巧借梯形和三角形面积公式探索规律
五年级上册数学平行四边形、梯形、三角形面积公式及推导过程
五年级上册数学平行四边形、梯形、三角形面积公式及推导过程1.平行四边形面积推导过程先画出平行四边形的底和高，沿平行四边形的高剪下，通过移拼，可以拼成一个长方形。
拼成长方形的长与平形四边形的底相等，长方形的宽与平形四边形的高相等，拼成长方形的面积与平形四边形面积相等，因为长方形面积等于长乘以宽，所以平行四边形的面积等于底乘以高。
字母表示为S =ah2.三角形面积推导过程把两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，拼成平行四边形的底与三角形的底相等，平行四边形的高与三角形的高相等，每个三角形的面积是拼成平形四边形面积的一半，拼成的平行四边形的面积是每个三角形面积的2倍。
因为平形四边形的面积等于底乘以高，所以其中一个三角形面积等于底乘以高除以2。
字母表示为S =ah÷2。
3.梯形面积推导过程用两个完全一样的梯形可以拼成一个平形四边形，拼成平形四边形的底等于梯形的上底加下底的和，平行四边形的高与梯形的高相等，每个梯形的面积是拼成平形四边形面积的一半，拼成的平行四边形的面积是每个梯形的2倍。
因为平形四边形面积等于底乘以高，所以其中一个梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以2。
字母表示为 S =(a+b)h÷2备注：1.长方形拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
平行四边形拉成长方形，周长不变，面积变大。
2.等底等高的三角形，形状不同，面积相等。
（面积相等的三角形不一定等底等高）等底等高的平行四边形，形状不同，面积相等。
（面积相等的平行四边形不一定等底等高）等底等高的梯形，形状不同，面积相等。
（面积相等的梯形不一定等底等高）3.三角形的面积是与它等底等高平行四边形面积的一半。
平行四边形的面积是与它等底等高三角形面积的2倍。
三角形和梯形的计算公式
三角形和梯形的计算公式
三角形和梯形都是常见的几何图形，它们有不同的计算公式。
三角形的面积计算公式为：面积 = 底边× 高÷ 2，其中底边
为三角形下边的长度，高为从底边到另一顶点的垂直距离。
另外，根
据海伦公式，三角形的面积也可以通过三条边的长度来计算。
梯形的面积计算公式为：面积 = 上底 + 下底× 高÷ 2，其中
上底和下底分别为梯形上下两边的长度，高为两个平行边之间的距离。
此外，梯形也可以拆分成两个三角形来计算面积，即将梯形按中线划
分为两个三角形，分别计算它们的面积，然后相加即可。
三角形和梯形的计算公式常常用于解决几何题目，需要根据具体
情况选择合适的公式。
梯形面积计算公式推导方法
梯形面积计算公式推导方法（四种）
方法一：两个一样的梯形拼成一个平行四边形（图1）
推导：
两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，这个平行四边形的高等于梯形的高，每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，所以
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。
方法二：把一个梯形剪成一个平行四边形和一个三角形（图2）
推导：
平行四边形的底等于梯形的上底，三角形的底等于梯形的下底与上底之差；平行四边形的高与三角形的高都等于梯形的高；所以
梯形面积
=平行四边形面积+三角形面积
=平行四边形的底×高+三角形的底×高÷2
=（平行四边形的底+三角形的底÷2）×高
=（平行四边形的底×2+三角形的底÷2×2）×高÷2
=（平行四边形的底+平行四边形的底+三角形的底）×高÷2
=（上底+下底）×高÷2。
方法三：把一个梯形剪成两个三角形（图3）
推导：
梯形的面积=三角形1的面积+三角形2面积
=梯形上底×高÷2+梯形下底×高÷2
=(梯形上底+梯形下底)×高÷2
方法四：把梯形沿中位线剪成两个梯形后拼成一个平行四边形（图4）推导：
平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，平行四边形的高等于梯形的高的一半；所以
梯形面积=平行四边形面积
=平行四边形的底×高
=(梯形上底+梯形下底)×高÷2
（图1）（图2）
（图3）（图4）。
三角形和梯形的面积的数学公式
三角形和梯形的面积的数学公式
三角形的面积公式：三角形是一个拥有三边和三个角的图形。
常见的求三角形面积的方法是使用底和高，或使用三角形三边的长度来计算。
下面是三角形面积的两种公式：
1.底和高公式：假设三角形的底长为b，高为h，则三角形的面积S 可以表示为S=0.5*b*h。
2. 海伦-秦九韶公式：如果已知三角形的三边长度分别为a、b、c，且半周长为s = (a+b+c)/2，则可以使用海伦-秦九韶公式来计算三角形的面积，公式为S = sqrt(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))，其中sqrt表示平方根。
梯形的面积公式：梯形是一个拥有两个平行边和两个斜边的四边形图形。
求梯形的面积也有多种方法，一种常见的方法是使用上底、下底和高来计算。
下面是梯形面积的公式：
假设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，则梯形的面积S可以表示为S=0.5*(a+b)*h。
除了上述两个基本公式，还可以通过梯形的对角线长度来计算梯形的面积。
假设梯形的对角线长度分别为d1和d2，则梯形面积的公式可以表示为S=0.5*d1*d2
在实际问题中，可以根据题目给出的条件选择合适的公式来计算三角形或梯形的面积。
在解题过程中，要注意单位的转换和精确计算，确保计算结果准确无误。
综上所述，三角形和梯形是几何中常见的基本图形，其面积可以通过
特定的公式来计算。
熟练掌握这些公式可以帮助我们更好地解决几何问题，提高数学水平。
希望通过本文的介绍，对三角形和梯形的面积公式有更深
入的理解。
推导梯形面积公式的三种方法
推导梯形面积公式的三种方法推导梯形面积公式的三种方法如下：
方法一：几何推导
考虑一个梯形，将其切割成一个矩形和两个直角三角形。
假设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h。
我们可以将梯形分成两个等高的小梯形，分别是上底长为a和b 的梯形，这两个小梯形的面积之和等于原梯形的面积。
而每个小梯形的面积可以用矩形面积减去直角三角形面积来表示。
所以，梯形的面积可以表示为：(a+b)*h/2。
方法二：代数推导
我们可以将梯形看成是一个矩形和两个直角三角形的组合。
利用代数方法可以得到梯形的面积公式。
设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h。
可以得到梯形的面积S =矩形的面积+两个直角三角形的面积
= (a+b)*h + (1/2)*a*h + (1/2)*b*h
= (a+h)*h/2 + (b+h)*h/2
= (a+b)*h/2。
方法三：积分推导
我们可以使用微积分中的积分原理来推导梯形的面积公式。
设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，可以将梯形所在的平面区域看成是y = h和y = 0之间的平面图形。
利用定积分，梯形的面积可以表示为：∫[a,b]hdx
= h∫[a,b]dx
= h[x]ₐ_ᵦ
= h(b-a)
= (a+b)*h/2。
上述三种方法是推导梯形面积公式的常见方法，可以根据需要选择使用哪种方法。
同时，我们还可以推广梯形面积公式，例如推导出等腰梯形、半个圆柱体的梯形面积公式等。
梯形的面积计算公式的推导
梯形的面积计算公式的推导
要推导梯形的面积计算公式，我们可以利用梯形的性质和几何知识。
下面我将详细解释这个推导过程。
首先，让我们回顾一下梯形的定义。
梯形是一个有四边的多边形，其
中有两条平行边称为底，两条非平行边称为腰。
我们可以将梯形分为两个
三角形，通过绘制一条从梯形的一个顶点到另一条平行边上的一点。
这条
线称为梯形的高。
我们假设梯形的底的长度分别为a和b，高为h。
那么梯形的面积可
以表示为两个三角形的面积之和。
让我们先计算底为a的三角形的面积。
根据三角形的面积公式，三角
形的面积等于底乘以高的一半。
因此，底为a的三角形的面积可以表示为：Area1 = (1/2) * a * h
接下来，让我们计算底为b的三角形的面积。
同样地，底为b的三角
形的面积可以表示为：
Area2 = (1/2) * b * h
如前所述，梯形的面积等于两个三角形的面积之和，即：
Area = Area1 + Area2
代入Area1和Area2的公式，得到：
Area = (1/2) * a * h + (1/2) * b * h
我们可以进行合并和整理，将公式改写为：
Area = (1/2) * h * (a + b)
这就是梯形的面积计算公式。
总结一下，梯形的面积计算公式可以通过将梯形分为两个三角形，并应用三角形的面积公式推导得出。
公式为：
Area = (1/2) * h * (a + b)
其中，h表示梯形的高，a和b表示梯形的两个底的长度。
所以，可以根据这个公式计算梯形的面积。
梯形面积公式推导的多样方法
梯形面积公式推导的多样方法梯形是一个四边形，其中两边是平行的，且其他两边不平行。
梯形的面积可以使用多种方法来推导。
方法一：使用三角形面积公式推导梯形可以被分割为两个三角形和一个矩形。
我们可以使用三角形的面积公式来推导梯形的面积。
假设梯形的上底为a，下底为b，高为h。
我们可以将梯形分割成两个三角形：一个底边为a，高为h的三角形和一个底边为b，高为h的三角形。
我们还可以将梯形分割成一个底边为b-a，高为h的矩形和一个底边为b，高为h的三角形。
根据三角形的面积公式，第一个三角形的面积为1/2*a*h，第二个三角形的面积为1/2*b*h。
因此，两个三角形的总面积为1/2*a*h+1/2*b*h，即(h/2)*(a+b)。
根据矩形的面积公式，矩形的面积为(b-a)*h。
将两个三角形的面积和矩形的面积相加，得到梯形的面积公式为：(h/2)*(a+b)+(b-a)*h=(a+b)*h。
方法二：使用高和中线推导梯形的面积也可以使用梯形的高和中线来推导。
假设梯形的上底为a，下底为b，高为h，两条中线分别为m₁和m₂。
我们可以将梯形分割成两个三角形和一个平行四边形。
平行四边形的高为h，底边为m₂-m₁。
根据三角形的面积公式，由高h和底边m₂-m₁组成的三角形的面积为1/2*(m₂-m₁)*h。
根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积为底边乘以高，即(m₂-m₁)*h。
将两个三角形的面积和平行四边形的面积相加，得到梯形的面积公式为：1/2*(m₂-m₁)*h+(m₂-m₁)*h=(m₂-m₁)*h*(1/2+1)=(m₂-m₁)*h*3/2因此，梯形的面积可以表示为梯形的高h乘以梯形的两条中线之差m₂-m₁再乘以3/2方法三：使用角度和边长推导梯形的面积也可以使用梯形的角度和边长来推导。
假设梯形的上底为a，下底为b，高为h，两条斜边分别为c₁和c₂，两个角分别为θ₁和θ₂。
我们可以将梯形视为一个三角形和一个梯形组成。
梯形面积公式的几种推导
梯形面积公式的几种推导梯形面积是高中数学中常见的一个几何问题。
下面我将介绍几种不同的推导方法，帮助你更好地理解梯形面积的计算。
1.利用平行线的性质：我们可以利用平行线的性质来推导梯形面积公式。
假设我们有一个梯形ABCD，其中AB和CD是平行线段，h是梯形的高，AB和CD的长度分别为a和b。
为了计算梯形的面积，我们可以先将梯形分成两个三角形和一个矩形。
首先，将梯形ABCD分成两个三角形，一个是ABH，另一个是CDH。
根据三角形的面积公式，可以得到这两个三角形的面积分别为1/2*a*h和1/2*b*h。
然后，将梯形ABCD分成一个矩形和两个三角形。
矩形的高和梯形的高相等，即为h，长度等于两个平行线段的平均值，即(a+b)/2最后，将两个三角形的面积和矩形的面积相加，得到梯形ABCD的面积公式为(1/2*a*h)+(1/2*b*h)+((a+b)/2*h)。
2.利用面积相等的原理：我们可以利用面积相等的原理来推导梯形的面积公式。
假设我们有一个梯形ABCD，其中AB和CD是平行线段，AD和BC是梯形的高，AB和CD 的长度分别为a和b。
我们将梯形ABCD剖分为一个矩形和两个直角三角形。
首先，我们将梯形ABCD剖分为一个矩形和一个直角三角形。
与上面的推导类似，矩形的高和梯形的高相等，即为AD或BC，长度等于平行线段的平均值，即(a+b)/2然后，我们将梯形ABCD剖分为一个矩形和另一个直角三角形。
直角三角形的高等于梯形的高，即AD或BC，底边等于平行线段的差值，即a-b。
最后，根据面积相等的原理，我们可以得到矩形和两个直角三角形的面积之和等于梯形的面积。
矩形的面积为((a+b)/2)*AD或((a+b)/2)*BC，直角三角形的面积为(1/2*(a-b))*AD或(1/2*(a-b))*BC。
将两个矩形的面积和两个直角三角形的面积相加，得到梯形ABCD的面积公式为((a+b)/2)*AD+(1/2*(a-b))*AD或((a+b)/2)*BC+(1/2*(a-b))*BC。
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∙ ∙ ∙ ∙∙∙
（100层）
总数=（顶层数+底层数）×层数÷2
• • • • •
（1+100）×100÷2 =101×100÷2 =10100÷2 =5050 从1开始的n个连续自然数的和可以用如下 的式子表示： • (1+n)×n÷2
100以内所有奇数的和是多少？
• • • • • 1+3+5+∙∙∙ +95+97+99 =（1+99）×50÷2 =100×50÷2 =5000÷2 =2500
田忌赛马
想一想：什么变了，什么没变？
田忌的马还是那三匹马，只是改变 了马匹出场的顺序，便反败为胜。
• 我们的整数和小数四则混合运算中同样蕴 含着这样的智慧。我们可以运用计算法则 和运算定律适当改变一个算式的运算顺序 或结构，就可以使计算简便。
• 用简便算法计算 • 11 × 9.9 - 3.6 - 6.3 • 98 × 99 ÷ 2
•
•
• 0+1+2+3+4+5+∙∙∙+97+98=？（条）
1
0
2
3
4
5 6 99
（99层）
（98条）
∙ ∙ ∙ ∙∙∙
在同一平面内，任意三点都不在同一条 直线上的99个点，能确定多少条直线？
• 直线总数=底层数×层数÷2
•
• • • • • •
C总数=(n-1)×n÷2
=（99-1）×99÷2 =98×99÷2 =98×（100-1）÷2 =（9800-98）÷2 =9702÷2 =4851（条）
孙膑的智慧 • 四两拨千斤 • 例.1（小组合作，说一说，摆一摆，算一算） • 1+2+3+4+5+∙∙∙+98+99+100 • 先找到撬动千斤大石的杠杆和 支点
• 杠杆：总个数=（顶层数+底层数）×层数÷2
支点：一个梯形（或三角形）
• 1+2+3+4+5+∙∙∙+98+99+100
（100）
例2. 在同一平面内，任意三点都不在同一条 直线上的99个点，能确定多少条直线？
•
经过一点可以画无数条直 线，但不能确定一条直线。
• •
•
• •
0条 两点确定一条直线 0+1=1（条）
三点确定三条直线
0+1+2=3（条）
那四点呢？五点呢？
四个点确定6条直线
1个点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2个点
0条
0+1=1（条）
3个点
0+1+2=3（条）
• 0+1+2+3+4+5+∙∙∙+98+99 （转化成图形）
1
0
2
3
4
5 6 100
（100层）
（99条）
∙ ∙ ∙ ∙∙∙
0+1+2+3+4+5+∙∙∙+98+99=？（条）
• 直线总数=底层数×层数÷2 • =99×100÷2 • =9900÷2 • =4950（条）
在同一平面内，任意三点都不在同一 条直线上的n个点，能确定多少条直线？ • • • • • • • • 1个点 2个点 3个点 4个点 5个点 6个点 ••• n个点 0条 0+1=1（条） 0+1+2=3（条） 0+1+2+3=6(条） 0+1+2+3+4=10(条） 0+1+2+3+4+5=15(条） •••••• 0+1+2+3+4+5+•••+(n-1)=？(条）
• 0+1+2+3+4+5+∙∙∙+(n-2)+(n-1)
1
0
2
3
4
5 6 n
（n层）
（n-1条）
∙ ∙ ∙ ∙∙∙
n表示点数
在同一平面内，任意三点都不在同一条 直线上的n个点，能确定多少条直线的公式
• 直线总数=底层数×层数÷2
C总数=(n-1)×n÷2 • 在同一平面内，任意三点都不在 同一条直线上的99个点，能确定多 少条直线?
一点一滴的努力， 一尺一寸的收获。
巧借梯形和三角形面积公式
• • • • • 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 当梯形的上底为0时，它就变成了一个三角形。 三角形的面积=底×高÷2 圆木根数=（顶层根数+底层根数）×层数÷2 横截面是梯形形状的一堆有规律摆放的物体（只 计横截面）的个数可以用如下的公式表示： • 总个数=（顶层数+底层数）×层数÷2 • （或 总个数=底层数×层数÷2）（0也算一层）
抢答：
在同一平面内，任意三点都不在同一条 直线上的101个点，能确定多少条直线？
• 直线总数=底层数×层数÷2
•
• • • •
C总数=(n-1)×n÷2
=（101-1）×101÷2 =100×101÷2 =10100÷2 =5050（条）
课堂小结
• 1、这节课我们学习了哪些知识？ • 2、你有什么收获？
• •
• •
4个点 0+1+2+3=6(条）
五个点确定10条直线
1个点 2个点 0条 0+1=1（条）
3个点
0+1+2=3（条）
0+1+2+3=6(条）
• •
•
●
4个点
•
5个点
0+1+2+3+4=10(条）
讨论：你发现了什么？
每次增加的直线条数比对应的点数少1
• • • • • • • • 1个点 0条 2个点 0+1=1（条） 3个点 0+1+2=3（条） 4个点 0+1+2+3=6(条） 5个点 0+1+2+3+4=10(条） 6个点 0+1+2+3+4+5=15(条） ••• •••••• 100个点 0+1+2+3+4+5+•••+98+99=？(条）
从2到100的所有偶数的和是多少？
• • • • • 2+4+6+∙∙∙ +96+98+100 =（2+100）×50÷2 =102×50÷2 =5100÷2 =2550
从0到100的所有偶数的和是多？
• • • • • 0+2+4+6+∙∙∙ +96+98+100 =（0+100）×51÷2 =100×51÷2 =5100÷2 =2550