解三角形高考典型例题汇编
完整版)高考解三角形大题(30道)
完整版)高考解三角形大题(30道)1.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有以下等式：frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a} = \frac{\cos B b}{\sin C}$$求该等式右侧的值，以及：2）若$\cos B=\frac{1}{4}$，$b=2$，求三角形ABC的面积S。
2.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin C+\cos C=1$，求：1）$\sin C$的值；2）若$a+b=4a-8$，求边c的值。
3.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。
1）若$\sin(A+\frac{2}{3}\pi)=2\cos A$，求角A的值；2）若$\cos A=\frac{3}{c}$，求$\sin C$的值。
4.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，且$BD=\frac{3}{3}$，$\sin B=\frac{5}{3}$，$\cos\angleADC=\frac{\sqrt{3}}{5}$，求AD。
5.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$a=1$，$b=2$，$\cos C=-\frac{1}{4}$，求：1）三角形ABC的周长；2）$\cos(A-C)$的值。
6.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，且$ac=\frac{1}{2}b$。
1）求a,c的值；2）若角B为锐角，求p的取值范围，其中$p=\frac{1}{5}$，$b=1$。
7.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且$2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。
1）求角A的值；2）求$\sin B+\sin C$的最大值。
8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\cos 2C=-\frac{1}{4}$。
2022年高考数学真题分类汇编：解三角形
2022年高考数学真题分类汇编：解三角形一、填空题(共4题；共20分)1．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2] ，其中a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边 a =√2，b =√3，c =2 ，则该三角形的面积 S = ．【答案】√234【解析】【解答】解法一：三角形的三边a =√2，b =√3，c =2代入公式得S =√14[8−(4+2−32)2]=√234解法二：三角形的三边a =√2，b =√3，c =2，代入余弦定理得cosA =4√3，则sinA =√234√3，则面积S =12bcsinA =√234.【分析】直接由秦九韶计算可得面积．2．（5分）已知 △ABC 中，点D 在边BC 上， ∠ADB =120°，AD =2，CD =2BD ．当 AC AB取得最小值时， BD = ．【答案】√3−1 或 −1+√3【解析】【解答】解：设CD=2BD=2m>0，则在△ABD 中，AB 2=BD 2+AD 2-2BD·ADcos△ADB=m 2+4+2m ， 在△ACD 中，AC 2=CD 2+AD 2-2CD·ADcos△ADC=4m 2+4-4m ，所以AC 2AB 2=4m 2+4−4m m 2+4+2m =4(m 2+4+2m )−12(1+m )m 2+4+2m =4−12(m+1)+3m+1≥4−122√(m+1)×3m+1=4−2√3，当且仅当m+1=3m+1即m=√3−1时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，m=√3−1，即BD= √3−1.故答案为：√3−1.【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出AC 2AB2后，结合基本不等式即可得解. 3．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，则b=.【答案】√6【解析】【解答】因为a=2，A=45°，B=60°，asinA=bsinB，所以b=a⋅sinBsinA=2×√32√22=√6.故答案为：√6。
解三角形(解答题)(2018-2022)高考真题汇编(新高考卷与全国理科)
解三角形（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、解答题(共26题；共255分)1．（10分）在 △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 已知 4a =√5c ，cosC =35．（Ⅰ）求 sinA 的值；（Ⅰ）若 b =11 ，求 △ABC 的面积．2．（10分）记 △ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为 S 1，S 2，S 3 ，已知 S 1−S 2+S 3=√32，sinB =13．（1）（5分）求 △ABC 的面积；（2）（5分）若 sinAsinC =√23，求b ．3．（10分）记 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知 sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A) ．（1）（5分）若 A =2B ，求C ； （2）（5分）证明： 2a 2=b 2+c 2 .4．（10分）记 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A) ．（1）（5分）证明： 2a 2=b 2+c 2 ；（2）（5分）若 a =5，cosA =2531 ，求 △ABC 的周长．5．（10分）在 △ABC 中， sin2C =√3sinC ．（I ）求 ∠C ：（II ）若 b =6 ，且 △ABC 的面积为 6√3 ，求 △ABC 的周长．6．（10分）记 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 cosA 1+sinA =sin2B 1+cos2B . （1）（5分）若 C =2π3， 求B ；（2）（5分）求 a 2+b 2c 2的最小值.7．（10分）已知点A(2，1)在双曲线 C ： x 2a 2−y 2a 2−1=1(a >1) 上，直线 l 交C 于P ，Q 两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）（5分）求l的斜率；（2）（5分）若tan∠PAQ=2√2，求PAQ的面积.8．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2．（1）（5分）若2sinC=3sinA，求△ABC的面积；（2）（5分）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．9．（10分）已知在△ABC中，c=2bcosB，C=2π3．（1）（5分）求B的大小；（2）（5分）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①c=√2b；②周长为4+2√3；③面积为SΔABC=3√34；10．（15分）在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA：sinB：sinC= 2：1：√2，b=√2．（1）（5分）求a的值；（2）（5分）求cosC的值；（3）（5分）求sin(2C−π6)的值．11．（10分）记ⅠABC的内角A，B，C的对边分别为a.，b.，c,已知b2=ac,点D在边AC 上，BDsinⅠABC=asinC.（1）（5分）证明：BD = b：（2）（5分）若AD = 2DC .求cosⅠABC.12．（10分）△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）（5分）求A；（2）（5分）若BC=3，求△ABC周长的最大值.13．（10分）在①ac=√3，②csinA=3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA=√3sinB，C=π6，▲ ?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．14．（10分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a=2√2,b=5,c=√13．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅰ）求sin(2A+π4)的值．15．（10分）在ⅠABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,c=√2,B=45°．（1）（5分）求sinC的值；（2）（5分）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−45，求tan∠DAC的值．16．（10分）在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅰ）sinC和△ABC的面积．条件①：c=7，cosA=−1 7；条件②：cosA=18，cosB=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17．（10分）在锐角ⅠABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA＝√3a．（Ⅰ）求角B；（Ⅰ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．18．（10分）在ⅠABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）（5分）若a=3c，b= √2，cos B= 23，求c的值；（2）（5分）若sinAa=cosB2b，求sin(B+π2)的值．19．（10分）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a，3csinB=4asinC.（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅰ）求sin(2B+π6)的值.20．（10分）ⅠABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知asin A+C2=bsinA（1）（5分）求B；（2）（5分）若ⅠABC为锐角三角形，且c=1，求ⅠABC面积的取值范围.21．（10分）在ⅠABC中，a=3，b-c=2，cosB=- 12.（I）求b，c的值：（II）求sin（B+C）的值.22．（10分）在ⅠABC中，a=3，b-c=2，cosB=- 12.（I）求b，c的值；（II）求sin（B-C）的值.23．（10分）∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。
解三角形高考典型例题汇编
《解三角形》 一、 正弦定理：s in s in s in a b c ABC===2R推论：(1)::sin :sin :sin a b c A B C =(2) a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC(3) s in =,s in =,s in =222abcA B C RRR1. 在△A B C 中，若B a b sin 2=，则A =2. 在△A B C 中，23,a= b=6,A=300 ,则B=3. 【2013山东文】在A B C ∆中，若满足2B A=，1a =，3b=，则c =4.【2010山东高考填空15题】在△ABC 中a =2，b=2，sinB+cosB =2，则A=？ 5.【2017全国文11】△ABC 中，sin sin(sin co s )0B AC C +-=，a =2，c =2，则C =？6. 在△ABC 中, C =90o , 角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.则a b c+的取值范围是？二、余弦定理：2222222222c o s 2c o s 2c o s a b c b c Ab ac a c Bc b a b a C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩推论 222222222c o s 2c o s 2c o s 2b c a A b ca cb B ac b a c C a b ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩1. 在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，求cos C 的值2. 在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A=3. 【2012上海高考】在ABC ∆中，若CB A 222sinsinsin<+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4.【2016山东文科】A B C △中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，,bc =222(1s in )ab A =-,则A =? （A ）3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π6三、三角形面积公式111s in s in s in 222Sa b C a c B b c A===【2014山东理科填空】在△A B C 中，ta n A B A C A⋅=，当6Aπ=时，△A B C 的面积为？【2018全国文16】A B C △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a+-=，则A B C △的面积为 .【2011山东文科17题】△ABC 中，A,B,C 的对边分别为a ,b ,c 。
高中三角函数经典例题50道
高中三角函数经典例题50道1.求解三角形中角度的相关问题是高中数学学习中的重要内容。
例如，考虑正三角形ABC，已知∠A=60°，求∠B和∠C的大小。
2.在三角形ABC中，已知∠A=30°，∠C=60°，求∠B的大小。
3.若在直角三角形ABC中，∠A=30°，求∠C的大小。
4.在锐角三角形ABC中，已知边b=5，c=10，∠A=30°，求边a的长度。
5.在钝角三角形ABC中，边a=6，b=10，∠A=120°，求边c的长度。
6.若在任意三角形ABC中，边a=8，b=6，∠A=45°，求∠B的大小。
7.在直角三角形ABC中，边a=1，b=√3，求∠A和∠B 的大小。
8.若在锐角三角形ABC中，已知边a=5，b=7，求∠A 和∠B的大小。
9.在任意三角形ABC中，边a=10，b=15，∠A=30°，求∠B的大小。
10.若在直角三角形ABC中，边b=4，c=5，求∠A和∠C的大小。
11.在锐角三角形ABC中，已知边b=8，c=10，∠A=60°，求∠C的大小。
12.若在任意三角形ABC中，边a=7，c=9，∠A=45°，求边b的长度。
的长度。
14.在锐角三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，求∠C的大小。
15.若在任意三角形ABC中，边a=12，b=16，求∠A和∠B的大小。
16.在直角三角形ABC中，已知边b=8，c=10，求∠A和∠C的大小。
17.在锐角三角形ABC中，边a=5，b=8，∠C=60°，求边c的长度。
18.若在任意三角形ABC中，边a=7，b=10，∠B=30°，求边c的长度。
19.在直角三角形ABC中，边a=2，c=√5，求∠A和∠B的大小。
20.在锐角三角形ABC中，已知边b=3，c=4，∠A=45°，求∠C的大小。
21.若在任意三角形ABC中，边a=9，c=12，∠C=45°，求边b的长度。
高中数学解三角形大题经典题目总结
高中数学解三角形大题经典题目总结一、基础题1. 已知△ABC 中，C ∠为钝角，而且8AB =，3BC =，AB (1)求B 的大小；(2)求cos 3cos AC A B +的值.2. 在ABC ∆中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a 的值：(2)sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．3. 如图，在圆内接ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos a C c A b B +=.(1)求B ；(2)若点D 是劣弧AC 上一点，AB =2，BC =3，AD =1，求四边形ABCD 的面积4.ABC ∆中的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 4c =，2B C =.(1)求cos B ；(2)若5c =，点D 为边BC 上一点，且6BD =，求ADC ∆的面积.5. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题①2252b c +=；②ABC 的面积为；③26AB AB BC +⋅=-.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在已知2b c -=，A 为钝角，sin A (1)求边a 的长； (2)求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.6. 在①222sin 2cos 2cos cos 122C B C B C B -+++=，①2tan tan tan B b A B c =+，①(sin )a C C =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a =，3b =， ______，求ABC ∆的面积.7. 在①2sin cos C A =②tan a A =，③cos c A =补充在下面问题中，并求ABC ∆的面积．问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且4,3a C π==，________？8. 在①22()3a b c ab +=+，①sin cos a A a C =-，①(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，c =_____.(1)求C ∠；(2)求ABC 周长的最大值.9. 在①AD 是BC 边上的高，且AD BC ⋅=，②AD 平分BAC ∠，且7AD =，③AD 是BC 边上的中线，且2AD =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边BC 的长．问题：在锐角ABC ∆中，已知4AB =，3AC =，D 是边BC 上一点，_____，求边BC 的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分10. 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，且满足()()()sin sin sin sin sin sin sin A B A B C B C +-=-，ABC 的面积为.(1)求sin 2A ；(2)sin sin B C +=，求ABC 的周长.11. 在ABC ∆中，M 为BC 边上一点，45BAM ∠=︒，cos AMC ∠=. (1)求sin B ； (2)若12MC BM =，4AC =，求MC .12. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a 、b 、c ，且24cos 222Ba abc =-+ (1)求A ；(2)若2b =，ABC 的面积为2，M 是AB 的中点，求2CM ．13. ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(sin cos )(cos sin )b C C c B B -=-．(1)记BC 边上的高为h ，求a h；(2)若b =1c =，求a ．14. 在ABC ∆中，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，1AC AD ==，3AB =.(1)求cos BAD ∠； (2)求ABC 的面积.15. 在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin 2cos 2cos cos 122A B A BA B -+++=（1）求角C 的大小（2）若4,38c CA CB =+=16. 如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，AC BC =，2AD =，6CD =.(1)当ACD ∆的面积最大时，求ABC ∆的面积；(2)若cos B =AB .17. 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos a B b A +=．(1)求角C ；(2)如图，若点D 在边AC 上，AD DB =，DE AB ⊥，E 为垂足，AE =a =， 求AD 长．二、中档题1. 如图，在直角ACB △中，2ACB π∠=，3CAB π∠=，2AC =，点M 在线段AB 上.(1)若sin 3CMA ∠=，求CM 的长；(2)点N 是线段CB 上一点，MN =12BMN ACB S S =△△，求BM BN +的值.2. 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222c a b ab +-=.(1)若sin 3C =，求B ； (2)若D 为AC 中点，且BD BC =，求a b.3. 在①2b =；②c =；③222a cb +-=这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，求BCD ∠的大小和ACD △的面积.问题：已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2a =，设D 为边AB 上一点，BD =， .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.4. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知2sin sin sin B A C =.(1)求证：03B π<≤；(2)求222sin sin 1A CB +-+的取值范围.5. 已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①33()b ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③a =④b =(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？(1)在(1)所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）6. 在①sin sin sin sin A C A Bb a c--=+，②2cos cos cos c C a B b A =+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， . (1)求角C ；(2)若c =a b +=ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.7. 在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =-.(1)求角B ；(2)求sin sin A C 的取值范围.8. 在①ANBN=，②AMN S =△，③AC AM =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，8c =，点M ，N 是BC 边上的两个三等分点，3BC BM =，____________，求AM 的长和ABC ∆外接圆半径.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.三、提升题1. △ABC 中，角A ①B ①C 所对的边分别为a ①b ①c ，已知1a =，sin cos ()cos c B B b C -=． (1)求BC 边上的高AD 的长； (2)求tan A 的最大值．2. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin sin B C aA C b c+=--.(1)求tan B ；(2)若ABC 是锐角三角形，且ABC 的面积为c 的取值范围.3. 若锐角BC △A 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若32()cos )33x f x C C x x =-++的图像在点(,())C c f c 处的切线与直线y x=垂直，求ABC ∆面积的最大值.4. 重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄O (如图).为吸引游客，准备在门前两条夹角为6π(即AOB ∠)的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长AB =且点A ，B 落在小路上，记弓形花园的顶点为M ，且6MAB MBA π∠=∠=，设OBA θ∠=.(1)将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来；(2)该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园(即OA ，OB 长度)，才使得喷泉M 与山庄O 距离即值OM 最大？。
(完整版)解三角形高考大题-带答案
解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以6cos cos(4530)4CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+．故2sin 30cos15AE=124⨯== 12分2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。
（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
高中数学解三角形精选题目(附答案)
高中数学解三角形精选题目（附答案）一、解三角解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．1.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.1.解：(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝1 2，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b＝7.注：利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332 D ．33解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π35．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.二、三角形的形状判定三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．注：根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12. 又0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.三、实际应用(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.注：应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x ＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.12．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝106，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30(m)．答案：3013.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝1003米．在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝BD2＋BC2＝200米，所以客车的速度v＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知EBsin 30°＝BCsin 45°，所以EB＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．巩固练习：1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.21 2C．28D．63解析：选D由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D.7 2解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC ＝12AB·BC sin∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin2θ＝±3 5.4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3 m B. 2 mC．2 3 m D. 3 m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BC sin B，∴334＝12×x×3×sin 30°，∴x＝ 3.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC ＝12AB·AC sin A＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝ 3.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B∵b cos C＋c cos B＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝a sin A，∴sin A＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sin A＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝39．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bc cos A＋2bc.又S＝12bc sin A，∴12bc sin A＝2bc－2bc cos A.∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.∴cos A＝1(舍去)或cos A＝15 17.答案：15 1710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《解三角形》
一、 正弦定理：sin sin sin a b c
A B C
===2R 推论：(1) ::sin :sin :sin a b c A B C = (2) a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC (3) sin =,sin =,sin =
222a b c
A B C R R R
1. 在△中，若，则=
2.
在△中，a =b=6, A=300 ,则B= 3. 【2013山东文】在中，若满足，，，则
4.【2010山东高考填空15题】在△ABC 中a
，b=2，sinB+cosB
，则A=？ 5.【2017全国文11】△ABC 中，sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c
，则C =？ 6. 在△ABC 中, C =90o , 角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.则
a b
c
+的取值范围是？ 二、余弦定理：222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C
⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 推论 222
222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪
+-⎪=⎨⎪⎪+-=
⎪⎩
1. 在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，求cos C 的值
2. 在△ABC 中，若则A=
3. 【2012上海高考】在中，若，则的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定
4.【2016山东文科】ABC △中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，,b c = 22
2(1sin )a b A =-,
则A =? （A ）3π4
（B ）π3
（C ）π4
（D ）π6
三、三角形面积公式111sin sin sin 222
S ab C ac B bc A ===
【2014山东理科填空】在△ABC 中，tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r ，当6
A π
=时，△ABC 的面积为？
【2018全国文16】ABC △的内角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c . 已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为 .
【2011山东文科17题】△ABC 中，A,B,C 的对边分别为a ,b ,c 。
且cos 2cos cos A C B -=2c a
b
-
（Ⅰ）求sin sin C A 的值； （Ⅱ）若1
cos 4
B =，△AB
C 的周长为5，求b 的长。
【2014山东高考文科】ABC ∆中A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c 。
3,cos 32
a A B A π
===+ (1)求b 的值；(2)求ABC ∆的面积.
【2015山东文科】AB C ∆中，角C B,A,所对的边为c b a ,,，33cos =B ，32,9
6
)sin(==
+ac B A ，求A sin 和c 的值.
【2013山东理科】设ABC ∆的内角所对的边为且 求 的值；求的值。
【2016山东高考理科】在△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，
tan tan 2(tan tan ).cos cos A B
A B B A
+=
+（Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值.
【2017全国理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为
（1）求sin sin B C ;（2）若6cos cos 1,3B C a ==，求△ABC 的周长.
【2016全国文17】ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 2cos (cos cos )C a B+b A c =
（I ）求C ； （II ）若c ABC =∆求ABC ∆的周长．
【答案】（I ）C 3
π
=（II ）5+
【2018全国理17】平面四边形ABCD 中，090ADC ∠=，045A ∠=，AB=2，BD=5，
（1）求cos ?ADB ∠= (2)若DC =求BC=？
已知向量,2cos )44x x m =u r ，)44
x x
n =r ，设()f x m n =⋅u r r ．
（Ⅰ）若()2f α=，求cos()3
π
α+的值；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2)cos cos a b C c B -=，求()f A 的取值范围．
ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边为a,b,c, 2b cosC=a cosC+ccosA
(1)求角C 的大小（2）若2,b c ==a 及ABC V 的面积
【2016新课标】ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边为a,b,c, 4cos 5
A =、cosC =5
13
、a =1,则b =?
如图，为测量塔AB 的高度，选取与塔底B 在同一水平面 的两点C 和D ，在C 和D 两点处测量塔顶A 的仰角分别为 450和300，∠CBD=300，CD=50米，则塔高AB 为？
【综合训练】在△ABC 中,A=4
π
, cosB=5
,BC=,D 为AB 中点，求CD 的长。
【填空压轴】平面四边形ABCD 中，AB=1，△ACD 为等腰直角三角形，且∠ACD=900，
则BD 长的最大值为？ 1。