集合论和中国的发展

论文标题:集合论思想的演变及在当代中国的发展

论文作者姜玉声/朱焕志

论文关键词,论文来源自然辩证法研究,论文单位京,点击次数148,论文页数031-037页1995年1995月论文网https://www.360docs.net/doc/357016317.html,/paper_143662921/

集合论自上世纪７０年代由德国数学家G.Cantor创立以来，不断促进着许多数学分科的发展，并成为全部现代数学的基础。然而，近３０年来又相继出现了Fuzzy集合论与可拓集合论。为说明这两种集合论的产生在数学史中的意义，理清集合论思想演变的脉络，弘扬我国学者在这一发展中的创造精神，本文拟在简要回顾集合论思想从Cantor到Fuzzy的演变的基础上，就可拓集合论的产生与发展加以分析、研讨集合论思想发展的规律，谈谈我们的浅见。

１集合论思想从Cantor到Fuzzy的演变

长期以来，人们利用数学处理问题的主导思想通常是“枝是枝，蔓是蔓”，不允许半点儿“含混”，语言的“准确”，推理的“严格”，结论的“确定”从来天经地义。［（１）ａ］数学中的这种传统观念，把人们的思想局限在“确定性”的小天地里。所谓“确定性”，它要求概念有明确的外延，逻辑上严格地遵从形式逻辑的四条基本规律，结论只能是唯一确定的。与这种观念相适应，数学中便产生了Cantor集合论。

众所周知，集合是数学中的一个不定义概念。所谓集合，是指具有某种特定属性的对象的全体，集合中的每一个体（对象）叫做集合的元素。按Cantor的集合论，一个元素ｘ与一个集合Ａ的关系只能有属于（记作∈）和不属于（记作 ）两种，二者必居其一且仅居其一，即

ｘ∈Ａ或ｘ Ａ。如表为特征函数的形式，记集合Ａ的特征函数为Ｃ［，Ａ］（ｘ），则有在长时间里，这种集合论思想占据统治地位，可以说整个传统数学［（２）ａ］就建立在这种集合论的基础上。实践表明，Cantor的集合论在研究确定性事物的范围内显现着巨大作用，其光辉是永不磨灭的。

然而，随着社会的发展，人类的知识视野和研究领域不断扩大，需要探讨的问题加速度地增加着。于是，不确定性现象，特别是其中的模糊性现象，逐渐被人们意识。具体地说，近几十年来，学者们不断发觉，某些现象呈现出不确定性，是由于概念本身就没有明确的外延，逻辑上并不严格遵从传统的排中律，表现为客观事物在差异的中介过渡中所呈现的“亦此亦彼”性。例如，人的年轻与年老、环境的清洁与脏污及天气的晴与阴等许多对立概念之间，都没有绝对分明的界限。严格地说，这些概念都没有明确的外延。若按这些概念去确定“集合”，则相应的“集合”都没有清晰的边界，一个元素是否属于某个“集合”不是很分明的。当然，如果数学家同意把这样的“集合”仍称为集合的话，则这种集合已经不是Cantor意义下的经典集合了。一个对象对于一个这样的集合，除可以属于和不属于外，还可以有某种程度的属于或不属于，而且后者才是更一般的情形。譬如，若用年轻人这个概念构造这种集合，要问一个人是否属于这个集合，即是否年轻，则除了年轻和不年轻这两个极端情形外，还要遇到比较年轻、基本年轻等不少中间过渡的档次，且每一档次内还可细分更小的档次。这就是事物的模糊性。为了研究和处理模糊性事物，美国控制论专家L.A.Zadeh教授于１９６５年提出了Fuzzy集合论。

Fuzzy集合论的基本思想较集中地体现在下面的开创性概念中：所谓给定了论域Ｕ上的一个模糊子集Α，是指对于任意的ｕ∈Ｕ，都指定了一个数μ （ｕ）∈〔０，１〕，用它来表示ｕ对Ａ的隶属程度，叫ｕ对 的隶属度。映射叫做 的隶属函数。［（１）］有了这个概

念，人们便可用区间〔０，１〕上的数表征模糊子集的元素、用普通映射描述和刻划模糊子集了。这就从根本上建立了模糊性与分明性的联系，为借助分明性研究和处理事物的模糊性奠定了基础。随后给出的模糊子集的截集概念及所证明的分解定理进一步架起了普通子集与模糊子集间的桥梁，引入的扩展原理把集合间的映射扩展到了Fuzzy集合论。［（２）］一门崭新的集合理论，就从这些关键步骤起步，开始了它的发展史。

当然，一门新理论的产生，常源于相应旧理论内在矛盾的被发现，被意识。而旧理论内在矛盾被深刻意识，被重视，常须伴随社会科技实践的迫切需要。不言而喻，随着科学技术的发展，含大量模糊性概念（即无明确外延的概念）的学科迫切要求定量化、数学化的趋势，用电子计算机模拟人脑思维方法的需要，以及今日世界待研究的事物日益复杂，而复杂的东西常难于精确化，更难于用传统的数学方法处理等事实，加速暴露和使人们重视了Cantor 集合论不适于描述模糊性事物的弱点。于是，以事物模糊性的存在为客观基础，以Cantor 集合论不能描述模糊性事物的弱点为原动力，以上述实际需要为直接背景，这一崭新的Fuzzy集合论便届时产生，迅速发展，初露锋芒。不仅在理论上已伸向各数学分科，而且在图象识别、人工智能、自动控制、信息处理、心理学、社会学、生态学、语言学、经济管理、环境科学及医疗诊断等研究领域得到了广泛的应用。［（３）］

２可拓集合论的产生与发展

可是，仅有Cantor集合论与Fuzzy集合论还描述不了和不能借以研究现实存在着的许多事物，仍然满足不了日益广泛的科技实践的需要。

就客观现实而言，许多事物均可按某性质Ｐ一分为二，其中不具有性质Ｐ的又可分为在一定条件下可转化为具有性质Ｐ的和不能转化为具有该性质的两类。例如检验工人生产的产品，有合格品与不合格品；在一定的加工前提下，不合格品又分为可经返工以达合格的产品和返工也不能合格的废品。又如选送适于从事某项工作的人才，有符合条件入选的，有不符合条件落选的，其中落选的又分为经一定时间的培养与自身努力创造条件将来可入选的和因本人素质等原因即或长期培养也不适合从事该项工作的两类。这类例子所反映的现实正体现着辩证法关于矛盾转化和内外因关系的思想。然而，Cantor集合论与Fuzzy集合论都无法描述这类问题。实际上，尽管这两种集合论本质不同，但它们都只能描述静态的事物，而无法描述在一定条件下“非”与“是”互相转化的情形。因此，第三种集合论的问世，只是时间早晚的问题，其诞生已成为必然。

就可拓集合论创始人蔡文研究员的科技实践而言，他在创立新学科物元分析的过程中，为了找到处理矛盾问题的数学工具，建立了可拓集合的理论。这里需要解释的是：矛盾问题是指其中存在着不相容的两个部分的问题，主观愿望与客观条件相矛盾的问题是它的一个重要类型，称不相容问题；物元分析是研究解决矛盾问题的规律和方法的新兴学科，其中心是研究人们“出点子，想办法”的规律、理论和方法。［（４）］［（５）］

早在１９７６年，蔡文就开始了这项颇有意义的工作。他先是回忆起与工人师傅们共搬配电盘入电工房的情景，本来配电盘比门高进不去，这按传统数学的逻辑，属于不相容问题，是不能解决的，但他们将其放倒，即将配电盘的高度和长度来一个“变换”，便轻而易举地解决了问题。他想，一向被视为高深莫测的传统数学却不去研究这种变换，看来传统数学只适用于所遇的条件与给定的目标互不矛盾的问题。像解决配电盘进屋这类不相容问题有无规律可循，能否为其建立数学模型呢？他联想到三国时代曹冲称象的故事和两千年前阿基米德计算王冠体积的巧妙方法，理出了思路：这都是对事物的某种因素进行了变换，一个朦胧的思绪在头脑中形成！［（６）］还是吴学谋教授文章中的话使他这个朦胧的思绪清晰起来，“人们不但要发展纯粹的数理逻辑，而且有必要研究容许一定矛盾前提的逻辑。”［（７）］实际上，他寻求的解决不相容问题乃至一般的矛盾问题的规律，正是这种有“一定矛盾前提的逻辑”。蔡文发现：传统数学解决不了矛盾问题，是因为它只就事物某特征的量值关系进行研究，而

不同时考虑事物本身及其特征两个要素。于是他引入

（事物，特征，量值）这个有序三元组，作为描述事物的基本元，称为物元。他指出：任何问题都可利用物元来描述；解决矛盾问题的关键，就在于对物元进行变换。为给物元变换建立数学模型，必须有适应这种思想的集合理论。如前所述，Cantor集合论和Fuzzy集合论都无法描述“非”与“是”互相转化的情形。面对以往的数学宝库中并无现成工具，蔡文只好在这里开拓，创造新的数学工具，以解决所论问题。这个新数学工具就是可拓集合论。［（８）］

可拓集合论的基本思想充分体现在下面的开创性概念中：所谓在某限制下给定了论域ｕ上的一个可拓集合 ，是指对于任意的ｕ∈Ｕ，都规定了一个实数Ｋ （ｕ）∈（－∞，＋∞），用它表示ｕ对 的关系，叫ｕ对 的关联度。映射

Ｋ ：ｕ→（－∞，＋∞）

ｕ→Ｋ （ｕ）叫做 的关联函数。这里，Ｋ （ｕ）≥０表示ｕ属于普通子集Ｘ，称

Ｘ＝｛ｕ｜Ｋ （ｕ）≥０，ｕ∈Ｕ｝［（１）ｂ］为 的经典域；－｜≤Ｋ （ｕ）＜０表示ｕ∈Ｘ，但在所论限制下，ｕ能变为ｙ∈Ｘ，称

＝｛ｕ｜－１≤Ｋ （ｕ）＜０，ｕ∈Ｕ｝为 的可拓域；Ｋ （ｕ）＜－１表示ｕ∈Ｘ，且在所论限制下不能变为ｙ∈Ｘ，称

＝｛ｕ｜Ｋ （ｕ）＜－１，ｕ∈Ｕ｝为 的非域。［（９）］［（２）ｂ］例如，若车床加工某轴的规格是直径ｄ＝５０±０．０１（毫米），则检验的标准是：凡符合条件

４９．９９≤ｄ≤５０．０１的为合格品，这样的轴属经典域。凡不符合上列条件的为不合格品，其中ｄ＞５０．０１的轴为可经返工变为合格的产品，这样的轴属可拓域；ｄ＜４９．９９的轴为废品，这样的轴属非域。

这样一来，人们便可利用可拓集合，讨论在一定条件（外因）下，对象集（即论域）内不属于经典子集（即经典域），而根据其内因能转化到该子集内的元素（即可拓域内的元素），用关联函数值的大小表征元素对集合的依赖程度及元素间的层次关系。特别地，当可拓集合的元素是物元时，便构成了物元可拓集。物元可拓集的每个元素都有自己的内部结构，都是一事物既包含量的方面，又体现质的方面，并将两者有机结合的统一体，且其内部结构并非一成不变，内部结构的变化则导至元素在集合中的“地位”改变。于是，物元可拓集便能较合理地描述自然现象和社会现象中各种事物的内在情形、彼此关系及它们的变化。［（１１）］明显地，这就充分体现了辩证法关于矛盾转化及内外因关系的思想，给出了便于描述“非”与“是”互相转化的集合理论，也为人们解决矛盾问题提供了数学工具。一门当代最新的集合理论，就从这里开始，建立了自己的概念、关系、运算及变换，展开了它的前程。

蔡文这一研究方向的开创性论文《可拓集合和不相容问题》［（１２）］在１９８３年发表于《科学探索学报》。这篇论文的发表宣告了可拓集合论的诞生，标志着新学科物元分析从孕育阶段进入了初创阶段。［（１３）］该文发表以后，有中国模糊数学学会副理事长汪培庄教授、国家科委总工程师传凯教授、中国船舶工业总公司第７０９研究所研究员吴学谋教授、辽宁师范大学校长方嘉琳教授等１４位专家陆续写出书面鉴定，肯定了这项研究。不少专家认为，该文提出了一门新学科，很有发展前途。汪培庄指出：物元分析是“一门介于数学和实验科学之间的新学科”“可拓集合就是以物元分析为背景而提出的一种集合描述形式，它比Zadeh提出的Fuzzy集合的思想有更新更值得探讨的地方。”［（１４）］方嘉琳指出：“理论如能进一步发展，将可对解决生产与生活中的难题，提供一个有力的数学工具。”（摘自评审意见）１９８７年，蔡文的专著《物元分析》［（１５）］出版。１９８９年，由钱三强教授题写书名、张俊心等主编的《软科学手册》正式把物元分析作为中国人提出的新学科列

入，并作了细致介绍。［（１６）］同年，叶雅阁等主编的《决策科学手册》“把可拓决策”作为第１６章列入，详细讲解了用物元分析处理决策问题的方法，即可拓决策方法。［（１７）］１９９０年，钱伟长教授主编的《ADV ANCES IN APPLIED MA THEMA TICS AND MECHANICS IN CHINA》（《中国应用数学与力学进展》），收集了我国学者近年来有成就的论文，把《The Extension Set and Non-compatible Problems》（《可拓集合和不相容问题》的英文稿）列为论文集第一篇［（１８）］，向国外学术界介绍。１９９４年，蔡文的第二本专著《物元模型及其应用》［（１９）］出版。该书的完成，确定了新学科的研究范围，必须采取的范畴，解决问题的技术手段和研究途径，初步形成了解决问题的方案。它标志着新学科的创建已由初创阶段转入完成阶段。［（２０）］据了解，近十年来已逐渐吸引了数学、哲学、思维科学和一些应用学科的学者参与研究，并聚集在其学术组织中国现代设计法研究会物元分析学会周围，开展扎实的学术活动。目前，他们正拟把已提出的理论系统化，阐明新学科与邻近学科的关系，论证新学科独特的研究对象、方法和意义。［（２１）］几年来，把物元分析应用于价值工程［（２２）］、宏观决策［（２３）］、新产品构思［（２４）］等方面取得了可喜的成果。例如，１９８４年，把物元分析与价值工程相结合，帮助广州南中塑料厂等七家工厂制定提高效益的方案，使他们获得了高额的经济利益［（２５）］；１９８６年，利用可拓决策方法做出了广东省２０００年环境保护投资的预测研究［（２６）］；１９８９至１９９０年，把“决策系统中处理矛盾冲突问题的规律研究”［（２７）］的理论成果用于分析广州经济，制定了广州发展高技术的决策方案［（２８）］等，都是典型的应用成果。同时，物元分析在经济管理、决策分析、人工智能、系统科学等许多领域显现了广阔的应用前景，它有可能对描述灵感思维，对辩证哲学的精细化做出新的贡献。［（２９）］由于可拓集合论是物元分析赖以存在的数学基础和定量化的工具，所以我们自然要说，物元分析在实际中取得成效，也间接地实现了可拓集合理论的价值。

当然，谈到可拓集合理论的价值，在数学基础方面有效地避免了Russell悖论一项是不可低估的。自然科学界周知，数学分析完整、可靠的严密理论体系的建立，结束了微积分基础的论战，使数学家松了一口气。于是，当时的大数学家H.Poincoare在１９００年于巴黎召开的第二届国际数学家大会上郑重宣布：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到了。”［（３０）］然而事隔不到三年，英国数学家B.A.W.Russell便提出了关于集合论相容性的悖论，即著名的Russell悖论。具体地说，试把一切集合分为两类，自己为自己的元素者作为甲类，用记号表示就是

Ｍ∈Ｍ Ｍ 甲；（１）自己不是自己的元素者作为乙类，用记号表示就是

Ｍ Ｍ M 乙。（２）这样，似乎任何集合或属甲类，或属乙类，二者必居其一，且仅居其一。然而如问：由乙类集合的全体组成的集合Ｑ应属于哪一类呢？若Ｑ∈甲，则由（１）得Ｑ∈Ｑ，即Ｑ∈乙，这是不可能的；若Ｑ∈乙，则由（２）得Ｑ Ｑ，即Ｑ 乙，也是不可能的。这就使Cantor集合论处于左右为难、自相矛盾的尴尬境地。

Russell悖论震惊了当时的整个数学界，震憾了“数学大厦”，使其基础中的裂痕暴露于世人面前。

为解决这一悖论问题，逻辑主义学派、直觉主义学派和形式主义学派的许多学者都做了大量的工作，并由之导致了数理逻辑学科的蓬勃发展。还是E·Zermelo的公理集合论，经AA.Fraenkel等的改进形成的所谓乙Ｆ系统，能避开原有的悖论，确实给人以安慰。但如不加进选择公理就会导至一些怪定理的证出；如加进选择公理构成ZFC系统，虽K·Godel已证明ZF系统与选择公理彼此相容，可选择公理能导至分球奇论，ZFC系统的无矛盾性还没有解决。这就是说，Russell悖论引起的数学基础的裂痕至今尚无法消除，成了数学史上有

名的悬案。［（３１）］［（３２）］然而，正如数理逻辑专家朱梧ｊｉǎ＠②教授所言，可拓集合概念的提出，为避免出现Russell悖论问题提供了一条可行的新途径。［（３３）］关于这一点，蔡文在其专著《物元分析》中已经给出证明。［（３４）］

为什么在Cantor集合论里会出现Russell悖论，而在可拓集合论里就不会出现这个悖论呢？就认识论看，正如徐利治教授所指出的：“产生悖论的根本原因，无非是人的认识与客观实际以及认识客观世界的方法与客观规律的矛盾。这种直接和间接的矛盾在某一点上的集中表现就是悖论。”［（３５）］具体谈到Russell悖论，他接着说：“产生罗素悖论的原因乃在于概括原则造集的任意性与生成集合的客观规则的非任意性之间的矛盾，这就表现为认识世界的方法与客观规律之间的矛盾，这是一种间接的主客观矛盾，一定历史阶段中人的主观认识与客观实际之间的矛盾”［（３６）］，Russell悖论正是这种矛盾在Cantor集合论里的集中表现。笔者认为，由于在自然界和现实生活中存在着大量的既“是”又“非”的事物，而Cantor 集合论的造集原则恰恰相反，要求绝对的是非分明，这一主观上的规定与客观实际之间的矛盾，就是产生Russell悖论的具体原因。然而，可拓集合论承认临界元素，用它们描述既是又非的事物，从而避免了Russell悖论。这就使数学基础中围绕Russell悖论问题的争论、探讨又迈出了可喜的一步。当然，就科学历史的长河而言，人类认识世界逐步深化的过程不会完结，悖论产生和排除的历史也不会完结。可拓集合论中会不会出现别的悖论，只能在这一集合理论今后的发展中去回答。但须知，即或出现了悖论也不必大惊小怪，它将作为一种动力，使集合论思想向更高的层次发展。

３对集合论思想演变的浅思

集合论作为描述人脑思维对客观事物的识别和分类的数学方法，由于客观事物纷纭复杂，并具有确定、模糊、可变等多种属性，所以其识别与分类的模式也不可能是唯一的。这是集合论多样性的必然性。然而，人类的认识只能随着社会及科学的发展，逐步突破传统观念的各种局限，这就形成了集合论思想的自然演变过程。

回顾这个演变过程，我们看到：Cantor集合论属原始的、最基本的集合理论，Fuzzy集合论和可拓集合论的开创性概念都要借助于它的概念定义。Cantor的集合论开创了用集合描述概念、性质、运算以至变换，并从而可用集合表现判断和推理的先例，使建立在其基础上的传统数学得以描述和表现各门学科的语言和系统，使数学不断成功地运用于各个领域。Cantor集合论的创立是数学史上的光辉一页，没有Cantor的集合论，就不可能发展出后两种集合论，这个历史的顺序绝非偶然。

Fuzzy集合论的问世，使数学开始摆脱Cantor集合论思想的束缚，宣告了集合论的多样性，促进了数学家学术思想的开放，为后来可拓集合论的诞生，甚至今后更多种集合论的可能出现准备了思想条件，并树立了样板。

Fuzzy集合论的产生与发展，使数学继随机数学的出现之后，又一次跨越了确定性的研究范围，步入了事物模糊性的领域，冲破了形而上学“非此即彼”思想的禁锢，发现了形式逻辑排中律的一种亏缺，突破了传统的分明关系，确立了更为广义的“隶属规律”［（３７）］。从而使一门崭新的数学分支——模糊数学应运产生，形成体系，不断为各门科学提供着更适合的数学工具。

可拓集合论的产生与初步发展，使数学第三次跨越了确定性研究范围，步入了事物可变性的领域，冲破了形而上学孤立、静止观的思想禁锢，以定量形式统一补充了形式逻辑同一律和矛盾律的亏缺，同时突破了这两条逻辑规律的束缚［（３８）］，将辩证法关于矛盾转化及质与量互相转化的思想引入数学。可望一门当代最新的数学分支——可拓数学，在相对长久的未来会逐渐形成体系，从而使数学有可能为各门科学不仅仅解决量变范围的问题，而且能有效地解决质变范围的问题。

在这三种集合论里，Cantor集合论最为成熟，Fuzzy集合论业已打开局面，可拓集合论

尚处在幼年时期。然而，尽管后者的发展历史不长，但从它问世的那天起，就紧密地与人们解决矛盾问题等的实际应用联系在一起，是人们的科技实践给了它问世的权利、生存的意义和必将长足发展的潜力。随着科学技术的发展，这种当代最新的集合理论一定会被更多的人认识、接受，在更广泛的领域里运用，寓人们的科技实践中不断充实、完善。可以预料，未来将出现以后两种集合论为基础形成的模糊数学、可拓数学与传统的经典数学一起，共同为各门科学、各个研究领域提供数学工具的新纪元。

４简要的结语

上面的思考使我们觉察了一条规律，即集合论思想每前进一步，都伴随着人们哲学思想的解放，都以事物相应属性的存在为客观基础，以体现直接背景的实际需要为推动力，其结果都将产生相应的数学分支，而这种新分支一经产生，便逐渐呈现出其强大的生命力，并直接或间接地应用于各个领域。特别地，上述后两种集合论产生所伴随的思想解放，其内容都是唯物辩证法冲破形而上学的禁锢；从思维规律看，都表现为辩证逻辑突破形式逻辑狭窄界限的束缚。因此，我们不能不说，３０年来Fuzzy集合论和可拓集合论的相继问世，不仅是数学本身的发展，也是辩证法和逻辑学的运用成效。

当然，Fuzzy集合论与可拓集合论并没有也不可能结束集合论思想的发展，它们本身也还在发展中。人类的历史没有完结，集合论思想的发展也不会完结。现有的三种集合论将伴随其理论及应用价值的不断实现，永远共存下去。随着社会与科学技术的发展，人们还可能发现这三种集合论都不便描述的事物，从而导致第四种、第五种甚至更多种集合理论的诞生。今后，在集合论思想继续演变的过程中，也或许会出现几种集合论思想的交叉，也可能会发觉某几种集合论的悖论或遇到其它曲折，但历史发展的总趋势是前进，各种集合论将在科技实践的考验和锤炼中充实、完善、发展以至更新、取舍，在数学乃至更广泛的领域里，不断放射出其思想的光辉。

考察集合论思想发展的历程，我们感到，中国学者的工作是重要的和举足轻重的。

就Fuzzy集合论而言，自７０年代中期以来，国内便逐渐形成了一支研究队伍，学术思想活跃，理论及应用成果显著，早已赢得国际同行们的好评。正如其创始人L.A.Zadeh所说：“中国的数学家、科学家和工程师对模糊集论的几乎各个方面以及这个理论的应用都做出了重要贡献\。”西方世界“充分意识到中国研究人员的先驱性的工作。”［（３９）］中国模糊数学界所取得的一系列成果，本身就是在为集合论思想的发展贡献力量。

就可拓集合论而言，它本来就是由中国学者蔡文所创始，并由以他为学科带头人的一支研究队伍不断地探索、耕耘，努力地完善它、发展它、应用它。我们欣喜地看到，一门扎根于我们自己土壤上的崭新的集合理论及以其为数学工具的物元分析学科在我们伟大的祖国被开拓出来，并不断成长、壮大。这一研究工作从一个人到一批人，从一个省市到二十几个省市，并扩展到港澳地区和美日等国。据了解，１９８７年蔡文被国家科委授予“国家级有突出贡献的专家”称号，１９９１年被列入《中国当代名人录》；近年来，又被英国剑桥国际传记中心授予“１９９１—１９９２国际人物”的称号，被美国传记学会列为四分之一世纪中世界上“五百个有影响的先驱者”之一。这一切正表明国内外对可拓集合理论的肯定，对物元分析新学科研究工作的支持、赞佩。可以深信，不久的将来，一个由中国人创立的崭新的理论及学科将屹立在世界科学之林。［（１）ａ］这里的“含混”、“准确”、“严格”、“确定”均按确定性范围内的传统意义理解。［（２）ａ］这里的“传统数学”是指不涉及Fuzzy集合论与可拓集合论的全部数学知识。［（１）ｂ］有时，Ｋ （ｕ）＝０的元素ｕ同时属于经典域和可拓域，即ｕ∈Ｘ且ｕ∈ 。这时，称ｕ为临界元素。当Ｋ （ｕ）＝－１时，也有类似情形。［（２）ｂ］这里介绍的可拓集合定义是简单形式的。目前，一般采用结合变换形式的定义。

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