高三第一轮复习14----解三角形训练题

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2024届高三数学一轮复习--三角函数与解三角形第3练两角和与差的正弦、余弦和正切公式(解析版)

【详解】因为
cos
4
5 ，所以 5
2 cos 2
2 sin 2
5 ，平方后可得 5
1 cos2 sin2 sin cos 1 ，整理得 1 1 sin 2 1 ，所以 sin 2 3 .
2
5
22
5
5
故选：D.
2．B
【分析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值
6
，则
tan
（
）
A． 3
B． 2 3
C． 6
D． 6 3
3．（2023·全国·高三专题练习）若
1 1
tan tan
π 4 π 4
1 2
，则
cos
2
的值为（
）
A．- 3 5
B． 3 5
C． 4 5
D． 4 5
4．（2023
秋·江苏泰州·高三泰州中学校考开学考试）已知
cos
12
【详解】因为
sin
3
sin
6
，所以
1 2
sin
3 cos 2
3 sin 1 cos ，
2
2
所以 3 1 cos 3 1 sin ，所以 tan 3 1 2 3 . 3 1
故选：B
3．A
【分析】由已知可得
tan
π 4
1 3
，进而求出
四个命题：
甲： tan 1 ；
2 乙： tan tan 7 : 3 ；
丙：
sin cos
5 4
；
丁： tan tan tan tan 5 : 3 .
如果其中只有一个假命题，则该命题是（）
A．甲

数学一轮复习第4章三角函数解三角形第1讲三角函数的基本概念同角三角函数的基本关系与诱导公式试题1理

第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式练好题·考点自测1.已知下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关;③若sin α=sin β，则α与β的终边相同；④若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确的个数是（）A.1B.2 C。

3 D。

42。

sin 2·cos 3·tan 4的值（）A。

小于0 B。

大于0C。

等于0 D.不存在3.已知点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,则sin α—cos α= （）A.√32+12B。

-√32+12C。

√32−12D。

-√32−124.[2019全国卷Ⅰ,7，5分]tan 255°= （）A.-2—√3B。

—2+√3C。

2—√3 D.2+√35.[2020全国卷Ⅱ，2,5分］［理]若α为第四象限角,则（ ) A 。

cos 2α>0 B 。

cos 2α〈0 C 。

sin 2α>0 D.sin 2α<06。

已知sin α+cos α=12，α∈(0,π),则1-tanα1+tanα= ( )A.—√7B.√7C.√3 D 。

-√3图4-1—17。

[2019北京,8,5分］如图4—1-1，A ，B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（） A 。

4β+4cos β B.4β+4sin β C.2β+2cos β D.2β+2sin β8.[2018全国卷Ⅰ，11，5分］已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A （1，a ）,B （2,b )，且cos 2α=23，则｜a -b ｜=（）A.15B .√55C 。

2√55D.1拓展变式1.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中用电焊切割成扇形，现有如图4-1—3所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间更短，则方案更优.2.（1）［2021洛阳市联考］已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合，终边与直线y=3x重合,且sin α<0，P（m，n）是角α终边上一点，且｜OP｜=√10(O为坐标原点）,则m-n 等于（）A.2B.-2C.4 D。

加强练(七) 三角函数、解三角形--备战2022年高考数学一轮复习配套word试题(创新设计版)

加强练(七) 三角函数、解三角形一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( ) A.19 B.13 C.12 D.23 答案 A解析由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.2．(2021·镇海中学模拟)若y ＝f (x )·sin x 是周期为π的奇函数，则f (x )可以是( ) A ．sin x B ．cos x C ．sin 2x D ．cos 2x 答案 B解析因为函数sin x cos x ＝12sin 2x 是周期为π的奇函数，所以可知f (x )＝cos x ，故选B.3．设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关答案 B解析因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π，即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B.4．在△ABC 中，若sin A ＝35，cos B ＝513，则cos C 的值是( ) A.5665 B.1665C.5665或1665 D ．以上都不对答案 B解析 cos B ＝513>0，∴B 为锐角，sin B ＝1213，又sin A ＝35<sin B ，由正弦定理得0<A <B <π2，cos A ＝45，cos C ＝cos []π－（A ＋B ）＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋ sin A sin B ＝－45×513＋35×1213＝1665.5．(2021·浙江十校联盟适考)将函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x 图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移π8个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，－1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，－1 答案 D解析将函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6－1的图象，再向右平移π8个单位长度得到函数g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23⎝⎛⎭⎪⎫x －π8－π6－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π4－1的图象，令23x －π4＝k π，k ∈Z 得x ＝3π8＋3k π2，k ∈Z ，则函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π4－1的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，－1，故选D.6．函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ＞0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )A.47B.87 C ．10 D ．8 答案 D解析过点P 作x 轴的垂线，垂足为点C ，则易得CP ＝1，AC ＝14T ＝14×2ππ＝12，BC ＝34 T ＝32，则tan ∠APC ＝12，tan ∠BPC ＝32，则tan ∠APB ＝tan(∠APC ＋∠BPC )＝12＋321－12×32＝8，故选D. 7．(2019·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 A解析 ∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ，∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－（4c 2＋b 2）2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc ＝6.故选A.8．(2021·台州期末评估)已知函数y ＝sin x ＋a cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的最小值为a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，3] B ．[－3，3] C ．(－∞，3] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，33答案 C解析设y ＝f (x )＝sin x ＋a cos x ，则f (0)＝a ，又函数f (x )的最小正周期是2π，所以此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的左端点处取到最小值，所以必有f (0)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即a ≤32＋12a ，解得a ≤3，故选C.9．(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③ 答案 C解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，又f (x )的定义域为R ，∴f (x )是偶函数，①正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，②错误．如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.10．(2021·浙江名师预测卷四)若不等式(|x －a |－b )×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π3≤0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，56上恒成立，则a ＋b 的最小值为( ) A.56 B ．1 C.23 D ．2 答案 A解析当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，56时，πx －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π3≥0，所以|x －a |－b ≤0，则a －b ≤x ≤a ＋b ，所以a ＋b ≥56.故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11．(2019·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________．答案 3π4解析 ∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴asin A ＝b－cos B.又由正弦定理a sin A ＝bsin B ，故－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)，∴B ＝3π4.12．(2021·嘉兴测试)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期是4π，则ω＝________，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝35，则cos θ＝________．答案 12 －725解析函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期是2πω＝4π，则ω＝12，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝cos θ2＝35，则cos θ＝2cos 2θ2－1＝－725. 13．(2021·浙江“超级全能生”联考)如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，BC ＝23，A ＝60°，△ABC 的面积等于23，则sin B ＝________，角平分线AM 的长为________．答案 12 433 解析由题意知⎩⎨⎧c ＞b ，bc ＝8，b 2＋c 2－bc ＝12，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝4，所以sin B ＝b sin A a ＝12.因为BC ＞AC ，所以B ＝30°，C ＝90°，在Rt △ACM 中，AM ＝AC cos 30°＝433.14．(2021·宁波模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )的图象．若函数g (x )为偶函数，则φ的值为________，此时函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上的值域是________．答案－π6 (－1，2)解析由已知有π2＝12·2πω，则ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)向左平移π3个单位长度，得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ，因为g (x )为偶函数，则2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，|φ|＜π2，故φ＝－π6；由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，u ＝2x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π2，故f (x )＝2sin u ∈(－1，2)，即值域为 (－1，2)．15．(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．答案 23解析由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，∴ωmin ＝23.16．(2021·湖州期末质检)设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若b 2＋3a 2＝c 2，则tan Ctan B ＝________；tan A 的最大值是________．答案－224解析在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．又因为c 2＝b 2＋3a 2，所以a ＝－b cos C ，结合正弦定理得－sin B cos C ＝sin A ＝sin(B ＋C )，化简得tan Ctan B ＝－2，则tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝tan B 1＋2tan 2B＝11tan B ＋2tan B≤121tan B ·2tan B ＝24，当且仅当tan B ＝22时等号成立，所以tan A 的最大值为24.17．在平面四边形ABCD 中，A ＝B ＝C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．答案 (6－2，6＋2)解析如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE (利用CF 向左平移即可)．在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，所以BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2. 在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，所以BE ＝212×6＋24＝6＋2，所以6－2<AB<6＋ 2.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18．(本小题满分14分)(2021·绍兴适考)在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝1，acos A＝3sin B.(1)求角A；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解(1)由acos A＝3sin B得a sin B＝3cos A.又因为asin A＝bsin B，所以a sin B＝b sin A＝3cos A.因为b＝1，所以sin Acos A＝3b＝3，即tan A＝ 3因为0<A<π，所以A＝π3.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4，得c2－c－3＝0，解得c＝1＋132(舍负)，所以S△ABC ＝12bc sin A＝3＋398.19．(本小题满分15分)(2021·镇海中学检测)已知函数f(x)＝1＋sin 2x＋sin x－cos x.(1)求函数f(x)的值域；(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足f(B)＝1，a＝3，b＝1，求c的值．解(1)由于f(x)＝1＋sin 2x＋sin x－cos x，所以f(x)＝|sin x＋cos x|＋sin x－cos x，去绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4（k ∈Z ），－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4（k ∈Z ），结合函数图象可知f (x )的值域为[－2，2]． (2)因为f (B )＝1，0<B <π，所以B ＝π6，再由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2＋c 223c ＝32，解得c ＝1或2.20．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝ a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值．解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.①当a >0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.21．(本小题满分15分)(2019·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值； (2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2的值．解 (1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，即23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ·c，解得c 2＝13.所以c ＝33.(2)因为sin A a ＝cos B 2b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb ，所以cos B＝2sin B ．从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255.因此sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ＝255. 22．(本小题满分15分)(2021·湖州期末质检)已知函数f (x )＝sin x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－14(x ∈R )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值和函数f (x )的最小正周期；(2)设锐角△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝14，a ＝2，求b ＋c 的取值范围．解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32×32－14＝12.因为f (x )＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －14＝12sin 2x ＋32sin x cos x －14 ＝1－cos 2x 4＋34sin 2x －14＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝14，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.因为A 为锐角△ABC 的内角，所以A －π6＝π6，所以A ＝π3.由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝2sin π3＝43得b ＝43sin B ，c ＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ，所以b ＋c ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B ＋32cos B ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为△ABC 为锐角三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2⇒π6<B <π2，所以B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，所以b ＋c ∈(23，4]．。

高三一轮复习精题组正弦定理、余弦定理及解三角形(有详细答案)

§4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形1．正弦、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2. S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：4. 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B ．( √ )(2)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是(3，2)．( √ ) (3)若△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC 中，tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，那么△ABC 是等腰三角形．( × )(5)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )2． (2013·湖南)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.3． (2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角，由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.5．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．题型一正、余弦定理的简单应用例1 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则sin B ＋sin C 的最大值为( )A ．0B ．1C.12D. 2思维启迪 (1)由sin C ＝23sin B 利用正弦定理得b 、c 的关系，再利用余弦定理求A . (2)要求sin B ＋sin C 的最大值，显然要将角B ，C 统一成一个角，故需先求角A ，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A . 答案 (1)A (2)B解析 (1)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.(2)已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，∴A ＝120°.故sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )，故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1.思维升华 (1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )A.725B ．－725C ．±725D.2425(2)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________．答案 (1)A (2)π6解析 (1)由正弦定理b sin B ＝csin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得bsin B ＝85b sin 2B ，化简得1sin B ＝852sin B cos B ，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725，故选A.(2)∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二正弦定理、余弦定理的综合应用例2 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sinC －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.思维升华有关三角形面积问题的求解方法： (1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．题型三解三角形的实际应用例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．解如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋92t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)．即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．思维升华求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ，所以∠ACB ＝30°.由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.代数式化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形； (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解； (3)结论表述不规范．规范解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断；注意不要轻易两边同除以一个式子．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．方法与技巧1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 3．合理利用换元法、代入法解决实际问题．失误与防范1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1．在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150°答案 A解析在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB <BC ，∴∠C <∠A ，故∠C ＝30°.2． △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案 A解析依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．3． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 4． (2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cosA ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A＝78，则△ABC 的面积等于 ( )A.17B.15C.152D ．3答案 C解析 ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0，即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－(78)2＝152.二、填空题6． (2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝________. 答案2π3解析由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.7．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝________.答案 210解析由tan A ＝2得sin A ＝2cos A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，∠B ＝π4，根据正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在点A 的同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________．答案 50 2 m 解析由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，所以AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝50 2.三、解答题9． (2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A，∴cos A ＝63. (2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去．故c 的值为5.10．(2013·江西)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，即3cos B ＝sin B . 因为0<B <π，所以sin B >0，所以cos B >0，所以tan B ＝3，即B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2＝14， ∴b ≥12.又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1.B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1． △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba等于( )A ．2 3B ．2 2C. 3D. 2答案 D解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin Bsin A＝ 2.2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°答案 C解析如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°， ∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°.3． (2013·浙江)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________. 答案63解析因为sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B ，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC .在Rt △ACM 中，有CMAM ＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2.再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63.4． (2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．(1)证明由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1.由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.5．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值． (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以T ＝2π2＝π.又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]，所以f (x )的值域为[－2,2]． (2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4.由正弦定理，知3sin π3＝csinπ4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.。

解三角形之中线、角平分线、高线问题+课件-高2025届高三数学一轮复习

【例 2】已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且△ABC 的面积为
( +
- )
.
(1)求∠ACB;
(2)若∠A= ,∠ACB 的平分线 CE 与边 AB 相交于点 E,延长 CE 至点 D,使得 CE=DE,求 cos∠ADB.
解:(2)不妨令 AC=3,因为∠ACB= ,可得 AB=3
1
1
1
:
:
sin A sin B sin C
2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
例题讲解
三角形的中线问题
【例 1】在 ABC 中， AD 是 BC 边的中线，
， BAC 120 且 AB AC
知识梳理
知识梳理
3、等面积法：
因为
所以
+
∆
+
=
∆
=2
1
1
，所以2 ∙
∆
2
整理的：
2
=
+2 ∙
2
2
+
2
（角平分线长公式）
【作用】
： ①利用角度关系建立各三角形之间的面积关系
②通过面积关系式求解角分线长度
1
=2
，
知识梳理
三、垂线
1 1 1
a b c
1、 h1，h2，h3 分别为 ABC 边 a，b，c 上的高，则 h1 : h2 : h3 : :
+ -
=
= ,
C,
例题讲解
三角形的高线问题
【例3】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.

基本不等式与解三角形--2023届高三数学一轮复习专题训练

基本不等式与解三角形—2023届高三数学总复习专题训练解三角形问题当中有一类问题是最值问题，这类问题往往要结合基本不等式来解决。

下面就为大家分享几个解三角形与基本不等式综合的题目。

1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（16b－11c）cosA＝11a cosC。

（1）求cosA的值；（2）若b＋c＝4，求a的最小值。

2、在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足tantan2A aC b a=-。

(1)求角C；(2)设D为边AB的中点，△ABC的面积为CD的最小值。

3、在△ABC中，角A，B，C所又寸的边分a，b，c，且1cos2a C c b+=。

(1)求角A的大小；(2)若a b＋c的最大值。

4、图，在△ABD中，AB＝2，AD＝1，∠A ABD内的动点C与点A位于直线BD的异侧，且满足∠C（1）求sin∠ADB；（2）求四边形ABCD面积的最大值。

5、已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3(b －a cos C )＝c sin A .(1) 求角A 的值；(2) 若AC 边上的中线BD 的长为13，求△ABC 面积的最大值.6、已知三角形ABC 的面积是S ，233AB AC ⋅=．（1）求sin A 的值；（2）若BC =，当三角形ABC 的周长取得最大值时，求三角形ABC 的面积S ．7、在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，且1cos 4C =. （1）求22cos 2sin 22A BC ++的值；（2）设2c =，求a b +的取值范围.8、已知231()cos cos 24f x x x x =+-. （Ⅰ）求()y f x =的最小正周期T 及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若5(),14f A a ==，求ABC ∆面积的最大值.9、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos 2cos C a cB b-=，且2a c +=．（1）求角B ；（2）求边长b 的最小值．10、已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1sin sin B C R+=（其中R 为ABC ∆的外接圆的半径）且ABC ∆的面积22()S a b c =--. （1）求tan A 的值；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值.11、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2tan A c bB b-=. （1）将函数()sin(2)f x x ϕ=+（02πϕ<<）的图象向右平移角A 个单位可得到函数()cos 2g x x =-的图象，求ϕ的值；（2）若ABC ∆的外接圆半径为1，求ABC ∆面积的最大值.12、ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．（1）若23C π=，求B ；（2）求222a b c+的最小值．13、在ABC △．中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos b c Ca A-=，3a =．（1）求角A ；（2）若点D 在边AC 上，且1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值．14、在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，92AB AC ⋅=，sin 4(sin cos cos sin )b A A C A C =+．（1）求a 的长度；（2）求ABC ∆周长的最大值．15、已知向量11(,sin )22a x x =和向量(1,())b f x =，且//a b ．（1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）已知ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有(2)16f A π-=，BC =ABC ∆面积的最大值．16、△ABC 的内角为A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin sin cos a b cC B B C=+．（1）求()()sin sin cos cos A B A A A B +++-的最大值；（2）若b =，当△ABC 的面积最大时，△ABC 的周长；参考答案1、2、3、△中，由余弦定理得4、解：(1)在ABD分.6分..8分 ..10分又ABD △的面积.11分所以四边形ABCD 面积的最大值为.12分 5、解：(1) 因为3(b －a cos C )＝c sin A ，由正弦定理得3(sin B －sin A cos C )＝sin C sin A .(2分) 即 3sin B ＝3sin A cos C ＋sin C sin A ，即 3sin A cos C ＋3cos A sin C ＝3sin A cos C ＋sin C sin A ，(4分) 所以 3cos A sin C ＝sin C sin A .因为sin C ≠0，所以sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3.(6分)因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(8分)(2) 在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＋AD 2－2·AB ·AD ·cos A ＝BD 2，即13＝c 2＋b 24－c ·b 2≥bc 2，(10分)所以bc ≤26.(12分)所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×26×32＝1332，即△ABC 面积的最大值为1332.(14分)6、解：（1）由得，所以. ………… …………………………2分在三角形ABC 中得4分所以,， ……………………………7分（2）在三角形ABC 中，2222cos a b c bc A =+-，所以()21222cos3b c bc bc π=+--，即()2212332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，…………………………10分当且仅当b c =时取等号，2AB AC S ⋅=1cos sin 2AB AC A AB AC A ⋅⋅=⋅⋅cos A A =()0A ,π∈tan A =3A π∠=sin 2A =所以b c +≤所以周长的最大值为b c ==所以面积1sin 2S AB AC A =⋅⋅=……………………………14分解法二：在三角形ABC 中sin sin sin AB AC BCC B A==得4sin sin 3ABAC CC π===⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以周长4sin 4sin 3l BC AB CA C C π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭6C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………10分由203C ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，当3C π=时，周长l取得最大值为此时AC AB ==所以面积1sin 2S AB AC A =⋅⋅=……………………………14分 7、8、解：(Ⅰ)()fx 1)32x π=++ , ……………………3分故()y f x =周期T π= . ……………………4分令222,()232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈则5,()1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 所以()y f x =单调增区间为5[,],()1212k k k Z ππππ-++∈. ………6分（Ⅱ）由5()4f A =可得6A π= ， ……………………8分所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立， ……………………10分．因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. ……………………12分9、（I ）由已知cos 2sin sin ,cos sin C A CB B-=即()cos sin 2sin sin cos ,C B A C B =- ()sin 2sin cos ,B C A B +=10、解：（1）由()22c b a S --=得A bc bc A bc cos 2-2sin 21= ……2分 ()412tan ,2sin 42cos 2sin ,cos 12sin 212==-=A A A A A A ……4分1582tan 12tan2tan 2=-=A AA …6分（2）由RC B 1sin sin =+得2=+c b ……7分由158tan =A 得178sin =A ……9分 1742174174sin 212=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤==c b bc A bc S ……11分当且仅当1==c b 时，取“=”号于是，△ABC 的面积S 最大值为174.……12分 11、解：. （1）由tan 2tan A c b B b -=及正弦定理得，sin cos 2sin sin cos sin sin A B C BA B B-=整理得，sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，即sin 2sin cos C C A =，因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =，而(0,)A π∈，所以3A π=，函数()sin(2)(0)2f x x πϕϕ=+<<的图象向右平移3π个单位可得， 2sin(2)3y x πϕ=-+，由题意2sin(2)cos(2)3x x πϕ-+=-，对任意x R ∈恒成立，不妨令3x π=，有21sin cos()32πϕ=-=，不妨令3x π=，有21sin cos()32πϕ=-= 又02πϕ<<，所以6πϕ=；（2）因为3A π=，外接圆半径1R =，所以由正弦定理 2sin a R A == 又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，所以 222232cos 23b c bc b c bc bc bc bc π=+-=+-≥-=当且仅当b c =时取等号.于是11sin 322ABC S bc A ∆=≤⨯=.∴△ABC ． 12、【1】因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；【2】由（1）知，sin cos 0BC =->，所以πππ,022C B <<<<，而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B+++-== ()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B B B BB -+-==+-≥=．当且仅当2cos 2B =时取等号，所以222a b c+的最小值为5． 13．（1）因为2cos cos b c C a A-=，所以()2cos cos b c A a C -=，所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A A C A C A C B =+=+=，因为sin 0B >，所以1cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =．（2）因为1233BD BA BC =+，所以13CD CA =；所以11sin 3612BCD ABC S S bc A bc ===△△，因为2222cos a b c bc A =+-，所以229b c bc bc =+-≥，当且仅当b c =时，等号成立，所以124BCD S =≤△，所以BCD △面积的最大值为4． 14．解：（1）由sin 4(sin cos cos sin )4sin()4sin b A A C A C A C B =+=+=．得sin 4sin b A B =，由正弦定理得4ab b =，得4a =．（2）由92AB AC ⋅=，得9cos 2bc A =，由余弦定理得2216922b c bc bc +-==，得2225b c +=，由22252b c ab =+，所以222()225250b c b c ab ab +=++=+，所以52b c +（当且仅当b c =时取等号），所以三角形ABC周长的最大值为4+ 15、【解析】（1）由//a b得11()sin 22f x x x =⇔()2sin()3f x x π=+，所以()f x 的最小正周期2221T πππω===，最大值为2．（2）由（1）得()2sin()3f x x π=+．因为(2)16f A π-=，得1sin(2)62A π+=，因为0A π<<，所以132666A πππ<+<，所以5266A ππ+=，解得3A π=．又BC =2222cos a a b c bc A ==+-⋅，所以223b c bc +-=，又222b c bc +≥（当且仅当b c =时取等号），则32bc bc +≥，所以3bc ≤，所以1sin 2ABC S bc A ∆=≤，所以ABC ∆． 16、（1）由得：，，即，，；由，令，原式，当且仅当时，上式的最大值为．（6分）（2），即cos sin sin cos a b c C B B C=+cos sin cos sin sin cos a b C c B C B B C +=cos sin a b C c B =+sin sin cos sin sin A B C C B =+cos sin B B =4B π=()())sin sin cos cos sin cos sin cos A B A A A B A A A A +++-=++sin cos t A A =+21122t =+-4A π=522221sin ,b 2cos 24S ac B ac a c ac B ===+-(2222,2a c ac ac =+≥-≤当且仅当等号成立；周长．（12分）a c=MAX S =L a b c =++=。

2020年中考数学一轮复习《第14讲：三角形及其性质》精练(含答案).docx

第14讲三角形及其性质A组基础题组一、选择题1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于( )A.45°B.60°C.75°D.90°2.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点3.下列说法错误的是( )A.三角形三条中线交于三角形内一点B.三角形三条角平分线交于三角形内一点C.三角形三条高交于三角形内一点D.三角形的中线、角平分线、高都是线段4.在△ABC中,AB=4a,BC=14,AC=3a,则a的取值范围是( )A.a>2B.2<a<14C.7<a<14D.a<145.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P 使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( )A.有且只有1个B.有且只有2个C.组成∠E的角平分线D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)6.在△ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长是( )A.14B.4C.14或4D.以上都不对二、填空题7.(2018滨州)在△ABC中,若∠A=30°,∠B=50°,则∠C=.8.(2018枣庄)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式,即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为S=--.现已知△ABC的三边长分别为1,2,,则△ABC的面积为.9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别为AB,AC,BC的中点.若CD=5,则EF的长为.10.已知:a、b、c是△ABC的三边长,且M=(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c),那么M 0.(填“>”“<”或“=”)三、解答题11.一个飞机零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠D 应分别是20°和30°,康师傅量得∠BCD=143°,就能断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?12.已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC.(1)如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF 的形状并证明;(2)如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,∠APD 的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.B组提升题组一、选择题1.已知锐角三角形的边长分别是2,3,x,那么x的取值范围是( )A.1<x<B.C.<x<5D.<x<2.(2017浙江湖州)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于( )A.1B.C.D.2二、填空题3.如图,平面上直线a,b分别经过线段OK的两个端点(如图),则a,b 相交所成的锐角是.4.如图所示,AB=BC=CD=DE=EF=FG,∠1=130°,则∠A=°.5.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,已知AC=5,AD=4,则AB的取值范围是.对比训练上题中若作修改“AC=5,AB=4,求AD的取值范围”,怎样计算?三、解答题6.已知∠MON=40°,OE平分∠MON,点A、B、C分别是射线OM、OE、ON 上的动点(A、B、C不与点O重合),连接AC交射线OE于点D.设∠OAC=x°.(1)如图1,若AB∥ON,则①∠ABO的度数是;②当∠BAD=∠ABD时,x= ;③当∠BAD=∠BDA时,x= ;(2)如图2,若AB⊥OM,则是否存在这样的x值,使得△ADB中有两个相等的角?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.第14讲三角形及其性质A组基础题组一、选择题1.C 180°×=180°×=75°,即∠C=75°.故选C.2.D3.C4.B5.D6.C二、填空题7.答案100°解析∵在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,∴∠C=180°-30°-50°=100°.故答案为100°.8.答案 1解析∵S=--,△ABC的三边长分别为1,2,,则△ABC的面积为:∴S△ABC=--)=1,故答案为1.9.答案 5解析∵△ABC是直角三角形,CD是斜边的中线,∴CD=AB,∴AB=2CD=2×5=10,又∵EF是△ABC的中位线,∴EF=×10=5.10.答案<解析根据三角形的三边关系可得,a+b+c>0,a+b-c>0,a-b-c<0,由实数运算得M<0.三、解答题11.解析能.理由如下:延长DC与AB相交于点E.易知∠BED=∠D+∠A=120°,∵∠BCD=∠B+∠BED=130°≠143°.∴这个零件不合格.12.解析 1)△CDF是等腰直角三角形.证明如下: ∵AF⊥AD,∠ABC=90°,∴∠FAD=∠DBC.在△FAD与△DBC中,,,,∴△FAD≌△DBC SAS),∴FD=DC,∴△CDF是等腰三角形.易知∠BDC+∠DCB=90°,∠FDA=∠DCB.∴∠BDC+∠FDA=90°,即∠FDC=90°,∴△CDF是等腰直角三角形.2)∠APD的度数是一个固定的值.理由如下:如图,作AF⊥AB于A,且AF=BD,连接DF,CF.由(1)得△CDF是等腰直角三角形,∴∠FCD=45°.由题意得AF∥CE,且AF=BD=CE,∴四边形AFCE是平行四边形,∴AE∥CF,∴∠APD=∠FCD=45°.B组提升题组一、选择题1.B 因为32-22=5,32+22=13,所以5<x2<13,即<x<.故选B.2.A 连接CP并延长,交AB于点D.∵P是Rt△ABC的重心,∴CD是Rt△ABC的中线,∴PD=CD.∵∠ACB=90°,∴CD=AB=3,∴PD=CD=1,∵AC=BC,CD是Rt△ABC的中线,∴CD⊥AB.∴点P到AB所在直线的距离等于1.故选A.二、填空题3.答案30°解析由三角形的外角性质得,a,b相交所成的锐角的度数是100°-70°=30°,故答案为30°.4.答案10解析设∠A=x°,根据三角形两内角之和等于第三个角的外角、等腰三角形的性质,知∠ACB为x°,∴∠CBD=∠CDB=2x°,∴∠DCE=∠DEC=3x°,同理可得:∠EDF=∠EFD=4x°,∠FEG=∠FGE=5x°,∵∠1+∠FGE=180°,∴∠FGE=50°,∠A=10°.5.答案3<AB<13解析如图,过点B作平行于AC的直线,与AD的延长线交于点E,则△ACD≌△EBD,∴AD=ED,AC=EB,∵AC=5,AD=4,∴在△ABE中,AE=8,BE=AC=5,∴3<AB<13.对比训练<AD<三、解答题6.解析 1)①∵∠MON=40°,OE平分∠MON,∴∠AOB=∠BON=20°.∵AB∥ON,∴∠ABO=∠BON=20°.②∵∠BAD=∠ABD,∴∠BAD=20°.∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,∴∠OAC=120°.③∵∠BAD=∠BDA,∠ABO=20°.∴∠BAD=80°.∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,∴∠OAC=60°.故答案为①20°;②120;③60.(2)存在.理由如下:①当点D在线段OB上时,若∠BAD=∠ABD,则x=20;若∠BAD=∠BDA,则x=35;若∠ADB=∠ABD,则x=50;②当点D在射线BE上时,因为∠ABE=110°,且三角形的内角和为180°,所以只有∠BAD=∠BDA,此时x=125.综上可知,当x=20、35、50、125时,存在这样的x值,使得△ADB中有两个相等的角.。

2024届高三数学一轮复习-三角函数与解三角形第2练同角三角函数的基本关系及诱导公式(解析版)

第2练同角三角函数的基本关系及诱导公式一、单选题
二、多选题
A．()f x 的值域为2,2⎡⎤-⎣⎦
B．()f x 的最小正周期为πC．π
6
ϕ=
D．将函数f （x ）的图象向左平移14．（2023·全国·高三专题练习）2022的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图象近似函数而破碎的涌潮的图象近似()f x '（两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为A．2
ω=C．π4f x ⎛
⎫'+ ⎪⎝
⎭的图象关于原点对称
三、填空题
15．（2023·全国·高三专题练习）已知16．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知π
四、解答题
(1)若AM BM =，求
AC
AM
的值；(2)若AM 为BAC ∠的平分线，且20．（2023·全国·高三专题练习）a c <，且ππsin cos 36A ⎛⎫⎛- ⎪ ⎝⎭⎝(1)求A 的大小；
(2)若sin sin 43sin a A c C +=
参考答案：。

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解三角形训练题一、选择题:1．在2cos ABC a b C ∆=中若则ABC ∆ 是（）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（）A ．2B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．06030或 B ．06045或 C ．060120或 D ．015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 7．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ． 8．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不能确定9．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 2 10．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．不能确定D ．等腰三角形11．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81-12．A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（）A ．)2,2(B ．)2,2(-C ．]2,1(-D ．]2,2[- 13．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（）A ．12 B ．221C ．28D ．3614．在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是（）A ．sin cos A A >B ．sin cos B A >C ．sin cos A B >D ．sin cos B B >15．在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 16．在△ABC 中，若tan2A B a ba b--=+，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题:17．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。

18．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

19．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。

20．若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ∆∠==则CB A cb a sin sin sin ++++=_______。

21．若,A B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan _____1（填>或<）。

22．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。

23．在△ABC 中，若=+===A c b a 则226,2,3_________。

24．在△ABC 中，若,sin sin B A >则A 一定大于B ，对吗？填_________（对或错）三、解答题:25．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-26．在△ABC 中，0120,,ABCA c b a S=>==c b ,。

27．某观察站C 在A 城的南偏西20°方向，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东40°，由C 处31千米的公路上的B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 距离为21千米，问人还需走多少千米才能到达A 城？28．在△ABC 中，若()()3a b c a b c ac ++-+=，且ta n t a n 33A C +=AB 边上的高为求角,,A B C的大小与边,,a b c 的长解三角形训练题参考答案一、选择题:1．A 22222a b c a bab+-=22b c ∴=c b =即判断三角形形状一般要利用条件转化为边或角之间的关系。

2．A 0,sin 0A A π<<> 3．C cos sin()sin ,,22A AB A B ππ=->-都是锐角，则,,222A B A B C πππ->+<>4．D 作出图形5．D 012sin ,sin 2sin sin ,sin ,302b a B B A B A A ====或0150 6．B 设中间角为θ，则22200005871cos ,60,180601202582θθ+-===-=⨯⨯为所求7．C 12,,,::sin :sin :sin :263222A B C a b c A B C πππ====== 8．A ,A B A B ππ+<<-，且,A B π-都是锐角，sin sin()sin A B B π<-= 9．D sin sin 22sin cos ,2cos A B B B a b B === 10．D sin sin lglg 2,2,sin 2cos sin cos sin cos sin A AA B C B C B C===sin()2cos sin ,sin cos cos sin 0,B C B C B C B C +=-= sin()0,B C B C -==，等腰三角形11．C 2222cos 9,3c a b ab C c =+-==，B 为最大角，1cos 7B =-12．C sin cos ),4A A A π+=+而50,sin()14444A A A πππππ<<<+<⇒<+≤13．D 011cos ,60,sin 22ABCA A S bc A ====14．D 090A B +=则sin cos ,sin cos A B B A ==，00045,A << sin cos A A <，004590,sin cos B B B <<>15．B 22sin cos sin cos sin ,,sin cos sin cos cos sin sin cos sin A B A B AA AB B A B B A B⋅=== s i n 2s i n 2,2222A B A B A B π==+=或16．D 2cossinsin sin 22tan 2sin sin 2sin cos 22A B A BA B a b A B A B A Ba b A B +----===+-++， tan2tan ,tan 022tan 2A B A B A B A B ---==+，或tan 12A B += 所以A B =或2A B π+= 二、填空题: 17．12 11sin sin sin cos sin 222A B A A A ==≤ 18．26-0sin 15,,4sin 4sin154sin sin sin a b b A A a A A B B ====== 19．0120 a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，令7,8,13a k b k c k === 22201cos ,12022a b c C C ab +-==-= 20．3392211s i n ,4,113222ABC S bc A c c a a ∆==⨯====sin sin sin sin 3a b c a A B C A ++===++ 21．> ,22A B A B ππ+>>-，即sin()2tan tan()2cos()2B A B B πππ->-=-cos 1sin tan B B B ==，1tan ,tan tan 1tan A A B B>> 22．锐角三角形 C 为最大角，cos 0,C C >为锐角23．060222231cos 22b c a A bc +-==== 24．对 ,s i n s i nB A >则22a ba b A B R R>⇒>⇒> 三、解答题:25．证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bca cb A 2cos 222-+=代入右边得右边2222222222()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-=22a b a bab b a-==-=左边， ∴)cos cos (aA bB c a b b a -=- 26．解：1sin 4,2ABC S bc A bc ∆=== 2222c o s ,5a b c b A b c =+-+=，而c b >所以4,1==c b27．解:设AD=x ，AC=y ，2222040602cos6021,BAC ACD x y xy ∠=︒+︒=︒∴∆+-︒=在中有44122=-+xy y x 即 ①而在△ABC 中，,3160cos )20(2)20(222=︒+-++y x y x 即561204022=-+-+y x xy y x ② ②—①得62-=x y ，代入①得013562=--x x 得)(15km x =，即此人还需走15km 才能到达A 城. 28．解：22201()()3,,cos ,602a b c a b c ac a c b ac B B ++-+=+-===tan tan tan(),1tan tan A C A C A C ++==-tan tan 2A C =tan tan 3A C +=得tan 1tan 2tan 1tan 2A A C C =⎧⎧=+⎪⎪⎨⎨==+⎪⎪⎩⎩，即000075454575A A C C ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或当0075,45A C ==时，1),8sin b c a A==== 当0045,75A C ==时，1),8b c a ==== ∴当075,60,45A B C ===时，8,1),a b c === 当045,60,75A B C ===时，8,1)a b c ===。