是整数，且6≤x ，7≤y ，则以()，x y 为坐标的不同的点共有多少个？
【例13】 用0，1，2，3，4，5这6个数字：
⑴可以组成______________个数字不重复的三位数．
⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．
【例14】 六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？
高中数学讲义 6 思维的发掘 能力的飞跃 【例15】 将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（ ）种．
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8。