随机过程PPT教学课件1
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通信原理-随机过程课件
一个随机过程在时间上是否具有某种 稳定的统计特性。如果一个随机过程 在长时间观察下表现出稳定的统计特 性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
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随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
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CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
概率统计及随机过程课件 第一章第一节
本课程学习, 只学习基本的问题,基本的思想方法, 基本的知识,基本的技巧.
基本要求：
(1)要求我每次上课至少提前五分钟到达教室,准备好上课;
(2)要求同学们按时来上课、听课, 遵守课堂纪律, 保持安静,不影响大家听讲;
(3)课前适当预习,上课时认真听课,课后及时复习,必要 时,要经常复习用到的高等数学有关知识原理;
变量非线性生灭过程； 8. 许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、
机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购
物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型 来描述，其涉及到 的知识就是 排队论.
目前，概率统计理论 进入其他科学领域的 趋势还在不断发展. 在社会科学领域 ，特别是 经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问 题，都大量采用 概率统计方法. 正如 拉普拉斯 所说 : “ 生活中最重要的问题 ，其中绝大多数 在实质上只是概率的问题.”
例1 给出一组随机试验及相应的样本空间
投一枚硬币，观察正面反面出现的情况
投一枚硬币3次，观察正面反面出现的 情况
投一枚硬币3次，观察正面反面出现的 次数
投一颗骰子，观察向上一面出现的点数 有限样本空间
观察电话总机每天9:00~10:00接到的电话 次数
观察某地区每天的最高温度与最低温度 无限样本空间
1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预 测都与 概率论 紧密相关；
2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在 临床中应用，均需要用到 假设检验；
3. 寻求最佳生产方案要进行 实验设计 和 数据处理；
4. 电子系统的设计离不开 可靠性估计; 5. 探讨太阳黑子的规律时，时间序列分析 方法非常有用; 6. 研究化学反应的时变率，要以 马尔可夫 过程 来描述; 7. 在生物学中研究群体的增长问题时 提出 了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多
随机过程第一章课件
5.2 随机过程分类和举例
【二】举例:
【例二】参数连续离散型随机过程：脉冲数字通信系统。 该系统传送的信 号是脉宽为 T0 的脉冲信号，每隔 T0 送出一个脉冲。脉冲幅度X t 是一个随机变量，它可能取四个值 2,1,1,2 ，且取这四个值的 概率是相等的，即
PX t 2 PX t 1 PX t 1 PX t 2 1 / 4
【分析】设 V 0,1,
1 2 , 得到几个样本函数，可以画出它们的波形（略） 4 3
5.2 随机过程分类和举例
【二】举例:
【例三分析续】正弦波随机过程：
X （2）当 t 0 时， 0 V ，故 X 0 的概率密度就是 V 的概率密度，即
otherwise 时， 1 当 t1 X t1 X 1 V cos V ，故 4 4 2 1 2 0 x f X1 x 2 0 otherwise 3 3 1 V ，故 当 t2 时，X t2 X 2 V cos 4 4 2 1 2 x 0 f X 2 x 2 0 otherwise
P X i 1 p, P X i 1 1 p 设质点在 t n 时偏离原点的距离为 Yn ，Yn 也是一随机变量，
于是
Yn X i ,
i 1
n
Y0 0
又设质点每次游动与该质点所处的位置无关，当 i k 时 X i 与 X k 是相互统计独立的随机变量。
则称
X t, , t T ,
为随机过程，简记为
X t , t T 。
一个随机过程 X t , t T 实际上是两个变量的二元函 数，其中 一个变量为样本空间 中 的 ，另一个为参 T 数集 t 中的 。
随机过程课件
1
m X (t1 )][ x2 m X (t 2 )] f ( x1 x2 ; t1 , t 2 )dx1dx 2 f ( x1, x2 ; t1 , t 2 )dx1dx 2
x x
1 2
X(t) 协方差与相关函数的关系为 当 mx (t ) 0 时 C X (t 1 , t 2 ) R X (t 1 , t 2 ) 在协方差定义中取t1=t2=t,就有
为XT 的均值函数或数学期望。其中F(x,t)是过程 的一维分布函数。 若是连续型随机变量，有 mX (t) xf(x,t)dx 其中f(x,t)是一维分布密度。 12
2．随机过程的方差 若 DX (t) 2 (t) E[X(t) mX (t)]2 存在，t∈T， X 称为X（t）的方差。 x (t) Dx (t) 称为X（t）的标准差。 它们描绘过程的样本曲线在各个t时刻对均 值 m X ( t ) 的离散程度， 对每个t1∈T， EX (t1 ) 反映t1状态取值的概率平均。 DX (t1 ) 反映t1状态取值与 EX (t1 ) 离散程度。 在工程中随机过程的均方值具有物理意义，比 较有用。均方值定义为： E[ X 2 (t )] X (t ) DX (t ) E( X 2 (t )) E 2 ( X (t )) 有关系式： 13 Dx (t ) x (t ) [mx (t )]2 即
第一章. 随机过程的基本概念
§1.1 随机过程及其概率分布
在实际问题中，有时需要对随机现象的变化进 行研究，这时就必须考虑无穷个随机变量或一族 随机变量, 我们就称这种随机变量族为随机过程。 例1: 生物群体的增长问题。在描述群体的发展 或演变过程中, 以 Xt 表示在时刻 t 群体的个数, 则 对每一个 t ，Xt 是随机变量。假设我们从 t ＝0 开 始每隔24小时对群体的个数观测一次, 则{Xt , t ＝0, 1, 2, ...}是一个随机过程。 例2: 电话呼唤问题。某电话总机在[0，t]时间 内收到的呼唤次数用 Xt 来表示, 则对于固定的 t ， 1 Xt 是随机变量。于是{Xt , t ∈[0, ∞)}是随机过程。
随机过程的基本概念ppt课件
求X(t)的均值、均方值和方差。
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0
随机过程课件.ppt
随机过程的统计描述 二 有限维分布族
两种描述
分布函数 特征数
设随机过程X (t),t T,对每一固定的t T ,随机变量X (t)的分布函数与t有关， 记为FX (x,t) PX (t) x，x R，称它为随机过程X (t),t T的一维分布函数 FX (x,t),t T称为一维分布函数族
为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系， 一般地，对任意n(n 2,3,L )个不同的时刻，t1,t2,L tn T
研究生课程
随机过程
汪荣鑫编 主讲教师：田ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ俊
2013年9月
第一章 随机过程基本概念
第1节 随机过程及其概率分布
1）随机过程概念 随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即
它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从 多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。
自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类： 确定性过程：事物变化的过程可用时间的确定函数表示；
4
x1 (t )
3
2
1
t1' t1 t2 t2' t3 t3' t4' t4
t
4
例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：
(1) 设X n是第n次(n 1)抛掷的点数，对于n 1, 2,L 的不同值，
X n是随机变量，服从相同的分布，P( X n
i)
1 6
,i
1, 2,3, 4,5, 6
因而X n , n 1构成一随机过程，称为伯努利过程或伯努利随机序列,
它的状态空间为1,2,3,4,5,6。
(2) 设Yn是前n次抛掷中出现的最大点数,Yn , n 1也是
一随机过程，它的状态空间仍是1, 2,3, 4,5, 6。
随机过程课件1
2
3 4 5
P( A B) = P( A) P( B) P( AB)
P( Ac ) = 1 P( A) Ac为E的余集.
设 E1，E2， ，En 两两互不相容 ，则
P ( Ei ) = P ( Ei )
i =1 i =1 n n
6 7
P( Ai ) P( Ai )
xk
的概率：
则称上式为X的概率分布或分布率 ．且满足
pk 0
k =1
pk = 1
3．分布密度
连续型 随机变量 如果对于随机变量X的分布函数为F（x）， 存在非负的函数 f（x）,使对任意的实数x有
F ( x) =
x
f (t )dt
则称X为连续型随机变量，f（x）称为X的概率密度， 且满足
lim P ( E n ) = P ( lim E n )
n n
四、独立性 1．定义
两个
如果事件A，B满足
P（AB） P（A）P（B） =
则称事件A，B相互独立。
n个
设 A1，A2， ，An 是n个事件，如果对于任意
s ( 2 s n) 和 1 i1 i2 is n
概率论
probability theory
数理统计
Mathematical statistics
随机过程
stochastic process
随机现象 偶然性
内在规律 必然性
随机过程的起源及发展
Brown运动: 1827 年，Brown在显微镜下发现花粉的无 规则运动, 将此奇怪现象公诸于世, 无人能解释原因. 1900年，法国数学家Bachelier给出 一维Brown运 动粗略模型, 其博士论文为《投机的理论》, 研究证券价格 的涨落，开创近代金融数学的先河，但他的结果几十年之 后才得到认可. 1905年,Einstein 首次进行量化分析, 认是花粉运 动源自分子无规则热运动, 每秒碰撞 1019 1021 次. Wiener 1918年发表系列论文, 成功解决这一问题, 故称Wiener—Einstein过程.
《数学随机过程》PPT课件
所以X与Y不相关。 故 (X,Y )=0 X与Y不相关
几何直观意义
3.3 随机分析初步
附注C—关于赋范线性空间概念的回顾
设V是一个线性空间，若 V，存在一个实数|| ||与
之对应，且具有下列性质：
(1) || ||0 , 且|| ||=0 =0 ； (2) ||c· ||= |c|·|| || , 特别 ||- ||= || ||； c R (3) || + || || ||+ || ||； V 则称|| || 为V中元素 的范数(norm)(模、长度)，此时线
CXX (t1, t2 ) cov{ X (t1), X (t2 )} E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} | CXX (t1, t2 ) |2 | cov{ X (t1), X (t2 )} |2 | E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} |2 {E | [ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )] |}2 E | X (t1) mX (t1) |2 E | X (t2 ) mX (t2 ) |2 D[ X (t1)]D[ X (t2 )]
3.3 随机分析初步
附注A—关于线性空间概念的回顾
设V是一个非空的集合，K是一个数域，又设
(a)在V中定义加法： , V : + V ; (b)在V中定义数乘： V, k K: k · V ; 且 , , V , k,l K , 满足 (1) k ,l K, , V : (2) +( +)= ( + )+ ; (3) + = + ; (4)0V, V: +0= ; (5) V, V: +=0 (6) 1 K: 1· = ; (7) k ,l K, V: (kl)· =k·(l) ; (8)k ,l K, V: (k+l) = k +l ; (9) k K, , V : k( + )= k + k .
几何直观意义
3.3 随机分析初步
附注C—关于赋范线性空间概念的回顾
设V是一个线性空间，若 V，存在一个实数|| ||与
之对应，且具有下列性质：
(1) || ||0 , 且|| ||=0 =0 ； (2) ||c· ||= |c|·|| || , 特别 ||- ||= || ||； c R (3) || + || || ||+ || ||； V 则称|| || 为V中元素 的范数(norm)(模、长度)，此时线
CXX (t1, t2 ) cov{ X (t1), X (t2 )} E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} | CXX (t1, t2 ) |2 | cov{ X (t1), X (t2 )} |2 | E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} |2 {E | [ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )] |}2 E | X (t1) mX (t1) |2 E | X (t2 ) mX (t2 ) |2 D[ X (t1)]D[ X (t2 )]
3.3 随机分析初步
附注A—关于线性空间概念的回顾
设V是一个非空的集合，K是一个数域，又设
(a)在V中定义加法： , V : + V ; (b)在V中定义数乘： V, k K: k · V ; 且 , , V , k,l K , 满足 (1) k ,l K, , V : (2) +( +)= ( + )+ ; (3) + = + ; (4)0V, V: +0= ; (5) V, V: +=0 (6) 1 K: 1· = ; (7) k ,l K, V: (kl)· =k·(l) ; (8)k ,l K, V: (k+l) = k +l ; (9) k K, , V : k( + )= k + k .
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第一节 概 率
一、基本概念
1．随机试验 其结果在事先不能确定的试验。 具有三个特性：
（1）可以在相同的条件下重复进行；
（2）每次试验的结果不止一个，并能事先明确 试验的所有可能的结果；
（3）每次试验前不能确定哪个结果会出现。
首页
2．样本空间 3．随机事件
随机试验所有可能结果的集合， 记为。其中每一个结果，称 为样本点 。
离散型
随机变量X的可能取值仅有有限
随机变量 个或可列无穷多个。
设 xk (k 1,2,) 是离散型随机变量X的
所有可能的取值， pk 是 xk 的概率：
P( X xk ) pk (k 1,2,)
则称上式为X的概率分布或分布率 。且满足
pk 0
pk 1
k 1
首页
3．分布密度
连续型 随机变量
3 P(E c ) 1 P(E)
4
设
E1，E2，，En n
两两互不相容 ，则
n
P（ Ei） P（Ei )
5
i 1
i 1
设两两互不相容的事件
E1，E2，， Ei
则对于任意事件A，有
i1
P（A） P（A Ei ) 首页
i 1
三、概率的连续性
1．极限事件
对于事件 E1，E2，，
若 En En1 n 1 则称事件序列 {En，n 1} 递增 ，
则称
P（B
|
A）
P（AB） P（A）
为事件A出现的情况下，事件B的条件概率， 或简称事件B关于事件A的条件概率。
首页
2．基本公式
定理2（乘法公式）
假设 A1，A2，，An为任意n个事件（ n 2），
若 P（A1 A2 An） 0
则
P（A1 A2 An） P( A1)P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )
n
n
P( Ai ) 1
1 P( Ai )
i 1
i 1
首页
n
n
P( Ai ) 1
1 P( Ai )
i 1
i 1
证
n
n
P( Ai ) 1 P( Ai )
i 1
i 1
n
1 P( Ai )
i 1
n
1 P( Ai ) i 1
返回
n
1 (1 P( Ai )) i 1
首页
第二节 随机变量及其分布
分布函数F（x）具有下列性质：
1
0 F(x) 1 x
2
F(x) 是非降函数，即当 x1 x2 时，有
F (x1 ) F (x2 )
3
lim F(x) 0 lim F(x) 1
x
x
4
F（x）是右连续的，即 F(x 0) F(x)
首页
3．分布密度
最常见的随机变量是离散型和连续型两种。
P（lim n
En
)
证明 设 {En，n 1}是递增序列，并定义事件Fn ：
n1
F1 E1
Fn
En (
Ei )c
En
Ec n1
n 1
i1
即 Fn 由包含在 En 中但不在任何
前面的 Ei （i n ）中的点组成。 F3 F2 F1 E1
首页
容易验证 Fn（ n 1）是互不相交的事件， 且满足
如果对于随机变量X的分布函数为F（x）， 存在非负的函数f（x）,使对任意的实数x 有
x
F (x) f (t)dt
则称X为连续型随机变量，f（x）称为X的概率密 度，且满足
P（Bi）P（A | Bi )
n
P（Bi）P（A | Bi )
i 1
首页
五、独立性
1．定义
两个 如果事件A，B满足
P（AB） P（A）P（B）
则称事件A，B相互独立。
n个 设 A1，A2，，An 是n个事件，如果对于任意
s (2 s n) 和 1 i1 i2 is n ，有
P（Ai1 Ai2 Ais） P（Ai1）P（Ai2）P（Ais）
一、一维随机变量的分布
1．随机变量
设随机试验的样本空间为 ，如果对于每一 个 都有唯一的一个实数 X (与)之对应，这 种对应关系称为一个随机变量，记作 X (或)X。
2．分布函数
随机变量X取值不超过x的概率 P(X x) ，
称为X的分布函数（其中x为任意实数），记为
F(x) 即 F(x) P(X x) x 首页
P（An
|
A1
A2
An
）
1
首页
定理3（全概率公式与贝叶斯公式）
n
设事件 B1，B2，，Bn 两两互不相容， Bi i 1 P（Bi） 0 i 1，2，, n
则（1）对任意事件A，有
n
P( A) P（Bi）P（A | Bi ) i 1
（2）对任意事件A ，若P（A） 0 ，有
P(Bi | A)
则称事件 A1，A2，，An 相互独立。
首页
2．独立性的性质
定理4 若事件A，B相互独立，则 A与B ；A与A2，，An 相互独立，若其中
任意 m (1 m n)个事件相应地换成它们的
对立事件，则所得的n个事件仍然相互独立。
推论 若事件 A1，A2，，An相互独立，则
n
n
Fi Ei
i1
i1
和 Fi Ei
i 1
i 1
于是
P（ Ei） P（ Fi）
i 1
i 1
P（Fi )
i 1
n
lim
n
i 1
P（Fi
)
n
n
lim
n
P(
i1
Fi
)
lim
n
P(
i 1
Ei
)
lim
n
P(En
)
首页
四、条件概率
1．定义 设E为随机试验，为其样本空间，A、B
为任意两个事件， 若 P（A） 0
若 En En1 n 1 则称事件序列 {En，n 1} 递减。
这样可定义一个新的事件，记为
lim
n
En
lim
n
En
Ei i 1
En En1 n 1
lim
n
En
Ei
i1
En En1 n 1
首页
2．连续性定理
定理 1 若{En，n 1} 是递增的或递减的事件序列，
则
lim
n
P（En）
样本空间的一个子集E。
4．概 率
对样本空间的每一个事件E，都有 一实数P（E）与之对应，且满足：
（1） 0 P（E） 1 （2） P（） 1
（3）对两两互不相容的事件序列
E1，E
，
2
P（ Ei） P（Ei )
i 1
i 1
首页
则称P（E）为事件E的概率。
二、概率的性质：
1 P（） 0 2 P（E F） P（E） P（F） P（EF）
------金融资产定价之应用
基础知识
基本概念
马尔可夫过程 随机分析
随机 过程
鞅和鞅表示 平稳过程
基础资产价格
衍生产品定价
Ito定理
维纳过程
第一章 基 础 知 识
第一节 概 率 第二节 随机变量及其分布 第三节 随机变量的数字特征 第四节 矩母函数和特征函数 第五节 条件期望 第六节 指数分布 第七节 收敛性和极限定理