九年级数学一元二次方程2
人教版九年级上册数学——一元二次方程知识点总结
21章 一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。
注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
二、 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法:直接开平方法理论依据：平方根的定义。
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
九年级上第02讲 一元二次方程的解法(公式法、因式分解法)讲义+练习
因式分解法解一元二次方程.
【知识导图】
1、观察一元二次方程 ，结合我们上节课学的知识解此方程.
2、思考这个一元二次方程还有没有其它的解法？
3、今天我们学习一元二次方程另外的解法：公式法、因式分解法.
1、形成表象,提出问题
用配方法解下列一元二次方程:
(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0;
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0，
x2﹣3x+2=0，
（x﹣1）（x﹣2）=0，
x1=1，x2=2；
（3）|m|≤2不成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
一元二次方程的解法
（配方法和因式分解法）
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、根的判别式；
2、公式法解一元二次方程；
3、因式分解法解方程.
教学目标
1、掌握公式法解一元二次方程的方法.
2、掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．
教学重点
能根据题目的要求及特点用恰当的方法求解方程.
我们仍以方程x2=4为例．
移项，得x2-4=0，
对x2-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0．
我们知道：
∴x+2=0，x-2=0．
即x1=-2，x2=2．
专题02一元二次方程及其解法(二)(解析版)-2021—2022学年九年级数学上学期
2021—2022学年九年级数学上学期重难点题型专项提优02 一元二次方程及其解法（二）【例题精讲】一、一元二次方程根与系数的关系例1．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a ，b ，求111ab a -++的值． 【解析】解：（1）根据题意得△2240k =+>， 解得1k >-，k ∴的取值范围为1k >-； （2）由根与系数关系得2a b +=-，a b k =-，111111121a ab kb a ab a b k -+-===-+++++--+． 例2．已知α，β是方程2201710x x ++=的两个根，则22(12019)(12019)ααββ++++的值为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】∵α，β是方程2201710x x ++=的两个根，2201710αα∴++=，2201710ββ++=，2017αβ+=-，1αβ=，22(12019)(12019)ααββ∴++++22(120172)(120172)αααβββ=++++++4αβ=4=．例3．阅读材料：已知方程210p p --=，210q q --=且1pq ≠，求1pq q+的值． 解：由210p p --=，及210q q --=，可知0p ≠，0q ≠．又1pq ≠，1p q∴≠． 210q q --=可变形为211()()10q q --=．根据210p p --=和211()()10q q--=的特征．p ∴、1q是方程210x x --=的两个不相等的实数根， 则11p q +=，即11pq q+=． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：22510m m --=，21520n n+-=且m n ≠，求 （1）mn 的值；（2）2211m n +． 【解析】解：21520n n+-=， 22510n n ∴--=，根据22510m m --=和22510n n --=的特征， m ∴、n 是方程22510x x --=的两个不相等的实数根，52m n ∴+=，12mn =-， （1）12mn =-；（2）原式2222512()()242291()()2m n mn mn -⨯-+-===-． 变式训练：1．已知2210a a --=，2210b b +-=，且1ab ≠，则1ab b b++的值为 ． 【答案】3【解析】2210b b +-=，0b ∴≠，方程两边同时除以2b ，再乘1-变形为211()210b b -⋅-=，1ab ≠，a ∴和1b 可看作方程2210x x --=的两根，12a b∴+=， ∴111213ab b a bb++=++=+=．2．已知关于x 的一元二次方程22(1)0x x m -++=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程有两根为1x ，2x ，且2123x x +=，求m 的值．【解析】解：（1）关于x 的一元二次方程22(1)0x x m -++=有两个不相等的实数根，∴△2(1)412(1)0m =--⨯⨯+>，78m ∴<-．（2）1x ，2x 为一元二次方程22(1)0x x m -++=的两根，121x x ∴+=，2112(1)0x x m -++=．22121112()3x x x x x x +=-++=，即2(1)13m -++=，2m ∴=-．二、与一元二次方程有关的新定义问题例1．对于实数m ，n ，先定义一种新运算“⊗”如下：22,,,m m n m n m n n m n m n ⎧++⊗=⎨++<⎩当时当时，若(2)10x ⊗-=，则实数x 等于 A ．3B ．4-C ．8D ．3或8【答案】A【解析】解：当2x -时，2210x x +-=，解得：13x =，24x =-（不合题意，舍去）；当2x <-时，2(2)210x -+-=，解得：8x =（不合题意，舍去）；3x ∴=．例2．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的个数有 ①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若p 、q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，则必有229b ac =． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①解方程220x x --=得，12x =，21x =-，得，122x x ≠，∴方程220x x --=不是倍根方程；故①不正确；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，12x =，因此21x =或24x =，当21x =时，0m n +=，当24x =时，40m n +=，2245()(4)0m mn n m n m n ∴++=++=，故②正确；③2pq =，则23(1)()0px x q px x q ++=++=，∴11x p =-，2x q =-，∴2122x q x p=-=-=， 因此是倍根方程，故③正确；④方程20ax bx c ++=的根为：1x 2x =若122x x =220=，∴0=，∴0b +，∴b -，229(4)b ac b ∴-=，229b ac ∴=．若122x x =2=，20=，∴0=，∴0b -+，∴b =229(4)b b ac ∴=-，229b ac ∴=．故④正确， ∴正确的有：②③④共3个．例3．转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程42340x x --=时，我们就可以通过换元法，设2x y =，将原方程转化为2340y y --=，解方程得到11y =-，24y =，因为20x y =，所以1y =-舍去，所以得到24x =，所以12x =，22x =-．请参考例题解法，解方程：2320x x +=．y =，则223x x y +=．原方程可转化为：220y y --=．(2)(1)0y y ∴-+=．12y ∴=，21y =-．当2y =2，234x x ∴+=．即2340x x +-=．解这个方程得14x =-，21x =．20y x x =，1y ∴=-舍去．所以原方程的解为：14x =-，21x =．例4．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x i =±，从而x i =±是方程21x =-的两个根． 据此可知：（1）i 可以运算，例如：321i i i i i ==-⨯=-，则4i = ，2011i = ，2012i = ； （2）方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）． 【解析】解：（1）21i =-，422(1)(1)1i i i ∴==-⨯-=；2011210051005()(1)i i i i i ==-=-；2012210061006()(1)i i i i i ==-=．（2）△2(2)4124=--⨯⨯=-，21i =-，∴△24i =，∴方程2220x x -+=的两根为22121ix i ±==±⨯，即1x i =+或1x i =-． 例5．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如32()x x x x px q =⋅=-=，该方程变形为2x px q -=-，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题：已知：2210x x --=，且0x >，求4323x x x --的值．【解析】解：方程2210x x --=的解为：1x ==±0x >．所以1x =+2210x x --=，221x x ∴-=，221x x ∴-=．4323x x x ∴--22(2)3x x x x =--23x x =-213x x =+-1x =-．当1x =1(1=-+=变式训练：1．阅读材料：解方程222(1)3(1)0x x ---=．我们可以将21x -视为一个整体，采用“换元法”求解，具体解法：设21x y -=，原方程化为230y y -=①解得10y =，23y =．当0y =时，210x -=．1x ∴=±，当3y =时，213x -=，2x ∴=±，∴原方程的解为11x =，21x =-，32x =，42x =-．请利用换元法解出方程220x -=的根．y =，221y x =-，原方程可变形为：2430y y -+=．(1)(3)0y y ∴--=．11y ∴=，23y =．当1y =1=， 两边平方，得22x =，1x ∴=2x =当3y =3， 两边平方，得210x =，3x ∴=4x =所以1x =2x =，3x =，4x =2．材料一：对称美不仅仅是图形之美，代数式中也有对称的结构之美，对称不仅仅给我们以美的体验，还能帮助我们解决问题．如：2310x x -+=中，因为左边代数式中三项系数依次为：1，3-，1，是呈对称结构的，于是我们可将它变形为130x x -+=，进而可以变形为13x x +=，以此为条件便可以得到22211()27x x x x+=+-=． 材料二：你知道我们为什么要因式分解吗？原因有二：一是化简，如220x x --=(x =-2)(1)x +中，我们通过因式分解将左边的二次式变成了两个一次式的乘积，次数降低了，式子也变简单了；二是增加了信息量，如220x x --=中，x 的取值信息不太明确，但是(2)(1)0x x -+=中，我们可以很快得到，2x =或者1x =-．利用上述材料解决下列问题： （1）材料一中，2310x x -+=到13x x+=的变形成立的前提条件是 ． （2）为解系数对称的方程4310x x x --+=，陈功同学结合材料将它变形为1(2)x x +- 1(1)0x x++=，显然110x x ++≠，则只能是120x x+-=，进而解得121x x ==，请将从4310x x x --+=到11(2)(1)0x x x x+-++=的变形过程补充完整． （3）运用材料一、材料二以及第（2）问的解题经验，解方程：432223x x x +-26x +⨯26+ 0=． 【解析】解：（1）由题意知：0x ≠． （2）4310x x x --+=．421(1)x x x ∴+=+．两边同时除以2x 得：2211x x x x+=+． ∴211()2x x x x +-=+．∴211()()20x x x x +-+-=．11(2)(1)0x x x x ∴+-++=．显然110x x ++≠．120x x∴+-=．解得121x x ==． （3）方程两边同时除以2x 得：2212362230x x x x +-++=．∴266()2()350x x x x+++-=．66(7)(5)0x x x x ∴+++-=．670x x ∴++=或650x x+-=． 当670x x++=时，2760x x ++=．(1)(6)0x x ∴++=．1x ∴=-或6x =-． 当650x x+-=时，2560x x -+=．(2)(3)0x x ∴--=．2x ∴=或3x =． 综上：方程的解为：1x =-或6-或2或3． 【针对练习】1．若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，∴△2(2)8(1)1280a a =---=-且10a -≠，32a∴且1a ≠，∴整数a 的最大值为0． 2．下列一元二次方程中，没有实数根的是 A ．220x x -= B ．2210x x -+=C ．2210x x --=D ．2210x x -+=【答案】D【解析】解：（A ）△4=，故选项A 有两个不同的实数根； （B ）△440=-=，故选项B 有两个相同的实数根； （C ）△1429=+⨯=，故选项C 有两个不同的实数根； （D ）△187=-=-，故选项D 没有两个不同的实数根．3．关于x 的方程220x mx n ++=的两个根是2-和1，则m n 的值为 A ．8-B ．8C ．16D ．16-【答案】C 【解析】关于x 的方程220x mx n ++=的两个根是2-和1，12m ∴-=-，22n=-，2m ∴=，4n =-，2(4)16m n ∴=-=． 4．已知实数x 满足222(21)4(21)50x x x x -++-+-=，那么221x x -+的值为 A ．5-或1 B ．1-或5 C ．1 D ．5【答案】C【解析】设221y x x =-+，则2450y y +-=．整理，得(5)(1)0y y +-=．解得5y =-（舍去）或1y =．即221x x -+的值为1．5．如果1x ，2x 是两个不相等实数，且满足21121x x -=，22221x x -=，那么2212x x +等于A ．2B ．2-C ．1-D ．6【答案】D【解析】1x ，2x 是两个不相等实数，且满足21121x x -=，22221x x -=，1x ∴，2x 是方程2210x x --=的两个不相等的实数根，则122x x +=，121x x =-，2212x x ∴+21212()2x x x x =+-222(1)=-⨯-42=+6=．6．若关于x 的一元二次方程220x kx --=的一个根为1x =，则k = ． 【答案】﹣1【解析】把1x =代入方程220x kx --=得120k --=，解得1k =-．7．若实数a ，b 满足()(221)1a b a b ++-=，则a b += ．【答案】1或12-【解析】设a b x +=，则(21)1x x -=，2210x x --=，(1)(21)0x x -+=，解得11x =，12x =-，则1a b +=或12-．8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x 的一元二次方程220x x -=与2310x x m ++-=为“友好方程”，则m 的值 ． 【答案】1或﹣9【解析】解方程220x x -=，得：10x =，22x =． ①若0x =是两个方程相同的实数根．将0x =代入方程2310x x m ++-=，得：10m -=，1m ∴=，此时原方程为230xx +=，解得：10x =，23x =-，符合题意，1m ∴=； ②若2x =是两个方程相同的实数根．将2x =代入方程2310x x m ++-=，得：4610m ++-=，9m ∴=-，此时原方程为23100x x +-=，解得：12x =，25x =-，符合题意，9m ∴=-．综上所述：m 的值为1或9-．9．若关于x 的一元二次方程2220(0)x x m m m +--=>，当1m =、2、3、2020时，相应的一元二次方程的两个根分别记为1α、1β，2α、2β，…，2020α、2020β，则11221111αβαβ+++2020202011αβ+++的值为 ．【答案】40402021【解析】2220x x m m +--=，1m =，2，3，⋯，2020，∴由根与系数的关系得：112αβ+=-，1112αβ=-⨯；222αβ+=-，2223αβ=-⨯；202020202αβ+=-，2020202120202021αβ=-⨯；∴原式3320202020112211223320202020αβαβαβαβαβαβαβαβ++++=++++222212233420202021=++++⨯⨯⨯⨯1111111140402(1)2(1)223342020202120212021=⨯-+-+-++-=⨯-=． 10．已知关于x 的一元二次方程：21(21)4()02x k x k -++-=．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰ABC ∆的一边长4a =，另两边长b 、c ，恰好是这个方程的两个实数根，求ABC ∆的周长． （3）若方程的两个实数根之差等于3，求k 的值．【解析】解：（1）△21(21)414()2k k =+-⨯⨯-24129k k =-+2(23)k =-，无论k 取何值，2(23)0k -，故这个方程总有两个实数根；（2）由求根公式得21(23)2k k x +±-=，121x k ∴=-，22x =．另两边长b 、c ，恰好是这个方程的两个实数根， 设21b k =-，2c =，当a ，b 为腰时，则4a b ==，即214k -=，计算得出52k =， 此时三角形周长为44210++=；当b ，c 为腰时，2b c ==，此时b c a +=，构不成三角形， 故此种情况不存在．综上所述，ABC ∆周长为10． （3）方程的两个实数根之差等于3，∴2123k --=，解得：0k =或3．11．已知关于x 的一元二次方程2(12)20kx k x k +-+-=．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）当k 取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式322017αββ+++的值．【解析】解：（1）根据题意得0k ≠且△(12)24(2)0k k k =--->，解得14k >-且0k ≠； （2）k 取满足（1）中条件的最小整数，1k ∴=．此时方程变为210x x --=，1αβ∴+=，1αβ=-，210αα--=，210ββ--=，21αα∴=+，21ββ=+，32121αααααα∴=+=++=+，322017αββ∴+++2112017αββ=+++++2()2019αβ=++212019=⨯+2021=．12．已知关于x 的一元二次方程2260(x x k k --=为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值．【解析】解：（1）证明：在方程2260x x k --=中，△222(6)41()36436k k =--⨯⨯-=+，∴方程有两个不相等的实数根．（2）1x ，2x 为方程2260x x k --=的两个实数根，126x x ∴+=，12214x x +=，28x ∴=，12x =-．将8x =代入2260x x k --=中，得：264480k --=，解得：4k =±． 答：方程的两个实数根为2-和8，k 的值为4±． 13．阅读下面的例题：解方程2||20m m --=的过程如下：（1）当0m 时，原方程化为220m m --=，解得：12m =，21m =-（舍去）．（2）当0m <时，原方程可化为220m m +-=，解得：12m =-，21m =（舍去）．原方程的解：12m =，22m =-．请参照例题解方程：2|1|10m m ---=．【解析】解：当1m 时，原方程化为20m m -=，解得：11m =，20m =（舍去）．当1m <时，原方程可化为220m m +-=，解得：12m =-，21m =（舍去）．原方程的解：11m =，22m =-．14．如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程20x x +=的两个根是10x =，21x =-，则方程20x x +=是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①260x x --=；②2210x -+=．（2）已知关于x 的方程2(1)0(x m x m m ---=是常数）是“邻根方程”，求m 的值；（3）若关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数，0)a >是“邻根方程”，令28t a b =-，问：存在多少组a 、b 的值使得t 为正整数？请说明理由．【解析】解：（1）①解方程得：(3)(2)0x x -+=，3x =或2x =-， 231≠-+，260x x ∴--=不是“邻根方程”；②x =，1=+，2210x ∴-+=是“邻根方程”；（2）解方程得：()(1)0x m x -+=， x m ∴=或1x =-，方程2(1)0(x m x m m ---=是常数）是“邻根方程”，11m ∴=-+或11m =--， 0m ∴=或2-；（3）解方程得，x =，关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数，0)a >是“邻根方程”，∴1=，224b a a ∴=+， 28t a b =-，22t a a a∴=-=--+，4(2)4a>，∴有最大值，最大值为4，tt为正整数，∴=或2或3或4，t1∴当a取7个值，b对应有14个值，∴存在14组a、b的值使得t为正整数．。
人教版九年级数学课件《一元二次方程的解法(二)配方法》
复习回顾
人教版数学九年级上册
1.用直接开平方法解下列方程: (1) 9x2=1 ；
解：
直接开平方，得
x 1, 3
x1
1 3
，x2
1 3
(2) (x-2)2=2. 解：
直接开平方，得
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人教版数学九年级上册
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
把两题转化成 (x+n)2=p(p≥0)的 形式，再利用开平方
3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
,
由此可得 x 4 １5,
x1 4 15, x2 4 15.即x3 42
1 16
,
由此可得 x 3 1 ,
4
x1
4
1, x2
1. 2
典例解析
例1 解下列方程：
3 3x2 6x 4 0
解：移项，得 3x2 6x 4,
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※方程配方的方法
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数 为1的前提下进行的.
知识精讲
※配方法的定义
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像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做 配方法.
※配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转 化为一元一次方程求解．
小结梳理
人教版数学九年级上册
一、概念：
把一元二次方程通过配成完全平方式来解一元二次方 程，叫做配方法.
二、步骤：
①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程. 特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为
2021年九年级数学中考复习——方程专题：一元二次方程实际应用(二)
2021年九年级数学中考复习——方程专题：一元二次方程实际应用（二）1．某商场销售一款消毒用湿巾，这款消毒用湿巾的成本价为每包6元，当销售单价定为10元时，每天可售出80包，根据市场行情，现决定降价销售，市场调研反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20包，为使每天这种消毒湿巾的利润达到360元，商场应把这种消毒湿巾降价多少元？12．某商场某型号的计算机2018年销售量为2880台，2020年受疫情影响，年销售量下降为2000台，求销售量的年平均下降率．若每件商品降价2元，则平均每天盈利多少元？（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的盈利为320元？5．深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为81元，平均每天可售出20件．（1）求平均每次降价的百分率；（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？6．为满足市场需求，某工厂决定从2月份起扩大产能，其中2020年1～4月份的产量统计如图所示．求从2月份到4月份的月平均增长率．7．某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过a人，那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超过a人，则这个团队除了需交200元入园费外，超过部分游客还要按每人元交入园费．下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况：旅游团队名称团队人数（人）入园费用（元）旅游团队180350旅游团队245200根据表格的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的a人是多少？8．某商家将进货单价40元的商品按50元出售，能卖出500件，已知这种商品每涨价0.4元，就会少销售4件．商家为了赚得8000元的利润，每件售价应定为多少？9．如图，要设计一个长为15cm，宽为10cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为5：4，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？10．某汽车4S店销售某种型号的汽车，每辆进货价为15万元，该店经过一段时间的调研发现：当销售价为25万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低1万元时，平均每周能多售出2辆．该4S店要想平均每周的销售利润为96万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车的定价应为多少万元？参考答案1．解：设这种消毒湿巾降价x元，依题意得：（10﹣x﹣6）（80+×20）＝360．解得x1＝x2＝1．答：商场应把这种消毒湿巾降价1元．2．解：设销售量的年平均下降率为x，依题意可列：2880（1﹣x）2＝2000，解得：x1≈0.2＝20%．x2≈1.8（舍去）．答：销售量的年平均下降率为20%．3．解：设围成的矩形场地一边长为xm，则相邻的另一边长为（20﹣x）m，依题意得：x（20﹣x）＝75，整理得：x2﹣20x+75＝0，解得：x1＝5，x2＝15，当x＝5时，20﹣x＝15；当x＝15时，20﹣x＝5．∴能围成一个面积为75m2的矩形场地，矩形场地相邻的两边长度分别为15m和5m．不能围成一个面积为101m2的矩形场地，理由如下：设围成的矩形场地一边长为ym，则相邻的另一边长为（20﹣y）m，依题意得：y（20﹣y）＝101，整理得：y2﹣20y+101＝0，∵△＝（﹣20）2﹣4×1×101＝﹣4＜0，∴不能围成一个面积为101m2的矩形场地．4．解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出2×2＝4（件），即平均每天销售数量12+4＝16（件），利润为：18×16＝288．（2）设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为320元，由题意得：（20﹣x）（12+2x）＝320，整理得：x2﹣14x+40＝0，∴（x﹣4）（x﹣10）＝0，∴x1＝4，x2＝10，∵每件盈利不少于15元，∴x2＝10应舍去．答：每件商品降价4元时，该商品每天的销售利润为320元．5．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：100（1﹣a）2＝81，解得：a＝1.9（舍）或a＝0.1＝10%，答：每次下降的百分率为10%；（2）设每件应降价x元，根据题意，得（81﹣x）（20+2x）＝2940，解得：x1＝60，x2＝11，∵尽快减少库存，∴x＝60，答：若商场每天要盈利2940元，每件应降价60元．6．解：设2月份到4月份的月平均增长率为x，根据题意可得方程：150（1+x）2＝384，解方程，得x1＝0.6，x2＝﹣2.6（不合题意，舍去）．答：从2月份到4月份的月平均增长率为60%．7．解：由旅游团队2得：a≥45，由旅游团队1得：（80﹣a）+200＝350，解得：a1＝50，a2＝30（不合题意，舍去），答：某旅游园区对团队入园购票规定的a人是50人．8．解：设售价应定为x元/个，则每个的销售利润为（x﹣40）元，能卖出500﹣×4＝（1000﹣10x）件，依题意，得：（x﹣40）（1000﹣10x）＝8000，整理得：x2﹣140x+4800＝0，解得：x1＝60，x2＝80．答：售价应定为60元/个或80元/个．9．解：设每个横彩条的宽度为5xcm，则每个竖彩条的宽度为4xcm，依题意得：（15﹣2×5x）（10﹣2×4x）＝15×10×（1﹣），整理得：8x2﹣22x+5＝0，解得：x1＝，x2＝，当x＝时，10﹣2×4x＝﹣10＜0，不合题意，舍去；当x＝时，10﹣2×4x＝8＞0，符合题意，∴5x＝，4x＝1．答：每个横彩条的宽度为cm，每个竖彩条的宽度为1cm．10．解：设每辆汽车的定价应为x元，则每辆的销售利润为（x﹣15）万元，平均每周的销售量为8+2（25﹣x）＝（58﹣2x）辆，依题意得：（x﹣15）（58﹣2x）＝96，整理得：x2﹣44x+483＝0，解得：x1＝21，x2＝23．又∵为使成本尽可能的低，∴x＝23．答：每辆汽车的定价应为23万元．。
人教新课标版数学九年级上册21.2.2-一元二次方程的解法-公式法(2)课件
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0 ∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
注对意吗二？次
项系数
2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.
例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实
数解根：∵. 一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
∴ k≠0， b2 4ac 0
凡形先如把方a程x2+的c常=0数(项a≠移0到, a方c<程0的) 右边，再把左边配成一
个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接
开平方法或来求a出(x+它p的)2解+q.=0 (a≠0, aq<0)
的公一式元二法次是方解程一都元可二用次直接方开程平的方通法法解..
一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
解：∵ b2 4ac (m 5)2 4 2(m 1)
把判别式配方 m2 10m 25 8m 8
m2 2m 17
(m 1)2 16 >0
∴方程有两个不相等的实数根；
典型例题解析
【例5】 已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程
解 : a 1, b 2m 1, c m2 4, b2 4ac (2m 1)2 4(m2 4) 4m2 4m 1 4m2 16 4m 17
由4m 17 0, 得m 17 . 4
当m 17 时,b2 4ac 0, 4
（3） x2 x 1 0
（4） x2 x 1 0
（5） 2x2 x 3 0 （6）2x2 x 3 0
9年级上册数学一元二次方程
九年级上册数学一元二次方程一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是一个只含有一个未知数（通常表示为x），且未知数的最高次数为2的方程。
其标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二、一元二次方程的解法配方法：通过配方将方程转化为(x+b)^2=d的形式，然后直接开平方求解。
公式法：根据一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ≥0时，方程有2个实根。
根为x=(-b±√Δ)/2a。
因式分解法：将方程左边化为两个因式的乘积，右边化为0，然后分别令每个因式等于0求解。
三、一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac。
根据判别式的不同取值，一元二次方程的根的情况分为以下三种：当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
当Δ=0时，方程有两个相等的实根（重根）。
当Δ<0时，方程没有实根（称为虚根），但有共轭复数根。
四、一元二次方程的根与系数的关根的和：x1+x2=-b/a。
根的积：x1*x2=c/a。
根的平方和：x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=(b^2-2ac)/a^2。
的立方：x1^3+x2^3=(x1+x2)(x1^2+x2^2-x1*x2)=-b^3/a^3+c^3/a^3=(c^3-b^3)/a^3。
五、一元二次方程的应用一元二次方程在日常生活和生产实践中有着广泛的应用，如计算几何图形的面积、解决商品利润问题等。
解决这类问题时，需要将实际问题转化为数学模型，即建立一元二次方程，然后求解得到实际问题的答案六、配方法解一元二次方程将一元二次方程化为(x+b)^2=d的形式，然后直接开平方求解。
这种方法适用于所有形式的一元二次方程，但在使用时需要注意运算的准确性。
七、公式法解一元二次方程根据一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ≥0时，使用公式法可以直接求解出方程的实根。
此方法简洁明了，但需要注意判别式的计算以及实根的存在性。
九年级数学 第二章 一元二次方程专题训练(二)一元二次方程的实际应用作业
第四页，共二十二页。
二、增长率与利润问题 4．(2018·眉山)我市某楼盘准备以每平方 6000 元的均价对外销售，由于国务 院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产 开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方 4860 元的均价开盘销售，则 平均每次下调的百分率是( C ) A．8% B．9% C．10% D．11%
第十七页，共二十二页。
解：(1)以 O 为原点，OA 所在直线为 y 轴，汽车行驶的路线为 x 轴，作出坐标系． 设当台风中心在 M 点，汽车从 N 点开始受到影响， 设运动时间是 t 小时，过 M 作 MC⊥x 轴，作 MD⊥y 轴． 则△ADM 是等腰直角三角形， AM＝20 2t，则 AD＝DM＝ 22AM＝20t，M 的坐标是(20t，160－20t)，N 的坐标是 (40t，0)． 汽车受到影响，则 MN＝120 千米， 即(40t－20t)2＋(160－20t)2＝1202， 整理，得 t2－8t＋14＝0. 解得 x1＝4－ 2，x2＝4＋ 2. 答：汽车行驶了(4－ 2)小时后受到第台十八页风，共影二十响二页。
第十二页，共二十二页。
9．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12 m 的住房墙， 另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一 个 1 m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80 m2?
第十三页，共二十二页。
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