解三角形典型例题综合讲解
《解三角形》常见题型详解
《解三角形》常见题型总结1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
解：::1:2:3,A .,,,6321::sin :sin :sin sin:sin:sin:1 2.6322A B C B C A B C a b A B C πππππππ=++=∴===∴====而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。
例2在ABC 中，已知C=30°，求a+b 的取值范围。
【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。
解：∵C=30°，sin sin sin sin 30a b c A B C ===︒∴（150°-A ）.∴°·2sin75°·cos(75°-A)=2cos(75°-A)① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值2② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°,∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞2cos75°=2×4综合①②可得a+b 的取值范围为考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC 中，2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。
初中数学 解直角三角形 知识点讲解及例题解析
解直角三角形知识点讲解及例题解析 一、知识点讲解： 1、解直角三角形的依据 在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么 （1）三边之间的关系为（勾股定理） （2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系为 2、其他有关公式 面积公式：（hc为c边上的高） 3、角三角形的条件 在除直角C外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。
4、直角三角形的关键是正确选择关系式 在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？ （1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数 （2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。
（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。
5、直角三角形时需要注意的几个问题 （1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。
（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。
（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算 二、例题解析： 例1、已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm，另一条直角边为8cm，求它的面积， 解：设斜边为c，一条直角边为a，另一条直角边b=8cm，由勾股定理可得，由题意，有c+a=16 ，b=8 说明：（1）由于知两边和及第三边的长，故相当于存在两个未知量，因为是在直角三角形中，所以可以利用勾股定理来沟通关系。
解三角形经典例题及解答
知识回顾:4、理解定理(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使 a ksinA ， ________________ ， c ksinC ；（2）」 b J 等价于 ______________________sin A sin B sin C(3) 正弦定理的基本作用为:正弦、余弦定理1、直角三角形中，角与边的等式关系：在Rt ABC 中，设 BC=a ，AG=b , AB=c ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 -sin A ，- sin B ，又sinC 1 -，从而在直角三 cc c 角形ABC 中，-?-sin A b sin Bc si nC2、当ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是CD 根据任意角三角函数的定义,有 CD=asinB bsinA ，则 一-b，同理可得一sin A sin B sin Cb sin B从而」-sin A b sin Bc sin C3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的____ 的比相等，即旦sin A b sin Bc sin Cc b a csin C sin B ' sin A sin C① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a bsinA ； bsin B② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sin A a sin B ； sinC.b(4) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作 解三角形•5、知识拓展6、 勾股定理： ___________________________________7、 余弦定理：三角形中 __________ 平方等于 _______________________ 减去 ___________________________ 的两倍，即a 2b 2 8、余弦定理的推论:cosC ____________________________ 。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
八年级数学三角形典型例题及答题技巧
八年级数学三角形典型例题及答题技巧单选题1、一个多边形的边数由原来的3增加到n时（n＞3，且n为正整数），它的外角和（）A．增加（n﹣2）×180°B．减小（n﹣2）×180°C．增加（n﹣1）×180°D．没有改变答案：D解析：根据多边形的外角和等于360°，与边数无关即可解答.∵多边形的外角和等于360°，与边数无关，∴一个多边形的边数由3增加到n时，其外角度数的和还是360°，保持不变．故选D．小提示：本题考查了多边形的外角和，熟知多边形的外角和等于360°是解题的关键.2、如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E=（）A．220°B．240°C．260°D．280°答案：D解析：连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．解：连接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故选D．小提示：本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．3、下列说法中错误的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．有一个内角是直角的三角形是直角三角形C．任意三角形的外角和都是360∘D．三角形的中线、角平分线，高线都是线段答案：A解析：根据三角形的性质判断选项的正确性．A选项错误，钝角三角形的钝角的外角小于内角；B选项正确；C选项正确；D选项正确．故选：A．小提示：本题考查三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的各种性质．4、如图，BP、CP是ΔABC的外角角平分线，若∠P=60°，则∠A的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°答案：B解析：首先根据三角形内角和与∠P得出∠PBC+∠PCB，然后根据角平分线的性质得出∠ABC和∠ACB的外角和，进而得出∠ABC+∠ACB，即可得解.∵∠P=60°∴∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-60°=120°∵BP、CP是ΔABC的外角角平分线∴∠DBC+∠ECB=2（∠PBC+∠PCB）=240°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠DBC+180°-∠ECB=360°-240°=120°∴∠A=60°故选：B.小提示：此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，熟练掌握，即可解题.5、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．110°答案：C解析：在△ABC中，利用三角形内角和为180°求∠ACB，再利用CD平分∠ACB，求出∠ACD的度数，再在△ACD利用三角形内角和定理即可求出∠ADC的度数．∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°．∴∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−30°−50°=100°．∵CD平分∠ACB．∴∠ACD=12∠ACB=12×100°=50°．∴∠ADC=180°−∠A−∠ACD=180°−30°−50°=100°．故选C．小提示：本题考查了三角形的内角和和角平分线的性质，熟练应用性质是解决问题的关键．6、如图，已知a//b，∠1=120°，∠2=90°，则∠3的度数是( )A．120°B．130°C．140°D．150°答案：D解析：延长∠1的边与直线b相交，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．如图，延长∠1的边与直线b相交，∵a//b，∴∠4=180°−∠1=180°−120°=60°，由三角形的外角性质可得，∠3=90°+∠4=90°+60°=150°．故选：D．小提示：本题考查了平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．7、如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°答案：C解析：由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°．解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．故选：C．【小提示】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数是解答本题的关键．8、如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．A．180°B．360°C．540°D．720°答案：C解析：根据多边形内角和公式(n−2)×180°即可求出结果．解：黑色正五边形的内角和为：(5−2)×180°=540°，故选C．小提示：本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．填空题9、如图，在△ ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，若△ ABC 的面积为4m 2，则阴影部分的面积为 _________ cm 2答案：1解析：根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．解：∵点E 是AD 的中点，∴S △ABE ＝12S △ABD ，S △ACE ＝12S △ADC ，∴S △ABE ＋S △ACE ＝12S △ABC ＝12×4＝2cm 2， ∴S △BCE ＝12S △ABC ＝12×4＝2cm 2， ∵点F 是CE 的中点，∴S △BEF ＝12S △BCE ＝12×2＝1cm 2． 所以答案是：1．小提示：本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．10、将一副直角三角板如图摆放，点C 在EF 上，AC 经过点D ．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC ．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=_____．答案：25°解析：试题分析：∵AB=AC ，∠A=90°，∴∠ACB=∠B=45°．∵∠EDF=90°，∠E=30°，∴∠F=90°﹣∠E=60°．∵∠ACE=∠CDF+∠F ，∠BCE=40°，∴∠CDF=∠ACE ﹣∠F=∠BCE+∠ACB ﹣∠F=45°+40°﹣60°=25°．11、如图，∠A =α，∠ABC,∠ACD 的平分线相交于点P 1，∠P 1BC,∠P 1CD 的平分线相交于点P 2，∠P 2BC ，∠P 2CD 的平分线相交于点P 3……以此类推，则∠P n 的度数是___________（用含n 与α的代数式表示）．答案：(12)nα 解析：由∠P 1CD ＝∠P 1＋∠P1BC ，∠ACD ＝∠ABC ＋∠A ，而P 1B 、P 1C 分别平分∠ABC 和∠ACD ，得到∠ACD ＝2∠P 1CD ，∠ABC ＝2∠P 1BC ，于是有∠A ＝2∠P 1，同理可得∠P 1＝2∠P 2，即∠A ＝22∠P 2，因此找出规律． ∵P 1B 、P 1C 分别平分∠ABC 和∠ACD ，∴∠ACD ＝2∠P 1CD ，∠ABC ＝2∠P 1BC ，而∠P 1CD ＝∠P 1＋∠P 1BC ，∠ACD ＝∠ABC ＋∠A ，∴∠A ＝2∠P 1，∴∠P 1＝12∠A ， 同理可得∠P 1＝2∠P 2，即∠A ＝22∠P 2， ∴∠A ＝2n∠P n ， ∴∠P n ＝(12)nα．所以答案是：(12)n α．小提示：本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中．12、如图，AD 是△ABC 的中线，G 是AD 上的一点，且AG ＝2GD ，连接BC ，若S △ABC ＝6，则图中阴影部分的面积是 ___．答案：2解析：根据三角形的中线的性质进行解答即可．解：∵S △ABC =6，∴S△ABD=3，∵AG=2GD，∴S△ABG=2，所以答案是：2小提示：本题考查三角形的面积问题．其中根据三角形的中线的性质进行解答是解决本题的关键．13、在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的外角的度数是________．答案：140°．解析：∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．故答案为140°．解答题14、已知AB//CD，点P是平面内的一个动点，连PA，PD．（1）如图1，当点P运动到AB上方时，试证明：∠A+∠D+∠P＝180°；（2）如图2，当点P运动到AB与CD之间时，给出∠A，∠D，∠P的数量关系并说明理由；（3）如图3，点P和点Q是平面内AB与CD之间的两个动点，连接PA，PQ，QD，直接给出∠A，∠P，∠Q，∠D之间的数量关系．答案：（1）证明见解析；（2）∠A+∠APD−∠D=180°；（3）∠APQ=∠A+∠PQD−∠D解析：（1）延长AB交DP于点E，利用平行线的性质和三角形内角和定理解答；（2）作PE//AB，根据三角形内角和定理解答；（3）作PE//AB,QF//CD，然后根据平行线的性质求解．（1）延长AB交DP于点E，∵AB//CD，∴∠D=∠AEP，∵△ABP内角和为180°，∴∠A+∠P+∠D=180°；（2）作PE//AB，∴∠A+∠APE=180°，又∵PE//CD，∴∠D=∠DPE，∠APD=∠APE+∠DPE=∠APE+∠D，∴∠APE=∠APD−∠D，∵∠A+∠APE=180°，∴∠A+∠APD−∠D=180°；（3）作PE//AB,QF//CD，∵AB//PE，∴∠A=∠APE，∵CD//QF，∴∠D=∠DQF，∵EP//QF，∴∠EPQ=∠FQP，∠PQD=∠FQP+∠DQF=∠FQP+∠D，∴∠FQP=∠PQD−∠D，∴∠EPQ=∠PQD−∠D，又∵∠APQ=∠APE+∠EPQ，∴∠APQ=∠A+∠PQD−∠D．小提示：本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过拐点作平行线是解题关键．15、请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________；（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？n(n−3)；（2）135个答案：（1）①n−3；②12解析：（1）观察表可知从一个顶点出发的对角线的条数是多边形的顶点数减3，即得n-3，由此可完成①；从一个顶点可以引出n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，则可完成②；（2）把6个组共18名学生看成18边形的顶点，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，因此问题转化为有多少条对角线的问题，由（1）中结论即可完成。
解直角三角形的典型例题
一、知识概述1、仰角、俯角仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图所示．说明：仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角，即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角．2、坡角和坡度坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示．则．如图所示说明：(1)坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．(2)在解决实际问题时，遇到坡度、坡角的问题，常构造如图所示的直角三角形．3、象限角象限角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫象限角，如图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，北偏西60°，南偏西80°，如：东南方向，指的是南偏东45°角的方向上．如图所示．二、重点难点疑点突破1、怎样运用解直角三角形的方法解决实际问题在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用．我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了．一般有以下三个步骤：(1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知；(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形．其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是：(1)将实际问题转化为直角三角形中的数学问题；(2)作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．2、在学习中应注意两个转化(1)把实际问题转化成数学问题这个转化分两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面或截面示意图，并赋予字母；二是将已知条件转化成示意图中的边或角．(2)把数学问题转化成解直角三角形问题．如果示意图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形问题，把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系，细心推理，按要求精确度作近似计算，最后写出答案并注明单位．三、典型例题讲解1、测量河宽例1、如图，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸B点到公路的距离，请你设计一个测量方案．要求：(1)列出你测量所使用的测量工具；(2)画出测量的示意图，写出测量的步骤；(3)用字母表示测得的数据，求出B点到公路的距离．分析：这是一个实际问题，要求B到CD的距离，可转化为直角三角形，然后在两个直角三角形中，可分别用含有AB的式子表示AC和AD，而AC＋AD=m，可运用解方程的方法求出AB即可．解：(1)测角器、尺子；(2)测量示意图如下图所示；测量步骤：①在公路上取两点C，D，使∠BCD，∠BDC为锐角；②用测角器测出∠BCD=α，∠BDC=β；③用尺子测得CD的长，记为m米；④计算求值．(3)解：设B到CD的距离为x米，作BA⊥CD于点A，在△CAB中，x=CAtanα，点评：运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力(即将实际问题转化为数学问题)．2、仰角、俯角问题例2、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB.在地面上事先划定以B为圆心、半径与AB等长的圆形危险区.现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B的俯角为30°（如图）.问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？分析：解决测量问题要明确仰角、俯角、视角、坡度、坡角等名词术语.要考查距离B点8米远的保护物是否在危险区内，关键的一点是要测算树AB的高度.解：过点C作CE⊥AB，垂足为E.在Rt△CBE中，在Rt△CAE中，故AB=AE＋BE=≈4×1.73=6.92（米）＜8（米）.因此可判断该保护物不在危险区内.3、坡角、坡度(坡比)例3、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为，坡面AB的水平宽度为上底宽AD为4m，求坡角B，坝高AE和坝底宽BC各是多少？分析：首先将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际上已知求∠B、AE、BC．此题实质转化为解直角三角形的问题．点评：(1)解应用题时，解题过程中可以不写各数量的单位，但最后作答时务必写清单位名称．(2)应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形，梯形也是通过作底边的高线来构造直角三角形．(3)本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角，运用坡度的概念求出梯形高，运用等腰梯形性质求出底边．4、象限角例4、如图，一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C，在北偏东60°的方向上，船前进8海里后到达B，再测C岛，在北偏东30°的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？分析：将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三角形，如图所示．船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近，此问题实质就是已知∠CAB=90°－60°=30°，∠ABC=90°＋30°=120°，AB=8海里，求BD和CD的解直角三角形问题．解：根据题设可知△ABC中，∠CAB=30°，∠ABC=120°，∴∠ACB=180°-30°-120°=30°,AB=BC=8，作CD⊥AB于D．∴最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度．在Rt△CBD中，BC=8，∠CBD=60°，点评：根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障．5、开放探究题例5、(荆州市)某海滨浴场的沿岸可以看作直线，如图，1号救生员在岸边A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中游到B点救助；若每位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°．(1)请问1号救生员的做法是否合理？(2)若2号救生员从A跑到C，再跳入海中游到B点救助，且∠BCD=65°，请问谁先到达点B？(所有数据精确到0.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，)分析：(1)比较1号救生员从点A直接游到点B所用时间与从点A跑到点D再游到点B的时间即可作出判断．(2)分别计算出1号救生员、2号救生员所用时间，再作判断．点评：掌握探究题的探究方法非常重要，本题中救生员赶到点B的时间是我们探究的核心问题，如何准确求出救生员赶到点B所用时间是解决本题的关键．。
解三角形题型汇总(最新人教版优质教案)( 含解析 )
解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例⒈(2022·全国·高三专题练习)在①cos Bcos C=-b2a+c，②sin Asin B-sin C=b+ca+c，③2S=-3BA⋅BC三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且______，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足∠ACD=π3，AD=3，求BC的取值范围.例⒉(2020·北京·北师大二附中高三期中)如图，四边形ABCD中∠BAC=90∘，∠ABC=30∘，AD⊥CD，设∠ACD=θ.(1)若ΔABC面积是ΔACD面积的4倍，求sin2θ；(2)若∠ADB=π6，求tanθ.例⒊(江苏省南京市宁海中学2022届高三下学期4月模拟考试数学试题)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，A=150∘，点D在边BC上，满足CD=2BD，且sin∠BADb+sin∠CADc=32a．(1)求证：AD=13a；(2)求cos∠ADC．例⒋(广东省2022届高三二模数学试题)如图，已知△ABC 内有一点P ，满足∠PAB =∠PBC =∠PCA =α．(1)证明：PB sin ABC =AB sin α．(2)若∠ABC =90∘，AB =BC =1，求PC ．例⒌(2022·全国·高三专题练习)如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =27，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC ⊥BD ，求tan ∠ABD ．例⒍(2022·河南安阳·模拟预测(理))如图，在平面四边形ABCD中，DC =2AD =42，∠BAD =π2，∠BDC =π6．(1)若cos ∠ABD =53，求△ABD 的面积；(2)若∠C =∠ADC ，求BC ．例⒎(2019·安徽省怀远第一中学高三阶段练习(理))ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，设(sin A +sin B+sin C)⋅(sin A+sin B-sin C)=2sin A sin B.(1)求C；(2)若D为BC边上的点，M为AD上的点，CD=1，∠CAB=∠MB D=∠D MB.求AM．例⒏(2022·山东烟台·一模)如图，四边形ABCD中，AB2+BC2+AB⋅BC=AC2．(1)若AB=3BC=3，求△ABC的面积；(2)若CD=3BC，∠CAD=30∘，∠BCD=120∘，求∠ACB的值．例⒐(2022·全国·高三专题练习)在①AB=2AD，②sin∠ACB=2sin∠ACD，③S△ABC=2S△ACD这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=π，BC=CD=2，且______.(1)证明：tan∠ABC=3tan∠BAC；(2)若AC=3，求四边形ABCD的面积.例⒑(2022·福建·厦门一中高一阶段练习)在平面四边形ABCD 中，∠ABC =π3，∠ADC =π2，BC =4.(1)若△ABC 的面积为33，求AC ；(2)若AD =33，∠BAC =∠DAC ，求tan ∠DAC .例⒒(2022·湖北武汉·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD 中，∠BCD =π2，AB =1，∠ABC =3π4.(1)当BC =2，CD =7时，求△ACD 的面积；(2)当∠ADC =π6，AD =2时，求cos ∠ACD .题型二：两角使用余弦定理例⒓(2022·湖北·襄阳四中模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 的平分线AD 交BC 边于点D .(1)证明：AB AC=DB DC ，AD 2=AB ⋅AC -DB ⋅DC ；(2)若AD =1，A =2π3，求DB ⋅DC 的最小值.例⒔(2022·湖北武汉·二模)如图，△ABC内一点P满足PB⊥PC,AC=BP=2.(1)若AB=6,PC=2，求sin∠ACP的值；(2)若AB=5,sin∠ACP=110，求AP的长.例⒕(2022·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习)如图，在凸四边形ABCD中，已知AB=AD=4，BC=6．(1)若∠ADB=π6，C=π3，求cos∠BDC的值；(2)若CD=2，四边形ABCD的面积为4，求cos A+C的值．例⒖(2021·全国·高考真题)记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC 上，BD sin∠ABC=a sin C.(1)证明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.例⒗(2022·全国·高三专题练习(理))如图，在△ABC中，D是AC边上一点，∠ABC为钝角，∠DBC= 90°．(1)证明：cos∠ADB+sin C=0；(2)若AB=27，BC=2，再从下面①②中选取一个作为条件，求△ABD的面积．①sin∠ABC=32114；②AC=3AD．注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．例⒘(2022·重庆·二模)已知△ABC的外心为O，M,N为线段AB,AC上的两点，且O恰为MN中点.(1)证明：|AM|⋅|MB|=|AN|⋅|NC|(2)若|AO|=3，|OM|=1，求S△AMNS△ABC的最大值.题型三：张角定理与等面积法例⒙(广东省2022届高三三模数学试题)已知△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2a sin A= 2b+csin B+2c+bsin C.(1)求角A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD=2，b=3，求△ABC的面积.例⒚(2022·湖北武汉·模拟预测)在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c -b sin C =a -b sin A +sin B(1)求A ；(2)若D 为BC 上的点，AD 平分角A ，且c =32，AD =3，求BD DC.例⒛(2022·辽宁·高一期中)如图，在△ABC 中，AB =2，3sin 2B -2cos B -2=0，且点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC =2π3，求AD 的长；(2)若BD =2DC ，sin ∠BAD sin ∠CAD=42，求△ABD 的面积．例21(2022·江苏·华罗庚中学三模)在△ABC 中，已知AB =4，AC =5，cos B =57. (1)求sin A 的值；(2)若AD 是∠BAC 的角平分线，求AD 的长．例22(2022·山东淄博·三模)已知函数f(x)=3sinωx cosωx-cos2ωx+12(ω>0)，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为4+π2 4．(1)求函数f(x)的解析式；(2)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=4，bc=12，f(A)=1．若角A的平分线AD交BC于D，求AD的长．例23(2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习(理))在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2b cos C=2a+c．(1)求角B的大小；(2)若b=23，D为AC边上的一点，BD=1，且______，求△ABC的面积．①BD是∠B的平分线；②D为线段AC的中点．(从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答)．题型四：角平分线问题例24(2022·北京·首都师范大学附属中学三模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且3sin π6+B +sin π3-B =0.(1)求∠B 的值；(2)给出以下三个条件：条件①：a 2-b 2+c 2-3c =0；条件②a =3；条件③S △ABC =1534.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：(i )求sin A 的值；(ii )求∠ABC 的角平分线BD 的长.例25(2022·江苏·南京师大附中模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2c b=1+tan A tan B .(1)求角A ；(2)角A 的内角平分线交BC 于点M ，若a =47，AM =33，求sin ∠AMC .例26(2022·北京八十中模拟预测)在△ABC中，3sin B+π6=-cos B+π6.(1)求B的值；(2)给出以下三个条件：①a2-b2+c2+3c=0；②a=3，b=1；③S△ABC=1534，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：(i)求sin A的值；(ii)求∠ABC的角平分线BD的长.例27(2022·河南·模拟预测(理))如图，在△ABC中，D为边BC的中点，∠ACB的平分线分别交AB，AD于E，F两点．(1)证明：sin∠ABC⋅sin∠CAD=sin∠ACB⋅sin∠BAD；(2)若∠BAC=π2，sin∠ABC=23，AD=32，求DE．例28(2022·广东佛山·三模)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b sin A+3a cos B= 0，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2．(1)求B；(2)若a=3，求b．例29(2022·山东潍坊·模拟预测)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积为3a2+b2-c24．(1)求∠C；(2)若∠A=π2，∠C的角平分线CE与边AB相交于点E，延长CE至点D，使得CE=DE，求cos∠ADB．题型五：中线问题例30(2022·广东佛山·高三期末)△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C=(2b-c) cos A.(1)求角A的大小；(2)若b=2,BC边上的中线AD=3，求△ABC的面积.例31(2022·全国·模拟预测)在△ABC中．sin A cos A-π6=34．(1)求角A；(2)若AC=8，点D是线段BC的中点，DE⊥AC于点E，且DE=334，求CE的长．例32(2022·海南海口·二模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=π3，b=75a．(1)求sin A；(2)若a=5，AB边的中点为D，求CD．例33(2022·山东·烟台二中模拟预测)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C+3c sin Ba+c=1．(1)求角B的大小；(2)设D，E分别为边AB，BC的中点，已知△BCD的周长为3+3，且AECD=192，若c<5a，求a．例34(2022·新疆克拉玛依·三模(理))在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若2a2=a2+c2-b21-sin B cos B．(1)求角C；(2)若c=210，sin A=1010，D为AC的中点，求BD的长度．例35(2022·湖北·模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b2+c2-a2=2ab sin C.(1)求角A；(2)若AB=32,AC=3，点P在线段BC上，且CP=13CB,Q是线段AC中点，AP与BQ交于点M，求cos∠A MB.例36(2022·陕西·交大附中模拟预测(理))设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a=b cos C+33c sin B．(1)求B；(2)若c=1，a=3，AC的中点为D，求BD的长．题型六：高问题例37(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(理))在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2-b2=c a cos B-b2．(1)求角A的大小；(2)若c=8，△ABC的面积为43，求BC边上的高．例38(2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测)从①A为锐角且sin B-cos C=c2-a22ab；②b=2a sin C+π6这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C 的对边分别为a，b，c，．(1)求角A；(2)若b=34c且BC边上的高AD为23，求CD的长．例39(2022·北京房山·二模)在△ABC中，a cos B+12b=c,b=2.(1)求∠A；(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上的高.条件①：cos B=-23；条件②：sin B=22；条件③：△ABC的面积为3+32.注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.例40(2022·山东青岛·一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B-sin C2=sin2A -sin B sin C．(1)求角A；(2)若b=5，BC边上的高为1077，求边c．例41(2022·福建·模拟预测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c-b=2a cos B.(1)求角A；(2)若3b2sin B+c-b2cos B=7，b-c=2，求BC边上的高.题型七：重心性质及其应用例42(2022·湖北省仙桃中学模拟预测)如图，在△ABC 中，已知AB =2，AC =23，∠BAC =30°，BC 边上的中线AM 与∠ABC 的角平分线BN 相交于点P ．(1)∠MPN 的余弦值．(2)求四边形PMCN 的面积.例43(2022·全国·高三专题练习)G 是△ABC 的重心，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，若20aGA +15bGB+12cGC =0 ，则cos A =( )A.0B.35C.45D.1例44(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B +3a sin B=c +1，b =1，点G 是△ABC 的重心，且AG =213，则△ABC 的面积为( )A.32B.3C.3D.23例45(2022·全国·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的外接圆的面积为π，b -c sin B +2sin 2C =a sin A ．(1)求A ；(2)AD 是角A 的平分线，若BD =3DC ，△ABC 的重心为G ，求AG 的长．题型八：外心及外接圆问题例46(2022·全国·高三专题练习)设O 为△ABC 的外心，若AO =AB +2AC ，则sin ∠BAC 的值为___________.例47(2022·江苏·泰兴市第一高级中学高三阶段练习)在△ABC 中，AB =4，AC =6，BC =5，点O 为△ABC 的外心，若AO =λAB +μAC，则λ+μ=( )A.23B.35C.47D.59例48(2022·广东·模拟预测)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且a 3sin B -cos C =c -b cos A .从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.①O 为△ABC 的内心；②O 为△ABC 的外心；③O 为△ABC 的重心.(1)求A ；(2)若b =6,c =10，__________，求△OBC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.例49(2022·黑龙江齐齐哈尔·二模(理))△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 3sin B -cos C =c -b cos A ．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．①O 为△ABC 的内心；②O 为△ABC 的外心．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．(1)求A ；(2)若b =3,c =5，________，求△OBC 的面积．例50(2022·江苏省白蒲高级中学高三阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；3b=4c，cos C=45.(1)求cos A的值；(2)若△ABC的外心在其外部，a=7，求△ABC外接圆的面积.例51(2022·辽宁·三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A=π3，c=4.(1)若sin B-cos B=22，求△ABC外接圆的直径；(2)若a=13，求△ABC的周长.例52(2022·四川·树德中学模拟预测(理))已知的数f x =3sin x2cosx2-cos2x2+12．(1)求f x 的单调增区间；(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f A =12，a=3，求△ABC外接圆的面积．例53(2022·湖南·长郡中学高三阶段练习)法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B -C =cos A 23b sin C -a .以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 2，O 3.(1)求A ；(2)若a =3，△O 1O 2O 3的面积为7312，求△ABC 的周长.题型九：两边夹问题例54(2021•双流区校级模拟)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos A +sin A -2sin B +cos B=0，则a +b c 的值是( )A.2 B.3 C.2 D.1例55(2020•苏州二模)在ΔABC中，已知边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若2sin2B+3sin2C= 2sin A sin B sin C+sin2A，则tan A= ．例56(2013•成都模拟)在ΔABC中，若(cos A+sin A)(cos B+sin B)=2，则角C= ．例57(2018•如皋市二模)在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，设S是ΔABC的面积，若b2+ c2=13a2+433S，则角A的值是 ．题型十：内心及内切圆问题例58(2022·全国·高三专题练习)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，a=6，b+12cos B=2c.(1)求A的大小；(2)M为△ABC内一点，AM的延长线交BC于点D，________，求△ABC的面积.请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使△ABC存在，并解决问题.①M为△ABC的外心，AM=4；②M为△ABC的垂心，MD=3；③M为△ABC的内心，AD=33.例59(2022·安徽·芜湖一中一模(理))已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan C= sin A2-cos A(1)求b c的值；(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN⎳BC且c=2，求a的值．例60(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A 为锐角，a =32，AB ⋅AC =3，再从条件①：b sin B +C 2=a sin B ，条件②：b tan A =(2c -b )tan B ，这两个条件中选择一个作为已知.求：(1)角A ；(2)△ABC 的内切圆半径r .例61(2022·陕西·武功县普集高级中学一模(文))在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知b =4，c =2，且sin C =sin B +sin (A -B )．(1)求角A 和边a 的大小；(2)求△ABC 的内切圆半径．例62例62．(2022·全国·高三专题练习)如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AD 平分∠BAC .(1)求证：BDDC =AB AC；(2)若AC =2，CD =1，AD =322，求△ABC 的内切圆面积.例63(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且3b sin C-c cos B tan C=a.(1)求角A；(2)若△ABC的内切圆面积为4π，求△ABC面积S的最小值.例64(2022·全国·高三专题练习)已知函数f x =23sin x cos x+2cos2x(1)求函数f x =23sin x cos x+2cos2x的对称轴；对称中心；单调递增区间；(2)在ΔABC中，a,b,c分别是A,B,C所对的边，当f A =2，a=2时，求ΔABC内切圆面积的最大值.例65(2022·河南南阳·高三期末(理))在△ABC中，3sin C+cos C=sin B+sin Csin A.(1)求A；(2)若△ABC的内切圆半径r=2，求AB+AC的最小值.例66(2022·陕西·模拟预测(文))已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a =6,b =54c ,A =2C ，设O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为_________．例67(2022·全国·高三专题练习)已知点O 是ABC 的内心，若AO =49AB +19AC ，则cos ∠BAC =( )A.15B.16C.18D.19解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例⒈(2022·全国·高三专题练习)在①cos B cos C =-b 2a +c ，②sin A sin B -sin C =b +c a +c ，③2S =-3BA ⋅BC 三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，作AB ⊥AD ，使得四边形ABCD 满足∠ACD =π3，AD =3，求BC 的取值范围.【答案】(0,2).【解析】根据题意，选择①②③求得B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理求得AC =2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理求得可得BC =43sin θ+π6 ⋅sin θ=233sin 2θ-π3 +1，结合0<θ<π3和三角函数的性质，即可求解.【详解】若选①：由cos B cos C =-b 2a +c ，根据正弦定理可得cos B cos C =-sin B 2sin A +sin C，即2sin A cos B +sin C cos B =-sin B cos C ，即2sin A cos B =-sin B cos C -sin C cos B =-sin B +C =-sin A ，可得cos B =-12，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).选②：由sin A sin B -sin C =b +c a +c ，根据正弦定理可得a b -c =b +c a +c ，可得a 2+ac =b 2-c 2，即a 2+c 2-b 2=-ac ，又由余弦定理，可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =-ac 2ac =-12，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).若选③：由2S =-3BA ⋅BC ，可得2×12ac sin B =-3ac cos B ，即sin B =-3cos B ，可得tan B =-3，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).例⒉(2020·北京·北师大二附中高三期中)如图，四边形ABCD 中∠BAC =90∘，∠ABC =30∘，AD ⊥CD ，设∠ACD =θ.(1)若ΔABC 面积是ΔACD 面积的4倍，求sin2θ；(2)若∠ADB =π6，求tan θ.【答案】(1)sin2θ=32(2)tan θ=32【解析】(1)设AC =a ，可求AB =3a ，AD =a sin θ，CD =a cos θ，由题意S △ABC =4S △ACD ，利用三角形的面积公式即可求解；(2)在△ABD 中，△BCD 中，分别应用正弦定理，联立可得2sin π3+θ=3sin θ，利用两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】(1)设AC =a ，则AB =3a ，AD =a sin θ，CD =a cos θ，由题意S ΔABC =4S ΔACD ，则12a ⋅3a =4⋅12a cos θ⋅a sin θ，所以sin2θ=32.(2)由正弦定理，ΔABD 中，BD sin ∠BAD =AB sin ∠ADB ，即BD sin π-θ =3a sin π6①ΔBCD 中，BD sin ∠BCD =BC sin ∠CDB ，即BD sin π3+θ =2asin π3②①÷②得：2sin π3+θ=3sin θ，化简得3cos θ=2sin θ，所以tan θ=32.例⒊(江苏省南京市宁海中学2022届高三下学期4月模拟考试数学试题)在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，A =150∘，点D 在边BC 上，满足CD =2BD ，且sin ∠BAD b+sin ∠CAD c =32a ．(1)求证：AD =13a ；(2)求cos ∠ADC ．【答案】(1)证明见解析(2)1314【解析】(1)分别在△ABD 和△ACD 中利用正弦定理表示出sin ∠BAD ,sin ∠DAC ，，代入已知等式化简整理即可得到结果；(2)根据∠ADB =-∠ADC ，在△ABD 和△ACD 利用余弦定理可整理得到a 2-b 2=2c 2；在△ABC 中，利用余弦定理可得c =3b ，进而得到a =7b ，代入cos ∠ADC 中即可求得结果.(1)∵CD =2BD ，∴CD =23a ，BD =13a ；在△ABD 中，由正弦定理得：sin ∠BAD =BD sin B AD =a sin B3AD ；在△ACD 中，由正弦定理得：sin ∠DAC =CD sin C AD =2a sin C3AD；又sin B b=sin C c =sin A a =12a ，∴sin ∠BAD b +sin ∠CAD c =a sin B 3b ⋅AD +2a sin C 3c ⋅AD =a 3AD ⋅12a +2a 3AD ⋅12a=32a ，即9AD =3a ，∴AD =13a .(2)在△ABD 中，由余弦定理得：cos ∠ADB =BD 2+AD 2-AB 22BD ⋅AD =2a 2-9c 22a 2；在△ACD 中，由余弦定理得：cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD =5a 2-9b 24a 2；∵∠ADB +∠ADC =180∘，∴∠ADB =-∠ADC ，即2a 2-9c 22a 2=-5a 2-9b 24a 2，整理可得：a 2-b 2=2c 2；在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =b 2+c 2-a 22bc =-32，则-c 22bc =-c 2b =-32，∴c =3b ，∴a 2-b 2=6b 2，即a =7b ；∴cos ∠ADC =5a 2-9b 24a 2=35b 2-9b 228b 2=1314.例⒋(广东省2022届高三二模数学试题)如图，已知△ABC 内有一点P ，满足∠PAB =∠PBC =∠PCA=α．(1)证明：PB sin ABC =AB sin α．(2)若∠ABC =90∘，AB =BC =1，求PC ．【答案】(1)证明见解析(2)PC =105【解析】(1)由正弦定理得PB sin α=ABsin ∠APB，即PB sin ∠APB =AB sin α，即要证明sin ∠ABC =sin ∠APB 即可，由此利用三角形内角和证明可得结论；(2)由题意求得PB =sin α，继而求得PC =2sin α，在△PAB 中利用余弦定理求得sin α=55，即可求得答案.(1)证明：在△ABP 中，由正弦定理得PB sin α=ABsin ∠APB，即PB sin ∠APB =AB sin α，要证明PB sin ∠ABC =AB sin α，只需证明sin ∠ABC =sin ∠APB ，在△ABP 中，∠APB =π-α+∠ABP ，在△ABC 中，∠ABC =α+∠ABP ，所以∠APB =π-∠ABC ，所以sin ∠APB =sin π-∠ABC =sin ∠ABC ，所以PB sin ∠ABC =AB sin α．(2)由(1)知PB sin ∠ABC =AB sin α，又因为∠ABC =90∘，AB =1，所以PB =sin α，由已知得△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BCA =∠CAB =π4，则∠BCP =π4-α，所以在△PBC 中，∠BPC =π-π4-α -α=3π4，由正弦定理得BC sin ∠BPC =PCsin ∠PBC，即1sin 3π4=PC sin α，即PC =2sin α．由余弦定理得sin 2α+2sin α 2-2sin α2sin α cos 3π4=1，由题意知sin α>0，故解得sin α=55，所以PC =105．例⒌(2022·全国·高三专题练习)如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =27，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC ⊥BD ，求tan ∠ABD ．【答案】(1)73；(2)tan ∠ABD =233．【解析】(1)△ABC 中，利用含∠ABC 的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得△ABC 面积，再利用面积关系求△ADC 的面积得解；(2)由题设中角的信息用∠ABD 表示出△ABC 与△BDC 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tan ∠ABD 的方程，解之即得.【详解】(1)设BC =x ，在△ABC 中，由余弦定理AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos ∠ABC 得：28=22+x 2-2⋅2⋅x ⋅cos2π3，即x 2+2x -24=0，而x >0，解得x =4，所以BC =4，则△ABC 的面积S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =12⋅2⋅4⋅32=23，梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，△ABC 与△ADC 等高，且CD =5AB2，所以△ADC 的面积S △ADC =5S △ABC2=53，则梯形ABCD 的面积S =S △ABC +S △ADC =73；(2)在梯形ABCD 中，设∠ABD =α，而AC ⊥BD ，则∠BDC =α，∠BAC =π2-α，∠DBC =2π3-a ，∠BCA =α-π6，在△ABC 中，由正弦定理AB sin ∠BCA =BC sin ∠BAC 得：2sin α-π6 =BCsin π2-α ，在△BDC 中，由正弦定理CD sin ∠DBC =BC sin ∠BDC 得：5sin 2π3-α =BCsin α，两式相除得：2sin 2π3-α 5sin α-π6 =sin αsin π2-α ⇒2⋅32cos α+12sin α5⋅32sin α-12cos α =sin αcos α，整理得53sin 2α-7sin αcos α-23cos 2α=0，即53tan 2α-7tan α-23=0解得tan α=233或tan α=-35，因为α∈π6,π2，则tan α=233，即tan ∠ABD =233．例⒍(2022·河南安阳·模拟预测(理))如图，在平面四边形ABCD中，DC =2AD =42，∠BAD =π2，∠BDC =π6．(1)若cos ∠ABD =53，求△ABD 的面积；(2)若∠C =∠ADC ，求BC ．【答案】(1)25(2)210-22【解析】(1)根据cos ∠ABD =53求得tan ∠ABD ，再结合AD =22求解即可(2)设∠ADB =θ，再在△BCD 中利用正弦定理得出关于θ的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可(1)由cos ∠ABD =53可得tan ∠ABD =32-525=25，又AD =22故AB =ADtan ∠ABD =10，故S △ABD =12AB ⋅AD =25(2)设∠ADB =θ，则cos θ=22BD ，∠C =θ+π6，在△BCD 中，由正弦定理可得BD sin C =DCsin ∠DBC，即22cos θsin θ+π6=42sin 2π3-θ ，交叉相乘化简得sin 2π3-θ =2cos θ⋅sin θ+π6 ，即sin θ+π3 =3cos θ⋅sin θ+cos 2θ，利用降幂公式有sin θ+π3 =32sin2θ+12cos2θ+12，利用辅助角公式有sin θ+π3 =sin 2θ+π6 +12，故sin θ+π3 =sin 2θ+2π3-π2 +12，利用诱导公式可得sin θ+π3 =-cos 2θ+2π3 +12=2sin 2θ+π3 -12，故2sin 2θ+π3 -sin θ+π3 -12=0，又sin θ+π3 >0，解得sin θ+π3 =1+54，又由正弦定理有42sin 2π3-θ =BC sinπ6，故BC =22sin θ+π3=221+54=210-22例⒎(2019·安徽省怀远第一中学高三阶段练习(理))ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，设(sin A+sin B +sin C )⋅(sin A +sin B -sin C )=2sin A sin B .(1)求C ；(2)若D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，CD =1，∠CAB =∠MB D =∠D MB.求AM ．【答案】(1)C =90∘；(2)2【解析】(1)根据正弦定理进行边角互化，利用余弦定理即可求解；(2)设∠CAB =∠MB D =∠D MB =θ，将三角形中其余角用θ表示出来，结合CD =1，表示边长，即可解出.【详解】(1)由(sin A +sin B +sin C )⋅(sin A +sin B -sin C )=2sin A sin B ，得a +b 2-c 2=2ab ，即a 2+b 2=c 2∴C =90∘；(2)令∠CAB =∠MB D =∠D MB =θ，则在ΔA MB 中，∠MB A =90∘-2θ,∠BMA =180∘-θ由正弦定理得：AM sin 90∘-2θ =AB sin 180∘-θ ，即AM =AB ⋅cos2θsin θ在ΔACD 中，∠ACD =90∘,∠CDA =2θ由正切定义：AC =tan2θ在ΔACB 中，∠ACB =90∘,∠BAC =θ由正切定义：AB =AC cos θ=tan2θcos θ，∴AM =tan2θcos θ⋅cos2θsin θ=2例⒏(2022·山东烟台·一模)如图，四边形ABCD 中，AB 2+BC 2+AB ⋅BC =AC 2．(1)若AB =3BC =3，求△ABC 的面积；(2)若CD =3BC ，∠CAD =30∘，∠BCD =120∘，求∠ACB 的值．【答案】(1)334(2)∠ACB =45∘【解析】(1)依据题意求得角B ，利用正弦定理去求△ABC 的面积；(2)利用正弦定理解三角形即可求得∠ACB 的值．(1)在△ABC 中，cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =-AB ⋅BC 2AB ⋅BC =-12，因为0∘<B <180∘，所以B =120∘．S △ABC =12AB ⋅BC sin120∘=12×3×1×32=334．(2)设∠ACB =θ，则∠ACD =120∘-θ，∠ADC =30∘+θ，∠BAC =60∘-θ．在△ACD 中，由AC sin 30∘+θ =CDsin30∘，得AC =sin 30∘+θ sin30∘CD ．在△ABC 中，由AC sin120∘=BC sin 60∘-θ ，得AC =sin120∘sin 60∘-θBC ．联立上式，并由CD=3BC得3sin30∘+θsin30∘=sin120∘sin60∘-θ，整理得sin30∘+θsin60∘-θ=14，所以sin60∘+2θ=12，因为0∘<θ<60∘，所以60∘<60∘+2θ<180∘，所以60∘+2θ=150∘，解得θ=45∘，即∠ACB的值为45∘．例⒐(2022·全国·高三专题练习)在①AB=2AD，②sin∠ACB=2sin∠ACD，③S△ABC=2S△ACD这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=π，BC=CD=2，且______.(1)证明：tan∠ABC=3tan∠BAC；(2)若AC=3，求四边形ABCD的面积.【答案】(1)证明见解析(2)9158【解析】(1)选择①，由正弦定理及角度关系推出∠BAC=∠DAC及sin∠ACB=2sin∠ACD，结合两角和的正弦公式及诱导公式，进行证明；选择②，利用正弦定理推导出∠BAC=∠DAC，直接利用两角和的正弦公式及诱导公式即可推出结论；选择③，由正弦定理，面积公式及面积的倍数关系得到∠BAC=∠DAC，sin∠ACB=2sin∠ACD，使用两角和的正弦公式及诱导公式进行证明；(2)在证明出第一问的基础上，设出边长，利用余弦定理求出AD的长及角的正弦值，进而利用面积公式进行求解.(1)方案一：选条件①.在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC=ADsin∠ACD，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC，因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC，因为AB=2AD，所以sin∠ACB=2sin∠ACD.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.方案二：选条件②.在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC.因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，sin∠ACB=2sin∠ACD，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.方案三：选条件③.因为S△ABC=12BC⋅AC⋅sin∠ACB，S△ACD=12CD⋅AC⋅sin∠ACD，且BC=CD，S△ABC=2S△ACD，所以sin∠ACB=2sin∠ACD在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC，因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.(2)选择①②③，答案均相同，由(1)可设AD =x ，则AB =2x ，在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =4x 2-58x ，在△ACD 中，由余弦定理得，cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD =x 2-54x ，因为cos ∠ABC =cos π-∠ADC =-cos ∠ADC ，所以4x 2-58x =-x 2-54x ，解得x =102或x =-102(舍去)，所以cos ∠ABC =108，所以sin ∠ABC =sin ∠ADC =1-1082=368，所以四边形ABCD 的面积S =3S △ACD =32AD ⋅CD ⋅sin ∠ADC =9158.例⒑(2022·福建·厦门一中高一阶段练习)在平面四边形ABCD 中，∠ABC =π3，∠ADC =π2，BC =4.(1)若△ABC 的面积为33，求AC ；(2)若AD =33，∠BAC =∠DAC ，求tan ∠DAC .【答案】(1)13(2)23【解析】(1)应用三角形面积公式有S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC ，可求AB ，由余弦定理即可求AC ；(2)设∠DAC =α，在Rt △ACD 中AC =AD sin π2-α ，在△ABC 中应用正弦定理有BCsin ∠BAC =ACsin ∠ABC ，即可求tan α，得解.(1)在△ABC 中，BC =4，∠ABC =π3，∴S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =33，可得AB =3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC ⋅cos ∠ABC =13，∴AC =13.(2)设∠DAC =α，则∠ACD =π2-α，在Rt △ACD 中，AD =33，易知：AC =AD sin π2-α =33cos α，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC =AC sin ∠ABC ，即4sin α=3332cos α，∴2cos α=3sin α，可得tan α=23，即tan ∠DAC =23.例⒒(2022·湖北武汉·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD 中，∠BCD =π2，AB =1，∠ABC =3π4.(1)当BC =2，CD =7时，求△ACD 的面积；(2)当∠ADC =π6，AD =2时，求cos ∠ACD .【答案】(1)3414；(2)cos ∠ACD =33.【解析】(1)利用余弦定理求出AC ，cos ∠ACB ，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.(2)在△ABC 和△ACD 中用正弦定理求出AC ，再借助同角公式求解作答.(1)当BC =2时，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos ∠ABC ，即AC 2=3-22cos 3π4=5，解得AC =5，cos ∠ACB =AC 2+BC 2-AB 22AC ⋅BC=31010，因为∠BCD =π2，则sin ∠ACD =cos ∠ACB =31010，又CD =7，所以△ACD 的面积是S △ACD =12AC ⋅CD sin ∠ACD =125×7×31010=3414.(2)在△ABC 中，由正弦定理得AB sin ∠ACB =AC sin ∠ABC ，即AC =AB sin 3π4sin ∠ACB =22cos ∠ACD ，在△ACD 中，由正弦定理得AD sin ∠ACD =AC sin ∠ADC ，即AC =AD sin π6sin ∠ACD =1sin ∠ACD ，则22cos ∠ACD =1sin ∠ACD，整理得sin ∠ACD =2cos ∠ACD ，而sin 2∠ACD +cos 2∠ACD =1，∠ACD 为锐角，所以cos∠ACD=3 3.题型二：两角使用余弦定理例⒓(2022·湖北·襄阳四中模拟预测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.(1)证明：ABAC=DBDC，AD2=AB⋅AC-DB⋅DC；(2)若AD=1，A=2π3，求DB⋅DC的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)3【解析】(1)根据题意得到sin∠BAD=sin∠CAD，sin∠ADB=sin∠ADC，由正弦定理得到ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，两式相除得到ABAC=DBDC，进而得到BD=ABAB+AC BC，DC=ACAB+AC BC，根据余弦定理，并代入化简，即可求解.(2)根据S△ABD+S△ACD=S△ABC，得到b+c=bc，结合基本不等式求得bc≥4，进而求得DB⋅DC=bc -1，即可求解.(1)解：在△ABD和△BCD中，可得∠BAD=∠CAD，∠ADB+∠ADC=π，所以sin∠BAD=sin∠CAD，sin∠ADB=sin∠ADC，由正弦定理，得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，两式相除得ABAC=DBDC，可得BD=ABAB+AC BC，DC=ACAB+AC BC，又由cos∠ABD=cos∠ABC，根据余弦定理得AB2+BD2-AD22AB⋅BD=AB2+BC2-AC22AB⋅BC所以AD2=AB2+BD2-BDBC AB2+BC2-AC2=DCBC AB2+BDBC AC2-BD BC-BD代入可得AD2=ACAB+AC AB2+ABAB+AC AC2-BD⋅DC=AB⋅AC ABAB+AC+AC AB+AC-BD⋅DC=AB⋅AC-BD⋅DC.(2)解：由AD=1，A=2π3及S△ABD+S△ACD=S△ABC，可得b+c=bc根据基本不等式得bc=b+c≥2bc，解得bc≥4，当且仅当b=c=2时等号成立，。
解三角形(中线问题)(典型例题+题型归类练)(解析版)
专题04 解三角形（中线问题）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1、向量化(三角形中线问题）如图在ABC∆中，D为CB的中点，2AD AC AB=+(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）2、角互补∠+∠=ADC ADBADC ADBπ∠+∠=⇒cos cos0二、典型例题例题1．如图，在ABC ∆中，已知2AB =，62AC =，45BAC ∠=︒，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ．求BAM ∠的正弦值；思路点拨：本题涉及三角形中线问题，可以考虑中线向量化，也可以考虑角互补的技巧.解答过程：由，，，利用余弦定理在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，与互补，则，解得解法1：角互补解法2：中线向量化由题意可得，，由为边上的中线，则，两边同时平方得，，故在中，由余弦定理，得，因为，所以．【答案】35解：解法1、由余弦定理得222cos AC AB AC C B BA BC A +-⋅⋅∠=，即(22222252BC =+-⨯⨯=，所以BC =所以12BM CM BC === 在ABM 中，由余弦定理，得2222cos2BM AM AB BMA BM AM +-∠==⋅，在ACM △中，由余弦定理，得2222cos2CM AM AC CMA CM AM +-∠==⋅BMA ∠与CMA ∠互补，则cos cos 0BMA CMA ∠+∠=，解得5AM =，在ABM 中，由余弦定理，得2224cos 25AB AM BM BAM AB AM +-∠==⋅，因为0,2BAM π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5BAM ∠==．解法2、由题意可得，cos 4512AB AC AB AC ⋅=⨯⨯︒=， 由AM 为边BC 上的中线，则()12AM AB AC =+， 两边同时平方得，22211125442AM AB AC AB AC =++⋅=，故5AM =， 因为M 为BC 边中点，则ABM 的面积为ABC 面积的12， 所以111sin sin 222AB AM BAM AB AC BAC ⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠，即11125sin 2sin 45222BAM ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯︒， 化简得，3sin 5BAM ∠=．例题2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2,5,1a b c ===． (1)求sin ,sin ,sin A B C 中的最大值； (2)求AC 边上的中线长．【答案】(1)最大值为2sin 2B =(2)12 (1)521>>，故有sin sin sin b a c B A C >>⇒>>，由余弦定理可得222(2)1(5)2cos 2221B +-==-⨯⨯，又(0,)B π∈，34B π∴=，故2sin 2B =．(2)设AC 边上的中线为BD ，则1()2BD BA BC =+， 2222223(2)()2cos 1(2)212cos 14BD BA BC c a ca B π∴=+=++=++⨯⨯⨯=， 1||2BD ∴=，即AC 边上的中线长为12．第（2）问思路点拨：本题涉及三角形中线问题，可以考虑中线向量化，也可以考虑角互补的技巧.本题提供中线向量化方法由（1）知，设边上的中线为，则（注：中线向量化的技巧：两边同时平方，化向量为标量）.，即边上的中线长为．配图两边同时平方例题3．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B a cC a b--=+.（1）求角B 的大小；（2）若6b =，且AC 边上的中线长为4，求ABC 的面积.【答案】（1）3B π=（2）732（1）由正弦定理得a b a c c a b--=+，化简得222a c b ac +-=. 由余弦定理得2221cos 22a c b B ac +-==， 由()0,B π∈可得3B π=；（2）设AC 的中点为D ，由余弦定理得222cos 2BD AD AB ADB BD AD +-∠=⋅，222cos 2BD CD BC BDC BD CD +-∠=⋅，由ADB BDC π∠+∠=可得cos cos ADB BDC ∠=-∠，第（2）问思路点拨：本题涉及三角形中线问题，可以考虑中线向量化，也可以考虑角互补的技巧.本题提供角互补方法由（1）知，设的中点为，由余弦定理得，，由可得即即，所以. 又，，所以，所以.配图即22222222BD AD AB BD CD BC BD AD BD CD +-+-=-⋅⋅即2222224343243243c a +-+-=-⨯⨯⨯⨯， 所以2250a c +=.又222a c b ac +-=，6b =，所以14ac =，所以11sin 1422S ac B ==⨯=三、题型归类练1．已知ABC 的内角,,A B C 对的边分别为,,a b c ， 2c =，cos sin 2a C C b =+. (1)求A ；(2)若BC 边上的中线AM b . 【答案】(1)π3A =(2)2b =(1)由cos sin 2a C C b =+，2c =，得cos sin 0a C C b c --=由正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=sin cos sin sin()sin 0A C A C A C C +-+-=sin cos sin sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C ---=sin cos sin sin 0A C A C C --=()0,,sin 0,C C π∈∴≠∴cos 1,A A -= ∴2sin()16A π-=()50,,,666A A ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭， 66A ππ∴-=3A π∴=(2)因为AM 为BC 边上的中线， 所以()12AM AB AC =+, 所以()()222211244AM AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+，所以2221222cos 43b b π⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭， 即2113142b b =++解得2b =或-4（舍去） 2b ∴=2．已知函数()()1sin cos 64f x x x x π⎛⎫=⋅--∈ ⎪⎝⎭R ．(1)求()f x 的最小正周期和最大值：(2)设ABC 的三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，且122C f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3b =，AB 边上的中线长为72，求ABC的面积．【答案】(1)πT =，最大值为12.(2)S =(1)()111sin cos sin sin 6424πf x x x x x x ⎫⎛⎫=⋅--=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12cos24x x =- 1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故2ππ2T ==，当ππ22π62x k -=+，即ππ3x k =+，k Z ∈时有最大值为12.(2)1π1sin 2262C f C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,πC ∈，故2π3C =.AB 边上的中线长72CD =，()12CD CA CB =+， 故()()222211492444CD CA CB CA CB CA CB =+=++⋅=， 故21923492a a ⎛⎫++⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得8a =或5a =-（舍去），11sin 3822S ab C ==⨯⨯= 3．在三角形ABC 中，有23sinsin sin 24B C B C -+=． （1）求角A ；（2）设CD 是AB 边上的中线，若45,2ABC AC ︒∠==，求中线CD 的长．【答案】（1）60；（2 （1）由已知，化简得1cos()3sin sin 24B C B C --+=，1cos cos sin sin 3sin sin 24B C B C B C --+=，整理得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即()12cos B C +=-，由于0B C π<+<，则23B C π+=，所以60A =．（2）由题意得，sin sin AC ABC B==又6cos cos 75ACB ∠==所以()22114622444CD CA CB ⎛=+=++⨯= ⎝⎭， 所以4CD =-4．在ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=，且152AB AC ⋅=-．（1）求ABC 的面积； （2）若5AB =，求AD 的长． 【答案】（1；（2）2【详解】 （1）115cos12022AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅=-⋅=-，则15AB AC ⋅=， 11sin 1522ABC S AB AC BAC∴=⋅∠=⨯=△； （2）由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ．由平面向量加法的平行四边形法则可得2AD AE AB AC ==+，所以，()2222422515919AD AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+=-+=，192AD ∴=AD5．在∴ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，cos cos sin a C c A B +，AB （1）求角C ；（2）若2a =，求∴ABC 的面积.【答案】（1）3C π=或23C π=；（2解（1）因为cos cos sin a C c A B +，由正弦定理知，sin cos sin cos sin A C C A C B +=.即()sin sin A C C B +，sin sin B C B ，又sin 0B ≠1C =，即sin C =在∴ABC 中，所以3C π=或23C π=. （2）记CD 是AB 边上中线，则有()12CD CA CB =+. ()2222127444CA CB CA CB CDCA CB ++⋅=+==，当3C π=时，有2427b b ++=，解得，1b =（负值舍去），此时∴ABC 的面积1sin 2ABCS CB CA C =⋅⋅ 当23C π=时，有2427b b +-=，解得，3b =（负值舍去），此时∴ABC 的面积1sin 2ABCSCB CA C =⋅⋅=；综上，∴ABC 6．已知,,a b c 是ABC 三内角,,A B C 的对边，且2cos 2b C c a +=. （1）求角B 的大小；（2）若2b =，且ABC ①ABC 周长；②AC 边的中线BD 的长度.【答案】（1）3π；（2）①2解：（1）由正弦定理：2sin cos sin 2sin B C C A +=， sin sin()sin()sin cos cosCsinB A A B C B C π=-=+=+，sin 2cos sin C B C ∴=，又1(0,),sin 0,cos 2C C B π∈≠∴=， 又(0,)B π∴∈，所以3B π=；（2）①由余弦定理：222222cos 4b a c ac B a c ac =+-=+-=(1)，由三角形面积公式：1sin 2S ac B ===，即2ac =(2)， 由（1）（2）2222()3()64a c ac a c ac a c +-=+-=+-=，所以a c +=2 ②在,ABD BCD 中分别使用余弦定理： 2222cos 42b bc BD BD ADB =+-⋅⋅∠（3）2222cos DB 42b ba BD BD C =+-⋅⋅∠（4）又因为,cos cos 0ADB CDB ADB CDB π∠+∠=∠+∠= （3）+（4）得222226242b BD ac =+-=-=所以BD =.7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2sin 5tan a B c C =. （1）求222a b c+的值； （2）记边AB 的中点为D ，若2AB =，求中线CD 的长度. 【答案】（1）6；（2（1）由题设条件可得：sin 2sin 5cos Ca B c C=⋅，即222252cab c a b c ab=+-即：2226a b c +=（2）222624,a b c +== 设CD x =，则在ACD ∆中，由余弦定理得，2222cos CD AD CD AD CDA AC +-⋅∠=， 即2212coscos x x CDA b +-∠=；①在BCD ∆中，由余弦定理得，2222cos CD BD CD BD CDB BC +-⋅∠=， 即2212coscos x x CDB a +-∠=；② 又cos cos 0CDA CDB ∠+∠=，① +②得，22222x a b +=+，故211x =，所以CD =因此，中线CD .。
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点评：三角函数中公式较多，要注意恰当选择，灵活准确应用.
25．
【解析】
试题分析：因为 ，根据向量共线的坐标运算得：
即 ，因为 是三角形的内角，所以 = .
考点：本小题主要考查共线向量的坐标关系、正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，考查学生灵活运用公式的能力和运算求解能力.
点评：由余弦定理求出 ，一定要交代A的取值范围，才可以得出结论.
3．B
【解析】
试题分析： 所以 ，所以 ，所以 ，所以三角形 的形状为直角三角形.
考点：本小题主要考查对数的运算和勾股定理以及三角形形状的判断，考查学生的运算求解能力.
点评：判断三角形的性质，要注意转化题中所给的条件，要么化成角之间的关系，要么化成边之间的关系，有时还要用到正余弦定理.
（1）求 的大小；
（2）若 三角形ABC的面积为1 ，求 的值.
42．(本小题满分12分)
在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，C=2A, ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求b的值.
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：因为 是三角形 的内角，所以由 可得 ，所以可以得到 ；反之，由 ，可以得到 或 ，所以得不出 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
37．如图，已知一艘船从30 n mile/h的速度往北偏东 的A岛行驶，计划到达A岛后停留10 min后继续驶往B岛，B岛在A岛的北偏西 的方向上．船到达Ｃ处时是上午10时整，此时测得B岛在北偏西 的方向，经过20 min到达Ｄ处，测得B岛在北偏西 的方向，如果一切正常的话，此船何时能到达B岛？
38．在 中，已知 , ，解此三角形。
解三角形
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班பைடு நூலகம்、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题（题型注释）
1．已知 是三角形 的内角，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
A． B． C． 或 D． 或
21．已知 分别是 三个内角 的对边，且 ，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形
22．在 中，已知 ，则 ( )
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题（题型注释）
23．设 的三个内角为A、B、C，向量 ，若 ，则 .
17．B
【解析】因为A= ， ， ，根据余弦定理可知 ，故选B.
18．C
【解析】因为 ,所以 .
19．C
【解析】由题意知在 ，求BC的长度，显然 km.
20．D
【解析】因为 ,所以 ,
所以B= 或
21．D
【解析】因为
,所以 一定等腰三角形或直角三角形.
22．B
【解析】
23．
【解析】
试题分析：由题意知， ，所以 ，所以 .
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C＝120°，c＝ a，则()
A．a>bB．a<bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定
6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝ λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是()
A．0B．1C．2D．无数个
35．一架飞机从A地飞到B到，两地相距700km．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成 角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成 夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700km远了多少？
36．一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是 ，计算这个海岛的宽度．
由余弦定理
，
所以 ,则当 时, .
考点：本小题主要考查三角形的面积公式、正弦定理和余弦定理的应用以及利用基本不等式的变形公式求最值.
点评：基本不等式的变形公式应用时也要注意“一正二定三相等”三个条件缺一不可.
32．（Ⅰ） ．（Ⅱ） 的最大值是 ．
【解析】（I）因为 ，由正弦定理得 ,从而可得sinC的值，进而求出C值.
33．本题满分12分）设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, a=2bsinA
(1)求B的大小;
(2)求cosA+sinC的取值范围.
34．一个人在建筑物的正西 点，测得建筑物顶的仰角是 ，这个人再从 点向南走到 点，再测得建筑物顶的仰角是 ，设 ， 间的距离是 ．
证明：建筑物的高是 ．
∴ ，∴
∵A为三角形的内角，∴ ……6分
（2）由余弦定理知： 即
，解得 ，
∴ ，∴ ……12分
考点：本小题主要考查向量的模的运算、三角函数的化简和求值以及余弦定理和三角形面积公式的应用，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.
点评：向量的运算中，一般是要求模先求模的平方，另外，正弦定理和余弦定理是解三角形中的两个重要定理，要灵活应用.
24．在△ 中， 分别为 的对边，三边 、 、 成等差数列，且 ，则 的值为．
25．在 中，已知 分别为 ， ， 所对的边， 为 的面积．若向量 满足 ，则 =
26．在△ABC中，a，b，c是三个内角,A,B,C所对的边，若 则 （ ）
27．已知 中，角A、B、C所对边分别为 ，若 ，则 的最小值为.
点评：向量共线和垂直的坐标运算经常考查，要灵活运用，求出三角函数值求角时要先交代清楚角的范围.
26．4
【解析】 ,
所以 ,
所以 .
27．1
【解析】
,
所以 ,
所以 的最小值为1.
28．
【解析】因为A,B,C成等差数列，所以A+C=2B,所以 ,
由正弦定理得 , .
29．（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）
C. ，有两解D. ，无解
14．在 中，已知 ，则 等于（）
A. B. C. D.
15．在 中，若 ，则 等于（）
A. B. C. 或 D. 或
16． 中，A= ，BC=3，则 的周长为（ ）
A． B．
C． D．
17．在 中，角A，B，C的对边分别为 ， ， ，已知A= ， ， ，则 等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．在△ABC中，已知 ，则C=（ ）
A.300B.1500C.450D.1350
11．在 中， , ，则 （）
A. B. C. D.
12．在 中，已知 ， ，则 的形状是（）
A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形
13．不解三角形，确定下列判断中正确的是（）
A. ，有两解B. ,有一解
30．（1） （2）面积为
【解析】
试题分析：因为 ， ，且 ，
所以 ， ……2分
即 ，所以 ， ……4分
因为 ,所以 所以 ，
因为 是三角形的内角，所以 ……6分
(Ⅱ)方案一:选择①②，可确定 ，
因为
由余弦定理，得： ，
整理得： ，……10分
所以 。……13分
方案二:选择①③，可确定 ，因为 ，
又 ，
7．在△ABC中，AB＝ ，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于()
A. B. C. 或 D. 或
8．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶（a+1）∶2a，则a的取值范围是（ ）
A．a＞2B．a＞ C．a＞0D．a＞1
9．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为 ，则 =（）
A. B. C. D.
18．在 中， ， ， ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
19．某船开始看见灯塔在南偏东30 方向，后来船沿南偏东60 的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )
A．15kmB．30kmC． 15 kmD．15 km
20．在 ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若 ，则角B的值为 ( )
11．D
【解析】主要考查正弦定理的应用。
解：由比例性质和正弦定理可知 。
12．B
【解析】主要考查正弦定理的应用。
解：由 可得 ，所以 ，即 或 ，又由 及 可知 ，所以 为等腰三角形。
13．B
【解析】主要考查正弦定理的应用。
解：利用三角形中大角对大边，大边对大角定理判定解的个数可知选Ｂ。
14．B
【解析】主要考查正弦定理的应用。
考点：本小题主要考查三角形中角和三角函数值的对应关系和充分条件、必要条件的判断，考查学生的推理能力.
点评：三角形中，角和三角函数值并不是一一对应的，另外，判断充分条件和必要条件，要看清谁是条件谁是结论.
2．C
【解析】
试题分析：因为 ，由向量垂直的坐标运算可得 ，整理可得 ，由余弦定理可得
考点：本小题主要考查向量垂直的坐标运算和余弦定理的应用，考查学生对问题的转化能力和运算求解能力.
39．（本小题满分9分）设三角形 的内角 的对边分别为 , ．
（1）求 边的长；（2）求角 的大小；（3）求三角形 的面积 。
40．（本小题满分12分） 中， 分别是角A,B,C的对边，已知 满足 ，且
（1）求角A的大小；
（2）求 的值
41．（本小题12分）已知锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，
且
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件