拉普拉斯(Laplace)变换.
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laplace拉普拉斯变换,拉普拉斯定理
j
二、拉氏变换的几个基本性质 （1）线性性质
设L[ f1 (t )] F1 ( s )，L[ f 2 (t )] F2 ( s )，a、b为常数，则有 L[ af1 (t ) bf2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )] aF1 ( s ) bF2 ( s ) L1[aF1 ( s ) bF2 ( s )] aL1[ F1 (t )] bL1[ F2 (t )] af1 (t ) bf2 (t )
利用本公式可得： L[ u (t )] 1 / s L[t 2 ] 2 / s 3 L[t ] 1 / s 2
5、指数函数
e f (t ) 0
at
t0 t0
f(t)
a0
F (s) e e
at 0
st
dt
0
a0
t
e
0
( s a )t
1
1 d ( m 1) C1 lim ( m 1) [(s s1 ) m F ( s )] ( m 1)! s s ds
1
f (t ) L1 [ F ( s )]
n Cm C m 1 m 2 st m 1 [ t t C 2 t C1 ]e Ci e s t ( m 1)! ( m 2)! i m 1
（2）微分性质
设L[ f (t )] F ( s )，则有 df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s ) sf (0) f ' (0) dt 2 L[ d n f (t ) L[ ] s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f ' (0) f dt n
二、拉氏变换的几个基本性质 （1）线性性质
设L[ f1 (t )] F1 ( s )，L[ f 2 (t )] F2 ( s )，a、b为常数，则有 L[ af1 (t ) bf2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )] aF1 ( s ) bF2 ( s ) L1[aF1 ( s ) bF2 ( s )] aL1[ F1 (t )] bL1[ F2 (t )] af1 (t ) bf2 (t )
利用本公式可得： L[ u (t )] 1 / s L[t 2 ] 2 / s 3 L[t ] 1 / s 2
5、指数函数
e f (t ) 0
at
t0 t0
f(t)
a0
F (s) e e
at 0
st
dt
0
a0
t
e
0
( s a )t
1
1 d ( m 1) C1 lim ( m 1) [(s s1 ) m F ( s )] ( m 1)! s s ds
1
f (t ) L1 [ F ( s )]
n Cm C m 1 m 2 st m 1 [ t t C 2 t C1 ]e Ci e s t ( m 1)! ( m 2)! i m 1
（2）微分性质
设L[ f (t )] F ( s )，则有 df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s ) sf (0) f ' (0) dt 2 L[ d n f (t ) L[ ] s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f ' (0) f dt n
laplace变换公式表
laplace变换公式表Laplace变换公式表引言Laplace变换是数学中一种常见的变换方法，广泛应用于控制理论、信号处理、电路分析等领域。
本文将介绍Laplace变换及其公式表，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
一、Laplace变换简介Laplace变换是由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯于18世纪末提出的一种数学变换方法。
它将一个函数f(t)在复平面上的运算转换为另一个函数F(s)，其中s是复变量。
Laplace变换在时域和频域之间建立了一种联系，使得复杂的微分方程可以转化为简单的代数方程，从而简化了问题的求解过程。
二、Laplace变换公式表下面是一些常用的Laplace变换公式，它们在不同的应用中起到重要的作用：1. 常数函数：L{1} = 1/s这个公式表明，Laplace变换会将一个常数函数1转换为1/s，其中s是复变量。
2. 单位阶跃函数：L{u(t)} = 1/s单位阶跃函数u(t)是一个在t=0时突变为1的函数。
该公式表明，Laplace变换会将单位阶跃函数转换为1/s。
3. 指数函数：L{e^at} = 1/(s-a)指数函数e^at是一个在复平面上以指数形式增长或衰减的函数。
该公式表明，Laplace变换会将指数函数转换为1/(s-a)，其中a是一个常数。
4. 正弦函数：L{sin(at)} = a/(s^2+a^2)正弦函数sin(at)是一个周期性的函数。
该公式表明，Laplace变换会将正弦函数转换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数：L{cos(at)} = s/(s^2+a^2)余弦函数cos(at)也是一个周期性的函数。
该公式表明，Laplace变换会将余弦函数转换为s/(s^2+a^2)。
6. 指数衰减函数：L{e^(-at)u(t)} = 1/(s+a)指数衰减函数e^(-at)是一个在t>0时以指数形式衰减的函数。
该公式表明，Laplace变换会将指数衰减函数转换为1/(s+a)。
拉普拉斯(Laplace)变换
2 t
f (t )] L( p )
2
p sin t
10
t
6.4 Laplace变换的应用 常用来求解微分方程和积分方程，求解步骤： (1) 对方程进行Laplace变换，并将初始条件考虑在内。 (2) 求解变换后的方程，得到解的像函数。 (3) 反演，得到解的原函数，即所给方程的满足初始条件的解。
例1：求解交流RL电路方程
d L j Rj E0 sin t dt j (0) 0
11
对方程作Laplace变换
并考虑初始条件
Lpj Lj (0) Rj E0 2 p 2
Lpj Rj E0 2 2 p
得到解的像函数
E0 1 j 2 2 L p R / L p
1 p 1
解：设L[y(t)]=Y(p)，方程两边取Laplace变换，有
p 2Y ( p) py (0) y(0) 2[ pY ( p) y (0)] 3Y ( p)
利用初始条件，得到
1 p Y ( p) 1 2 pY ( p) 3Y ( p) p 1 3 1 8 1 p2 8 4 Y ( p) ( p 1)( p 1)( p 3) p 1 p 1 p 3
4
(4) 象的导数定理
dn n L( p) L[(t ) f (t )] n dp
(5) 象的积分定理
f (t ) p L( p)dp L[ t ]
1 p L( ) 0) (a a a
当然要求象的积分是收敛的。 (6) 相似定理 L[ f ( at )] (7) 位移定理
(2) 原象的导数定理
一般地
f (t )] L( p )
2
p sin t
10
t
6.4 Laplace变换的应用 常用来求解微分方程和积分方程，求解步骤： (1) 对方程进行Laplace变换，并将初始条件考虑在内。 (2) 求解变换后的方程，得到解的像函数。 (3) 反演，得到解的原函数，即所给方程的满足初始条件的解。
例1：求解交流RL电路方程
d L j Rj E0 sin t dt j (0) 0
11
对方程作Laplace变换
并考虑初始条件
Lpj Lj (0) Rj E0 2 p 2
Lpj Rj E0 2 2 p
得到解的像函数
E0 1 j 2 2 L p R / L p
1 p 1
解：设L[y(t)]=Y(p)，方程两边取Laplace变换，有
p 2Y ( p) py (0) y(0) 2[ pY ( p) y (0)] 3Y ( p)
利用初始条件，得到
1 p Y ( p) 1 2 pY ( p) 3Y ( p) p 1 3 1 8 1 p2 8 4 Y ( p) ( p 1)( p 1)( p 3) p 1 p 1 p 3
4
(4) 象的导数定理
dn n L( p) L[(t ) f (t )] n dp
(5) 象的积分定理
f (t ) p L( p)dp L[ t ]
1 p L( ) 0) (a a a
当然要求象的积分是收敛的。 (6) 相似定理 L[ f ( at )] (7) 位移定理
(2) 原象的导数定理
一般地
拉普拉斯变换
1 - e-s F (s) s
Re(s) -
2)展缩特性（time scaling） f (t ) L F ( s ) Re( s ) s 0 若 1 s L F ( ) a 0, Re( s ) as 0 则有 f (at ) a a
L[ f (t )] - f (at)e-st dt 0
拉普拉斯变换 (the Laplace Transform)
1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
傅里叶分析具有清晰的物理意义，但某些信号的傅里 叶变换不存在 (t<0,无意义的函数)。引入拉普拉斯变换， 从而也可以对这些信号进行分析。拉普拉斯变换实质 是将信号f(t)乘以衰减因子e-s t的傅里叶分析。
- st
L[ f1 (t ) f 2 (t )]
0
0
(
0
f1 ( ) f 2 (t - )d )e dt
f1 ( )(
0
f 2 (t - )e -st dt) d
- s
0
f1 ( ) F2 ( s)e
d F1 ( s) F2 ( s)
- skT
F1 ( s ) F1 ( s) 1 - e - sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1 0 t
1
2
3 4 Ü Ú ½ ¨Å Å Ö Æ ·² Ð º
5
1 - e-s L[u (t ) - u (t - 1)] s 1 - e- s 1 1 F ( s) -2 s -s s 1- e s(1 e )
2
-
-
例： L[u (t )] 1 / s
第五章 拉普拉斯变换-数学物理方法
d2 L[t 2 f ( t )] ( 1)2 2 F ( p) dp
……
dn n pt n F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t n f ( t )]e pt dt n 0 0 dp
dn L[t n f ( t )] ( 1)n n F ( p) dp
这个性质很容易从Laplace变换的定义得到，因为它只不 过是积分运算的线性性质的反映.
77
性质2 ：原函数的导数的拉氏变换
L 设f (t)及 f ' (t ) 都满足拉氏变换存在的充分条件， [ f ( t )] F ( p),
则： 0 f ( t )e dt f ( t ) e
' pt
n n
【证明
】 F ( p) f ( t )e pt dt
0
d pt F ( p) t f ( t )e dt [t f ( t )]e pt dt 0 0 dp d L[t f ( t )] F ( p) dp 2 d 2 pt 2 F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t 2 f ( t )]e pt dt 2 0 0 dp
L[ f ( t )] f ( t )e
'' '' 0 pt
dt e
0
pt
df ( t ) f ( t ) e
' '
pt 0
p f ' ( t )e pt dt
0
f ' (0) p[ pF ( p) f (0)] p2 F ( p) pf (0) f ' (0)
拉普拉斯变换法
拉氏变换定义
原函数f(t）旳拉氏变换F（S）定义为：
就是将原函数乘以e-st，并将乘积从时间为0→∞之间 作定积分。
拉氏变换旳实质是将时间函数体现式转换为拉氏运 算子s旳函数体现式。 f(t） --- 原函数 F（S）--- 象函数
二、 简朴函数L氏变换 1. 常数 f（t）=A
2. 指数函数 f（t）= e-at
3.导函数
三、L氏变换旳主要性质 ❖ L氏变换是线性变换 设
则
即 代数多项式旳L氏变换等于各项 变换旳代数和。
❖ 微分性质
若 则
某些常用函数旳Laplace变换表
函数，F（t） A t
Ae-at
L氏变换，f（s） A/s 1/s2
A/(s+a)
A/s(s+a)
Ate-at
A/(s+a)(s+b) A/(s+a)2
拉普拉斯变换 （Laplace Transform）
一、 概述
❖ 线性方程组：表征表观零级或一级过程旳速度旳方 程组。
❖ 拉普拉斯变换（L氏变换）：是一种微分方程或积 分方程求解旳简化措施。可用于解线性微分方程 组。
❖ 进行L氏变换旳实质，在于把速度方程式中旳时间 定义域置换成拉普拉斯运算子s旳复。
四、L氏变换解线性微分方程
1. 零级静脉输注
速度体现式：
dX k 0 kX
dt
L氏变换
sL[ X (t)] X (0) k 0 kL[ X (t)] s
s X X (0) k 0 k X S
X k0 s(s k)
方程终解 X k 0 (1 ekt ) K
2. 静脉注射
dX kX dt
( t=0, X=X0)
拉普拉斯Laplace变换
f (t) = 2e − t − e −2t
例2
2s + 12 k1 k2 F(s) = 2 = + s + 2s + 5 s + 1 + 2 j s + 1 − 2 j
2s + 12 k1 = 2 (s + 1 + 2 j) s + 2s + 5
5 k2 = 1− j 2
s =−1− 2 j
5 = 1+ j 2
[a1s + a2 ]s =− p1 B( s) =[ ( s + p1 )( s + p2 )]s =− p1 A( s)
c. F(s)含有多重极点时，可展开为
an br br −1 b1 ar +1 F ( s) = + + ⋅⋅⋅ + + + ⋅⋅⋅ + r r −1 ( s + p1 ) ( s + p1 ) ( s + p1 ) ( s + pr +1 ) ( s + pn )
s =−1
=2
d s 2 + 2s + 3 a12 = [ (s + 1)3 ] s=−1 = 0 ds (s + 1)3 1 d 2 s 2 + 2s + 3 a13 = [ (s + 1)3 ] s =−1 = 1 2! ds 2 (s + 1)3
所以:
2 1 f (t) = L [ + ] = t 2e − t + e − t = (t 2 + 1)e − t (s + 1)3 s + 1
线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理
拉普拉斯变换
求积分余弦函数Ci (t)
cos d的拉氏变换。 t
例3（补充例题）求解初始问题
dy 2 y et dt y t0 0
例4（补充例题）求解初始问题
y'' y t
y
t0
y'
t0
0
例5（补充题，利用原函数积分法求解 积分方程）设C，R，E为正常数，求解 积分方程（该方程来自电路理论）
lim e pt f (i) (t) 0
t
注意： 一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在实际
应用中非常重要。 二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。
三 原函数积分定理:
ℒ
t
0
(
)d
1 s
ℒ [ (t)]
原函数对 t 的积分变成像函数与 s 相除
四 相似性定理
ℒ
f
(at)
L [ f (t)] test dt 1 t d(est )
0
s0
1 test s
|
0
1 s
e st dt
0
1 s2
e st
0
d( st )
1 s2
est
|
0
1 s2
(Res 0)
例4 f (t) t eat
L[teat ]
t
e(sa)t
dt
1
t d e(sa)t
f (t) Res[F(s)est ]
因在 L 的右边无奇点，所以可以说：pk 是全平面上像 函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂)
Fourier变换与Laplace变换的比较
1 Fourier 变换 与 逆变换比较对称，但 Fourier 变换对函数要求较严；数值计算 比较成熟（FFT）;
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拉普拉斯（Laplace）变换的定义
拉氏变换 拉氏反变换
F (s) L f (t ) f (t )est dt t 0 0
f (t ) L1 F (s) 1
j
F
(s)e
st
ds
2j j
函数 f(t) 的拉氏变换存在的两个条件：
⑴ t<0时，f(t)=0； t≥0时，f(t)在任一有限 区间上至少分段连续 。
拉氏反变换
f (t ) L1 F (s) 1
j
F
(s)e st
ds
2j j
在控制系统中，象函数 F(s) 常可写成如下形式：
F (s)
bm s m an s n
bm1s m1 b1s b0 an1s n1 a1s a0
Bs As
拉氏反变换必须按下列规范进行：
1. 分母多项式A(s)的首项 sn 的系数必须为1。
该定理表明，求多项式的拉氏变换或反 变换可以逐项进行，而且常数可以提到变换 符号之外。
拉氏变换的基本定理
2. 延时定理
若L f t Fs，a为正实数，则有 L f t a easFs
该定理表明，时间函数f(t)的自变量t在 时间轴位移a，其象函数等于f(t) 的象函数 F(s)乘以指数因子e-as。
实数
虚数 j 1
复数
复变量 s j 其中σ为实部，ω为虚部
复变函数 G(s) Gx jGy 其中Gx、Gy均为实数 Gx jGy 与 Gx jGy 互为共轭复数
复变函数的一般形式
G(s) K (s z1)(s z2) (s p1)(s p2)
其中 z1、z2、…为零点，p1、p2 …为极点
拉普拉斯变换
拉普拉斯（Laplace）变换
❖ 把较复杂的微分、积分运算转化为较简单的代数运算 ❖ 用来揭示系统变量之间的关系或函数的某些特征 ❖ 得到系统传输函数
线性系统微分方程的求解
线性系统 描述 常系数线性微分方程
拉普拉斯变换
代数方程（象函数）
象函数的解
微分方程的原解
拉普拉斯反变换
复变量与复变函数
拉氏变换的基本定理
6. 积分定理 若L f t F s，则有
L
f t dt
1 F s 1
s
s
f 10
式中，f 10 f t dt t0
推 论 ：L n
f
t
dt
n
1 sn
F s
该定理表明，在时域内对原函数f(t)每 进行一次积分，就相当于在复域内对其象函 数F(s) 用s除一次，即将时域内的积分运算 简化为复域内除以s的代数运算。
拉氏变换的基本定理
7. 初值定理与终值定理
若L f t F s，且lim sF s、lim f t 存在
s
t
则有
lim f t lim sF s
t 0
s
lim f t lim sF s
t
s0
该定理表明，原函数f(t)的初值等于s乘 以其象函数F(s) 的终值，而原函数f(t)的终 值等于s乘以其象函数F(s) 的初值。
⑵ 当t→∞时， f(t)的增长速度不超过某一指
数函数，即
f (t) Mect 0 t
典型时间函数的拉氏变换
1. 单位脉冲函数δ(t)
0
t
lim 0
1
0
t0
0t t
Fs L t 1 f t L11 t
典型时间函数的拉氏变换
2. 单位阶跃函数 u(t)
ut
0 1
t 0 t 0
F s L t n
n! s n1
f
t
L1
n! s n1
tn
单位阶跃函数ut 和单位斜坡函数rt
分别是幂函数t n当n 0和n 1时的特例。
典型时间函数的拉氏变换
5. 指数函数 f(t)=e-at (a为实数)
Fs L eat 1 sa
f
t
L1
s
1
a
eat
典型时间函数的拉氏变换
拉氏变换的基本定理
3. 复域位移定理
若L f t Fs，a为常数，则有
L eat f t Fs a
拉氏变换的基本定理
4. 时间尺度定理
若L f t F s，a为正实数，则有 L f at 1 F s
a a
该定理表明，如果函数f(t)的自变量 t 扩展a倍，则f(at)的象函数等于f(t)的象函 数F(s)在复域s上压缩a倍，并乘以常数1/a。
F s Lut 1
s
f
t
L1
1 s
1t
典型时间函数的拉氏变换
3. 单位斜坡函数 r(t)
r t
0 tLeabharlann t 0 t 0F s
Lrt
1 s2
f
t
L1
1 s2
t
典型时间函数的拉氏变换
4. 幂函数 f(t)=tn (n>-1)
F s L t n
n 1
s n1
当n是正整数时，n 1 n!，因此
拉氏变换的基本定理
8. 卷积积分与卷积定理
t 0
f1t f2 d
f1t *
f2 t 称为f1t 与f2 t 的卷积。
卷积满足交换律，即
f1t * f2 t f2 t * f1t
若L f1t F1s，L f2 t F2 s 则有L f1t * f2 t F1s F2 s
拉普拉氏反变换
2. 要求n>m，否则必须通过多项式除法将 F(s) 化 为一个商为s的多项式与余式为真分式的和式。
拉普拉氏反变换
3. 将分母、分子多项式A(s)、 B(s) 进行因式分解， 即将象函数F(s)化成下列因式分解形式：
F(s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
拉氏变换的基本定理
5. 微分定理
若L f t F s，则有
L
d dt
f t sF s
f 0
推论：L
dn dt n
f t sn F s
该定理表明，在时域内对原函数f(t)每 进行一次微分，就相当于在复域内对其象函 数F(s) 用s乘一次，即将时域内的微分运算 简化为复域内乘以s的代数运算。
6. 正弦函数 f(t)=sinωt (ω为实数)
Fs Lsin t
s2 2
f
t
L1
s2
2
sin
t
典型时间函数的拉氏变换
7. 余弦函数 f(t)=cosωt (ω为实数)
F s
Lcost
s2
s
2
f
t
L1
s2
s
2
c ost
拉氏变换的基本定理
1. 线性定理
设a和b为常数，则有
Laf1t bf2t aL f1t bL f2t aF1s bF2s L1 aF1s bF2 s aL1F1s bL1F2 s af1t bf2 t