特别解析线性规划求最值

特别解析线性规划求最

值

Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022

特别解析：线性规划求最值一、目标函数线的平移法：利用直线的截距解决最值问题

例1 已知点()

P x y

，在不等式组

20

10

220

x

y

x y

-

?

?

-

?

?+-

?

，

，

≤

≤

≥

表示的平面区域上运动，则

z x y

=-的取值范围是（）．

（A）［－2，－1］（B）［－2，1］

（C）［－1，2］（D）［1，2］

解析：由线性约束条件画出可行域，考虑z x y

=-，

变形为y x z

=-，这是斜率为1且随z变化的一族平行

直线．z-是直线在y轴上的截距．当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数z x y

=-取得最大值为2；直线经过点（0，1）时，目标函数z x y

=-取得最小值为－1．故选（C）．

注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y的取值范围为

［-1，2］更为简单．

例2 已知实数x、y满足约束条件

50

3

x y

x y

x

+≥

?

?

-+≥

?

?≤

?

，则24

z x y

=+的最小值为

（）

分析：将目标函数变形可得

1

24

z

y x

=-+，所求的目标函数的最小值

即一组平行直

1

2

y x b

=-+在经过可行域时在y轴上的截距的最小值的4

倍。

解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：

当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为

min 234(3)6z =?+?-=-。

二、数行结合，构造斜率法：利用直线的斜率解决最值问题

例3 设实数x y ，满足20240230x y xc y y --??

+-??-?

，

，，

≤≥≤，则y z x =的最大值是__________．

解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2），

y y z x x -=

=

-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交点，即A

点． ∴31

2P ?? ???

，．故答案为32

． 注：解决本题的关键是理解目标函数0

y y z x x -==

-的 几何意义，当然本题也可设

y

t x

=，则y tx =，即为求 y tx =的斜率的最大值．由图2可知，y tx =过点A 时，

t 最大．代入y tx =，求出32

t =，

即得到的最大值是32

．

-5 3 O

x

y C

A B

L

例3.已知实数x 、y 满足不等式组2240

x y x ?+≤?≥?,求函数3

1y z x +=+的值域.

解析：所给的不等式组表示圆224x y +=的右半圆(含边界)，

3

1

y z x +=

+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．问题的几何意义：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)

50(1)

z --=

=--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设

切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在

切线上，则有22434a b a b ?+=?--=?

解得65a b ?=???--?=??

因此min z =。

三、平面内两点间的距离型（或距离的平方型），构造两点间的距离公式法解决最值问题

例5 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤??

-+≥??≥-?

，则22448w x y x y =+--+的最值

为________.

解析：目标函数2222448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示：

可行域为图中ABC 内部（包括边

界），易求B （-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B 的距离为其到可行域内点的最大值，22max (22)(12)25w =--+--=；点(2,2)到直线x+y-1=0

的距离为其到可行域内点的最小值，min 2w =

=。 例6 已知2040250x y x y x y -+??

+-??--?

，

，，≥≥≤，求221025z x y y =+-+的最小值．

解析：作出可行域，并求出顶点的坐标A （1，3）、B （3，1）、C （7，9）．而22(5)z x y =+-表示可行域内任一点（x ，y ）到定点M （0，5）的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足Ｎ在线段AC 上，故

z 的最小值是2

92

MN =．

注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离等．

四、点到直线的距离型

例7 已知实数x 、y 满足2221,42x y u x y x y +≥=++-求的最小值。

解析：目标函数222242(2)(1)5u x y x y x y =++-=++--，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。由实数x 、y 所满足的不

等式组作可行域如图所示

点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求得45

5

d =

=

，故21695555d -=-=- 例8 已知2040250x y x y x y -+??

+-??--?

，

，，≥≥≤，求221025z x y y =+-+的最小值．

解析：作出可行域，并求出顶点的坐标A （1，3）、B （3，1）、C （7，9）．而22(5)z x y =+-表示可行域内任一点（x ，y ）到定点M （0，5）的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足Ｎ在线段AC 上，故

z 的最小值是2

92

MN =．

五、变换问题研究目标函数

例9 （08年山东）已知??

?

??≥≤+≥a x y x x y 2，且y x z +=2的最大值是最小值的3

倍，a 等于（ ）

解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题， 准确画图找到可行域是关键.如图所示，A y x z 在+=2 点和B 点分别取得最小值和最大值. 由

(-2,1) 1

12

O

x

y

),(a a A x

y a

x 得??

?==，由???==+y x y x 2得 B (1，1). ∴a z z 3,3min max ==. 由题意，得.3

1=a 。

六、综合导数、函数知识类

例10 （06山东）．已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ，部分对应值如下表，)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如右图所示. 若两正数a ，b 满足3

31)2(++<+a b b a f ，则的取值范围是（ )3

7

,53( ）

分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质，将其与所给的函数性质联系起来。由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2,0]为单调递减函数，在区间（0，∞+）为单调递增函数。结合题中提供的函数的数据可得422<+<-b a ，另外注意到3

3

++a b 的几何意义，转化为线性规划问题可求解。

解析：由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2,0]为单调递减函数，在区间（0，∞+）为单调递增函数，又1)4(,1)0(,1)2(=-==-f f f ，故422<+<-b a ，而b a ,均为正数，可得可行域如图，

x

－2 0 4 )(x f

1

－1

1

(-

4 2

O x

y

3

3

++a b 的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围，故最大为点（0，4），此时为3

7

3034=++，最小为点（2，0），此时为

5

3

3230=++。

七、在日常应用中解决最值问题

例．(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为______元. 答案 2300

解析 设甲种设备需要生产x 天, 乙种设备需要生产y 天, 该公司所需租赁费为z 元则200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示: 产

品 设备 A 类产品

(件)(≥50) B 类产品(件)(≥140) 租赁费(元)

甲设备 5 10 200 乙设备 6

20

300 则满足的关系为565010201400,0x y x y x y +≥??+≥??≥≥?即:6

105

214

0,0

x y x y x y ?+≥???+≥??≥≥?,

作出不等式表示的平面区域,当200300z x y =+对应的直线过两直线

6

10

5

214

x y x y ?+=???+=?的交点(4,5)时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元.

附：线性规划常见题型及解法

一、求线性目标函数的取值范围

例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤??

≤??+≥?

，则z=x+2y

的取值范围是 （ ）

A 、[2,6]

B 、[2,5]

C 、[3,6]

D 、（3,5]

解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A

二、求可行域的面积

例2、不等式组260302x y x y y +-≥??

+-≤??≤?

表示的平面区域的面积为

（1）。

解：如图作出可行域，ABC △S 即为所求，由OMBC S 梯形减去OMAC S 梯形即

可。

三、求可行域中整点个数

例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（13个）

解：|x|＋|y|≤2等价于

2(0,0)

2(0,0)

2(0,0)

2(0,0) x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

+≤≥≥

?

?-≤≥

?

?

-+≤≥?

?--≤

?

作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13.

四、求线性目标函数中参数的取值范围

例4、已知x、y满足以下约束条件

5

50

3

x y

x y

x

+≥

?

?

-+≤

?

?≤

?

，使

z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，a的值为

（）

A、－3

B、3

C、－1

D、1

解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D

五、求非线性目标函数的最值

例5、已知x、y满足以下约束条件

220

240

330

x y

x y

x y

+-≥

?

?

-+≥

?

?--≤

?

，

则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）

A、13，1

B、13，2

C、13，4

5

D

、

解：如图，作出可行域,x 2+y 2

是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2

=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为

4

5

，选C 。

六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是（ ）

A 、（-3,6）

B 、（0,6）

C 、（0,3）

D 、（-3,3）

解：|2x －y ＋m|＜3等价于230

230

x y m x y m -++>??-+-

由右图可知33

30

m m +>??

-

七、比值问题

当目标函数形如y a

z x b

-=

-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

例 已知变量x ，y 满足约束条件???x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则 y

x

的取值范围是

（ ）.

（A ）[95，6] （B ）（－∞，9

5]∪[6，＋

∞）

（C）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D）[3，6]

解析：y

x

是可行域内的点M（x，y）与原点O

（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（5

2

，

9

2

）时，

y

x

取得

最小值9

5

；当直线OM过点（1，6）时，

y

x

取得最大值6. 答案A