圆的切点弦方程的九种求法
圆的弦长问题
圆的弦长问题
一、圆的弦长问题
圆的弦长问题在数学里就像一个个小谜题，超级有趣呢！
咱们先来说说弦长的概念。
弦长就是连接圆上任意两点的线段的长度啦。
想象一下，圆就像一个超级大的披萨，弦长就好比是从披萨边缘的一点到另一点切的一刀的长度。
那怎么求弦长呢？如果我们知道圆的半径r，圆心到弦的距离d，就可以用
一个超酷的公式来求弦长l哦，这个公式就是l = 2√(r² - d²)。
比如说，有个圆半径是5，圆心到弦的距离是3，那弦长就是2√(5² - 3²)=2√(25 - 9)=2√16 = 8啦。
还有一种情况呢，如果我们知道圆的方程和直线的方程（这里的直线和圆相交，相交的线段就是弦啦），我们可以联立方程来求解交点坐标，然后再根据两点间距离公式求出弦长。
不过呢，在做这些题目的时候，可一定要小心计算哦，不然一个小失误就可能得出错误的答案。
比如说在计算圆心到弦的距离的时候，可能会把坐标算错，那就糟糕啦。
反正就是说呢，圆的弦长问题虽然有点小复杂，但只要我们掌握了正确的方法，就像拥有了魔法钥匙，能轻松解开这些谜题啦。
三招求圆的切线方程
三招求圆的切线方程江西省永丰中学 吴全根求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k 或已知切线上一点两种情况，而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况，面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢？下面教你三招.一、公式法 可求过圆上一点的切线方程. 公式如下：① 过圆x 2+y 2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y= r 2.② 过圆（x-a)2+(y-b)2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为（x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2. ③ 过圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0上点P （x 0,y 0)的切线方程 x 0x+y 0y+D 20x x ++E 20y y ++F=0 . 点评：（1）公式②中当a=b=0时即为公式①.（2）上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的，当切线的斜率不存在时公式也适用.（3）当你忘记了这些公式，可利用公式推导方法求之.例1 求过点A （4，1）且与圆（x-2)2+(y+1)2=8 相切的切线方程.解一：（公式法） (4-2)2 +(1+1)2=8 ∴ 点A （4，1）在圆上，∴ 圆的切线方程为（4-2)(x-2)+(1+1) (y+1)=8,即x+y-5=0.解二：（公式推导法） 圆心C （2，-1）∴k AC =1 ∴ 过点A 的切线的斜率k= -1. ∴ 所求切线方程为y-1= -1(x- 4),即x+y-5=0.二、待定系数法 可求过圆外一点P(x 0,y 0)的圆的切线方程或求已知切线的斜率k 的切线方程. 此时可设圆的切线方程为y-y 0=k(x-x 0)或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径” 这一性质求k .例2 求过点M （2，4）向圆（x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程.解：设所求切线方程为y-4=k(x-2)即kx-y-2k+4=0 (倾斜角不为900）, d=114232=++-+k k k ,∴k=724,∴切线方程为24x-7y-20=0. 当倾斜角为900时，切线方程为x=2. ∴ 过M 点的切线方程为24x-7y-20=0或 x=2. 点评：因为过圆外一点P （x 0,y 0）引圆的切线有两条，故用此法求切线的斜率k 一般有两个值, 若k 只有一个值，说明还有一条切线，其斜率不存在，方程为x=x 0 ，应补回来.三、判别式法 其依据是圆的切线的定义.例3 已知圆C ：x 2+y 2+2x-4y+3=0 ，若圆C 的切线在坐标轴上的截距绝对值相等，求此切线方程.解：（1）当截距不为0时，设切线方程为y=-x+b 或y=x+c 分别代人圆C 的方程得2x 2-2(b-3)x+(b 2- 4b+3)=0，或2x 2+2 (c-1)x+(c 2- 4c+3)=0直线与圆相切，上述两方程均有等根，∴∆=0，由此可得：b=3 或 b= -1,c=5 或 c=1 ∴切线方程为x+y-3=0 或x+y+1=0 或x-y+5=0 或x-y+1=0.(2) 当截距为0时，类似可求此时切线的方程为y=(2±6)x.点评：（1）此题也可以用方法二求解；（2）截距相等时别忘了截距为0的情况.。
圆的切点弦公式推导
圆的切点弦公式推导好的，以下是为您生成的文章：咱们今天来好好聊聊圆的切点弦公式推导。
先从一个简单的例子说起哈。
有一次我去公园散步，看到一个圆形的花坛，特别漂亮。
我就在想，如果在这个花坛周围画一些线，会有什么样的规律呢？这就和咱们要讲的圆的切点弦公式有点关系啦。
咱们先来看圆的标准方程：$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其中$(a,b)$是圆心坐标，$r$是半径。
假设存在一个圆外一点$P(x_0,y_0)$，向这个圆引两条切线，切点分别为$A$、$B$。
那咱们来想想，这两个切点和点$P$之间有啥联系呢？咱先设切点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。
因为$A$、$B$是切点，所以圆心到切点的连线垂直于切线。
那切线$PA$的方程可以表示为：$(y - y_1) = k_1(x - x_1)$，其中$k_1$是切线$PA$的斜率。
因为圆心$(a,b)$与切点$A(x_1,y_1)$的连线垂直于切线$PA$，所以它们的斜率之积为$-1$。
圆心与切点$A$连线的斜率是$\frac{y_1 - b}{x_1 - a}$，所以切线$PA$的斜率$k_1 = -\frac{x_1 - a}{y_1 - b}$。
把点$P(x_0,y_0)$代入切线$PA$的方程，得到：$(y_0 - y_1) = -\frac{x_1 - a}{y_1 - b}(x_0 - x_1)$。
同理，对于切线$PB$，也能得到类似的式子。
接下来，咱们把这两个式子整理整理。
经过一番捣鼓，咱们就能得到圆的切点弦公式啦！其实这个推导过程就像是解谜一样，每一步都是一个线索，慢慢就能找到最终的答案。
回过头来再想想那个公园的花坛，虽然它只是个简单的圆，但通过对它的思考，咱们就能探索出这么有趣的数学知识。
数学的世界就是这样，看似复杂的公式背后，其实都有着清晰的逻辑和规律，只要咱们耐心去探索，就能发现其中的美妙。
希望大家通过这次对圆的切点弦公式推导的学习，能更加喜欢数学，感受到数学的魅力！。
圆的切点弦方程
圆的切点弦方程之邯郸勺丸创作【方法】1.设出直线，再求解；2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。
【问题L圆O一、当点M在圆O上时，直线L是圆的切线。
二、当点M在圆O外时，1.直线L不是圆O的切线，下面证明之：∵圆心O到LO外,得L与圆O相交.2.此时直线L与过点M的圆的切线又是什么关系呢?首先研究L的特征：易知：。
为L与OM的交点)从而，MA为圆的一条切线，故直线L为过点M的圆的两条切线的两个切点所在的直线。
事实上（另证），如图1，设过点M的圆O的两条切线为L1,L2,切点分别为A、B,则直线∵点M MA与MB的方程,由此可见A 、B由于两点确定一条直线∴直线AB所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。
【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。
特此外，当M 在圆上时，极线即为切线。
三、当点M 在圆O 内时，1.直线L 也不是圆O 的切线。
下面给出证明：∵圆心O 到LO 内,得故直线L 与圆O 相离.2.此时直线L 与圆的切线的关系又如何呢? 首先研究L 的特征：由上述探讨过程易知，直线，此外，L 一定过点P （P 为两切线的交点，）， 从而L 就在图2中过点P 且与AB 平行的位置处。
事实上（另证），∵直线LOM一方面，过点M与OM另一方面，将直线OM与L得到它们的交点P由（二）可知过点P的圆的切点弦所在直线的方程为L是由点M确定的。
另外，直线L是过点M的弦（除O，M的弦）的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹，证明如下：AB又因为点M在ABx，y。
过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式
过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式在几何学中，我们经常需要求解过一点作圆的两条切线的切点所确定的弦的方程公式。
让我们来探讨一下这个问题。
设有一个圆，以O表示圆心，r表示半径。
选取圆上的一点P，且过P分别作圆的两条切线，与圆交于A和B两点。
我们的目标是求解弦AB的方程公式。
我们需要找到切点A和切点B的坐标。
由于A和B都是切点，所以AO和BO都是圆的半径，即长度为r。
设圆心O的坐标为(Ox, Oy)，点P的坐标为(Px, Py)。
根据切线的定义，切线与半径的夹角是直角。
因此，我们可以利用斜率来求解切线的方程。
通过在线段OP上选择另一点Q，我们可以计算出斜率K1。
然后，根据切线的性质，我们可以得知切线的斜率K2等于-K1的倒数。
已知点A的坐标为(Ax, Ay)，它位于切线的直线上，有斜率K2。
我们可以利用点斜式得到切线的方程：y - Ay = K2(x - Ax)同样地，点B的坐标为(Bx, By)，我们可以得到切线的另一个方程：y - By = K2(x - Bx)现在，我们可以尝试求解AB弦的方程了。
弦AB的中点坐标为(Mx, My)，它等于A和B坐标的平均值。
所以我们有：Mx = (Ax + Bx) / 2My = (Ay + By) / 2已知弦的中点坐标，我们可以得到弦的方程：y - My = (By - Ay) / (Bx - Ax)(x - Mx)过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式为：y - My = (By - Ay) / (Bx - Ax)(x - Mx)希望以上内容能够满足任务名称描述的内容需求。
如有任何问题，请随时提问。
圆的切点弦及其求法
2 2
于点 P , 所以 P 点坐标满足直线 PA 与 PB 的 方程 , 于是有 : ax 1 + by 1 = R 2 , ax 2 + by 2 =
R , 上述两式说明 : A , B 两点坐标均满足方
2
又弦 A B 为两圆的公共弦 , ∴ 由圆系方 2 2 程 ( x + y + D 1 x + E1 y + F1 ) + λ( x 2 + y 2 + D 2 x + E2 y + F2 ) = 0 , 令 λ = - 1 即可得 切点弦 A B 的方程 : ax + by - R = 0 . 解法 2 以 P 为 圆心 , A P 为半径作圆 P ( 这里 PA = PB ) , 则 弦 AB 为两圆的公共 弦 , 又圆 P 的方程为 : ( x - a) 2 + ( y 图2 解法 2 图 b) 2 = | PA | 2 = | PO | 2 2 - | OA | , 即 ( x - a) 2 + ( y - b) 2 = a2 + b2 - R 2 , 亦即 x 2 + y 2 - 2 ax - 2 by + R 2 = 0 , 由圆 系方程 ( x 2 + y 2 + D 1 x + E1 y + F1 ) + λ( x 2 +
( 收稿日期 :2001 - 08 - 06)
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怎样求圆的切点弦方程
一道课本习题告诉你——怎样求圆的切点弦方程舒云水下题是人教A 版必修2第133面的B 组第5题：已知点)3,2(--P 和以Q 为圆心的圆9)2()4(22=-+-y x ﹒⑴画出以PQ 为直径，Q '为圆心的圆，再求出它的方程；⑵作出以Q 为圆心的圆和以Q '为圆心的圆的两个交点A ，B ﹒直线PA ，PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？⑶求直线AB 的方程﹒本题实质上告诉了我们求下面问题的一种简便方法：问题：过⊙Q 外一点P ，作⊙Q 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点﹒求过两切点A ，B 的直线方程﹒（本文将两切点的连线段称为切点弦，求切点弦方程即为求切点弦所在直线的方程）思路方法：1. 第一步，求出以线段PQ 为直径的圆的方程；2. 第二步，将两圆方程相减便可得到所求直线的方程﹒让学生解决上面第5问题时，不少学生都这样做：先求出两切线方程，再求出两切点坐标，最后求出直线方程﹒这样做，运算很复杂，不可取，上面课本上求出的方法很简便，我们应该掌握好，会用它解决相关问题﹒下面高考题是这类问题：（2013年山东高考题）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（A ）032=-+y x（B ）032=--y x （C ）034=--y x（D ）034=-+y x解法1：用上面方法﹒ 以点)1,3(和)0,1(为直径两端点的圆的方程为：45)21()2(22=-+-y x ﹒ 将两圆标准方程化为一般方程得：0222=-+x y x ，03422=+--+y x y x ﹒ 将两圆一般方程相减得直线AB 的方程为：032=-+y x ﹒选A ﹒ 解法2：易知点)1,1(为其中一切点，不妨设该点为点A ﹒过点)1,3(和圆心)0,1(的直线的斜率为21，所求直线AB 的斜率为-2，直线AB 的方程为：)1(21--=-x y ，即032=-+y x ﹒选A ﹒下面给出一个结论，用它做更简单﹒结论 过圆外一点),(00y x P ,作圆222)()(r b y a x =-+-的两条切线，则经过两切点的直线的方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒ 特别地，当时0==b a ，直线方程为200r y y x x =+﹒证：以点P 和圆心),(b a 为直径两端点的圆的方程为：()()[]202020204122y b x a y b y x a x -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-﹒ 展开得：0)()(002002=++-+++-by y y b y ax x x a x ①将222)()(r b y a x =-+-展开得：2222222r b by y a ax x =+-++- ②②-①得：2200200r b by by y y a ax ax x x =+--++--，200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒所以经过两切点的直线的方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒ 特别地，当时0==b a ，直线方程为200r y y x x =+﹒解法3：根据上面结论可直接得所求直线方程为：y x ⨯+--1)1)(13(=1，即即032=-+y x ﹒选A ﹒点评：上面结论不需记忆，作一个知识了解即可﹒解法2比解法1简单﹒解法2的关键是要根据点)1,3(的特殊位置，观察出其中一个切点坐标为)1,1(﹒若它的位置不特殊，用这种解法行不通，可以说是一种特殊方法﹒我们在平时学习解题时，一方面要重点扎实掌握通性通法，对一些问题作深入探究，得出一般性结论；另一方面，要具体问题具体分析，根据题目特点灵活运用不同的方法求解，方法越简单越好，可为考试赢得宝贵的时间！Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
关于圆的切点弦所在直线的方程问题
高中数学 网上答疑 王新敞
关于圆的切点弦所在直线的方程问题
问题：过点(2,3)M 的直线与圆221x y +=相切于A,B 两点，求直线AB 的方程 解法一：设A,B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则经过1122(,),(,)x y x y 的圆的切线分别为：111x x y y +=与 221xx yy +=，并且相交于点(2,3)M 所以，11231x y +=且22231x y +=
从而得直线AB 的方程：23x y +=
解法二：由题意O,A,M,B 四点共圆，且是以OM 为直径的圆C ， 由O(0,0),M(2,3)得这个圆C 的方程为：(2)(3)0x x y y -+-= 即 22230x y x y +--=
则直线AB 就是圆22230x y x y +--=与圆221x y +=的公共弦所在直线， 其方程为：
2222(1)(23)0x y x y x y +--+--=
即 231x y +-=
解法三：用已知公式(结论)：
点00(,)A x y ，由圆C 的方程220x y Dx Ey F ++++= 得， 直线方程：0000022
x x y y x x y y D E F ++++++= ① 当点00(,)A x y 是圆C 上的点时，①表示圆C 在点00(,)A x y 处的切线； 当点00(,)A x y 是圆C 外的点时，①表示从点00(,)A x y 向圆C 所引切线的两个切点所在的直线(切点弦所在直线)
根据以上结论，过点(2,3)M 的直线与圆22
1x y +=相切于A,B 两点，直线AB 的方程为：231x y +=
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圆的切点弦方程的解法探究
在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：
1、在标准方程02
2
=++++F Ey Dx y x 02
2
=++++F Ey Dx y x 下过
圆上一点),00y x P （的切线方程为：
200))(())r b y b y a x a x =--+--（（ ； 在一般方程02
2
=++++F Ey Dx y x （042
2>-+F E D ） 下过圆上
一点),00y x P （的切线方程为：
02
20
000=++++++F y y E x x D
yy xx 。
2、两相交圆01112
2=++++F y E x D y x （0412
12
1>-+F E D ）与
022222=++++F y E x D y x （0422
22
2>-+F E D ） 的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。
3、过圆02
2
=++++F Ey Dx y x （042
2>-+F E D ）外一点
),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。
4、过圆02
2
=++++F Ey Dx y x （042
2>-+F E D ）外一点
),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）；
0221
111=++++++F y y E x x D
yy xx （在圆的一般方程下的形式）。
二、题目 已知圆04422
2=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆
的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。
三、解法
解法一：用判别式法求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为k （当切线的斜率存在时），那么过点P （-4，-1）的切线
方程为：)]4([)1(--=--x k y
即 014=-+-k y kx 由 ⎩⎨⎧=---+=-+-0
4420
142
2y x y x k y kx 消去y 并整理得
0)12416()268()1(2222=+-+--++k k x k k x k ①
令 0)12416)(1(4)268(2
2
2
2
=+-+---=∆k k k k k ② 解②得 0=k 或8
15=
k
将0=k 或815=
k 分别代入①解得 1=x 、1728-=x 从而可得 A(1728-,17
58
)、B(1,-1)，
再根据两点式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为k （当切线的斜率存在时），那么过点P （-4，-1）的切线方程为： )]4([)1(--=--x k y 即 014=-+-k y kx
由圆心C(1,2)到切线014=-+-k y kx 的距离等于圆的半径3，得
3)
1(|
1421|2
2
=-+-+-•k k k ③
解③得 0=k 或8
15
=k
所以切线PA 、PB 的方程分别为：052815=+-y x 和1-=y
从而可得切点 A(1728-
,17
58)、B(1,-1)， 再根据两点式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法三：用夹角公式求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为k ，根据已知条件可得 |PC|=34)]1(2[)]4(1[2
2
=
--+-- ，3=r ，5
3
)4(1)1(2=----=
PC k
在PAC Rt ∆中，|PA|=5，5
3=
∠CPA tg 由夹角公式，得
5353153
=+-
k k ④ 解④得 0=k 或8
15
=k
所以切线PA 、PB 的方程分别为：052815=+-y x 和1-=y
从而可得切点 A(1728-,17
58
)、B(1,-1)，
再根据两点式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点 如图示1，根据已知条件可得 |PC|=34)]1(2[)]4(1[2
2
=
--+-- ，3=r ，5
3
)4(1)1(2=----=
PC k
在PAC Rt ∆中，|PA|=5，AH ⊥PC ，从而可得 9
25
=
=HC PH λ 由定比分点公式，得 H(3411-,3441) 又因为 3
51-=-=PC AB
k k
再根据点斜式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之一
如图示2，因为|PA|=|PB|，所以直线AB 就是经过以P 为圆心|PA|为半径的圆C`与圆04422
2
=---+y x y x 的交点的直线，由切线长公式得
|PA|=54)1(4)4(2)1()422=--•--•--+-（
所以圆C`的方程为 08282
2
=-+++y x y x
根据两圆的公共弦所在的直线方程，得 0235=-+y x
即 直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二
如图示3，因为PA ⊥CA ，PB ⊥CB ，所以P 、A 、C 、B 四点共圆，根据圆的
直径式方程，以P （-4，-1）、C （1，2）为直径端点的圆
的方程为
0)2()]1([)1()]4([=-•--+-•--y y x x 即 0632
2=--++y x y x
根据两圆的公共弦所在的直线方程，得 0235=-+y x
即 直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义 设切点A 、B 的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，根据过圆上一点的切线方程，得切线PA 、PB 的方程分别为
0424221111=-+-+•-+y y x x yy xx 和
042
4222
222=-+-+•-+y y x x yy xx
因为P （-4，-1）是以上两条切线的交点，将点P 的坐标代入并整理，得
⎩⎨
⎧=-+=-+0
2350
2352211y x y x ⑤ 由式⑤知，直线 0235=-+y x 经过两点A ),(11y x 、B ),(22y x ， 所以，直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法八：直接运用圆的切点弦方程
因为P （-4，-1）是圆04422
2
=---+y x y x 外一点，根据切点弦所在直线的方程02
21111=++++++F y y E x x D yy xx 得
042
1424214=--+•--+•
-•-+•-）
（）（）（y x y x
整理得，直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法九：运用参数方程的有关知识 如图4，将圆的普通方程04422
2=---+y x y x 化为参数方程：
⎩⎨
⎧+=+=θ
θ
sin 32cos 31y x （其中θ为参数） 设切点A 的坐标为（θcos 31+，θsin 32+），由PA ⊥CA 得 11
)cos 31(2
)sin 32()4()cos 31()1()sin 32(-=-+-+•--+--+θθθθ化简，整理得
03sin 3cos 5=++θθ ⑥
又因为5
3
)4(1)1(2=----=
PC k 3
51-=-=PC AB k k 可设直线AB 的方程为035=++c y x ，将点A （θcos 31+，θsin 32+）代入并
整理，得
03
11sin 3cos 5=+++c
θθ
⑦
由式⑥和⑦知，33
11=+c
，从而得 2-=c 所以，直线AB 的方程为：0235=-+y x
用“研究”的态度去对待我们遇到的每一个数学问题，去研究它、解剖它最终对问题达到较为透彻的理解，揭示问题的“通性”，寻找解决问题的“通法”和“优美解”，并用我们所得的通性通法去指导我们的解题实践，这对我们提高解题能力是大有裨益的.。