2010年考研数学三真题

(A) f ′ (a)<0. (B) f ′ (a)>0 . (C) f ″ (a)<0 . (D) f ″ (a)<0 . 【 】 【答案】 应选(B). 【分析】 求 f (g (x))的一、二阶导数，利用取得极值的必要条件及充分条件。 【详解】 [f (g (x))]′ = [f ′ (g (x))] ⋅ g ′ (x),
(2)本题由A 2+A=O即可得到A可对角化，因此题设条件A为实对称矩阵可去掉.. 几乎原题见《经典讲义》线性代数部分的例题 5.30，5.39, 以及强化班第一讲中的例题 8、 冲刺辅导班讲义线性代数部分例题 4.
⎧ 0,
⎪ (7) 设随机变量的分布函数 F (x) = ⎨
1,
⎪ ⎩1
2 −e
−
x
(D) λ = 2 , μ = 2 . 33
【】
【答案】 应选(A) .
【分析】 此题主要考察线性微分方程解的性质和结构
【详解】 因 λ y1 − μ y2 是方程y′ +p(x) y =0 的解, 所以
即 由已知得
(λ y1 − μ y2)′ +p(x) (λ y1 − μ y2) =0 λ [y1′ +p(x) y1 ] − μ [ y2′ +p(x) y2 ] =0 (λ − μ ) q(x) =0,
dP R
RP
两边积分得
ln R = ln P + 1 P3 + C 3
又由 R(1)=1 知，
C =−1,
1( P 3 −1)
所以 R = P ⋅ e 3 .
3
1 ( P 3 −1)
故应填 P ⋅ e 3 .
【评注】此题考查弹性的定义及可分离变量微分方程的解法，属基本题型. 几乎原题见《经典讲义》微积分部分第九章的例题 9.6
0
,
所以 dy dx
| x=0 = −1.
【评注】利用变限积分求导公式时，被积函数中不能含有 x 及 x 的函数。
几乎原题见《经典讲义》微积分部分习题精选二解答题的第 2 题。
(10) 设位于曲线 y =
1
( e≤ x<+∞ )下方, x 轴上方的无界区域为 G, 则 G 绕 x 轴
x(1 + ln 2 x)
因为 q(x) ≠0, 所以
λ + μ =1 ,
解得
λ = 1,μ = 1 .
22
【评注】此题属反问题，题目构造较新颖。
原题见《经典讲义》微积分部分的第八章解的性质和解的结构定理
(3) 设函数f (x), g (x) 具有二阶导数, 且满足等g″ (x)小于零, g (x0)= a是 g (x)的极值, 则 f (g (x))在x0 取极大值的(一个充分)条件是
(A) g (x)< h (x)< f (x) .
(C) f (x)< g (x)< h (x) . 【答案】 应选(C). 【分析】计算两两比的极限
(B) h (x)< g (x)< f (x) . (D) g (x)< f (x)< h (x) .
【】
x
【详解】因为 lim
h(x)
=
lim
e10
∫ ∫ 【详解】由 x+ y e −t 2 dt = x x sin 2 tdt ，令 x=0，得 y=0,
0
0
∫ 等式两端对 x 求导得
e −( x+ y) 2 (1 + dy ) = x sin 2 tdt + x sin 2 x , dx 0
将
x=0，y=0
代入上式，得
1
+
dy dx
|
x=0
=
+∞
0
+∞
∫ ∫ ∫ 1= f (x)dx = −∞
a
−∞
f 1 (x)dx
+
0
b f 2 (x)dx
∫ ∫ = a 2
+∞
−∞ f 1 (x)dx + b
31 dx = a + 3 b ，
04
24
所以 2a+3b=4, 选(A) .
几乎原题见《经典讲义》概率统计部分的例题 2.5, 以及强化班第二讲中的例题 4.
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
(1)
若
lim
x→0
⎡ ⎢⎣
1 x
−
(1 x
−
a)
e
x
⎤ ⎥⎦
=1,
则a
等于
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
【答案】 应选(C).
(2) 设y1, y2是一阶线性非齐次微分方程y′ +p(x) y = q(x)的两个特解. 若常数λ , μ 使 λ y1 + μ y2 是该方程的解, λ y1 − μ y2是对应的齐次方程的解, 则
(A) λ = 1 , μ = 1 . 22
(B) λ = − 1 , μ = − 1 .
2
2
(C) λ = 2 , μ = 1 . 33
【答案】应选 (D) .
【详解】设λ为A的特征值，由于A 2+A=O，知特征方程 λ 2 +λ = 0 ，得 λ = −1或 0. 由于A
为实对称矩阵，故A可相似对角化，即 A ~Λ ，r（A）= r（Λ）=3，因此
⎡− 1
⎤
⎢ A ~Λ= ⎢
−1
⎥ ⎥
，
⎢
−1 ⎥
⎢ ⎣
0⎥⎦
应选 D) . 【评注】(1)若 A 可对角化，则 r（A）=A 的非零特征值的个数.
(A) 2a+3b=4. (B) 3a+2b=4. (C) a+b=1 . (D) a+b=2. 【答案】(A) 【分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质，属基本题.
【】
【详解】由已知有
f 1(x) =
1
−x2
e 2,
2π
f
2
(
x)
=
⎪⎧ ⎨
1 4
,
−1 < x < 3,
⎪⎩ 0, 其他.
由概率密度的性质有
旋转一周所得空间区域的体积是 _____________ .
4
【答案】 应填 π 2 . 4
【分析】 利用旋转体的体积公式即得
∫ ∫ ∫ 【详解】
V=
+∞
π
y 2dx
=
π
+∞
1
+∞
dx = π
1 d (ln x)
e
e x(1 + ln 2 x)
e 1 + ln 2 x
= π ⋅ arctan lnx +∞ = π (π − π ) = π 2
(6) 设A为 4 阶实对称矩阵, 且A2+A=O , 若A的秩为 3, 则A与相似于
⎡1
⎤
⎢ (A) ⎢
1
⎥ ⎥.
⎢
1⎥
⎢ ⎣
0⎥⎦
⎡1
⎤
⎢ (B) ⎢
1
⎥ ⎥.
⎢
−1 ⎥
⎢ ⎣
0⎥⎦
⎡1
⎤
⎢ (C) ⎢
−1
⎥ ⎥.
⎢
−1 ⎥
⎢ ⎣
0⎥⎦
⎡− 1
⎤
⎢ (D) ⎢
−1
⎥ ⎥.
⎢
−1 ⎥
⎢ ⎣
0⎥⎦
【】
二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
∫ ∫ (9) 设可导函数 y=y (x)由方程
x+ y e −t 2 dt =
0
x x sin 2
0
tdt 确定,
则 dy dx
| x=0 = _______ .
【答案】应填−1 .
【分析】先由方程求出 x = 0 时 y = 0 ，再两边对 x 求导，属基础题型.
因为 q(x) ≠0, 所以
λ − μ =0,
又 λ y1 + μ y2 是非齐次y′ +p(x) y = q (x)的解,
1
故 即 由已知得
(λ y1 + μ y2)′ +p(x) (λ y1 + μ y2) = q (x) . λ [y1′ +p(x) y1 ] − μ [ y2′ +p(x) y2 ] = q(x) . (λ + μ ) q(x) = q(x) .
【答案】应选(A) . 【详解】因向量组 I 能由向量组 II 线性表示，所以 r（I）≤ r（II），即
r (α 1, α2 , ⋅⋅⋅ , α r）≤ r (β1, β2 , ⋅⋅⋅ , β s)≤ s , 而向量组I线性无关，于是 r(α 1, α2 , ⋅⋅⋅ , α r )= r，所以 r≤ s . 选(A). 【评注】这是线性代数中的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案. 原题见《经典讲义》线性代数部分的第三章§1 中的推论 3.5.
(12) 若曲线 y = x 3 + a x 2 + bx +1 有拐点(−1, 0) , 则b = ________ . 【答案】 应填 3. 【分析】利用(−1, 0)是曲线拐点的条件列方程解出 b. 【详解】 y = x 3 + a x 2 + bx +1 在整个实数区间上可导, 且
e
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