高等代数下期末复习
高代2期末考试试题及答案
高代2期末考试试题及答案# 高代2期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性空间中，向量组的线性相关性意味着：- A. 向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示- B. 向量组中所有向量都是零向量- C. 向量组中任意向量都可以由其他向量线性表示- D. 向量组中存在非零向量可以由其他向量线性表示答案：A2. 设矩阵A是n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=0，则称x为矩阵A的：- A. 特征向量- B. 零空间向量- C. 特征值- D. 逆矩阵答案：B3. 矩阵的秩是指：- A. 矩阵中非零行的最大数目- B. 矩阵中非零列的最大数目- C. 矩阵的行向量组的秩- D. 矩阵的列向量组的秩答案：D4. 对于线性变换T: V → W，如果存在矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A和B是：- A. 相似矩阵- B. 等价矩阵- C. 合同矩阵- D. 正交矩阵答案：B5. 线性变换的核是指：- A. 线性变换的值域- B. 线性变换的零空间- C. 线性变换的逆映射- D. 线性变换的映射集合答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 线性空间V的基是一组向量，使得V中任意向量都可以唯一地表示为这组向量的________。
答案：线性组合2. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则矩阵乘积AB的秩r(AB)满足：________。
答案：r(AB) ≤ min(r(A), r(B))3. 矩阵的特征值是指使得方程________的λ的值。
答案：det(A - λI) = 04. 线性变换的线性组合可以表示为________。
答案：T1 + λT25. 对于线性空间的子空间U和W，它们的和U+W是________。
答案：U和W中所有向量的集合三、简答题（每题5分，共15分）1. 解释什么是线性空间的基，并给出一个例子。
答案：线性空间的基是一组向量，它们线性无关且能生成整个线性空间。
高等代数(下)期末考试 A 卷解答
五、证明题 3. (本题13分) 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意
V , 有 A (,). V , 1
(1) 证明: A 是 V的一个线性变换.
(2) 当 取何值时, A 是 V的一个正交变换?
(1) 证明：对于 , V , k R, 由于 A ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (, ) [ ( , ) ] [ (, ) ] 以及 A ( ) A (), A (k ) k (k , ) k[ ( , ) ] kA ( ),
已知
B
A2
A
E,
其中
A
与
1 0
3
2
相似，则
B __3________
5. 设 1,2,3 是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为
2
1
1 2
2 1
则向量 1 2 的长度
为
2.
2 1 2
三、判别题（对的打”√”,错的打” ×”， 2×5=10分）
五、证明题 3. (本题13分) 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意
V , 有 A (,). V, 1
(2) 当 取何值时, A 是 V的一个正交变换?
(2) 如果A 是 V的一个正交变换，即有 对于任意的 , V ,
(A ( ), ()) ( (,)， (,)) (,) (，(,)) ((,)，) 2(,)(,)(, ) (,) 2(,)(,) 2(,)(,)(,) (,),
2.
在线性空间
R22
高等代数(下)复习提纲.
高等代数（下）复习提纲课程考试大纲一．课程考核方法与命题要求：本课程考核以笔试为主，一般采用闭卷形式，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力计算能力以及综合应用能力。
平时成绩占30%，期末成绩占70%。
考试大纲根据教学目标，划分标准为“识记、领会、简单应用、综合应用”四级，其中识记占20%，领会占30%，简单应用占40%，综合应用占10％，考试的试题应按照这四个层次，按比例命题。
其中选择8个小题，填空5个小题，计算3个小题，证明2个小题。
本课程考试题型分为客观题和主观题两部分，其中客观题目有选择题（判断题）、填空题，主观题有解答题（计算题）、证明题等。
（第二学期考核第一至第五章部分；第三学期考核第六至第九章部分）二．课程内容与考核要求：第六章向量空间1．知识范围：本章主要介绍了向量空间，子空间，向量的线性相关性，极大无关组，向量空间的基和维数，坐标等概念，并研究了基变换与坐标变换之间的关系，同时还介绍了关于子空间的几种运算，最后介绍了线性空间的同构概念，矩阵的秩和齐次线性方程组的解空间。
2．考核要求：熟练掌握向量空间，子空间，生成元，子空间的和，子空间的直和，维数，基，坐标，过渡矩阵，基变换公式，坐标变换公式，同构映射，理解向量空间的性质，子空间的判定及性质，直和的判定，基变换与坐标变换理论，同构映射的性质，同构的判定。
齐次线性方程组解的结构。
3．考核知识点：向量空间，子空间，生成子空间维数的确定，向量的线性相关性，极大无关组的求法，求向量的坐标，过渡矩阵，基变换公式，坐标变换公式，同构映射，求齐次线性方程组的基础解系。
第七章线性变换1．知识范围：本章主要介绍了线笥映射，线性变换的概念，运算，及线性变换的矩阵，一个线性变换的特征值与特征向量，化一个矩阵为对角矩阵的方法(若可以对角化)，矩阵的相似，不变子空间等知识。
2．考核要求：深入理解线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，熟练掌握特征值与特征向量，线性变换的矩阵在某组基下的矩阵是对角矩阵的条件，矩阵的相似，理解不变子空间。
高等代数期末考试题库及答案解析
高等代数期末考试题库及答案解析第一部分：选择题（共10题，每题2分，总分20分）1.高等代数是一门研究什么的数学学科？a.研究高等数学b.研究代数学c.研究线性代数d.研究数论–答案：b2.什么是矩阵的秩？a.矩阵中非零行的个数b.矩阵中非零列的个数c.矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数d.矩阵的行数与列数的乘积3.给定一个方阵A，如果存在非零向量x使得Ax=0，那么矩阵A的秩为多少？a.0b.1c.方阵A的行数d.方阵A的列数–答案：a4.什么是特征值和特征向量？a.矩阵A与它的转置矩阵的乘积b.矩阵A的负特征值和负特征向量的乘积c.矩阵A与它的逆矩阵的乘积d.矩阵A与一个非零向量的乘积等于该向量的常数倍，并且这个向量成为特征向量，该常数成为特征值。
5.什么是行列式？a.矩阵A所有元素的和b.矩阵A中所有元素的乘积c.矩阵A的转置矩阵与它自身的乘积d.矩阵A的行列式是一个标量，表示矩阵A所表示的线性变换的倍数比例。
–答案：d6.什么是矩阵的逆？a.矩阵的行向量与列向量交换位置b.矩阵A的转置矩阵c.存在一个矩阵B，使得矩阵AB=BA=I（单位矩阵）d.矩阵的所有元素取倒数7.给定一个2x2矩阵A，当且仅当什么时候矩阵A可逆？a.矩阵A的行列式为0b.矩阵A的行列式不为0c.矩阵A的特征值为0d.矩阵A的特征值不为0–答案：b8.什么是矩阵的转置？a.矩阵的行与列互换b.矩阵的行与行互换c.矩阵的列与列互换d.矩阵的所有元素取相反数–答案：a9.对于矩阵A和B，满足AB=BA，则矩阵A和B是否可逆？a.可逆b.不可逆c.只有A可逆d.只有B可逆–答案：b10.什么是矩阵的秩-零空间定理？a.矩阵中非零行的个数加上零行的个数等于行数b.矩阵中非零列的个数加上零列的个数等于列数c.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于列数d.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于行数–答案：c第二部分：计算题（共4题，每题15分，总分60分）1.计算矩阵的秩： A = \[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9\]–答案：矩阵A的秩为22.计算特征值和特征向量： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的特征值为5和-1，对应的特征向量分别为\[1; 1\]和\[-2; 1\]3.计算行列式： A = \[3, 1, 4; 1, 5, 9; 2, 6, 5\]–答案：矩阵A的行列式为-364.计算逆矩阵： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的逆矩阵为\[-2, 1/2; 3/2, -1/2\]第三部分：证明题（共2题，每题25分，总分50分）1.证明：当矩阵A为可逆矩阵时，有出现在矩阵A的行列式中的每个元素，将该元素与其对应的代数余子式相乘之后的结果，再求和得到的值等于矩阵A的行列式的值。
高等代数下半册复习
0 ≤ < , >≤
三角不等式： + ≤ + 向量的正交或垂直：(, ) = 0
第九章 欧几里得空间
基的度量矩阵：
设 (1 ,, n ) X， (1,, n )Y
则 (, ) = X T AY
其中A为基的度量矩阵， aij = (i , j )
线性变换的特征值与特征向量：
A
0
任选一组基：A (1,, n ) = (1,, n ) A 矩阵A的特征值与特征向量：
A
矩阵A的特征多项式：E
0
A
如何确定线性变换的特征值和特征向量？
第七章 线性变换
特征子空间：
V = {属于特征值 的所有特征向量再添加 上零向量 }
(k, ) = k (, ) ( + , ) = (, ) + (, ) (, ) ≥ 0，当且仅当 = 零向量时， (, ) = 0
第九章 欧几里得空间
向量的长度： = (, )
(, ) , 向量的夹角： < , >= arccos
P
可逆的线变：若AB=BA=恒等变换，则B为A的逆变换
第七章 线性变换
线性变换的矩阵：A (1,, n ) = (1,, n ) A
基
在线空V中选定一组基后，每个线变A都与一 个矩阵A对应 矩阵A或是可逆的，或是不可逆的
欧式空间中，正交变换在一组标准正交基下的矩 阵是正交矩阵，对称变换在一组标准正交基下的矩阵 是实对称矩阵.
第六章 线性空间
基变换 (1,, n ) = (1,, n ) A
基II 基I
A为由基I到基II的过渡矩阵，可逆；
《高等数学》(下)期末考试考前复习提纲
《高等数学》下册期末考试考前复习提纲第一部分 空间解析几何与向量代数一、向量代数 1、向量的概念 （1）向量的定义有大小有方向的线段a（自由向量） （2）向量的表示1）),,(z y x a a a a =， 为向量的直角坐标表示2）0a a a =，其中a 为向量的模（大小），222zy x a a a a ++= 0a 为a的单位向量，0(cos ,cos ,cos )(,,)y x z a a a a a a aαβγ==，)cos ,cos ,(cos γβα为a的方向余弦，1cos cos cos 222=++γβα注：若有两点：111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则向量AB 为 212121{(),(),()}AB x x y y z z =--- 2、向量的运算 （1）线性运算),,(z z y y x x b a b a b a b a +++=+),,(z y x a a a a λλλλ=（2）数量积（标积，点积） 1）cos ,,a b a b a b ϕϕ⋅≡≡(0)ϕπ≤≤2）z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅特例：当b a ⊥时，0=⋅b a（两向量垂直的判据）（3）向量积（矢积，叉积）1）0sin c b a c b a ϕ=≡⨯，b a ,与c为右手螺旋关系2）()()()xy z y z z y z x x z x y y x x y zij ka b a a a i a b a b j a b a b k a b a b b b b ⨯==-+-+- 特例：当b a//时，0=⨯b a ，或z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ::::=↔==（两向量平行的判据）3、 两点的间距公式212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=4、平面π外一点0000(,,)P x y z 到平面π的距离公式：000222Ax By Cz Dd A B C+++=++平面π的点法式方程为： 0Ax By Cz D +++=二、空间解析几何1、空间曲面与空间曲线 （1）方程曲面方程 0),,(=z y x F （三元方程）曲线方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 或)(),(),(t z z t y y t x x ===（2）常见的曲面与曲线1） 柱面—— 一直线l （母线）沿着一平面曲线C （准线）作平行于一定直线L 的移动所得的曲面母线z //轴的柱面： 0),(=y x F母线y //轴的柱面： 0),(=x z F 母线x //轴的柱面： 0),(=z y F2） 旋转面—— 一平面曲线（母线）绕着同一平面内的定直线（转轴）旋转一周所得的曲面例(,)00z y f y z x =⎧⎨=⎩绕z 不变，旋转曲面0),(22=+±z y x f 3）空间螺旋线t k z a y a x ωθθθθ====,,cos ,sin4）二次曲面（三元二次方程） )(a 椭球面1222222=++cz b y a x椭球面与平行于坐标面平面的交线：→⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221z z c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b y z c c a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221y y c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(y y y b b c zy b b a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221x x c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(x x x a a c z x a a b y 分别为在1z z =，1y y =与1x x =平面内的椭圆。
《高等代数》下总复习题
复习题计算题1. 化二次型233222312121321585442),,(x x x x x x x x x x x x f +-+-+=为标准形，并求相应的线性替换和二次型的符号差.用非退化的线性替换化实二次型32232221214422x x x x x x x ++++为标准型. 求实二次型n n x x x x x x 2)1(24321......-+++的正惯性指数、符合差与R 上的规范型.2.判断二次型是否正定，323121232221x x x x x x x x x +++++ 3. 用初等变换的方法求1-A ,其中：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121-01-1322A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=012411210A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121011322A …….求矩阵X 使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--112011111011220111X ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X .1,2,06,5,11,2,1.43213过渡矩阵）的（），（），（中，求从标准基到在=-=-=αααR 求（1,0,0），（1,1,0），（1,1,1）到标准基的过渡矩阵.并求)3,1,2(-=α在这组基下的坐标.在3][x P 中，求标准基到2222,22,2x x x ---的过渡矩阵.5.已知()()()3221,0132,2121321-==-=ααα()()()4031,1101,1111321-=-==βββ),,(),,,(32123211βββαααL V L V ==.求线性空间21V V +的维数与一组基.6.求22⨯R 的子空间W ={}R c b a c b a ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,,0的基和维数.7.在3P 中，A ),,(321x x x =),,(132x x x ，A ∈L )(3P ，求A 在标准基下的矩阵.8.求A 的特征值与特征向量，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3210112012A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=324202423A ,判断A 是否可以对角化，可以对角化时，求出可逆矩阵X 和对角矩阵.9. 已知三阶矩阵A 的特征值分别为-1,1,2，求E A A +-22的特征值与行列式，并说明它的可逆性.10. 已知三阶矩阵A 的特征值分别为1,2，-3，求E A A 23++*11. nR 中，定义∑==n i i i b ia 1),(βα，求标准基的度量矩阵A.12. 将欧氏空间3R 的基)1,1,1(),0,1,1(),0,0,1(321===ααα化为标准正交基证明题1.设062=--E A A ,证明：A+3E,A-2E 都可逆并求其逆.2.设矩阵B 可逆，A,B 满足022=++B AB A ,证明A 和A+B 都可逆.3. 证明：)2)(1(),1(,1---x x x 为线性空间3][x P 的一组基 .4. 证明：如果A,B 是正定矩阵，那么A+B 也是正定矩阵.5. 证明：每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的直和.6.设21V V 与分别是齐次线性方程组 0....21=+++n x x x 与n x x x ===.....21的解空间，证明：21V V P n ⊕=7.设{}∑=⨯=∈==n i ii n n ij aP a A W 110)(，{}P E W ∈=λλ2证明：21W W +是直和.8.设λ是A 的特征值，证明：2λ是2A 的特征值.1232+-λλ是 E A A +-232的特征值.9.证明：若λ是可逆矩阵A 的特征值则λ不为零，且λ1是1-A 的特征值. 填空题1. A,B 为n 阶矩阵，22))((B A B A B A -=-+成立的充分必要条件是 .2. A,B 为 n 阶矩阵，AB=0，且 ，则B=0.A,B,C 为n 阶矩阵，AB=AC 且 ，一定有 B=C.3. 已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021112111，则)()(21E A E A -+-= .4. A ，B 是n 阶可逆矩阵，T AB )(kA = ,1)(-AB = . ∙A = ,1-A = .5.二次型23322221213216234),,(1x x x x x x x x x x f +-+-= 的矩阵为 二次型 23322221213215423),,(1x x x x x x x x x x f +++-= 的矩阵为 6. n 元正定二次型的规范型为 , n 阶正定矩阵与 合同，正定矩阵A 的行列式一定 0.7. 实数域是实数域上的 维线性空间.8. 3P 中，由标准基T T T )1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(到基T T T )5,4,3(,)4,3,2(,)3,2,1(的过渡矩阵是 . 9. {}Qd c b a d c b a Q ∈+++=,,,632)3,2(对数的运算构成Q 上的维线 性空间.10. 线性空间的标准基是n x P ][ .线性空间的标准基是22⨯R .11. 3][x P 中，由标准基到基21,3,2x x x ++-的过渡矩阵是12. 已知三阶矩阵A 的特征值分别为-1、1、2，则A －E 的特征值为13. 奇异矩阵A 必有特征值 . 幂零矩阵A 的特征值为 .14. 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量一定线性 .15. n 阶矩阵A 能对角化的充分必要条件是16. n R 中标准基的度量矩阵是 . 判断题1.若2A A =则 A=0 或A=E2.A 为n 阶矩阵，若02=A ,则A=0 .3. 设A,B,C 是n 阶矩阵，若AB=AC, 且0≠A ,则 B=C.4.设A,B,C 是n 阶矩阵，若ABC=E ,则，BCA=E.5. kk B A AB n B A =k ),（阶矩阵，则是6. 复数域是实数域上的线性空间7. 实数域是复数域上的线性空间.8. 设)(),3,2,1(ααL 则=是3P 的一维子空间.9. 32P P 是的二维子空间.10.二次型⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321321323512102321),,(),,(x x x x x x x x x f x 的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3512102321.11.二次型⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32132132361210321),,(),,(x x x x x x x x x f x 的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛342411211.12. 数乘变换在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵.13. 任意n 阶矩阵都可以作为n 维线性空间中从一组基到另一组基的过渡矩阵.14. 数域P 上两线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.15. 矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的特征值全大于零.16. 幂零矩阵的特征值必为零.17. 幂等矩阵的特征值为0,118. 相似矩阵的特征值相同，行列式相同.秩相同.19. 矩阵A 与B 有相同的秩，那么A 与B 一定相似.20. n 阶矩阵A 可以对角化的充要条件是A 有n 个不同的特征值.21. n 阶矩阵A 可以对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.22. 实对称矩阵一定可以对角化.。
高等代数(II)期末考试试卷及问题详解(A卷)
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间P x 的两个子空间的交11L xL x2、设12,,...,n 与12,,...,n是n 维线性空间V 的两个基，由12,,...,n 到12,,...,n的过渡矩阵是C ，列向量X 是V中向量在基12,,...,n 下的坐标，则在基12,,...,n下的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：21,,1,则其特征矩阵EA 的标准形是5、线性方程组AX B 的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、（）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（）设是非零线性空间V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B ）的核是V 的充要条件是是满射；（C ）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D ）的值域是V 的充要条件是是满射。
3、（）矩阵A可逆的充要条件是：0;A AB A是一个非零常数；C A是满秩的；D A是方阵。
4、（）设实二次型fX AX （A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...nnyyy ，则其中的12,,...n是：1;AB全是正数；C是A 的所有特征值；D不确定。
5、（）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2”，则A 的若当标准形是：200200200020;120;120;02212ABCD 以上各情形皆有可能。
三、是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）1、（）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且12V V 则12V V V 。
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高等代数下期末复习 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第六章线性空间 一线性空间的判定线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可。
例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 全体n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；解：1）否。
因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如523n nx x ++--=（）（）。
2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。
“全体n 阶反对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。
当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有'''（A+B ）=A +B =-A-B=-(A+B ），即A+B 仍是反对称矩阵。
A kA k A A ''==-=-（k ）（）（k ），所以kA 是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
例：齐次线性方程组A x =0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。
而非齐次线性方程组A x =b 的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。
二、基维数坐标定义:在线性空间V 中，如果存在n 个线性无关的向量12n ,,,ααα使得：V 中任一向量α都可由12n ,,,ααα线性表示，那么，12n ,,,ααα就称为线性空间V 的一个基，n 称为线性空间V 的维数。
记作dim V =n 。
维数为n 的线性空间称为n 维线性空间。
定义（向量的坐标）：设12n ,,,ααα是线性空间n V 的一个基。
对于任一元素∈αn V ，总有且仅有一组有序数,,,,21n x x x 使则n x x x ,,,21 这组有序数就称为元素a 在基底12n ,,,ααα下的坐标，并记作()12,,,T n x x x x =例：在线性空间22⨯R 中，就是22⨯R 的一个基。
22⨯R 的维数为4.任一2阶矩阵因此A 在4321,,,A A A A 这个基下的坐标为()T d c b a ,,,。
若另取一个基 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,0111,0101,00014321B B B B 。
则4321)()()(dB B d c B c b B b a d b c a A +-+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=因此A 在4321,,,B B B B 这个基下的坐标为()T d d c c b b a ,,,---。
例：考虑全体n 阶对称矩阵构成的线性空间的基底和维数。
3） 解：n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。
“全体n 阶对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。
从而全体n 阶对称矩阵构成的线性空间。
(1)ij ji E E i j n +≤≤≤即为它的一组基。
共(1)122n n n ++++=个，维数是(1)2n n + 例：设1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,11),(1,1,1,1),(1,2,1,1)εεεεξ==--=--=--=。
在4P 中，求向量ξ在基4321,,,εεεε下的坐标。
设有线性关系1234a b c d ξεεεε=+++，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++1121d c b a d c b a d c b a d c b a ，可得ξ在基4321,,,εεεε下的坐标为41,41,41,45-=-===d c b a 。
例：在4P 中，由齐次方程组确定的解空间的基与维数。
解：对系数矩阵作行初等变换，有所以解空间的维数是2，它的一组基为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,1,38,911a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=1,0,37,922a 。
例：设1V 与2V 分别是齐次方程组n n n x x x x x x x =====+++-12121...,0...的解空间，证明：.21V V P n ⊕=证：由于0...21=+++n x x x 的解空间是n －1维的，其基为)1,...,0,0,1(),...,0,...,1,0,1(),0,...,0,1,1(121-=-=-=-n ααα而由n n x x x x ====-121...知其解空间是1维的，令,1=n x 则其基为).1,...,1,1(=β且βααα,,...,,121-n 即为n P 的一组基，从而.21V V P n += 又)dim ()dim ()dim (21V V P n +=，（也可由交为零向量知）故.21V V P n ⊕= 三、基变换与坐标变换基变换：设n ααα,,,21 及n βββ,,,21 是线性空间n V 中的两个基，若或简记为=（n ααα,,,21 ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 =（n ααα,,,21 ）A （☆）则矩阵A 称为由基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵。
（☆）式称为基变换公式.坐标变换：设n V 中的元素α，在基n ααα,,,21 下的坐标为()Tn x x x ,,,21 ，在基n βββ,,,21 下的坐标为()Tn y y y ,,,21 。
若两个基满足关系式（6-2），则有坐标变换公式=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y 21，或⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y 21=1-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21 第七章线性变换一、线性变换的定义线性空间V 到自身的映射称为V 的一个变换.定义：线性空间V 的一个变换A 称为线性变换，如果对于V 中任意的元素βα,和数域P 中任意数k ，都有A (βα+)=A (α)+A (β);A (αk )=A k (α).一般用花体拉丁字母A ，B ，…表示V 的线性变换，A (α)或A α代表元素α在变换A 下的像.例判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3）在P 3中，A ),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4）在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；解：1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk ,A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+=),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++-=A α+A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx=k A )(α，故A 是3P 上的线性变换。
二、线性变换关于基的矩阵定义：设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：用矩阵表示就是A （n εεε,,,21 ）=（A(1ε)，A(2ε)，…，A(n ε)）=A n ),,,(21εεε其中矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 定理：设线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是A ，向量ξ在基n εεε,,,21 下的坐标是),,,(21n x x x ,则A ξ在基n εεε,,,21 下的坐标),,,(21n y y y 可以按公式 计算.例：在空间n x P ][中，线性变换D )()(x f x f '= 在基)!1(,,!2,,112--n x x x n 下的矩阵是三、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.定理：设线性空间V 中线性变换A 在两组n εεε,,,21 （6）n ηηη,,,21 (7)下的矩阵分别为A 和B ，从基（6）到（7）的过渡矩阵是X ，于是AX X B1-=. 定理告诉我们，同一个线性变换A 在不同基下的矩阵之间的关系为相似.定义：设A ，B 为数域P 上两个n 级方阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆方阵X ，使得AX X B 1-=，就说A 相似于B ，记作B A ~. 相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：1.反身性：A A ~2.对称性：如果B A ~，那么A B ~.3.传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~. 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.矩阵的相似对于运算有下面的性质.如果X A X B 111-=,X A X B 212-=，那么XA A XB B )(21121+=+-, 由此可知，如果AX X B1-=，且)(x f 是数域P 上一多项式，那么 利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.例：3R 上的线性变换T 在基1111000,1,0001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的矩阵为121012111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 则基在123,2,ααα下的矩阵为（A ）（A ）141011121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（B ）141044121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ （C ）1211012111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（D ）242024222⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 例：已知3P 中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101，求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵。