《计算方法》期末复习
计算方法与实习(第五版)期末复习资料
《计算机在材料科学中的应用》习题课第一章 误差等概念1. 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差2. 绝对误差（限）：e=x*-x ，|e|＝|x*-x|≤ε3. 相对误差（限）：e r ＝(x*-x)/x ，|e r |＝|x*-x|/|x|≤εr4. 有效数字：|e|≤m-n 11025. 防止误差的危害：避免两相近数相减，多数作乘数或小数作除数，大数“吃”小数第二章 方程求根1. 根的存在及隔离2. 二分法：误差是()k+11b-a 23. 迭代法：'1x (x)|(x)|1 ||k k x x ϕϕε+=<-<， ，4. 加速法：'()L x ϕ≈取， 1111() L 1Lk k k k k k x x x x x x ϕ-+--+++⎧⎪⎨+-⎪⎩-＝＝（） 5. 牛顿迭代法：1000''1'111111'f()f()f ()0f ()f() f ()=c f()-f()f()()f ()=f()-f()f() f ()k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x c x x x x x x x x x x x x x x x x λλ++--+--+->-----g ''＝, 选取时使得简化牛顿法:，＝拟牛顿法（割线法）: ，＝牛顿下山法:＝, 选取下山因子使得1|f()|<|f()|k k x x +⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩第三章 方程组求解1. 消去法：高斯消去法，列主元消去法，高斯-约当法，消元因子 ()()k ikik k kka l a =消元公式 (k+1)(k)(k)ij ij ik kj (k+1)(k)(k)i i ik k a =a -l a (i,j=k+1,k+2,...,n)b =b -l b (i=k+1,k+2,...,n)⎧⎪⎨⎪⎩ 回代公式 kjn(k)(k)kjj=k+1k (k)kkb - a x x =(k=n,...,1)a∑2. 矩阵直接分解：紧凑格式3. 追赶法4. 迭代法：收敛条件1||||nii ij j j ia a =≠>∑①雅可比法迭代格式：ji n(k)i ij j=1j i(1)iib -a x x =(i=1,2,...,n) a k ≠+∑②高斯-赛德尔法迭代格式：jji i-1n(k+1)(k)i ij ij j=1j=i+1(1)iib -a x -a x x =(i=1,2,...,n)a k +∑∑第四章 插值法1. 插值多项式2012j j j j (1)n+1 ()()... , (x )= f( x )= y (j=0,1,...,n) x [a,b],() ()=()-()=()(n+1)!n n n n f x P x a a x a x a x P f R x f x P x x ξω+≈=++++=插值条件，插值节点，插值区间插值余项2. 拉格朗日插值： 插值基函数 n 001 () L ()()0 n nji j i i j i j j ix x i j l x x y i jx x ==≠-=⎧==⎨≠-⎩∑∏g ，3. 差商：10011002010122101k-2k 01k-2k-101k k k-1f(x )-f(x )f[x ,x ]=x -x f[x ,x ]-f[x ,x ]f[x ,x ,x ]=x -x f[x ,x ,...,x ,x ]-f[x ,x ,...,x ,x ]f[x ,x ,...,x ]=x -x 一阶差商二阶差商k 阶差商4. 牛顿插值公式f(x)=f(x 0)+f[x 0,x 1](x-x 0)+f[x 0,x 1,x 2](x-x 0)(x-x 1)+… +f[x 0,x 1,…,x n ](x-x 0)(x-x 1)…(x-x n-1) 5. 差分（等间距节点）111122111 = () , () -() -() - - k k k k k k k k k k k k k k m m m k k k x x kh x x f f x f x x h f f f f x x h f f f f x x h f f fm f f f δ+-+---+=+-∆≡∇≡≡∆=∆∆k 0k+1k 等距节点时，（k=0,1,...,n ）,h=记则在处以为步长的向前差分：在处以为步长的向后差分：在处以为步长的中心差分：同样也有各自的阶差分111111122- -m m m k k k m m m k k k f f f f f fδδδ-----+-∇=∇∇=6. 牛顿前插公式20000001012nf f f ()=()+(-)()()....()...()()h 2!h n!h n n n f x f x x x x x x x x x x x R x -∆∆∆+--++--+7. 样条插值：三次样条插值，要求光滑、连续第五章 曲线拟合最小二乘原理2012n2i 01m j j j=1n (j=1,2,...,n),[]()...a (i=0,1,..., m),• (a ,...,a )= [P(x ) - y ] (x)(x,y ) m m p x a a x a x a x p n ϕ=++++∑j j 1n 有对数据(x ,y )在x ,x 上求一个m 次多项式适当选取使得,a 为最小值，则称为最小二乘拟合多项式是间的经验公式。
数值计算方法期末复习答案终结版
一、 名词解释1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差，简称误差。
2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。
如果近似值*x 的误差限是1102n -⨯，则称*x 准确到小数点后n 位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。
3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。
计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。
4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x ，若||||x 满足（1）||||0x ≥，且||||0x =当且仅当0x =； （2）对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ； （3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。
5. 插值法：给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似的方法。
6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x 的相对误差，记为*()r e x ，即**()()r e x e x x=7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A 。
若||||A 满足（1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =； （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；（3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B 称||||A 为矩阵A 的范数。
2022年北师大版四年级上册数学期末复习方法技能分类训练1 用计算工具探索规律的技巧
方法技能分类评价1．用计算工具探索规律的技巧一、认真审题，填一填。
(每空3分，共27分)1．用计算器算26×34时，先输入()，然后输入()，接着输入()，最后输入()，就可以显示结果。
2．计算器中的OFF是()键。
3．计算器上的开机键是()，我们常用的运算符号键有()。
4．括号内可以填几？利用计算器找到合适的答案。
二、仔细推敲，选一选。
(每小题5分，共20分)1．在计算器上，下面的按键中，()不是运算符号键。
A. B. C.2．聪聪用计算器计算完一道题，他想接着做下一道题，应按()键。
A. B. C.3．在计算过程中，如果发现输入数据不正确，可以用()键清除错误。
A. B. C.4．龙龙在计算125×56时，错将按成了，得到的结果比正确的结果少()。
A．7000 B．6819 C．6875三、细心的你，算一算。
(共53分)1．先用计算器计算下面各题，再根据规律写两道算式。
(每小题10分，共20分)(1)27×37＝()297×3367＝()2997×333667＝()__________________________________________________________________________________________________________________(2)1999998÷9＝()2999997÷9＝()3999996÷9＝()________________________________________________________________________________________________________________2．根据每组中前几道算式的规律，在括号里填合适的数。
(每小题4分，共12分)(1)1×8＋1＝912×8＋2＝98123×8＋3＝9871234×8＋4＝9876123456×8＋6＝()123456789×8＋9＝()(2)6×7＋2＝4466×67＋22＝4444666×667＋222＝4444446666×6667＋2222＝()()×()＋()＝4444444444(3)9×9－1＝8098×9－2＝880987×9－3＝88809876×9－4＝8888098765×9－5＝()987654×9－6＝()3．神奇的四位数。
(完整word版)数值计算方法期末复习答案终结版
一、 名词解释1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值,称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差,简称误差。
2．有效数字:有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小,又能表示其精确程度。
如果近似值*x 的误差限是1102n -⨯,则称*x 准确到小数点后n 位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。
3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。
计算一个数学问题,需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序,这就是算法。
4。
向量范数:设对任意向量n x R ∈,按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x ,若||||x 满足 （1）||||0x ≥,且||||0x =当且仅当0x =； （2)对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ； （3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。
5. 插值法:给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似的方法。
6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x 的相对误差，记为*()r e x ，即**()()r e x e x x=7。
矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A .若||||A 满足 (1）||||0A ≥,且||||0A =当且仅当0A =; （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；（3）对任意两个n 阶方阵A ，B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B称||||A 为矩阵A 的范数.8． 算子范数：设A 为n 阶方阵,||||•是n R 中的向量范数，则0||||||||||||maxx Ax A x ≠=是一种矩阵范数，称其为由向量范数||||•诱导出的矩阵范数，也称算子范数.9。
数值计算方法期末复习标准标准答案终结版
一、 名词解释1．误差：设*x 为准确值x 地一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 地绝对误差，简称误差.2．有效数字：有效数字是近似值地一种表示方法，它既能表示近似值地大小，又能表示其精确程度.如果近似值*x 地误差限是1102n -⨯，则称*x 准确到小数点后n 位，并从第一个不是零地数字到这一位地所有数字均称为有效数字.算法：是指解题方案地准确而完整地描述，是一系列解决问题地清晰指令，算法代表着用系统地方法描述解决问题地策略机制.计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果地运算顺序，这就是算法.4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈，按一定地规则有一实数与之对应，记为||||x ，若||||x 满足（1）||||0x ≥，且||||0x =当且仅当0x =； （2）对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ； （3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 地范数.5. 插值法：给出函数()f x 地一些样点值，选定一个便于计算地函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 地近似地方法.6相对误差：设*x 为准确值x 地一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x 地相对误差，记为*()r e x ，即**()()r e x e x x=7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定地规则有一实数与之对应，记为||||A .若||||A 满足 （1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =； （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；（3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B 称||||A 为矩阵A 地范数.8．算子范数：设A 为n 阶方阵，||||∙是n R 中地向量范数，则0||||||||||||maxx Ax A x ≠=是一种矩阵范数，称其为由向量范数||||∙诱导出地矩阵范数，也称算子范数.9. 矩阵范数与向量范数地相容性：对任意n 维向量x ，都有||||||||Ax A ≤||||x这一性质称为矩阵范数与向量范数地相容性.10.1-范数，∞-范数和2-范数： （1）1-范数11||||||ni i x x ==∑（2）∞-范数1||||max{||}i i nx x ∞≤≤=（3）2-范数221||||x x =+二、简答题1．高斯消元法地思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解地上三角形方程组，此过程称为消元过程.然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组地解，此过程称为回代过程.2. 迭代法地基本思想是：构造一串收敛到解地序列，即建立一种从已有近似解计算新地近似解得规则，由不同地计算规则得到不同地迭代法.3. 雅可比（Jacobi ）迭代法地计算过程（算法）： （1）输入()ij A a =，1(,,)n b b b =，维数n ，(0)(0)(0)(0)12(,,,)n x x x x =，ε，最大容许迭代次数N. （2）置1k = （3）对1,2,,i n =(0)1()/ni i ij j ii j j i x b a x a =≠=-∑（4）若(0)x x ε-<，输出x 停机；否则转5. （5）k N <，置(0)1,(1,2,,)i i k k x x i n +⇒⇒=，转3，否则，输出失败信息，停机.4. 插值多项式地误差估计：（P102）由(1)(1)101()()()()()()()(1)!(1)!n n n n n f f R x x x x x x x x n n ξξω+++==---++当(0,1,,)i x x i n ==时，上式自然成立，因此，上式对[,]a b 上地任意点都成立，这就叫插值多项式地误差估计.5. 反幂法地基本思想：设A 为阶非奇异矩阵，λ，u 为A 地特征值和相应地特征向量，则1A - 地特征值是A 地特征值地倒数，而相应地特征向量不变，即11A u u λ-=因此，若对矩阵1A -用幂法，，即可计算出1A -地按模最大地特征值，其倒数恰为A 地按模最小地特征值.6. 雅可比（Jacobi ）迭代法是：选取初始向量(0)x 代入迭代公式(1)()k k i x Bx g +=+(0,1,2,)k =产生向量序列(){}k x ，由上述计算过程所给出地迭代法. 7. 数值计算中应注意地问题是：（1）避免两个相近地数相减 （2）避免大数“吃”小数地现象（3）避免除数地绝对值远小于被除数地绝对值 （4）要简化计算，减少运算次数，提高效率 （5）选用数值稳定性好地算法8. 高斯消去法地计算量：由消去法步骤知，在进行第k 次消元时，需作除法n k -次，乘法()n k -(1)n k -+次，故消元过程中乘除运算总量为乘法次数121()(1)(1)3n k n n k n k n -=--+=-∑ 除法次数11()(1)2n k nn k n -=-=-∑在回代过程中，计算k x 需要(1)n k -+次乘除法，整个回代过程需要乘除运算地总量为1(1)(1)2nk nn k n =-+=+∑，所以，高斯消去法地乘除总运算量为322(1)(1)(1)32233n n n n n N n n n n =-+-++=+-9. 迭代法地收敛条件：对任意初始向量(0)x 和右端项g ，由迭代格式(1)()k k x Mx g +=+(0,1,2,)k =产生地向量序列(){}k x 收敛地充要条件是()1M ρ<.10. 迭代法地误差估计：设有迭代格式(1)()k k x Mx g +=+，若||||1M <，(){}k x 收敛于*x ，则有误差估计式()*(1)(0)||||||||||||1||||Kk M xx x x M -≤--.二、 计算题1.假定运算中数据都精确到两位小数，试求*1.21 3.659.81x =⨯-地绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字？解：由式12121212121212()()()()()()r r r e x x e x e x x x e x x e x e x x x x x ±=±⎧⎪⎨±=±⎪±±⎩和1221121212()()()()()()r r r e x x x e x x e x e x x e x e x ≈+⎧⎨≈+⎩得 *() 3.65(1.21) 1.21(3.65)(9.81)e x e e e =⨯+⨯-因为式中数据都精确到两位小数，即其误差限均为21102-⨯，故有*|()| 3.65|(1.21)| 1.21|(3.65)||(9.81)|e x e e e ≤⨯+⨯+***|()|0.0293|()|0.0054|| 5.3935r e x e x x =≤=所以，*x 地绝对误差限为0.0293，相对误差限为0.0054，计算结果有两位有效数字.2.求矩阵223477245A ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦地三角分解.解：由式111111(1,2,,)(2,,,,,)()/(1,2,,1,1,,)j j i ij ij ik kjk j ij ij ik kj jjk u a j n u a l u i n j i n l a l u u j n i j n -=-=⎧⎪==⎪⎪=-==⎨⎪⎪=-=-=+⎪⎩∑∑，12122u a ==，13133u a ==2121114/22l a u ===，3131112/12l a u -===- 222221127223u a l u =-=-⨯=，232321137231u a l u =-=-⨯=3232311222()/[4(1)2]/32l a l u u =-=--⨯=333331133223()5[(1)321]6u a l u l u =-+=--⨯+⨯=所以21(3.65 1.211)100.02932-≤++⨯⨯=100223210031121006A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦3．用幂法（2k =）求矩阵210021012A -⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦地按模最大地特征值和相应地特征向量.取(0)(0,0,0)T x =. （P 77）解：(0)(0)(0,0,1)T y x ==(1)(0)(0,1,2)T x Ay ==-, 2α=(1)(1)(0,0.5,1)T x yα==-(2)(1)(0.5,2,2.5)T x Ay ==-， 2.5α=4. 已知函数ln y x =，x 地值是10,11,12,13,14对应地ln y x =地值分别是 2.3026，2.3979,2.4849,2.5649,2.6391.用Lagrange 线性插值求ln11.5地近似值.解：取两个节点011x =，112x =，插值基函数为1001()(12)x x l x x x x -==---0110()11x x l x x x x -==-- 由式011010110()x x x x x y y x x x x ϕ--=+--得 1() 2.3979(12) 2.4849(11)L x x x =--+-将x=11.5代入，即得1ln11.5(11.5) 2.39790.5 2.48490.5 2.4414L ≈=⨯+⨯=按式(1)1()()()(1)!n n n f R x x n ξω++=+(,)a b ξ∈得 "1(ln )()(11)(12)2!x R x x x ξ=--因为"21(ln )x x =-，ξ在11和12之间，故"2211|(ln )|0.008264511x ξξ=≤= 于是311|(11.5)|0.00826450.50.5 1.03306102R -≤⨯⨯⨯=⨯5. 用Jacobi 迭代法（1k =）求解线性方程组1231231231027210283542x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ .解：由Jacobi 迭代法得计算公式(1)()11nk k iiij j j iiiij ib xa x a a +=≠=-+∑得 (1)()()123(1)()()213(1)()()3120.10.27.20.10.28.30.20.28.4k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩ 取(0)(0,0,0)T x =，代入上式得(1)17.2x =(1)28.3x =(1)38.4x =(2)10.18.30.28.47.29.71x =⨯+⨯+=(2)20.17.20.28.48.310.70x =⨯+⨯+= (2)30.27.20.28.38.411.50x =⨯+⨯+=6. 设有方程组Ax b =，其中111221112211122A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，讨论用Jacobi 迭代法求解地收敛性. 解：因为A 为对称矩阵，且其各阶主子式皆大于零，故A 为对称正定矩阵，A 不是弱对角占优阵，故不能判别Jacobi 迭代地收敛性.易算出Jacobi 迭代法地迭代矩阵为1110221102211022B I D A -⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦其特征方程311221113||22441122I B λλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-==+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦21()(1)02λλ=-+=有根1212λλ==，31λ=-，因而()1B ρ=.由向量序列(){}k x 收敛地充要条件是()1B ρ<，故Jacobi 迭代法不收敛.7．用反幂法（1k =）求矩阵210021012A -⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦接近2.93地特征值，并求相应地特征向量，取(0)(0,0,0)T x =.解：对 2.93A I -作三角分解得0.93102.9300.931010.93A I --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1000.931001000.9311101000.930.930.93⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 8. 已知函数ln y x =，x 地值是10,11,12,13,14对应地ln y x =地值分别是 2.3026，2.3979, 2.4849, 2.5649, 2.6391.用Lagrange 抛物线插值求ln11.5地近似值.解：取011x =，112x =，213x =，插值多项式为2(12)(13)(11)(13)(11)(12)() 2.39792.4849 2.5649(1112)(1113)(1211)(1213)(1311)(1312)x x x x x x L x ------=++------1.19895(12)(13)2.4849(11)(13) 1.28245(11)(12)x x x x x x =-----+--所以2ln11.5(11.5)L ≈1.19895(0.5)( 1.5)2.48490.5( 1.5) 1.282450.5(0.5) 2.442275=⨯-⨯--⨯⨯-+⨯⨯-=因为"'32(ln )x x=，于是 "'2311132max |(ln )|0.15031011x x -≤≤≤=⨯ 因此用抛物线插值法计算地误差为"'2|(ln )||(11.5)||(11.511)(11.512)(11.513)|3!x R ξ=---2510.1503100.50.5 1.59.3938106--≤⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ 查表可得ln11.5 2.442347= 三、 证明题1. 若x 地近似值x *=1210.10(0)m n a a a a ±⨯≠…有n 位有效数字，则111102n a -+⨯为其相对误差限.反之，若x *地相对误差限rε满足111102(1)n r a ε-+≤⨯+，则x *至少具有n 位有效数字.证明：由式*1||102m n x x --≤⨯得**1|()|||102m n e x x x -=-≤⨯从而有**1*121110()12|()|||100.102m nn r m n e x e x x a a a a --+⨯=≤≤⨯⨯ 所以111102n a -+⨯是*x 地相对误差限. 若111102(1)n r a ε-+≤⨯+，由式***()|()|||r r e x e x xε=≤得 ***12|()||()|0.10m r nr e x x e x a a a ε=≤⨯111111(1)1010102(1)2m n m n a a --+-≤+⨯⨯⨯=⨯+由式*1||102m n x x --≤⨯，*x 至少有n 位有效数字.2. 设01,,,n x x x …为1n +个互异节点，(),(0,1,)i l x i =…,n 为这组点上地Lagrange 插值基函数，试证明0()1ni i l x =≡∑.证明：上式地左端为插值基函数地线性组合，其组合系数均为1.显然，函数()1f x ≡在这n+1个节点处取值均为1，即()1i i y f x ==(0,1,,)i n =，由式0()()nn i i i L x y l x ==∑知，它地n 次Lagrange 插值多项式为0()()nn i i L x l x ==∑对任意x ，插值余项为(1)1()()()()()0(1)!n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=≡+所以 0()()()1nn i i L x l xf x ==≡=∑3设A 为任意n 阶方阵，∙为任意由向量范数诱导出地矩阵范数，则()A A ρ≤ 证明：对A 地任一特征值i λ及相应地特征向量i u ，都有||i λ||||||||||||||||i i i i u u Au A λ==≤||||i u因为i u 为非零向量，于是有 ||||||i A λ≤由i λ地任意性即得 ()||||A A ρ≤4. 设A 为n 阶方阵，则lim 0k k A →∞=地充分必要条件为()1A ρ<.证明：必要性.若lim 0k k A →∞=由相关定义得 l i m ||||k k A→∞= 而 0()[()]||K K K A A A ρρ≤=≤ 于是由极限存在准则，有 l i m [()]k k A ρ→∞= 所以()1A ρ<.充分性.若()1A ρ<，取1()02A ρε-=>，由||||()A A ρε≤+,存在一种矩阵范数∙，使得1()||||()12A A A ρρε+≤+=< 而||||||||k k A A ≤，于是 l i m ||||l i m |||k k k k A A →∞→∞== 所以 l i m0k k A →∞=五、应用题1.平面桁架是由刚性元件通过结点互相联结而组成地力学结构，它通常出现在桥梁结构和其他需要力学支撑地结构中.如图是一个简单地静力桁架结构，其中刚性元件（5m =）通过结点,,,A B C D 相连.求各个结点地合力方程，并求出当,36ππαβ==外部负荷12250,1500g N g N ==时，求各个节点内力.解：设五个刚性元件地内力为125{,,,}f f f ，它们都处理为压力，如果解是负地，表明该力是张力.桁架地左边由固定结点A 支撑，右边由滑轮D 支撑，678,,f f f 是外部支撑力，12,g g 是外部负荷.由于在静力平衡时，每个结点处地水平方向合力与垂直方向地合力为零，那么有结点A 12617cos 0sin 0f f f f f αα+-=⎧⎨+=⎩ 结点B 141134cos cos 0sin sin 0f f g f f f αβαβ-++=⎧⎨---=⎩结点C 253200f f f g -+=⎧⎨-=⎩ 结点D 4548cos 0sin 0f f f f ββ--=⎧⎨+=⎩设f 表示未知力向量，上述方程组可用矩阵表示为12cos 10001000sin 00000100cos 00cos 0000sin 01sin 000000100100000010*******cos 10000000sin 00010g f g αααβαβββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 若取,36ππαβ==，外部负荷12250,1500g N g N ==.采用列主元素法，得各结点地内力如下：(1174,837,1500,966.5,837,250,1017,483.3)T f =--版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有 This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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【精选】北师大版四年级下册数学期末复习《计算》专项测试卷(含答案)
【精选】北师大版四年级下册数学期末复习《计算》专项测试卷（含答案）一、认真审题，填一填。
(每空1分，共24分)1．根据24×45＝1080，在括号里填上适当的数。
2.4×4.5＝( ) 0.24×450＝( )2.4×0.45＝( )2．( )缩小到原来的110是7.29，0.0165扩大到原来的( )倍是165。
3．找规律填数。
(1)2.4，3.2，4，4.8，( )，( )。
(2)6.8，5.7，4.6，( )，2.4，( )。
4．在里填上“＞”“＜”或“＝”。
0.9×1.20.9 4.08×10040.85.6×1 5.63.882388.2÷100 15.4×2.1 1.54×0.210.8×0.40.55．被减数和减数同时增加1.56，它们的差( )，两个加数同时增加1.56，它们的和( )。
(填“变大”“变小”或“不变”)6．根据运算定律填一填。
1.25×m×8＝(×)×m a·m－a·n＝a·(－)7．如果4x＋6＝12，那么1.5x＋0.5＝( )8．下面是四(1)班同学回收废塑料瓶的情况记录表。
平均每个小组回收废塑料瓶( )个。
如果每个废塑料瓶可以卖0.05元，这次回收的废塑料瓶一共可以卖( )元。
二、仔细推敲，选一选。
(将正确答案的序号填在括号里)(每小题2分，共12分)1．下面三个选项中包含了“5.47×3.02”的正确计算结果，不笔算，你认为正确的是( )。
A. 16.5194B. 16.514C. 16.51492．下面一定相等的一组式子是( )。
A. a2和2aB. 2×(a＋1)和2a＋1C. 2a和a＋a3．甲数与乙数的和比甲数多4.3，比乙数多2.07，则甲数比乙数少( )。
北师大版五年级上册数学期末复习《计算》专项练习(含答案)
北师大版五年级上册数学期末复习《计算》专项练习（含答案）一、认真审题，填一填。
(第3，4，7题每小题2分，其余每空1分，共23分) 1.2．38÷11的商是( )(填“循环”或“不循环”)小数，用简便方法记作( )，保留两位小数约是( )。
3．0.12÷( )＝( )÷30＝65＝18÷( )20＝( )(填小数) 4．35分＝( )时 375克＝()千克 9时＝( )日 60平方分米＝()平方米 5．估一估。
(1)2.5÷0.9，商的大概位置是( )点。
(2)4÷0.95，商的大概位置是( )点。
(3)6÷1.02，商的大概位置是( )点。
6．给57添上( )个114后就是最小的质数，给57去掉( )个17后是27。
7．两个质数的和是56，这两个质数分别是( )和( )；两个质数的差是4，积是77，这两个质数分别是( )和( )。
8．一个分数用2约一次，用3约一次，得到最简分数25，则约分前的分数是( )。
9．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2022年2月20日在我国北京市和张家口市联合举行。
北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区和张家口赛区承办除自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目。
北京冬奥会会徽为“冬梦”，比赛共设7个大项、15个分项、109个小项。
(1)上面这些自然数中，是质数的有( )，既是偶数又是质数的有( )，5的倍数有( )，既是2的倍数又是3的倍数的有( )。
(2)文中有两个数的最大公因数是5，这两个数是( )和( )。
二、仔细推敲，选一选。
(把正确答案的序号填在括号里)(每小题2分，共12分)1．下列选项中，( )是最简分数。
A.39B.315C.1017D.15242．下面各组数中，是互质数的是( )。
A．91和65 B．111和231C．1005和2340 D．1234和12353．下面选项中，( )的涂色部分与整体的关系和其他表示的不一样。
数值计算方法期末复习答案终结版
1．误差：设 x* 为准确值 x 的一个近似值，称 e(x*) x x* 为近似值 x* 的绝对误差，简称误
差。
2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其
精确程度。如果近似值 x* 的误差限是 1 10n ，则称 x* 准确到小数点后 n 位， 2
并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。
3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着
4.
用系统的方法描述解决问题的策略机制。计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数
据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。
|| x || 满足
向量范数：设对任意向量
（1） ||
x
||
Байду номын сангаас
（2）对任意实数
（3）对任意
0
，且
x,
y
则称|| x || 为向量 x 的范数。
||
x
x
||
，都有
Rn
0
R
n
，按一定的规则有一实数与之对应，记为
当且仅当
，都有 ||
||
x
x
|||
5. 插值法：给出函数 f (x) 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分
y
x
|
||||
段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数(x) 作为
f (x) 的近似的方法。
6 相对误差：设 x* 为准确值 x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值 x* 的相对
误差，记为 er
( x* )
，即
er
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《计算方法》期末复习
一、填空
1．区间［a ,b ］上的三次样条插值函数S （x ）在［a ,b ］上具有直到 阶的连续导数。
2．牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）数值求积公式∑⎰=-≈n
i i n i b
a x C f a
b dx x f 0
)()()()(，当n 为奇数时，至少具有 次
代数精确度；
3. 已知)2,1(-=T
X ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=1 32 7A ，则=A 1 。
4.
所确定的插值多项式的次数是 。
5．牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）数值求积公式∑⎰=-≈n
i i n i b
a x C f a
b dx x f 0
)()()()(，当n 为偶数时，至少具有 次
代数精确度。
6．已知)2,1(-=T
X ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=1 32 7A ，则=∞)Cond(A 。
7. 为使两点的数值求积公式：)()()(11
10x x f f dx x f ⎰-+≈具有最高的代数精确度，则其求积节点应为 。
8. 若A 是n 阶 阵，则A 的条件数Cond （A ）≥1。
二、简答
1．n 方矩阵A 可进行LU 分解的充要条件是什么？
2．叙述任何范数必须满足的公理。
定义()[],f x C a b ∈的最大值范数及欧氏范数。
3．构造最佳平方逼近多项式的基本原则是什么？ 4．数值积分公式（
()()0
n
b
k k a
k f x dx A f x =≈
∑⎰）的求积系数k
A 主要与哪些因素有关？
5．什么是样条函数？它与分段多项式有什么不同？ 6．如果用复化Simpson 公式求
()b
a f x dx ⎰的近似值，那么要将积分区间[],a
b 分成多少等份，才能保证
误差不超过ε？
7．定义Legendre 多项式并给出它们的正交关系式。
8．叙述Gauss--Seidel 迭代格式收敛的充要条件。
9．什么是线性赋范 空间？线性赋范空间一定是内积空间吗？
10．什么是强制边值条件？（或本质边值条件？）什么是自然边值条件？在构造变分问题时，如何处理这两类条件？
三、试用“追赶法”求解线性代数方程组
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1915834 1
1 3 1 1
2 11 14321x x x x
四、在区间［-1,1］上取基函数x x x x x 2210)(,)(,1)(===ϕϕϕ，求14)(3+=x x f 在［-1,1］上带权1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式。
五、设有n 级方阵A ，若存在矩阵范数•，使得1<A ，试证明I －A 非奇异（I 为n 级单位阵），且有 A
A I -≤
--11
)(1 六、用牛顿法求115的近似值，要求精度610-=ε。
七、设A ，B 为n 阶矩阵，求证
)()()(B Cond A Cond AB Cond •≤
八、用迭代加速公式求方程x e x -=在x ＝0.5附近的根*x ，要求精度510-=ε。
九、设x e x f -=)(在30.0,25.0,15.0,10.03210====x x x x 的值分别是0.904837，0.860780，0.778801，0.740818，试构造拉格朗日插值多项式，求x e -在20.0=x 的近似值并估计误差。
十、给定求积节点0113
,44
x x ==，试推出计算积分()10f x dx ⎰的插值型求积公式，并写出它的截断误差。
十一、用最小二乘法求一个形如x a a y
+=的经验公式，使与下列数据相拟合。
十二、设⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=001122101A ，计算∞A A A ,,21。
十三、用三角分解法解
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡201814513252
321321x x x
十四、用最小二乘法求一个形如bx ae x S =)(的经验公式，使它与下列数据相拟合。
)3()2()1()0()(32103
0f A f A f A f A dx x f +++≈⎰
使其具有3次代数精度。