线性代数(同济六版)知识点总结
1. 二阶行列式--------对角线法则 : |a 11 a 12a 21a 22|= a 11a 22 −a 12a 212. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用P n 表示， P n = n ！逆序数：对于排列p 1 p 2… p n ，如果排在元素p i 前面，且比p i 大的元素个数有t i 个，则p i 这个元素的逆序数为t i 。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n!2对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中：j 1j 2j 3 是1,2,3的一个排列，t(j 1j 2j 3)是排列 j 1j 2j 3 的逆序数5.下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式： 副对角行列式：6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。
D = D T ②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行：r i ↔ r j ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ：r i x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
如第j 列的k 倍加到第i 列上：c i +kc j333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a =O M M n...λλλλλλ21n 21=O n21λλλNn2121)n(n λλλ1)(ΛΛ--=n n n j n jn 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a ΛΛM MMM ΛΛΛΛ+++n nn j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a ΛΛM M M M ΛΛΛΛΛΛM M M M ΛΛΛΛ+=n n n j n j n i n 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a ΛΛΛM M MM ΛΛΛΛΛΛ+++n nn j n i n 12n 2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a ΛΛΛM M M M ΛΛΛΛΛΛ=7. 重要性质：利用行列式的性质 r i +kr j 或 c i +kc j ，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶 行列式的值。
（P11页例7） 8. 行列式按行（列）展开法则（***重要***） ①重要概念： 余子式：在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去, 剩下的( n −1 )2 个元素按原来的排法构 成的 n − 1 阶行列式 叫做a ij 的余子式，记为M ij 代数余子式：记 A ij = ( −1 ) i+j M ij 为元素 a ij 的代数余子式 。
②重要性质，定理 1）第i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。
2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和， 即：推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即 或使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多0的行（列），从该行选取一个非0元素a ij ，并将该行其他元素 通过性质化为0，则D = a ij A ij 9. 利用Cramer 法则求解n 个n 元线性方程组： ①若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。
等于0，则无解其中 D j (j=1,2…n) 是把系数行列式中的第j 列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的n 阶行列式即：②对于齐次线性方程组，如果系数行列式D ≠ 0，则该方程组只有零解，若D = 0，则存在非零解。
第二章1. 矩阵相关的概念：矩阵：由 m ×n 个数 a ij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)排成的 m 行 n 列的数表(是一组数)。
行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量。
同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵A=B ： 矩阵A 和矩阵B 为同型矩阵，且对应的元素相等。
零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为O ，不同型的零矩阵是不相等的。
对角矩阵：对角线元素为12,,,nλλλL ，其余元素为0的方阵 单位矩阵：对角线元素为１，其余元素为0的方阵，()1212diag ,,,nn λλλλλλ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎝⎭L OΛ 111⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E O2. 矩阵的运算1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。
A+B 等于对应元素相加起来。
满足交换律和结合律in in i2i2i1i1A a A a A a D +++=ΛΛnjnj 2j 2j 1j 1j A a A a A a D +++=ΛΛj i 0A a A a A a j n i n j 2i 2j 1i 1≠=+++ΛΛj i 0A a A a A a n j n i 2j 2i 1j 1i ≠=+++ΛΛ或 0a a a a a a a a a D nn n2n12n22211n1211≠=K M M M K K D D x ,,D D x ,D D x n n 2211===ΛΛn.,1,2,j a a b a a a a b a a a a b a a D nn 1j n,n 1j n,n12n1j 2,21j 2,211n1j 1,11j 1,11j ΛΛΛM M M M M ΛΛΛΛ==+-+-+-2）数与矩阵相乘①，②()λμλμ+=+A A A ，③()λλλ+=+A B A B3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；A m×s ×B s×n乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；C m×n即：乘积矩阵的第i 行，第j 列元素为前一个矩阵的第i 行元素与后一个矩阵的第j 行元素对应相乘再相加。
注意：一般情况下：AB ≠ BA 。
但是满足结合律和分配律。
EA = AE = A4）矩阵的幂：若 A 是 n 阶方阵，则：A 2=AA A 3=AA 2 …… A k =AA k−1 显然：3. 矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作A T . 如：性质：设A 为n 阶方阵，如果满足 A = A T ，即a ij =a ji ，则A 为对称阵如果满足 A = −A T ，即a ij =−a ji ，则A 为反对称阵4. 方阵的行列式：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A |或det A .性质：①T||||=A A ，②||||nλλ=A A ，③||||||=AB A B 。
5. 伴随矩阵：其中A ij 是a ij 的代数余子式，*A 称为A 的伴随矩阵。
（特别注意符号）6. 逆矩阵：对于n 阶方阵 A ，如果有 n 阶方阵 B ，使得AB = BA = E ，则称A 可逆， B 为A 的逆矩阵，记为A −1。
且A 的逆矩阵是唯一的。
判断方阵A 是否可逆：|A | ≠ 0⇔ A 可逆，且逆矩阵A −1= 1|A |A ∗推论：若|A | ≠ 0，则|A −1|= 1|A ∗|。
此时称A 为非奇异矩阵。
若|A |=0，则称A 为奇异矩阵。
二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调，副对角线两数反号。
单位矩阵E 是可逆的 E = E −1。
零矩阵是不可逆的。
()()A A λμλμ=11221si j i j is ij sj k k k i jc a b a b a b a b ==+++=∑L 22222()()2 ()()k k kAB A B A B A AB B A B A B A B =+=+++-=-A 、B 可交换时才成立, ()k l k l k l klA AA A A +==122,458A ⎛⎫= ⎪⎝⎭1425;28TA ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1) ();T T A A =(2) ();T T T A B A B +=+(3) ();T T A A λλ=(4) ().T T T AB B A =112111222212n n n n nn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L LL 注意：元素a ij 的代数余子式A ij 是位于A ∗的第j 行第i 列（类似于转置） 性质：AA ∗= A ∗A = |A |E 111212122211n n m m mn a a a a a a A A a a a λλλλλλλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L L L L LL LA = (a b c d) -----> A −1=1ad−bc (d −b−c a )对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数。
推论：如果 n 阶方阵A 、B 可逆，那么A −1、A T 、 λA (λ≠0)、AB 也可逆 且：用逆矩阵求解线性方程组：已知 AXB =C ，若AB 可逆，则 X = A −1CB −1（A 在X 左边，则A −1必须在C 左边，B 也如此） 7. 矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块； 每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 分块矩阵的运算：（其运算与矩阵运算基本一致） 1）加法：要求矩阵A 和B 是同型矩阵，且采用相同的分块法(即相对应的两个子块也是同型的) 2）分块矩阵A 的转置A T ：除了A 整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。
线性代数同济六版资料知识点总结
1. 二阶行列式--------对角线法则 :2. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用 表示， = n ！逆序数：对于排列…，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中： 是1,2,3的一个排列，t()是排列的逆序数5.下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式： 副对角行列式：6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。
D =②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行：③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如：333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a = n...λλλλλλ21n 21= n21λλλn2121)n(n λλλ1)( --=n n n j n j n 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a+++n nn j n 2n 12n2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a +=⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
线性代数同济六版知识点总结
1、 二阶行列式--------对角线a 法则a :
11
12
2、 三阶行列式 ①对角线法则 ②按行(列)展开法则
aa
21
22
aa
31
32
a 13
a 23
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 33
11 22 33
12 23 31
对换:一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性、
4、 a a a
11
12
13
(1) a t ( j1j2j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
a a a 3 1
23
33
其中: t(
就是 1,2,3 的一个排列,
)就是排列
的逆序数
56、 、对下 ①行角三行列行角列式λ列行式的1 式列与性λ: 式它质2 :的: 转aaa置12n111行列aa2n式22λ相1λ.等2..、...a(0λ转nnn置:副行a对变11a角列22行,.列.列变.式a行n:n)。D副=三λ角2 跟λ副1 对角(相1识)n(
对角矩阵:对角线元素为 1, 2 , , n ,其余元素为 0 的方阵 单位矩阵:对角线元素为１,其余元素为 0 的方阵,
1
2
diag
1
,
2
,
, n
n
1
E
1
1
2、 矩阵的运算
1)加法:只有两个矩阵为同型矩阵时,才能进行加法运算。A+B 等于对应元素相加起来。满足交换律与结合律
2)数与矩阵相乘
或
a1iA1j a2iA2j a niA nj 0
ij
使用该法则计算行列式的值:先选取存在最多 0 的行(列),从该行选取一个非 0 元素 aij,并将该行其她元素
同济大学线性代数第六版线性相关与线性无关的判定方法
同济大学线性代数第六版线性相关与线性无关的判定方法在线性代数中，线性相关和线性无关是对于向量组的性质进行判断的重要概念。
在同济大学线性代数第六版教材中，针对线性相关和线性无关的判定方法进行了详细的阐述和说明。
本文将根据该教材的内容，对线性相关和线性无关的判定方法进行介绍和解释。
1. 向量组及其线性组合在线性代数中，向量组指的是由一系列向量组成的集合。
对于一组向量A = (a_1, a_2, ..., a_n)可以通过线性组合的方式生成新的向量。
线性组合的定义如下：对于任意实数k_1, k_2, ..., k_n，向量b可以表示为：b = k_1 * a_1 + k_2 * a_2 + ... + k_n * a_n2. 线性相关与线性无关的定义在线性代数中，向量组A中的向量线性相关指的是存在一组不全为零的实数k_1, k_2, ..., k_n，使得：k_1 * a_1 + k_2 * a_2 + ... + k_n * a_n = 0反之，如果向量组A中的向量线性相关的话，则称其线性无关。
3. 线性相关的判定方法方法来判定一个向量组是否线性相关：3.1 行列式法行列式法是线性代数中常用的判定线性相关的方法之一。
对于向量组A = (a_1, a_2, ..., a_n)，如果存在一个n阶行列式|A| = 0，则向量组A线性相关；如果|A| ≠ 0，则向量组A线性无关。
3.2 线性方程组法线性方程组法是另一种常用的判定线性相关的方法。
对于向量组A = (a_1, a_2, ..., a_n)，将其表示为线性方程组的形式：k_1 * a_1 + k_2 * a_2 + ... + k_n * a_n = 0如果线性方程组存在非零解，则向量组A线性相关；如果线性方程组只有零解（即只有全部系数均为0的解），则向量组A线性无关。
3.3 列向量线性组合法列向量线性组合法是通过列向量的线性组合判定线性相关的方法。
线性代数同济六版共五章全
求这两个排列的逆序数. 解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7
t(53412) = 0+1+1+3+3=8
练习
1. 选择 i 与 k 使 （1）2 5 i 1 k 成偶排列; （2）2 5 i 1 k 成奇排列.
2. a14a21a33a44和a12a43a31a24是否为四阶行列式中的项， 若是，指出应冠以的符号
例 1 排列 1 2 …… n 称为自然排列，它的逆序数为0 ，
所以是偶排列.
例 2 排列 3 2 5 1 4 的逆序数为
t (３２５１４) ＝０＋１＋０＋３＋１＝ 5
排列 3 2 5 1 4 为奇排列. 例 3 排列 n ( n −1 ) … 3 2 1 的逆序数为
nn 1
t ( n (n −1) … 3 2 1 ) = 0 + 1 + 2 + … + ( n − 1 ) =
2
§3 n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
aaa
11
12
13
aaa
21
22
23
aaa
31
32
33
a a a 11 22 33
123
a a a 12 23 31
231
a a a 13 21 32 312
a a a 11 23 32
132
a a a 12 21 33
213
a a a 13 22 31
a21 a22 ... a2n
an1 an2 ... ann
称为 n 阶行列式 , 规定为所有形如
(1)t( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 ......anjn
线性代数(同济六版珍藏版)
正交变换和配方法化简二次型
正交变换
通过正交矩阵对二次型进行变换，使得变换 后的二次型保持原有的性质，如形状、大小 等。正交变换可以简化二次型的计算过程。
配方法
通过配方的方法将二次型化为完全平方的形 式，从而更容易地找到其标准形。配方法适
用于特征值不易求解的情况。
正定矩阵概念及判别方法
要点一
正定矩阵定义
初等变换与等价关系
初等变换
对矩阵实施以下三种变换称为初等变换：(1) 对换两行；(2) 以非零数乘某一行； (3) 把某一行的若干倍加到另一行上。
等价关系
若两个矩阵可以通过有限次初等变换相互转化，则称这两个矩阵等价。等价关 系具有自反性、对称性和传递性。
02
行列式及其应用
n阶行列式定义及性质
01
两个矩阵行数相等、列 数相等且对应元素相等 。
只有同型矩阵才能相加 ，即把两个矩阵对应位 置的元素分别相加。
用数$k$乘以矩阵A的每 一个元素。
设$A=(a_{ij})$是$m times n$矩阵， $B=(b_{ij})$是$n times s$矩阵，那么规定A与B 的乘积是一个$m times s$矩阵C，其中C的第$i$ 行第$j$列元素是A的第 $i$行元素与B的第$j$列
特征值和特征向量在物理中应用
振动问题
在振动问题中，系统的质量和刚度矩阵 的特征值和特征向量决定了系统的固有 频率和振型。
VS
量子力学
在量子力学中，哈密顿算符的特征值和特 征向量分别对应于系统的能量本征值和波 函数。通过求解哈密顿算符的特征问题， 可以得到系统的能级和波函数。
06
二次型与正定矩阵
二次型概念及标准形
线性方程组解结构
同济大学线代(第六版)新
请观察，此公式有何特点？ ➢分母相同，由方程组的四个系数确定. ➢分子、分母都是四个数分成两对相乘再
相减而得.
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
a11 a12 数表 a21 a22
a11 a12 记号 a21 a22
在十九世纪下半叶，因若当的工作而达 到了它的顶点。1888年，意大利数学家皮亚 诺（1858-1932）以公理的方式定义了有限 维或无限维线性空间。托普利茨将线性代数 的主要定理推广到任意体（domain）上的最 一般的向量空间中。
“代数”这个词在中文中出现较晚，在清代 时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴 拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译 家李善兰（ 1811-1882 ）才将它翻译成为（linear）指量与量之间按比例、成直 线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数 的函数。
非线性（non-linear）则指不按比例、不成 直线的关系，一阶导数不为常数。
线性代数
研究对象： 线性空间、线性变换和有限维的线性方程组。
研究工具： 行列式、矩阵与向量。
线性代数（第六版）
原则：横行竖列
2. 二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
根据定义 x1,x2 的分子也可以写成行列式形式如下：
b1 b2
a12 a22
b1a22 a12b2，
a11 a21
b1 b2
线性代数 Linear Algebra
线性代数(同济六版) 共五章 全
1
1
n(n1)
3.
(1) 2
1
§5 行列式的性质
性质 1 行列式与它的转置行列式相等.
性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号. 推论 两行（列）相同的行列式值为零. 性质 3 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个 数 k , 等于用数 k 乘此行列式 . 推论 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号 外面. 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列 式等于零.
例 1 排列 1 2 …… n 称为自然排列，它的逆序数为0 ，
所以是偶排列.
例 2 排列 3 2 5 1 4 的逆序数为
t (３２５１４) ＝０＋１＋０＋３＋１＝ 5
排列 3 2 5 1 4 为奇排列. 例 3 排列 n ( n −1 ) … 3 2 1 的逆序数为
nn 1
t ( n (n −1) … 3 2 1 ) = 0 + 1 + 2 + … + ( n − 1 ) =
321
t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2
t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
a1 j1 a2 j2 a3 j3
(1) a a a t( j1 j2 j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
三阶行列式是 3 != 6 项 的代数和.
三阶行列式可以写成
aa a
11
12
b11 b12 b1n
D1
b21
b22
b2 n
,
bn1 bn2 bnn
其中，当 k≠ i , j 时, bkp = akp ;当 k = i , j 时，bip = ajp,, bjp = aip ,
(NEW)同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录
第1章 行列式
1.1 复习笔记
1.2 课后习题详解
1.3 考研真题详解
第2章 矩阵及其运算
2.1 复习笔记
2.2 课后习题详解
2.3 考研真题详解
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
3.1 复习笔记
3.2 课后习题详解
3.3 考研真题详解
第4章 向量组的线性相关性4.1 复习笔记
4.2 课后习题详解
4.3 考研真题详解
第5章 相似矩阵及二次型5.1 复习笔记
5.2 课后习题详解
5.3 考研真题详解
第6章 线性空间与线性变换6.1 复习笔记
6.2 课后习题详解
6.3 考研真题详解
第1章 行列式
1.1 复习笔记
一、二阶与三阶行列式
1二阶行列式
定义 将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表：
则表达式就是数表的二阶行列式，并记作
2三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
记
该式称为数表所确定的三阶行列式．
二、全排列和对换
1全排列。
同济大学线性代数第六版正交向量与正交矩阵的性质
同济大学线性代数第六版正交向量与正交矩阵的性质正交向量和正交矩阵是线性代数中非常重要的概念，它们在各个领域中都有着广泛的应用。
在同济大学线性代数教材的第六版中，正交向量和正交矩阵的性质被详细地介绍和讲解。
本文将围绕这一主题展开，探讨正交向量和正交矩阵的性质及其应用。
一、正交向量的性质正交向量是指两个向量的内积为零，也就是说它们的夹角为九十度。
同济大学线性代数第六版中详细介绍了正交向量的性质。
首先，正交向量的数量不会超过向量空间的维数。
这一性质被称为正交向量的基本定理，它对于解决线性方程组和矩阵的特征值问题非常重要。
其次，同济大学线性代数第六版还介绍了正交向量组和正交补空间的概念。
正交向量组是指一组两两正交的向量，它们张成的子空间被称为正交子空间。
而正交补空间是指与一个向量空间正交的向量构成的子空间。
正交补空间的概念在矩阵和线性方程组的求解中经常出现，可以帮助我们简化问题，降低计算难度。
二、正交矩阵的性质正交矩阵是指方阵的转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵。
同济大学线性代数第六版中详细介绍了正交矩阵的性质及其应用。
首先，正交矩阵的行向量组和列向量组都是正交向量组。
这一性质使得正交矩阵具有很好的几何意义，可以用来描述旋转和镜像。
其次，同济大学线性代数第六版介绍了正交矩阵的特殊形式——正交对角矩阵。
正交对角矩阵的对角线上的元素都是1或-1，其余元素都是0。
正交对角矩阵具有简单的性质和运算规则，在计算中比较方便。
另外，同济大学线性代数第六版还介绍了正交复合矩阵的概念。
正交复合矩阵是由多个正交矩阵相乘得到的，具有一些特殊的性质。
例如，正交复合矩阵的转置等于其逆矩阵，因此可以保证矩阵乘法的可逆性。
三、正交向量和正交矩阵的应用正交向量和正交矩阵在各个领域中都有着广泛的应用。
首先，在几何学中，正交向量可以用来描述平面和空间中的垂直关系，例如描述直线的法向量，计算投影和距离等。
其次，在物理学中，正交向量和正交矩阵经常用于描述旋转、镜像和坐标变换等问题。
(完整版)线性代数(同济六版)知识点总结
1. 二阶行列式--------对角线法则 : |a 11 a 12a 21a 22|= a 11a 22 −a 12a 212. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用P n 表示， P n = n ！逆序数：对于排列p 1 p 2… p n ，如果排在元素p i 前面，且比p i 大的元素个数有t i 个，则p i 这个元素的逆序数为t i 。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n!2对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中：j 1j 2j 3 是1,2,3的一个排列，t(j 1j 2j 3)是排列 j 1j 2j 3 的逆序数5.下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式： 副对角行列式：6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。
D = D T ②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行：r i ↔ r j ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ：r i x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
如第j 列的k 倍加到第i 列上：c i +kc j333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a =O M M n...λλλλλλ21n 21=O n21λλλNn2121)n(n λλλ1)(ΛΛ--=n n n j n jn 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a ΛΛM MMM ΛΛΛΛ+++n nn j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a ΛΛM M M M ΛΛΛΛΛΛM M M M ΛΛΛΛ+=n n n j n j n i n 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a ΛΛΛM M MM ΛΛΛΛΛΛ+++n nn j n i n 12n 2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a ΛΛΛM M M M ΛΛΛΛΛΛ=7. 重要性质：利用行列式的性质 r i +kr j 或 c i +kc j ，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶 行列式的值。