线性代数 同济六版电子教案1
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章线性代数基本概念1.1 向量空间教学目标：1. 理解向量空间的概念及其性质；2. 掌握向量空间中的线性组合和线性关系；3. 了解向量空间的基和维数。
教学内容：1. 向量空间的概念；2. 向量空间的性质；3. 线性组合和线性关系；4. 基和维数的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入向量空间的概念，引导学生理解向量空间的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性组合和线性关系的计算方法；3. 通过案例分析，让学生了解基和维数的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入向量空间的概念，讲解向量空间的基本性质；2. 讲解线性组合和线性关系的计算方法，举例说明；3. 介绍基和维数的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂问答，检查学生对向量空间概念的理解；2. 练习题，检查学生对线性组合和线性关系计算方法的掌握；3. 案例分析，检查学生对基和维数概念及计算方法的掌握。
1.2 线性变换教学目标：1. 理解线性变换的概念及其性质；2. 掌握线性变换的矩阵表示；3. 了解线性变换的图像和核。
教学内容：1. 线性变换的概念；2. 线性变换的性质；3. 线性变换的矩阵表示；4. 线性变换的图像和核的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入线性变换的概念，引导学生理解线性变换的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性变换的矩阵表示方法；3. 通过案例分析，让学生了解线性变换的图像和核的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入线性变换的概念，讲解线性变换的基本性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示方法，举例说明；3. 介绍线性变换的图像和核的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
同济大学线性代数电子教案
课时安排：2课时教学目标：1. 理解线性代数的基本概念，包括向量、线性空间、线性变换等。
2. 掌握线性方程组的解法，包括高斯消元法、克拉默法则等。
3. 理解矩阵的基本性质和运算，包括矩阵的乘法、逆矩阵、特征值和特征向量等。
4. 能够运用线性代数的知识解决实际问题。
教学重点：1. 线性方程组的解法。
2. 矩阵的基本性质和运算。
3. 特征值和特征向量的概念及计算方法。
教学难点：1. 线性方程组的解法在高维空间中的应用。
2. 特征值和特征向量的物理意义及其在工程中的应用。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 练习题。
教学过程：第一课时一、导入1. 引入线性代数的概念，介绍线性代数在工程中的应用。
2. 简述线性代数的研究对象，如线性空间、线性变换和线性方程组。
二、教学内容1. 向量空间- 向量的概念及其运算。
- 线性空间的基本性质。
- 子空间的概念及其性质。
2. 线性变换- 线性变换的定义及其表示。
- 线性变换的运算。
- 线性变换的性质。
三、实例分析1. 通过实例展示线性代数在工程中的应用，如电路分析、信号处理等。
2. 分析实例中的线性方程组，介绍高斯消元法及其应用。
四、课堂练习1. 布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
2. 指导学生完成练习，解答学生疑问。
第二课时一、复习上节课内容1. 回顾向量空间、线性变换等概念。
2. 回顾高斯消元法及其应用。
二、教学内容1. 矩阵- 矩阵的定义及其运算。
- 矩阵的基本性质。
- 矩阵的秩及其计算。
2. 线性方程组- 克拉默法则及其应用。
- 线性方程组的解的性质。
三、实例分析1. 通过实例展示矩阵在工程中的应用，如矩阵分解、矩阵求逆等。
2. 分析实例中的矩阵运算，介绍矩阵的逆及其应用。
四、课堂练习1. 布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
2. 指导学生完成练习，解答学生疑问。
五、总结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
教学反思：1. 关注学生的学习情况，及时调整教学策略。
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式 ,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式243122421----=D.(-14)例3. 求解方程094321112=xx（32==xx或）例4. 解线性方程组.5573422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-zyxzyxzyx解先计算系数行列式573411112--=D069556371210≠-=----+-=再计算321,,DDD第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第5节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ij a的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaD11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaD212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiii=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=nD解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r1+=n D n .从而解得 1+=n D n .例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D()1i j n i j x x ≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证 用归纳法因为 =-==1221211x x x x D ()21i j i j x x ≥>≥-∏ 所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n 时成立，要证对n 时也成立.为此，设法把nD 降阶；从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有()()()()()()213112213311222221331111110000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x ---------=---（按第一列展开，并提出因子1x x i -）行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。
《线性代数》(同济第六版)课件
a14 a24 = a11a22a33a44 a34 a44
0 0 = a14a23a33a41 0 a44
a11 0 a21 a22 D4 = a32 a32 a41 a42
四个结论： (1) 对角行列式
a11 D= a22
= a11a22ann
ann
(2)Leabharlann a1nD= an1
规律：
1.三阶行列式共有6项，即3!项． 2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
p p
是1、2、3的某个排列.
4.当p1p2p3 是偶排列时，对应的项取正号； 当 p1p2p3 是奇排列时，对应的项取负号.
所以，三阶行列式可以写成
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
a13 a23 = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
3
第一章 行列式
�
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5
•行列式是线性代数 的一种工具！ •学习行列式主要就 是要能计算行列式 的值.
§6 §7
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质 行列式的性质及计算. 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例2 计算行列式
1 2 -4 D = -2 2 1 -3 4 -2
解
按对角线法则，有
D = 1×2×( 2)+ 2×1×( 3)+ ( 4)×( 2)×4
同济版线性代数课件-第一节向量组及其线性组合
实际应用举例
电路分析
在电路分析中，经常需要求解由 基尔霍夫定律列出的线性方程组，
以确定各支路的电流或电压。
经济学
在经济学中，线性方程组常用于 描述市场均衡条件，如供求平衡、
投入产出分析等。
工程技术
在工程技术领域，如结构力学、 流体力学等，经常需要求解由物
理定律导出的线性方程组。
04 矩阵运算与性质回顾
分配律
矩阵乘法满足分配律， 即A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA。
数乘分配律
数乘运算满足分配律， 即k(A+B)=kA+kB， (k+l)A=kA+lA。
矩阵秩概念引入
矩阵秩的定义
矩阵A中不等于0的子式的最大阶 数称为矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩满足一些基本性质，如
同济版线性代数课件-第一节向量 组及其线性组合
目录
• 向量组基本概念与性质 • 向量空间与子空间 • 线性方程组求解与讨论 • 矩阵运算与性质回顾 • 特征值与特征向量初步探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 向量组基本概念与性质
向量定义及表示方法
01
02
03
向量的定义
向量是既有大小又有方向 的量，常用带箭头的线段 表示。
矩阵基本运算规则回顾
加法运算
两个矩阵相加，要求它们的行数和列数分别相等， 相加时对应元素直接相加。
数乘运算
一个数与矩阵相乘，用该数乘以矩阵的每一个元 素。
乘法运算
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数，相乘时对应元素相乘再相加。
矩阵性质总结
结合律
线性代数(同济六版)ch3
x1 x2 2 x3 3x1 x2 8 x3
0 0
x1 3 x2 9 x3 0
是否有非零解？
解由
1 1 5
A
1 3 1
1 1 3
2
8 9
1 1 5
r2 - r1 r3 - 3r1 r4 - r1
～
0
0 0
2 2 4
7
7 14
1 1 5
r3 - r2 r4 - 2r2
其中
Ax = b
x1
x
xxn2 ,
b1
b
bbm2 .
定理 3 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条 件是 R(A) = R(B) , 其中 B = ( A b ) 为非齐次线性方程组 Ax = b 的增广矩阵.
证明 必要性 设非齐次线性方程组 Ax = b 有解，要证R(A) = R(B) . 用反证法, 假设R(A) < R(B) ，则 B可化成 行阶梯形矩阵
～
0
0 0
2 0 0
7
0 0
可知R(A)=2. 因为R(A)=2＜3
所以此齐次线性方程组有非
零解.
例2. 当 取何值时，齐次线性方程组
3
3x1 x1 2
x2 x2
x3 0 3x3 0
x2 x3 0
有非零解.
解 用初等行变换化系数矩阵
3 A3
1 2
1 3
r2～ r1
3 0
1 0 0
1 0 0
1 3 0
2 3,
2 0
0 0
3 1 0
1 0 1
1 1, 3
0
0
0 0
2 0 0 0
同济大学线性代数__第一章PPT课件
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例2： 计算四阶行列式
a0 0 b 0cd 0 D 0e f 0 g0 0 h
D = acfh + bdeg – adeh– bcfg
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重要结论：
(1) 上三角形行列式
a11 a12 a1n
0 D
a22
a2n
a a11 22 ann
0 0 ann
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第一章 行列式
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1
§1 二阶与三阶行列式
1. 二阶行列式 二元线性方程组
aa2111
x1 x1Leabharlann a12 x2 a22 x2
b1 b2
(1) (2)
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2
用消元法 (1) a22 (2) a12 得
(a11a2a2 21xa112aa2122)xx12
b1a22 b2
为三阶行列式, 记作
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
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对角线法则：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
22
(2) 下三角形行列式
a11 0 0
D
a21
a22
0
a a11 22 ann
an1 an2 ann
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(3) 对角行列式
a 11
D
a22
a a11 22 ann
ann
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线性代数同济六版共五章全
求这两个排列的逆序数. 解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7
t(53412) = 0+1+1+3+3=8
练习
1. 选择 i 与 k 使 （1）2 5 i 1 k 成偶排列; （2）2 5 i 1 k 成奇排列.
2. a14a21a33a44和a12a43a31a24是否为四阶行列式中的项， 若是，指出应冠以的符号
例 1 排列 1 2 …… n 称为自然排列，它的逆序数为0 ，
所以是偶排列.
例 2 排列 3 2 5 1 4 的逆序数为
t (３２５１４) ＝０＋１＋０＋３＋１＝ 5
排列 3 2 5 1 4 为奇排列. 例 3 排列 n ( n −1 ) … 3 2 1 的逆序数为
nn 1
t ( n (n −1) … 3 2 1 ) = 0 + 1 + 2 + … + ( n − 1 ) =
2
§3 n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
aaa
11
12
13
aaa
21
22
23
aaa
31
32
33
a a a 11 22 33
123
a a a 12 23 31
231
a a a 13 21 32 312
a a a 11 23 32
132
a a a 12 21 33
213
a a a 13 22 31
a21 a22 ... a2n
an1 an2 ... ann
称为 n 阶行列式 , 规定为所有形如
(1)t( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 ......anjn
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§3 n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31
= λ1λ 2 λ 3 λ 4
λ1 λ2
⋰
= ( − 1)
n( n− 1) 2
λ1λ 2 ⋯⋯ λ n
λn
§4
对换
对换 相邻对换 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性 先证相邻对换的情形. 证 先证相邻对换的情形 设排列
a1 …… a k abb1 …… bm ,
行列式中的项. 行列式中的项 a 12 a 43 a 31 a 24 = a 12 a 24 a 31 a 43
(− 1)t (2413 ) a 12 a 24 a 31 a 43 a = (− 1)3 a 12 a 24 a 31 a 43 = − a 12 a 24 a 31 a 43
1 1 ⋰ 1 = ( − 1)
a 11 a 21
a 12 a 22
= a11 a 22 − a12 a 21
于是，线性方组（ ） 于是，线性方组（1）的解可以写为
b1 b2 x1 = a 11 a 21
a 12 a 22 , a 12 a 22
a 11 a 21 x2 = a 11 a 21
b1 b2 a 12 a 22
类似的，我们还可以定义三阶行列式为 类似的，
a11 a 21 ⋮ an1
a12 a 22 ⋮ an 2
... a1 n ... a 2 n t ( j1 j 2 ...... jn ) a1 j1 a 2 j2 ...... a njn ⋮ = ∑ (−1) ... a nn
例 1 下三角行列式
a11 a 21 a 31
0 a 22 a 32
± a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3
(−1)
t ( j1 j 2 j 3 )
a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3
三阶行列式是 3 != 6 项 的代数和. 的代数和
三阶行列式可以写成
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 23
a13 t ( j1 j 2 j 3 ) a 23 = ∑ (−1) a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3 a 33
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a 13 a 23 = a11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a13 a 21 a 32 a 33 − a a a − a a a − a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31
§2 全排列及其逆序数
a11 a12 ⋯ b1 j ⋯ a1n a11 a12 ⋯ c1 j ⋯ a1n
a21 a22 ⋯ b2 j ⋯ a2n a21 a22 ⋯ c2 j ⋯ a2n = + ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ bnj ⋯ ann an1 an2 ⋯ cnj ⋯ ann
把行列式的某行（ 性质 6 把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另 一行（ 的对应元素上去，行列式的值不变 一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变.
2 × (1) − 3 × (2 )
(+
7 x1 = 14 x1 = 2
7 x 2 = 42
类似地， 类似地，可得 于是
x2 = 6
消元法 线性方程组
a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2
的两边后,两式相加得 的两边后 两式相加得
0 0 = a 11 a 22 a 33 a 33
例2 下三角行列式
a11 a 21 ⋮ an1
0 a 22 ⋮ an 2
... ... ⋱
0 0
= a11a 22 …… a nn
... a nn
例 3 三阶行列式
λ1 λ2 λ3
= − λ1λ 2 λ 3
例4 四阶行列式
λ1 λ2 λ3 λ4
例5 n 阶行列式
称为 n 阶行列式 , 规定为所有形如
( −1) t ( j1 j2 ⋯⋯ jn ) a1 j1 a 2 j2 ...... a njn
2， 的一个排列， 其中 j1 j2 ⋯⋯ jn是 1， ⋯⋯，n 的一个排列， 项的代数和， 项的代数和，
t ( j1 j 2 ⋯⋯ jn )是排列 j1 j 2 ⋯⋯ jn 的逆序数 . 即
例 2 排列 3 2 5 1 4 的逆序数为 t (３２５１４) ＝０＋１＋０＋３＋１＝ 5 为奇排列. 排列 3 2 5 1 4 为奇排列 例 3 排列 n ( n −1 ) … 3 2 1 的逆序数为
n(n − 1) t ( n (n −1) … 3 2 1 ) = 0 + 1 + 2 + … + ( n − 1 ) = 2
定理 2 n 阶行列式也可以定义为
D = ∑ (−1)
t ( p1 p2 ⋯⋯ pn )
a p1 1a p2 2 …… a pn n
排列 53142 经对换1与 经对换 与4 得排列 53412 求这两个排列的逆序数. 求这两个排列的逆序数 解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7 t(53412) = 0+1+1+3+3=8
1 b b2
1 c c2
1 a a2
= 1 b b2
1 c
c2
1 例2 a a2 a3
1 b b2 b3
1 c c2 c3
1 d d2 d3
=−
a2 a 1 a3
b2 b 1 b3
c2 c 1 c3
d2 d 1 d3
性质 2 的证明 两行,得行列式 设行列式 D = det (aij ) 互换第 i , j ( i＜ j ) 两行 得行列式
的某一列（ 性质 5 若行列式 的某一列（行）的元素都是两个元素和 ， 则此行列式等于两个行列式之和 . 例如
a11 a 21 ⋮ an1
a12 a 22
⋯ (b1 j + c1 j ) ⋯ a1 n ⋯ (b2 j + c 2 j ) ⋯ a 2 n
⋮ ⋮ ⋮ a n 2 ⋯ (bnj + cnj ) ⋯ ann
n( n− 1) 2
3.
§5 行列式的性质
性质 1 行列式与它的转置行列式相等 行列式与它的转置行列式相等. 性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号 互换行列式的两行（ ），行列式变号. 行列式变号 两行（ 相同的行列式值为零. 推论 两行（列）相同的行列式值为零 行列式的某一行（ 性质 3 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个 数 k , 等于用数 k 乘此行列式 . 行列式中某一行（ 推论 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号 外面. 外面 性质4 行列式中如果有两行（ 性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列 式等于零. 式等于零
设
记
a11 a12 … a1n D= a21 a22 … a2n ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 … ann ,
T
a11 a21 … an1 a12 a22 … an2 D = , ⋮ ⋮ ⋮ a1n a2 n … ann
的转置行列式. 行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式 那么 DT = D
1 例1 a a2
b11 b12 … b1n D1 = b21 b22 … b2 n ⋮ ⋮ ⋮ bn1 bn2 … bnn ,
其中， 其中，当 k≠ i , j 时, bkp = akp ;当 k = i , j 时，bip = ajp,, bjp = aip , 当 于是 t( p … p … p … p ) = ∑ (−1) 1 i j n b1 p1 ⋯bipi ⋯b jp j ⋯bnpn D1
排成一列， 阶全排列. 把 1, 2, ……, n 排成一列，称为一个 n 阶全排列 三 阶排列 j1 j 2 j 3 共有3× × 共有 ×2×1=3!个. 个 n 阶排列共有 n!个. ! 在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有 一个逆序 逆序. 一个逆序 一个排列中所有逆序的总数. 排列的逆序数 一个排列中所有逆序的总数 逆序数为偶数的排列 偶排列 逆序数为偶数的排列. 奇排列 逆序数为奇数的排列. 逆序数为奇数的排列 称为自然排列，它的逆序数为0 例 1 排列 1 2 …… n 称为自然排列，它的逆序数为 ， 所以是偶排列. 所以是偶排列
பைடு நூலகம்例1
练习 1. 选择 i 与 k 使 成偶排列; （1）2 5 i 1 k 成偶排列 ） 成奇排列. （2）2 5 i 1 k 成奇排列 ）
2. a 14 a 21 a 33 a 44 和 a 12 a 43 a 31 a 24 是否为四阶行列式中的 项，
若是， 若是，指出应冠以的符号 3.计算 阶行列式 计算n 计算 1 1 ⋰ 1
经对换 a 与 b ,得排列 得排列 那么
a1 …… a k bab1 …… bm ,
t (a1 ……ak bab1 ……bm ) = t (a1 ……ak abb1 ……bm ) ± 1