020、直线平行、垂直的充要条件的应用
两条直线的平行与垂直ppt课件
C．垂直
D．重合
3.若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l的方程是( C ) A.2x-3y+5=0 B.2x-3y+8=0 C.3x+2y-1=0 D.3x+2y+7=0
根据今天所学，回答下列问题： 1.怎样根据直线方程的特征判断两条直线的平行或垂直关系呢？ 2.判断两条直线是否平行的步骤是哪些？ 3.判断两条直线是否垂直的方法有哪些？
1.直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是( BCD ) A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
2.已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1， 3)，B(－2，－2 3)，则 直线l1，l2的位置关系是( A ) A．平行或重合 B．平行
解：（1）由题意知，直线
<m>l1</m>的斜率
<m>k1
=
5−1 −3−2
=
−
45</m>，
直线
<m>l2</m>的斜率
<m>k2
=
−7+3 8−3
=
−
45</m>，
所以直线 <m>l1</m>与直线 <m>l2</m>平行或重合，
又
<mk>BC
=
5− −3 −3−3
=
−
4 3
≠
−
45</m>，所以
所以 <m>l1//l2</m>.
两条直线平行和垂直的判定
两条直线平行和垂直的判定以两条直线平行和垂直的判定为题，我们来探讨一下如何判断两条直线的关系。
在几何学中，直线的平行和垂直是两种重要的关系，它们的判定方法可以通过几何性质和特定条件来得出。
我们先来讨论两条直线平行的判定方法。
在平面几何中，有以下三种常见的判定方法。
1. 通过斜率判定：两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
斜率是直线上两个不同点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
如果两条直线的斜率相等，那么它们就是平行的。
例如，直线y = 2x + 3和直线y = 2x - 1的斜率都是2，所以它们是平行的。
2. 通过法向量判定：两条直线平行的条件是它们的法向量平行。
法向量是垂直于直线的向量，可以通过直线的一般式方程求得。
如果两条直线的法向量平行，那么它们就是平行的。
例如，直线2x - 3y + 4 = 0和直线2x - 3y - 2 = 0的法向量都是(2, -3)，所以它们是平行的。
3. 通过截距判定：两条直线平行的条件是它们的截距比相等。
截距是直线与坐标轴的交点的纵坐标或横坐标。
如果两条直线的截距比相等，那么它们就是平行的。
例如，直线3x + 2y - 1 = 0和直线6x + 4y - 2 = 0的截距比都是1/2，所以它们是平行的。
接下来，我们来讨论两条直线垂直的判定方法。
在平面几何中，有以下两种常见的判定方法。
1. 通过斜率判定：两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
即如果直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，那么k1 * k2 = -1，则直线L1和直线L2垂直。
例如，直线y = 2x + 3和直线y = -1/2x + 1的斜率分别为2和-1/2，而2 * (-1/2) = -1，所以它们是垂直的。
2. 通过方向向量判定：两条直线垂直的条件是它们的方向向量垂直。
方向向量是直线的一个向量，可以通过直线的一般式方程求得。
如果两条直线的方向向量垂直，那么它们就是垂直的。
例如，直线2x - 3y + 4 = 0和直线3x + 2y - 1 = 0的方向向量分别为(2, -3)和(3, 2)，而(2, -3)·(3, 2) = 0，所以它们是垂直的。
两条直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定直线平行与垂直的判定，哎呀，听起来就像数学课上那种让人头疼的东西。
不过，别紧张，今天咱们就轻松聊聊这两条直线之间的那些事儿，保证让你听得津津有味，心里也会亮堂许多。
想想吧，生活中咱们可不常碰到直线，但它们却无处不在，像那条街道，永远在你面前延伸，横平竖直，给人一种稳稳的感觉。
说到平行，想象一下两条轨道，永远不会相交，绝对是好兄弟，走自己的路，互不干扰。
它们的斜率完全相等，这就意味着，不管你把它们延伸到多远，它们都不会遇上，真是“同舟共济”的好伙伴。
这就像你和你的朋友，虽然有时候不在一个地方，但心灵相通，总能感受到彼此的存在。
想知道怎么判断直线平行吗？简单得很！只要看它们的方程，斜率相同即可。
比如，y = 2x + 3和y = 2x 5，嘿，都是斜率2，绝对是平行无疑。
再来说说垂直，这可有趣多了！想象两条直线像叉子和刀子，嘻嘻，分工明确，一个负责切，一个负责叉，完美搭档。
直线垂直的条件是什么呢？咱们只需看它们的斜率，一个是m，一个是n的倒数，乘起来得1。
简单点说，假如有一条直线的斜率是2，另一条的斜率就是1/2，这俩就像天生的搭档，绝对能让你信服。
所以啊，数学里的这些关系其实也很像人际关系，有时候互补的才是真正的好伙伴。
举个例子，如果你在街上走，突然遇到一条交叉口，那两条街道就是典型的垂直直线。
看着那交叉的地方，心里是不是会觉得这就是生活的交错，虽说走的方向不同，但还是能有那么一瞬间的相遇。
这就像人生的每个阶段，总会有交叉，虽然最后大家各自走各自的路，但那段时光却是珍贵的，永远不会被遗忘。
回到数学，咱们可以画图，视觉上就能一目了然。
把这两种情况画出来，真是有趣，看到那条条直线，一条横着，一条竖着，真是好不热闹。
掌握这些知识就像掌握了一把打开世界大门的钥匙。
通过这些简单的判定，你会发现，数学不仅仅是公式和符号，更是生活中的一种智慧。
学习这些判定的时候，心态一定要轻松，不要像考数学试那样紧张。
两条直线平行与垂直的判定 课件
又∵kBC＝3－2（－－572）＝－163， kDA＝2－－（3－－44）＝－76， ∴kBC≠kDA，从而直线 BC 与 DA 不平行． ∴四边形 ABCD 是梯形．
题型二 两直线垂直
例 2 已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a－1，2)，直线 l2 经过 点 C(1，2)，D(－2，a＋2)．
两条直线平行与垂直的判定
要点 1 两条直线平行的条件 (1)设两条不重合的直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2，则 l1 ∥l2⇔k1＝k2． (2)若两条不重合直线 l1 与 l2 都没斜率，则直线 l1 与 l2 平行．
要点 2 两条直线垂直的条件 (1)设直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2，则 l1⊥l2⇔k1·k2＝ －1． (2)两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于 0， 则两条直线垂直．
(2)若 l1⊥l2， ①当 k2＝0 时，此时 a＝0，k1＝－12，不符合题意； ②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在， 此时 k1＝2a－－4a. ∴由 k2k1＝－1，可得 a＝3，或 a＝－4.
探究 2 由 C，D 两点的横坐标可知 l2 的斜率一定存在，由 A，B 两点的横坐标可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在，因此 应注意对 a 的取值的讨论．
(2)由题意知，k1＝tan60°＝ 3，k2＝－－2 23－－1 3＝ 3， 因为 k1＝k2，所以，l1∥l2 或 l1 与 l2 重合． (3)由题意知，l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也不 存在，恰好是 y 轴，所以 l1∥l2. (4)由题意知，k1＝－ －12－ －10＝1，k2＝32－ －43＝1，所以 l1 与 l2 重 合或平行，需进一步研究 E、F、G、H 四点是否共线． kFG＝43－ －（ （－ －12） ）＝1，∴E、F、G、H 四点共线． ∴l1 与 l2 重合．
两条直线平行与垂直的条件
讨论
已知直线 l1 : A1x+B1y+C1 = 0
l2 : A2x+B2y+C2= 0
（A1B1C1 ≠ 0 ,A2B2C2≠ 0 ）.
那么 l1//l2的充要条件是什么？
A1 B1 C1 A2 B2 C2
答： l1//l2
思考
如果直线 ax＋2y＋2 = 0 与3x－y－2 = 0 平行，那么系数a = （ ）
思考 1.已知直线 l1 : x ay 2a 2 0
l2 : ax y 1 a 0
试求 （ 1） 若 l1 // l2 ，
(2)
答:a=1
a
的值.
的值.
若 l1 l2 ， 试求
答:a=0
a
例5、求过点P(3,5)且垂直于直线 2x –4 y – 5 = 0
的直线方程. 解:设所求直线方程为 4x + 2y + C = 0 因为所求直线过点P(3,5),将其坐标代入方程, 得 4×3 + 2×5 + C = 0 解得 C = – 22 所以,所求直线方程为 2x + y –11= 0
⑷ 已知两直线l1：(3+m)x + 4y +3m + 5 = 0， l2：2x + (5+m)y +2 = 0，当m为何值时l1∥l2，
讨论
两直线如果 l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
那么 l1 l2 的充要条件是什么?
答: l1 l2 A 1A 2 B 1B2 0
思考：直线l1的斜率k1 0, 直线l2的
斜率k2不存在，那么 l1 l2 ?
两条直线垂直的充要条件及其应用
6
中 等 数 学
④+ ⑤ 得 2 2 MB - MA 2 2 2 2 = A1 B - A1 C + B 1 C - B 1 A .
( 2006 ,土耳其国家队选拔考试)
⑥
讲解 : 如图 4 ,设 OQ = 1 , QH = d ≤ 1. 因为 OQ 是 ⊙O 与 ⊙Q 的连心线 ,所以 , OQ ⊥CD . 从而 , OE ⅹ+ EQ 图4 =1 , ① 2 2 2 2 2 OE - EQ = OD - DQ = 1 - d . 由式 ①、 ② 得 2 OE - EQ = 1 - d .
; 2 2 2- d ①+ ③ 得 OE = . 2 若取 QE = EF ,则 2 2 QF = d , OF = 1 - d .
将式 ⑥ 代入 2 2 2 2 2 2 A1 B - BC1 + C1 A - AB 1 + B1 C - CA1 = 0 , 得 MB - MA = BC1 - C1 A . 故 MC1 ⊥AB . 从而 ,点 M 在由点 C1 向 AB 所引的垂线 上 ,即过点 A 1 、 B1 、 C1 分别向 BC 、 CA 、 AB 所 引的三条垂线共点 . 例2 如图 3 ,在 △ABC 中 , AB = AC , D 是 BC 的中点 , DE ⊥AC , F 是 DE 的中 点 . 证明 : A F ⊥B E . 讲 解 : 设 AB = 图3 a , ∠ABC = α. 则 ∠ADF = ∠ADE = α. 于是 , AD = a sin α, BD = acos α, 2 A E = AD sin α = a sin α , 1 1 DF = FE = DE = DCsin α 2 2 1 = a sin α ・ cos α. 2 在 △BDF 中 ,有 2 2 2 ). B F = BD + DF - 2 BD・ DFcos (90° +α 2 2 故 B F - FE 1 2 2 ) = a cos α- 2 acos α ・ a sin α・ cos α( - sin α 2 2 2 2 ). = a cos α( 1 + sin α ① 2 2 又 AB - A E 2 2 4 2 4 ) = a - a sin α= a ( 1 - sin α 2 2 2 ) ( 1 + sin α ) = a (1 - sin α 2 2 2 ). = a cos α( 1 + sin α ② 由式 ①、 ② 得 2 2 2 2 AB - A E = B F - EF . 故 A F ⊥B E . 例3 已知 Q 是以 AB 为直径的圆上的 一点 , Q ≠A 、 B , Q 在 AB 上的投影为 H. 以
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点在几何学中，我们经常会遇到直线和平面之间的关系。
其中，直线与平面可以有平行关系或垂直关系。
本文将介绍直线和平面平行、垂直的判定方法，并讨论它们的性质。
一、直线和平面的基本概念回顾在论述直线和平面的平行、垂直关系之前，我们需要先回顾一些基本概念。
1. 直线直线是由无限多个点按一定方向排列而成的，没有始点和终点。
直线可由一个点和一个方向确定。
在数学中，直线通常用两个点A和B表示，记作AB。
2. 平面平面是二维几何体，具有无限多个点，且任意两点之间可以连成一条直线。
平面由三个非共线的点决定。
在数学中，我们通常用大写字母P、Q、R等表示平面上的点。
二、直线和平面的平行判定1. 平行直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线平行，那么它也与这个平面平行。
同样地，如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它也与这个平面垂直。
2. 平行直线的判定方法直线之间的平行关系有多种判定方法。
下面介绍两种常见的方法：(1) 借助平面间的平行关系进行判定两条直线平行的充要条件是，它们在同一个平面内，且与该平面的一条直线平行。
(2) 借助直线的倾斜角进行判定两条直线平行的充要条件是，它们的倾斜角相等或互补。
三、直线和平面的垂直判定1. 垂直直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它与这个平面垂直。
2. 垂直直线的判定方法直线与平面垂直的判定方法有多种。
下面介绍两种常见的方法：(1) 借助直线和平面的夹角进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线与平面内的两条相交直线成对应的垂直角。
(2) 借助直线的方向向量进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线的方向向量与平面的法向量垂直。
四、直线平面平行、垂直关系的性质1. 性质1：平行或垂直关系具有传递性若直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，那么直线a与直线c也平行。
同样的，若直线m与直线n垂直，直线n与直线p垂直，那么直线m与直线p也垂直。
人教版高中数学必修第二册两直线平行与垂直的条件2
人教版高中数学必修第二册两直线平行与垂直的条件2两直线平行与垂直的条件课型新授教学目标1、熟练掌握两直线平行和垂直的充要条件2、能根据倾斜角、斜率和两直线的方程及方向向量判断两直线平行或垂直的位置关系教学重点两直线平行、垂直的充要条件教学难点两直线平行、垂直条件的应用教学过程一、直角坐标系中，两直线的位置关系有三种：相交、平行、重合，其中垂直是相交的特殊情况。
下面，我们来研究两直线平行和垂直的条件。
二、两直线平行的条件1、设l1方程为y=k1x+b1，l2方程为y=k2x+b2，组织学生讨论：（1）若l1||l2，则k1与k2、b1与b2满足什么条件？（2）若k1=k2，b1≠b2则l1与l2有怎样的位置关系？综上知：当直线l1与l2有斜截式方程l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2时，l1||l2 k1=k2且b1≠b2提问：当l1或l2斜率不存在时，能否判断直线平行？2、练习：（1）、已知直线l1：2x-4y&=0,l2:x-2y+5=0,证明l1||l2（2）、求过点P（1，-4）且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程。
3、讨论：对于一般式的两直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2: A2x+B2y+C2=0, l1与l2平行的充要条件是什么？4、与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+C1=0,（这是一组直线系，再有一个条件就可确定直线的方程）三、直线垂直的条件1、设直线l1与l2的斜率分别为k1与k2，则直线l1的方向向量a=（1，k1），直线l2的方向向量b=（1，k2），组织学生讨论l1⊥l2的充要条件。
综上知：两直线l1与l2的斜率分别为k1与k2，那么这两条直线垂直的充要条件是k1 k2=-1提问：当l1或l2斜率不存在时，能否判断直线垂直？2、练习：（1）已知两直线l1：2x-4y+7=0,l2 :2x+y-5=0求证l1⊥l2（2）求过点A（2，1），且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程。
直线平行与垂直课件PPT课件
contents
目录
• 直线平行与垂直的基本概念 • 直线平行与垂直的判定定理 • 直线平行与垂直的应用 • 直线平行与垂直的作图方法 • 直线平行与垂直的习题及解析
01 直线平行与垂直的基本概 念
直线平行的定义
总结词
同一平面内，不相交的两条直线
详细描述
直线平行是指两条直线在同一平面内，且不相交。这意味着它们没有交点，并 且始终保持相同的距离。
05 直线平行与垂直的习题及 解析
基础习题
基础习题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。如果 错误，请给出反例。
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两 条直线平行。
基础习题2：已知直线a和b平行，点A在直线a上，点B、 C、D在直线b上，且AB=BC=CD=DE，那么线段AE是点 A到直线b的什么线？
交通
在道路和交通标志的设计中，直线平行和垂直的性质也得到 了广泛应用。例如，在道路交叉口的设计中，需要确保各个 道路相互垂直或平行，以确保交通的顺畅和安全。
在工程设计中的应用
机械设计
在机械设计中，为了确保机器的稳定性 和功能性，常常需要利用直线平行和垂 直的性质。例如，在设计和制造机器零 件时，需要确保各个部分相互垂直或平 行，以确保机器的正常运转和安全性。
VS
电子工程
在电子工程中，直线平行和垂直的性质也 得到了广泛应用。例如，在电路板的设计 中，需要确保各个线路相互垂直或平行， 以确保电流的顺畅流通。
04 直线平行与垂直的作图方 法
平行线的作图方法
1. 确定一个点
选择一个已知点作 为起点。
3. 画出直线
根据确定的方向和 起点，画出直线。
平行线的定义
直线的五种方程形式,适用条件,平行垂直的充要条件
直线的五种方程形式,适用条件,平行垂直的充要条件在数学中，直线是一种最基本的平行图形，它由两个点构成并连接在一起。
据统计，直线在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。
直线可以用不同的方程式来表示，其中最基本的形式是一元一次方程形式。
这比较常见，可以解决许多基本的几何问题。
因此，识别并理解直线的不同方程式、适用条件以及直线平行和垂直的充要条件是非常重要的。
二、直线的五种方程形式1.一元一次方程形式：y=mx+b，其中m表示斜率，b表示y轴截距。
该方程描述的是一条斜率不等于0的直线。
2.斜截式：y-y1=m(x-x1)，其中m表示斜率，(x1,y1)表示直线上一点。
该方程描述的是一条斜率不等于0的直线。
3.方程形式的优势在于可以以变换的斜率m来描述直线。
m=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)(x2,y2)是直线上两个不同的点。
4.点斜式：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)(x2,y2)是直线上两个不同的点。
该方程描述的是一条斜率不等于0的直线。
5.垂直方程形式：x=a，其中a是直线上的一点坐标。
该方程描述的是一条斜率等于0的直线。
三、适用条件1.一元一次方程形式及其变体适用于斜率不等于0的直线，即斜率存在时可以直接用一元一次方程形式或它的变体表示。
2.而对于斜率为0的直线，可以直接用垂直方程形式y=a来表示其斜率为0，其中a是直线上的一点坐标。
四、平行垂直的充要条件1.线平行：两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等，即m1=m2。
2.线垂直：两条不同的直线垂直的充要条件是它们的斜率的乘积等于-1，即m1*m2=-1。
五、结论以上介绍了直线的五种方程形式、适用条件以及直线平行和垂直的充要条件。
这些充分条件对于解决几何问题非常重要，因此在学习中一定要了解相关知识。
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(3)l1：y=-x，l2是过点A(3,-1)的l1垂线．
1.直线平行,垂直的充要条件
2.与Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0
3.与Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C1=0
课堂练习：
1.(1)若直线l1过点A(2,-1)，平行于已知直线
3(-1)+42+C=0，C=-5，
所以l的方程为3x+4y-5=0▌
(2)因为l1l，可设l1的方程为4x-3y+C=0．因为l1过点A，A的坐标满足方程
4(-1)-32+C=0，C=10，
所以l1的方程为4x-3y+10=0
▌
例2直线l1与直线l:y=-2x+4垂直，且与两根坐标轴所围成的三角形面积为9，求直线l1的方程．
(2)l1：y=2x，l2是以A(2,2),B(-1,2),C(3,-1)为顶点的平行四边形ABCD的对角线BD；
(3)l1：y=x，l2是过点A(-2, 1)的l1垂线．
学生
上黑板
l:-4x+3y-1=0，求l1的方程．
(2)若直线l1过点A(-3,2)，垂直于已知直线
l: -4x+3y+2=0，求l1的方程．
2.直线l1与直线l:y=2x+4平行，且与两根坐标轴所围成的三角形的面积为1，求l1的方程．
3．求直线l1,l2的交点坐标：
(1)l1：x-y-5=0，l2：2x+3y+5=0
若要求l1||l，则l1的方程可以设为Ax+By+C1=0；
若要求l1l，则l1的方程可以设为Bx-Ay+C1=0．
例1已知直线l：3x+4y+2=0，直线l1过点A(-1,2)，
(1)若l1||l，求l1的方程；(2)若l1l，求l1的方程．
解(1)因为l1||l，可设l1的方程为3x+4y+C=0；因为l1过点A，A的坐标满足方程
若要求l1l，则l1的方程可以设为Bx-Ay+C1=0．
例1例2例3
教后记
教学程序
与内容
教师活动
学生
活动
一、复习
二、新授
三、实例分析
师：
1．直线的一般式方程
l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0．
① //
②
2．直线的斜截式方程
l1： ，l2：
①
②
已知直线l的方程为Ax+By+C=0，
（用两种方法求）
注：这里指的平行不包括重合的情况
从方向向量的角度分析
方法2：化为斜截式，从斜率的角度求
师生共
同完成
教学程序
与内容
学生
活动
四、课堂小结
五、课堂练习
六、课后作业
例3求直线l1,l2的交点坐标：
(1)l1：2x-y-5=0，l2：2x+2y+3=0；
(2)l1：y=3x，l2是以A(2,2),B(-1,2),D(3,-1)为顶点的
总第课时
课题
《直线平行、垂直的充要条件
的应用》
课型
新授课
授课
日期
授课时数
2课时
教
学
目
标
熟悉直线平行、垂直的充要条件，并能加以灵活应用
教学重点
与难点
直线平行、垂直的充要条件的灵活应用
学情
分析
板
书
设
计
直线平行、垂直的充要条件的应用
已知直线l的方程为Ax+By+C=0，
若要求l1||l，则l1的方程可以设为Ax+By+C1=0；