控制工程基础 第三章时域瞬态响应(第七讲)
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第3章_时域瞬态响应分析_3.1时域响应以及典型输入信号
当系统输入为单位脉冲函数时， 当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称 为脉冲响应函数。由于δ(t)函数的拉氏变换等于 函数的拉氏变换等于1 为脉冲响应函数。由于 函数的拉氏变换等于1， 因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。 因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。
上述各函数之间的关系： 上述各函数之间的关系：
3.1.4 脉冲函数 脉冲函数(Impulse function)
t<0或t>0 0 r (t ) = a 0<t <ε lim ε ε →0 R( s) = a
r(t)
a
ε
0 ε t 时的脉冲函数， 单位脉冲函数, 当a=1时的脉冲函数，称为单位脉冲函数,记为 时的脉冲函数 称为单位脉冲函数 δ(t)。 。
典型输入信号的选择： 典型输入信号的选择： 分析瞬态响应，选择典型输入信号，有如下优点： 分析瞬态响应，选择典型输入信号，有如下优点： 数学处理简单，在给定典型信号作用下， （1）数学处理简单，在给定典型信号作用下，易 确定系统的性能指标，便于系统分析和设计。 确定系统的性能指标，便于系统分析和设计。 在典型信号作用下的瞬态响应， （2）在典型信号作用下的瞬态响应，往往可以作 为分析系统在复杂信号作用下的基础和依据。 为分析系统在复杂信号作用下的基础和依据。 便于进行系统辨识， （3）便于进行系统辨识，确定未知环节的参数和 传递函数。 传递函数。 常用的典型输入信号有阶跃信号、斜坡信号、 常用的典型输入信号有阶跃信号、斜坡信号、 加速度信号、脉冲信号及正弦信号。 加速度信号、脉冲信号及正弦信号。
3.1.3 加速度函数(Parabolic function) 加速度函数
0 r (t ) = 2 at 2a R(s) = 3 s t<0 t≥0
控制工程基础 第3章 时域瞬态响应分析
X o s k sm b1sm1 bm1s bm
X i s
sn a1sn1 an1s an
k sm b1sm1 bm1s bm
q
r
s pj
s2
2
kk
s
2 k
j 1
fi(t) D
图 3-26
图 3-27
解：根据牛顿第二定律
fi t kxo t Dxo t Mxo t
拉氏变换，并整理得
Ms2 Ds k X o s Fi s
X o s Fi s
1 Ms2 Ds k
1 k kM s2 D s
峰值点为极值点，令 dxo t 0 ，得
dt
nentp
1 2
sin
dtp
d
e
nt
p
1 2
cos dt p
0
因为 e nt p 0
所以
tan d t p
d n
tan
dtp
d
0
即输出响应为输入函数与脉冲响应函数的
卷积，脉冲响应函数由此又得名权函数。
求上升时间 tr 由式（3.5）知
xo (t) 1
e nt
1 2
sin d t
arctan
1
2
1t
将 xo (tr ) 1代入，得
11
tp
d
n
1 2
控制工程基础第三章
这是线性定常系统的一个特征。线性时变系 统和非线性系统不具备这种特性。
第三章 时域瞬态响应分析
二、二阶系统 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 它的典型形式是二阶振荡环节。 伺服系统
xi
e
K
J D
xo
第三章 时域瞬态响应分析
简化方块图：
Xi(s)
E(s)
K s ( Js D)
Xo(s)
示意图：
第三章 时域瞬态响应分析
脉冲高度为无穷大；持续时间为无穷小；脉冲面 积为 a。因此，通常脉冲强度是以其面积 a 衡量 当面积 a =1 时，称为单位脉冲函数，又称δ 函数。 δ函数有个很重要的性质，其拉氏变换等于1。
L[ (t )]=1
第三章 时域瞬态响应分析
当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响 应称为脉冲响应函数。 由于δ 函数的拉氏变换等于1，因此系统传 递函数即为脉冲响应函数的象函数。即系统传 递函数与脉冲响应函数是一对拉氏变换对。
2 -ζωn t 1 e 1 sin dt arctan 2 1
1 t
1. 以 d 为角频率衰减振荡； 2. 随着 的减小，振荡幅度加大。 极点的实部决定衰减速度 虚部决定振荡频率
一定， n 变化
n2
s n n 2 1 s n n 1
1 2 1 s 1
1 2( 2 2 1 1) 2( 2 2 1 1) s s n n 2 1 s n n 2 1
特点： 无超调。
第三章 时域瞬态响应分析
2. 过阻尼
1
二阶系统的极点是两个负实根。
第三章 时域瞬态响应分析
二、二阶系统 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 它的典型形式是二阶振荡环节。 伺服系统
xi
e
K
J D
xo
第三章 时域瞬态响应分析
简化方块图：
Xi(s)
E(s)
K s ( Js D)
Xo(s)
示意图：
第三章 时域瞬态响应分析
脉冲高度为无穷大；持续时间为无穷小；脉冲面 积为 a。因此，通常脉冲强度是以其面积 a 衡量 当面积 a =1 时，称为单位脉冲函数，又称δ 函数。 δ函数有个很重要的性质，其拉氏变换等于1。
L[ (t )]=1
第三章 时域瞬态响应分析
当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响 应称为脉冲响应函数。 由于δ 函数的拉氏变换等于1，因此系统传 递函数即为脉冲响应函数的象函数。即系统传 递函数与脉冲响应函数是一对拉氏变换对。
2 -ζωn t 1 e 1 sin dt arctan 2 1
1 t
1. 以 d 为角频率衰减振荡； 2. 随着 的减小，振荡幅度加大。 极点的实部决定衰减速度 虚部决定振荡频率
一定， n 变化
n2
s n n 2 1 s n n 1
1 2 1 s 1
1 2( 2 2 1 1) 2( 2 2 1 1) s s n n 2 1 s n n 2 1
特点： 无超调。
第三章 时域瞬态响应分析
2. 过阻尼
1
二阶系统的极点是两个负实根。
第3章_时域瞬态响应分析_3.2一阶系统的瞬态响应
(t ≥ 0)
1 斜率 − 2 T
1 0.368 T
1 − t /T xo (t ) = e T
T
一阶系统三种典型输入信号及响应关系： 一阶系统三种典型输入信号及响应关系：
xi (t ) = t
输 入
xt (t ) = t − T + Te x1 (t ) = 1 − e 1 1 −T t xδ (t ) = e T
x0(t) 1
1/T
xo(t)=1-e-t/T
86.5%
0
63.2%
95.0%
98.2%
T
2T
3T
4T
t
特点 一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 （1）一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 曲线上升到0.632的高度 。 反过来 ， 的高度。 （ 2 ） 经过时间 T ， 曲线上升到 的高度 反过来， 如果用实验的方法测出响应曲线达到0.632的时间 ， 的时间， 如果用实验的方法测出响应曲线达到 的时间 即是惯性环节的时间常数。 即是惯性环节的时间常数。 经过时间3 响应曲线达稳定值的95 95％ （3）经过时间 3T～ 4T，响应曲线达稳定值的95％～ 98％ 可以认为其调整过程已经完成， 98 ％ ， 可以认为其调整过程已经完成 ， 故一般取调 整时间( 整时间(3～4)T。 响应曲线的切线斜率为1/T。 （4）在t＝0处，响应曲线的切线斜率为 。
注意： 该性质只适用于线性定常系统， 注意 ： 该性质只适用于线性定常系统 ， 不适用于 线性时变系统和非线性系统。 线性时变系统和非线性系统。
1 T T = 2− + s s s+ 1 T
单位斜坡响应为 x0 (t ) = t − T + Te
第三章 时域瞬态响应
添加副标题
时域瞬态响应
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 时域瞬态响应的基 本概念
03 时域瞬态响应的分 析方法
04 时域瞬态响应在工 程中的应用
05 时域瞬态响应的未 来发展
添加章节标题
时域瞬态响应的基本概 念
定义与特性
时域瞬态响应：描 述系统在时域中的 瞬态响应特性
定义：系统在输入 信号作用下的输出 信号随时间的域信号进行分析
现代分析方法
快速傅里叶变换（FFT）：快速计 算傅里叶变换，适用于长信号分析
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
拉普拉斯变换：将时域信号转换为 复频域信号进行分析
小波变换：将时域信号分解为不同 尺度的小波，适用于非平稳信号分 析
优缺点比较
优点：能够直观地反映系统的动态特性，易于理解和分析 缺点：需要大量的数据，计算量较大 优点：可以分析系统的稳定性和稳定性裕度 缺点：不能直接反映系统的频率特性，需要进一步处理才能得到频率响应
瞬态激励：通常 采用阶跃函数、 脉冲函数等作为 瞬态激励
响应测量：通过 测量系统在瞬态 激励下的输出信 号来获取系统的 瞬态响应
数据处理：对测 量数据进行处理 和分析，以获取 系统的瞬态特性 参数
时域瞬态响应的分析方 法
经典分析方法
傅里叶变换：将时域信号转换为频域信号，便于分析 拉普拉斯变换：将时域信号转换为复频域信号，便于分析 卷积定理：用于分析两个信号的卷积，得到新的信号 傅里叶级数：将时域信号分解为傅里叶级数的形式，便于分析 拉普拉斯变换的逆变换：将复频域信号转换为时域信号，便于分析 傅里叶变换的逆变换：将频域信号转换为时域信号，便于分析
时域瞬态响应
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 时域瞬态响应的基 本概念
03 时域瞬态响应的分 析方法
04 时域瞬态响应在工 程中的应用
05 时域瞬态响应的未 来发展
添加章节标题
时域瞬态响应的基本概 念
定义与特性
时域瞬态响应：描 述系统在时域中的 瞬态响应特性
定义：系统在输入 信号作用下的输出 信号随时间的域信号进行分析
现代分析方法
快速傅里叶变换（FFT）：快速计 算傅里叶变换，适用于长信号分析
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
拉普拉斯变换：将时域信号转换为 复频域信号进行分析
小波变换：将时域信号分解为不同 尺度的小波，适用于非平稳信号分 析
优缺点比较
优点：能够直观地反映系统的动态特性，易于理解和分析 缺点：需要大量的数据，计算量较大 优点：可以分析系统的稳定性和稳定性裕度 缺点：不能直接反映系统的频率特性，需要进一步处理才能得到频率响应
瞬态激励：通常 采用阶跃函数、 脉冲函数等作为 瞬态激励
响应测量：通过 测量系统在瞬态 激励下的输出信 号来获取系统的 瞬态响应
数据处理：对测 量数据进行处理 和分析，以获取 系统的瞬态特性 参数
时域瞬态响应的分析方 法
经典分析方法
傅里叶变换：将时域信号转换为频域信号，便于分析 拉普拉斯变换：将时域信号转换为复频域信号，便于分析 卷积定理：用于分析两个信号的卷积，得到新的信号 傅里叶级数：将时域信号分解为傅里叶级数的形式，便于分析 拉普拉斯变换的逆变换：将复频域信号转换为时域信号，便于分析 傅里叶变换的逆变换：将频域信号转换为时域信号，便于分析
控制工程基础时域瞬态响应分析
d tan d t p tan n
dt p tp d n 1 2
求最大超调量 M p 将式(3.16)代入到式(3.4)表示的单位阶 跃响应的输出表达式中，得 M p xo (t p ) 1
n e d 1 2 1 n 2 1 n
1t
dxo t 0 ，得 峰值点为极值点，令 dt
n e
nt p 1 2 sin d t p
d e
n t p
1 2
cos d t p 0
因为
e
所以
n t p
0
以进入±5%的误差范围为例，解 n t e 5% 2 1 得 2 ln 0.05 ln 1 ts n 当阻尼比ζ较小时，有 ln 0.05 3 ts n n 同理可证，进入±2%的误差范围，则有
ts ln 0.02
n
当系统输入任一时间函数时，如下图所示， 可将输入信号分割为n个脉冲，当n→∞时， 输入函数x(t)可看成n个脉冲叠加而成。 按比例和时间平移的方法，可得 k 时刻 的响应为 ，则 x g t
y t lim
t 0
k
n k 0
n
x k g t k
1t
将 xo (t r ) 1代入，得
2 1 e 1 1 sin d t r arctan 2 1 n t r
因为 e
n t r
0
2 1 0 所以 sin t arctan d r 由于上升时间是输出响应首次达到稳态值 的时间，故 2 1 d t r arctan 所以
第3章时域瞬态响应分析-过控
一阶系统单位阶跃响应
验测量惯性环节的时间常数T。
通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%~98%时， 认为系统响应过程基本结束。从而过渡过程时间为3T~4T。
时间常数T反映了系统响应的快慢。T愈小，系统响应愈快。
14
为了减小调节时间（提高快速性），必须减小时 间常数T。下面是减小时间常数的一个方法：
2
n4
(1
2
)2
24 n
(1
2
)
求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。
解：1）单位阶跃输入时
X0
s
Gs
Xi
s
2s 1
s s 12
1 s
1
s 12
1 s 1
所以： x0 t L X0 s 1 tet et
2）单位脉冲输入时，由于 t d 1t
jnd ) (nd )2
e
jd t
(d 2 jnd ) 2 d4 (nd )2
e
jd t
又 d n 1 2 ，则：
(d2 jnd )
2(1 2) j2 1 2
n
n
2 d4 (nd )2
4 1 1 eTs 4 2 1 eTs
s
2s 1
y t
4 1 1t
T
t 4 e 2
t T
e 2
4 1
t
e2
4
1 t
T
控制工程基础 第3章 时域瞬态响应分析
为稳态分量
x o () t t T T e
1 t T
(t 0 )
xo(t) xi (t) = t ess = T
1
- t xo(t) = t-T +Te T
[ ]( ) x ( t ) x o ( t ) e ( t ) i tt T T e 1 e T
其稳态误差为Ｔ
自动控制原理
输入信号
输出响应
1 T e T
t T
t
传递函数
微
(t )
1(t)
１
(t 0 )
微
分
1 S
1 S
1 S
3
1 e
t 0
t T
分
1
2
t
t TTe
t 0
t
TS 1
1 2 t 2
12 2 t Tt T( 1 eT) t 0 2
自动控制原理
3-3 二阶系统的瞬态响应
1 t T
(t 0 )
自动控制原理
lg[1-x0(t)]
0
t
一阶惯性环节识别曲线 说明： １、一阶惯性系统总是稳定 的，无振荡的，无超调的优 秀系统。
自动控制原理
２、经过时间Ｔ，曲线上升到0.632的高度，即， 当响应曲线达到0.632的高度时，所用的时间即 为惯性环节的时间常数Ｔ。 ３、经过时间3T~4T，响应曲线已达稳态值的 95%~98%，可以认为其调整时间已经完成， 故一般取调整时间ts=(3~4)T； ４、 d x o ( t ) 1 故在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T。 5、通过实测某系统单位阶跃响应x0(t)，将[1x0(t)]标在半对数坐标纸上，如果得出一条直线， 则可鉴别出该系统为一阶惯性环节。
x o () t t T T e
1 t T
(t 0 )
xo(t) xi (t) = t ess = T
1
- t xo(t) = t-T +Te T
[ ]( ) x ( t ) x o ( t ) e ( t ) i tt T T e 1 e T
其稳态误差为Ｔ
自动控制原理
输入信号
输出响应
1 T e T
t T
t
传递函数
微
(t )
1(t)
１
(t 0 )
微
分
1 S
1 S
1 S
3
1 e
t 0
t T
分
1
2
t
t TTe
t 0
t
TS 1
1 2 t 2
12 2 t Tt T( 1 eT) t 0 2
自动控制原理
3-3 二阶系统的瞬态响应
1 t T
(t 0 )
自动控制原理
lg[1-x0(t)]
0
t
一阶惯性环节识别曲线 说明： １、一阶惯性系统总是稳定 的，无振荡的，无超调的优 秀系统。
自动控制原理
２、经过时间Ｔ，曲线上升到0.632的高度，即， 当响应曲线达到0.632的高度时，所用的时间即 为惯性环节的时间常数Ｔ。 ３、经过时间3T~4T，响应曲线已达稳态值的 95%~98%，可以认为其调整时间已经完成， 故一般取调整时间ts=(3~4)T； ４、 d x o ( t ) 1 故在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T。 5、通过实测某系统单位阶跃响应x0(t)，将[1x0(t)]标在半对数坐标纸上，如果得出一条直线， 则可鉴别出该系统为一阶惯性环节。
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4. 调整时间计算
以进入±5%的误差范围为例， 解 得 进入±2%的误差范围，则 当阻尼比ζ较小时，有
当阻尼比ζ一定时，无阻尼自振角频率ωn 越大，则 调整时间ts 越短，系统响应越快。 当ωn一定时，变化ζ求ts 的极小值，可得： 当ζ= 0.707 左右时，系统的单位阶跃响应的 调整时间ts 最短，即响应最快。
单位脉冲输入 象函数为 则
xi (t ) = (t )
进行拉氏反变换
3.2节小结
一阶系统的瞬态响应：
1.单位斜坡响应
2.单位阶跃响应 3.单位脉冲响应
3.3 二阶系统的瞬态响应
用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 它的典型形式是二阶振荡环节。
形式一： 为阻尼比； 为无阻尼自振角频率 形式二：
0<<1
=1 >1 =0 <0
3.4 时域分析性能指标
时域分析性能指标是以系统对单位阶跃输入的瞬态 响应形式给出的。
1. 上升时间 tr 响应曲线从零时刻首次到达稳态值的时间。 或从稳态值的10%上升到稳态值的90％所需的时间。
2. 峰值时间
tp
响应曲线从零时刻上升到第一个峰值点所需要的时间。
3.1节小结 1. 瞬态响应及稳态响应的概念 2. 典型输入信号 阶跃函数 斜坡函数 加速度函数 脉冲函数 正弦函数
3.2 一阶系统的瞬态响应 一阶系统：
能够用一阶微分方程描述的系统。
它的典型形式是一阶惯性环节。
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃输入： 象函数为 则
进行拉氏反变换
一阶系统的单位阶跃响应曲线 特点：
进行拉氏反变换,得
3. 过阻尼 > 1
3.3.3 二阶系统的单位斜坡响应 单位斜坡输入
象函数为
则
分三种情况进行讨论。
1. 欠阻尼 0 < < 1
2. 临界阻尼 = 1
3. 过阻尼 > 1
3.3节小结
二阶系统的瞬态响应：
1. 单位脉冲响应
2. 单位阶跃响应 3. 单位斜坡响应
欠阻尼 临界阻尼 过阻尼 零阻尼 负阻尼
2. 临界阻尼 = 1 二阶系统的极点是二重负实根。
进行拉氏反变换,得
特点： 无超调。
3. 过阻尼 > 1
二阶系统的极点是两个负实根。
则
进行拉氏反变换，得
特点：无超调，过渡时间长。
4. 零阻尼 = 0 二阶系统的极点是一对共轭虚根。
进行拉氏反变换,得 特点： 无阻尼 等幅振荡。
5. 负阻尼 < 0 二阶系统的极点具有正实部。 响应表达式的指数项变为正指数，随着时间 t ，其输出 xo (t ) ，系统不稳定。 其响应曲线有两种形式：
第三章 时域瞬态响应分析
课程内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
时域响应以及典型输入信号 一阶系统的瞬态响应 二阶系统的瞬态响应 时域分析性能指标
高阶系统的瞬态响应
机电系统时域瞬态响应的实验方法 Matlab在时间响应分析中的应用
3.1 时域响应以及典型输入信号
稳态响应
瞬态响应
(1) 稳定，无振荡； (2) 经过时间 T 曲线 上升到 0.632 的高度； (3) 调整时间为 (3～4)T ； (4) 在 t = 0 处，响应曲 线的切线斜率为 1/T；
3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应
单位斜坡输入 xi (t ) = t 1(t )
象函数为
则
进行拉氏反变换
3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
时域性能指标的求取
以欠阻尼二阶系统为重点。
该系统的极点是一对共轭复根。
1. 上升时间计算 由式(3.5)知，该系统的单位阶跃响应为
将 xo (tr ) = 1 代入，得
=0
由于上升时间是输出响应首次达到稳态值的时间， 故
2. 峰值时间计算
峰值点为极值点，令
，得
因为
所以
3. 最大超调量计算 将上式代入到单位阶跃响应表达式中，得
发散振荡
单调发散
3.3.2 二阶系统的单位脉冲响应 单位脉冲输入 象函数为 则
分三种情况进行讨论。
1. 欠阻尼 0 < < 1 二阶系统的极点是一对共轭复根。
Байду номын сангаас
式中，
进行拉氏反变换，得
特点：1. 以 为角频率衰减振荡； 2. 随着 的减小，振荡幅度加大。
2. 临界阻尼 = 1
=1
二阶系统的极点是二重负实根。
3. 最大超调量
Mp
响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之 比；单位阶跃输入时，即是响应曲线的最大峰值与 稳态值的差。通常用百分数表示。
4. 调整时间
ts
响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的 最短时间。
5. 延迟时间
td
响应曲线从零上升到稳态值的50%所需要的时间。
6. 振荡次数
在调整时间ts 内响应曲线振荡的次数。
典型输入信号 1. 阶跃响应 数学表达式： 示意图：
When a=1, this function is
called unit--step function.
典型输入信号 2. 斜坡响应 数学表达式： 示意图：
When a=1，this function is called unit--ramp function.
3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃输入 xi (t ) = 1(t ) 象函数为 则
根据二阶系统的极点分布特点,分五种情况进行讨论。
1. 欠阻尼 0 < < 1 二阶系统的极点是一对共轭复根。
式中，
，称为阻尼自振角频率。
进行拉氏反变换，得
特点：1. 以 为角频率衰减振荡； 2. 随着 的减小，振荡幅度加大。
典型输入信号 5. 正弦函数 数学表达式： 示意图：
当系统输入任一时间函数时，如下图所示，可将输 入信号分割为 n 个脉冲。 当 时，输入函数x(t)可看成n个脉冲叠加而成。 按比例和时间平移的方法，可得 时刻的响应为：
所以：
输出响应为输入函数与脉冲响应函数的卷积，脉冲响应
函数由此又得名权函数。
例：下图所示系统，施加8.9N阶跃力后，记录其 时间响应如图，试求该系统的质量M、弹性刚度k 和粘性阻尼系数D的数值。
解：根据牛顿第二定律
拉氏变换，并整理得
• 作业：3-1 , 3-17
典型输入信号 3. 加速度响应 数学表达式：
示意图：
When a=1/2，This function is called unit-acceleration function.
典型输入信号 4. 脉冲响应 数学表达式：
示意图：
当系统输入为单位脉冲函数时， 其输出响应称为脉冲响应函数。 由于δ函数的拉氏变换等于1， 因此系统传递函数即为脉冲响 应函数的象函数。