初高中数学衔接二次函数
初高中数学知识衔接(六)二次函数及应用
初高中数学知识衔接《二次函数的应用》
整理：键盘手
【知识要点】
1．简单的函数模型建立的基本步骤：
（1）审题——理解题意，分析条件和结论，理顺数量关系。
（2）建立函数模型——将文字语言转化成数学语言，建立相应的目标函数。
（3）求模——利用有关的函数知识，得到数学结论。
（4）还原——将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义。
2．二次函数的运用
（1）利用二次函数的性质与思想方法处理方程、不等式等问题。
（2）建立二次函数模型解决实际问题。
【典型例题】
例1．某商品的进货单价为30元。
如果按单价40元销售，能买出40个。
销售单价每涨1元，销量就减少1个。
为获得最大利润，此商品的最佳售价应定为每个多少元？
例2．一根弹簧原长15cm ，已知在挂重20N 内，弹簧的长度与所受的重力成一次函数关系。
现测得当挂重4N 时，弹簧的长度为17cm ，问当弹簧长度为22cm 时，挂重多少N？
例3．如图，灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为l ，边坡的倾斜角为 60。
1）求横断面面积y 与底宽x 的函数关系式；2）已知底宽]2
,4[l
l x ，求横断面的面积y 的最大值和最小值。
8000m，深m5的长方体蓄水池，池壁每例4．某水厂要建造一个容积为3
平方米的造价为a元，池底每平方米的造价为a2元。
1）把总造价y（元）表示为底的一边)
(m
x的函数，并指出其定义域；2）当底的一边x取何值时造价最省。
初高中知识衔接(二次函数、方程、不等式)
初高中衔接二次函数方程不等式一、明确复习目标1．掌握二次函数的图象和性质；2．掌握一元二次函数、方程、不等式的关系;3．会讨论二次方程实根分布和二次不等式的解；4．会运用数形结合、分类讨论、函数与方程以及等价转化等重要的数学思想分析解决有关二次的问题。
二．建构知识网络1．二次函数的三种表达式：一般式：；顶点式：；零点式：2．二次函数图象抛物线的开口方向，对称轴：，顶点：，最值：，单调区间：，3．二次函数在闭区间上，必有最大值和最小值，当含有参数时，要按对称轴相对于区间的位置进行讨论。
4.一元二次函数、方程、不等式之间的关系5.一元二次方程实根分布的讨论（1） 利用函数的图象、性质;（2） 利用韦达定理、判别式。
三、双基题目练练手1.已知函数f（x）=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f（1）的范围是A.f（1）≥25B.f（1）=25 ( )C.f（1）≤25D.f（1）＞252.二次函数y=x2－2（a+b）x+c2+2ab的图象的顶点在x轴上，且a、b、c 为△ABC的三边长，则△ABC为 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三D.等腰三角形3.如果函数f(x)＝x＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（ ）A. f(2)<f(1)<f(4)B. f(1)<f(2)<f(4)C. f(2)<f(4)<f(1)D. f(4)<f(2)<f(1)二、填空题4.函数f（x）=2x2－6x+1在区间［－1，1］上的最小值是______，最大值是________.5．已知函数，则的单调递增区间为简答1-4、ABA； 4、－3 9； 5、；1.对称轴 ≤－2m≤－16，∴f（1）=9－m≥25.2.顶点为（a+b，c2－a2－b2）,由已知c2－a2－b2=0.∴Rt△3．对称轴为x=2;四、经典例题做一做【例1】已知方程（1）都小于零； （2）都小于1；（3）； （4）（5）恰有一根在（1，2）区间内。
初高中衔接二次函数专题
3 二次函数 基础知识1．二次函数的三种表示方式： （1）一般式：y=ax 2 +bx+c ；（2）顶点式：y=a(x-m)2 +n （常用，便于求最值、画图）； （3）交点式： y=a(x-x 1 )(x-x 2 ) (△≥0时) ．2．若函数y=f(x)的对称轴是x=h,则对f(x)定义域内的任意x,都有f(h+x)=f(h-x);反之也成立。
3．二次方程根的分布问题，限制条件较多时可用相应抛物线位置，限制条件较少时可用韦达定理解决。
4．二次函数的最值问题（1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况：当0a >时，函数在2bx a=-处取得最小值244ac b a -，没有最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，没有最小值．求二次函数最大值或最小值的步骤：第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． （2）求二次函数在某一范围内的最值．二次函数在某区间上的最值须用配方法，含字母的函数最值可借助图象分析。
如：求2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值的步骤： 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =；第二步：讨论：（请同学们画出图像理解）（1）若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。
（2） 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论： ①02m nx +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧；②02m nx +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧。
高一数学衔接教材 二次函数y=ax+bx+c的图像和性质
城东蜊市阳光实验学校南江四中高一数学初高中衔接教材：二次函数y＝ax2＋bx ＋c 的图像和性质问题1函数y ＝ax2与y ＝x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x2，y ＝12x2，y ＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax2与y ＝x2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x2，y ＝2x2的图象． 先列表：从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x2，y ＝2x2的图象〔如图2－1所示〕，从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x2的图象可以由函数y ＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x2，y ＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax2(a≠0)的图象可以由y ＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax2(a≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2函数y ＝a(x ＋h)2＋k 与y ＝ax2的图象之间存在怎样的关系？图-2图-1同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x2的图象〔如图2－2所示〕，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状一样，位置不同〞的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的互相关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移〞；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移〞．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象的方法：由于y ＝ax2＋bx ＋c ＝a(x2＋b x a )＋c ＝a(x2＋bx a ＋224b a )＋c －24b a224()24b b aca x a a-=++， 所以，y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)具有以下性质：〔1〕当a ＞0时，函数y ＝ax2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a -．〔2〕当a ＜0时，函数y ＝ax2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a -．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．例1求二次函数y ＝－3x2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值〔或者者最小值〕，并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大〔或者者减小〕？并画出该函数的图象．解：∵y＝－3x2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x ＝－1； 顶点坐标为(－1，4)；当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x 轴交于点B 和C (，与y 轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象〔如图2－5所示〕．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更准确．例2某种产品的本钱是120元/件，试销阶段每件产品的售价x 〔元〕与产品的日销售量y 〔件〕之间关系如下表所示：为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋〔B 〕 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得k ＝－1，b ＝200． ∴y＝－x ＋200．设每天的利润为z 〔元〕，那么图－5z ＝(－x+200)(x －120)＝－x2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3把二次函数y ＝x2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x2＋bx ＋c ＝(x+2b )224b c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得b ＝－8，c ＝14．解法二：把二次函数y ＝x2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x2的图像，等价于把二次函数y ＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x2＋bx ＋c 的图像．由于把二次函数y ＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x2－8x ＋14与函数y ＝x2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要结实掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进展正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，那么是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的详细情况，选择恰当的方法来解决问题．例4函数y ＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进展讨论．解：〔1〕当a ＝－2时，函数y ＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；〔2〕当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a2；〔3〕当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；〔4〕当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进展讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 练习 1．填空题〔1〕二次函数y ＝2x2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，那么m ＝，n ＝．〔2〕二次函数y ＝x2+(m －2)x －2m ，当m ＝时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝时，函数图象经过原点．〔3〕函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x ＝时，函数取最值y ＝；当x 满足时，y 随着x 的增大而减小．2．求以下抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大〔小〕值及y 随x 的变化情况，并画出其图象．〔1〕y ＝x2－2x －3；〔2〕y ＝1＋6x －x2．4．函数y ＝－x2－2x ＋3，当自变量x 在以下取值范围内时，分别求函数的最大值或者者最小值，并求当①图－6②③函数取最大〔小〕值时所对应的自变量x的值：〔1〕x≤－2；〔2〕x≤2；〔3〕－2≤x≤1；〔4〕0≤x≤3．。
初高中数学衔接知识复习二次函数
初、高中数学衔接知识复习：二次函数一．要点回顾1． 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方得：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以由函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移而得到。
2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质：[1] 当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，函数取最小值 ．[2] 当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，函数取最大值 ．3．二次函数的三种表示方式[1]二次函数的三种表示方式：(1)．一般式： ； (2)．顶点式： ； (3)．交点式： ． 说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求．2 二次函数图像的变换----------平移二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2（C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2（ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（3）把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为 （ ）（A ）y ＝ (x ＋1)2＋1 （B ）y ＝－(x ＋1)2＋1（C ）y ＝－(x －3)2＋4 （D ）y ＝－(x －3)2＋二．题型演练例1．抛物线()21252y x =--+的顶点坐标是_________，对称轴是_________，开口向_____，当x =_______时，y 有最______值，最大值为 ________。
初高中衔接05二次函数的解析式
课题：《初高中衔接05二次函数的解析式》一 教学目标：①理解二次函数的解析式的三种表示方法；②熟练掌握利用待定系数法求解二次函数的解析式；二 教学重点：二次函数的解析式的表示方式； 三 教学难点：二次函数的解析式的灵活应用。
四 教学过程：形式 表达式优劣比较（举例说明） 一般式2()f x ax bx c =++对称轴 顶点坐标 定点式 2()()f x a x h k =-+对称轴 顶点坐标 两点式 12()()()f x a x x x x =--对称轴 顶点坐标2、例题分析例1、已知二次函数()f x 满足(2)1f =-，(1)()f x f x -=，且()f x 的最大值是8，求函数的解析式例2、已知二次函数的对称轴为x =x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式例2 已知二次函数的图象过点)0,3(-、)0,1(，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式.《初高中衔接05二次函数的解析式》作业班级 学号 姓名1．二次函数12--=ax x y 在区间[0，3]上有最小值－2，则实数a 的值为（ ）A ．－2B ．4C ．310-D ．22．函数1)3(2)(2+-+=x a ax x f 在区间[2,)-+∞上递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－3，0]B ．(]3,-∞-C ．[)0,3-D ．[－2，0]4．设二次函数)1(,0)(,)(2+<-+-=m f m f a x x x f 则若的值为（ ） A ．正数B ．负数C ．正、负不定，与m 有关D ．正、负不定，与a 有关5．若0<a ，则函数522-+=ax x y 的图形的顶点在 （ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，则函数值)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是（ ）A ．f (－1)B ．f (1)C ．f (2)D ．f (5)二、填空题7．设二次函数f (x )，对x ∈R 有)21()(f x f ≤=25，其图象与x 轴交于两点，且这两点的横坐标的立方和为19，则f (x )的解析式为8．已知二次函数12)(2++=ax ax x f 在区间[－3，2]上的最大值为4，则a 的值为9．一元二次方程22(1)(2)0x a x a +-+-=的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是10．某商品进货单价为每个8元，按10元一个销售时，每天可售出50个.如果该商品每个提高销售价1元，其每天销售量就要减少5个，为获得最大利润，则该商品最佳售价应为每个 元. 三、解答题11．已知二次函数∈++=c b a c bx ax x f ,,()(2R ）满足,1)1(,0)1(==-f f 且对任意实数x 都有)(,0)(x f x x f 求≥-的解析式.12．已知二次函数c bx ax y ++=2的图像经过点)1,1(--，其对称轴为2-=x ，且在x轴上截得的线段长为22，求函数的解析式13．已知22444)(a a ax x x f --+-=在区间[0，1]内有最大值－5，求a 的值. 14．函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当22)(,0x x x f x -=≥时，（Ⅰ）求x <0时，)(x f 的解析式；（Ⅱ）问是否存在这样的正数a ，b ，当)(,],[x f b a x 时∈的值域为]1,1[ab ？若存在，求出所有的a ，b 的值；若不存在说明理由.15．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用左图的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用右图的抛物线段表示.（Ⅰ）写出左图表示的市场售价与时间的函数关系P=f (t)；写出右图表示的种植成 本与时间的函数关系式Q=g(t)；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大.（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天）《答案与解析》一、选择题1.D2.C3.A4.B5.B6.B 二、填空题7．24442++-x x ； 8．－3或83； 9．－2<a <0； 10．14 三、解答题11．由,21,210)1(1)1(=+=⇒⎩⎨⎧=+-=-=++=c a b c b a f c b a f ∵对∈x R ， ,1610,00021)(2⎪⎩⎪⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≤∆>⇒≥+-=-ac c a a c x ax x x f而c a ac ac ac c a ==∴≤⇒≥+=且161,161221，∴;4)1(412141)(22+=++=x x x x f12．∵a >0，∴f(x)对称轴min 0,[()](1)1;2ax f x f a b =-<∴==-⇒= ①当;,11)1()]([,212m ax 不合时即=⇒=-=≥-≤-a f x f a a②当,2221)2()]([,20,021m ax +-=⇒=-=<<<-<-a af x f a a 时即∴212-=-=ax .综上，当.1)]([,21;1)]([,1m ax m in =-=-==x f x x f x 时当时 13．∵f(x)的对称轴为,20ax =①当;455)2()]([20,120m ax =⇒-==≤≤≤≤a a f x f a a 时即 ②当;5,54)0()]([02m ax -=⇒-=--==<a a a f x f a 时 ③当1,54)1()]([22m ax ±=∴-=--==>a a f x f a 时不合； 综上，.545-==a a 或 14．（Ⅰ）当;2)(,02x x x f x +=<时（Ⅱ）∵当,11)1()(,02≤+--=>x x f x 时若存在这样的正数a ，b ，则当,111)]([,],[m ax ≥⇒≤=∈a ax f b a x 时 ∴f(x)在[a ，b]内单调递减，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+-==a a x f a b b b f b2)(12)(122b a ,⇒是方程01223=+-x x 的两正根，.251,1,251,1,0)1)(1(1221223+==∴+==∴=---=+-b a x x x x x x x 15．（Ⅰ）,100)150()(;300200,30022000,300)(2+-=⎩⎨⎧≤<-≤≤-=t a t g t t t t t f 设将（50，150）代入得;3000,100)150(2001)(2≤≤+-=t t t g （Ⅱ）设时刻t 的纯收益为),()()(t g t f t h -= ①当,100)50(20012175212001)(,200022+--=++-=≤≤t t t t h t 时 ∴当t=50时;100)]([m ax =t h ②当200,100)350(200121025272001)(,30022+--=-+-=≤<t t t t h t 时 ∴当t=300时取最大值87.5<100；故第50天时上市最好.。
初高中衔接07二次函数与二次方程
课题：《初高中衔接07二次函数与一元二次方程》一 教学目标：① 会用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的情况． ② 弄清二次函数的零点与方程根的关系．③ 渗透数形结合思想和函数与方程的相互转化的数学思想方法．二 教学重点：函数与方程的关系．三 教学难点：数形结合思想和函数与方程的相互转化的数学思想方法． 四 教学过程：1、复习引入（由学生讨论完成）问题1 不解方程如何判断一元二次方)0(02≠=++a c bx ax 程解的情况． 问题2 画出二次函数322--=x x y 的图象，并指出x 取哪些值时0=y ．2、建构数学▲探究函数22▲函数零点的概念：对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做)(x f y =的零点； 0)(=x f 有实数根⇔)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔)(x f y=有零点．3、例题分析例1 右图是定义R ① )(x f y =② ()y f x =例2 （1）函数12)(-=x x f 在区间)1,0(上是否存在零点？（2）函数732)(2-+=x x x f 在区间)2,3(--、)2,1(上是否存在零点？观察：)1()0(f f 值的符号特点；)2()3(--f f 、)2()1(f f 值的符号特点。
结论：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
（即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ．这个c 也就是方程0)(=x f 的根。
）思考：① 若)(x f y =在],[b a 上是单调函数，且0)()(<b f a f ，则)(x f y =在],[b a 上的零点情况如何？② 若0x 是二次函数)(x f y =的零点，且n x m <<0，则0)()(<n f m f 一定成立吗？4、随堂练习1、分别指出下列各图象对应的二次函数2y ax bx c =++中,,,a b c ∆与0的大小关系：（1）a 0，b 0，c 0，∆ 0； （2）a 0，b 0，c 0，∆ 0； 2、判断函数12)(2--=x x x f 在区间)3,2(上是否存在零点。
基于数学核心素养的初高中知识衔接探究——以“二次函数、二次方程、二次不等式”为例
基于数学核心素养的初高中知识衔接探究——以“二次函数、二次方程、二次不等式”为例1 问题提出在读学生、毕业生经常问“高中学函数有什么用，日常买个水果又用不到函数，小学知识就够了，为什么还要学这么多函数来折磨我们！”初中数学直观、具体，高中数学抽象，由初中学段步入高中学段，学生有很多方面不适应：由直观向抽象过渡的不适应，由自然语言表达向图形语言、符号语言表达转换的不适应，课堂容量激增的不适应，思维方式的不适应等，造成高中数学学习困难。
教师应针对这这些不适应帮助学生完成从初中数学到高中数学学习的过渡,包括知识与技能、方法与习惯、能力与态度等万面。
这些方面是高中数学核心素养集中体现。
2 数学核心素养高中数学课程以学生发展为本,落实立德树人根本任务,培育科学精神和创新意识,提升数学学科核心素养。
高中数学课程面向全体学生,实现: 人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展[1]。
2016年以来，“核心素养”为教育界关注的焦点。
“数学核心素养”也备受瞩目，数学核心素养包含数学思维方式、数学关键能力以及通过数学活动进行人格养成等三个部分。
教师特别关注的“数学关键能力”则归纳为数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等六个方面。
这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体。
“数学核心素养”的界定反映了数十年我国对数学教育目标的共识[2]。
史宁中教授：数学教育的终极目标会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界[3]。
在教学中，根据具体情境抽象出数学模型，也就是用数学的眼光观察世界，这是教学上的难点。
前面学生提出的问题“高中学函数有什么用，日常买个水果又用不到函数，小学知识就够了，为什么还要学这么多函数来折磨我们！”反映出学生不能用数学的眼光观察世界。
回答这一问题引用实例：如果你们家是卖文具的，假如一本精美手账本进价40元，定价为60元，每周可以卖出300本，如果每涨价1元，每周少卖10本；每降价1元，每周可多卖20本。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
问题4、二次函数最值的应用
• 例4：当x≥0时，求函数y=-x(2-x）的取值范围。 • 分析：结合二次函数图像解答
• 答案：
y 1
•
• 答案：变式1：x=1时，最大值为-1 • x=-2时，最小值为-5 • 变式2：t+1<1，即t<0时，最小值为
问题5、二次不等式的求解
• 例5：已知二次函数y=x2-x-6，当取x何值时，y=0？当取x何值时，y＜0？ • 分析：结合二次函数图像解答： • 答案：y=0,x=3,x=-2 • -2<x<3
• 点评：二次不等式解答的口诀：
•
• 答案：变式1： • （1）-2<x<4 (2)x=2
• 变式2：k>1
(3)无
问题6、二次函数的实际应用
• 例6：某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种 商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x(元）满足一次函数 m=162-3x，30≤x≤54. • （1）写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间 的函数关系式； • （2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定位 多少最合适？最大销售利润为多少?
（3）-1972 （4）4 502
• 点评：总结根与系数关系的变化：
问题三：二次函数解析式的求法
• 例3：已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上， 并且图象经过点(3,-1），求二次函数的解析式。 • 分析：注意二次函数解析式的形式 • 解： • 答案：
3 y ( x 1) 2 2 4
•
• 答案：（1）无（2）x=a-1或1(a=2)
a=2时x=1
• 点评：当二次方程系数含参数求根时，需注意什么：判别式
问题二：韦达定理的应用
• • 分析：用两种方法解答
3 • 答案：另一根为 5
k=-7
•
• 答案： • 变式1：m=-1或17 • 变式2：（1）4018 （2）
2 2007
• 答案：
巩固练习：（同学们自己练习）
第三讲 一元二次方程与二 次函数
主讲人：刘芳
知识清单
一、二次方程 （1）一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0） （2）二次方根（实数根）的求法
根的个数
两个
一个
无
判别式△
△>0
△=0
△<0
方法
常用：①求根公式 ②十字因式分解法
③配方法（常用）
• （3）公式记忆 • ①△= b 2 4ac
•
• 答案： • 变式1：y=-2x2+12x-8 • 变式2：b=-8,c=14
• 点评：当选择二次函数解析式的形式时，应该注意的条件式什么。 • 请总结：（1）过三个普通点，设普通方程 • （2）若有两个点是与x轴的交点，设两根式 • （3）若有一个点是顶点，设方程的顶点式 • 设方程时注意点（0，c）。
b b 2 4ac 2a
• ②求根公式
c b x1 x2 , x1 x2 a a • ③根与系数（韦达定理）
• 二次不等式口诀：大于取两边，小于取中间 • 二次函数的形式： • ①一般式： • ②顶点式： • ③两根式：
பைடு நூலகம் •
• 答案 • （1）x=0或-4 （2）x=0或3 （3）x=0或x=1 （4）x=1或-4 • 点评：写出每个分解的方法