南大复变函数与积分变换课件(PPT版)4.4 洛朗级数
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复变函数与积分变换PPT课件
复变函数与积分变换是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学和工程技术领域。复变函数是自变量为复数的函数，其基础包括复数的概念、表示及运算。复数形如z=x+iy，其中x和y分别为实部和虚部，i为虚数单位。复数的模定义为|z|=√(x²+y²)，幅角是复数在复平面上与实轴正方向的夹角。复数有代数、三角和指数三种表示方法，且可以进行加、减、乘、除四则运算。复数的加减运算满足平行四边形法则或三角形法则，乘法运算则是模相乘、幅角相加，除法运算为模相除、幅角相减。复变函数的极限与连续性是进一步研究解析函数理论和方法的基础。此外，积分变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换等，是解决微分方程、信号处理等问题的重要工具，其ห้องสมุดไป่ตู้键公式和方法也在文档中进行了详细汇总。
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数
称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解： 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数与积分变换精品PPT课件
间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展。
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复复变变函函数数中的的许理多论概和念方，法理在论数和学方，法自是然实科变学函和数工在程复技数术领中域的 推有广着和广发泛展的。应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 p arctaarctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领
域的推广和发展 。
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
课程性质： 必修
选课对象： 电子类各专业。
内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方
法。为学生学习有关专业课和 扩大数学知识面提供必要的数 学基础。
| z || x | | y |,
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展。
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复复变变函函数数中的的许理多论概和念方，法理在论数和学方，法自是然实科变学函和数工在程复技数术领中域的 推有广着和广发泛展的。应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 p arctaarctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领
域的推广和发展 。
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
课程性质： 必修
选课对象： 电子类各专业。
内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方
法。为学生学习有关专业课和 扩大数学知识面提供必要的数 学基础。
| z || x | | y |,
复变函数与积分变换第四章ppt课件
定理4.4
若
n
收
敛
收
n
敛
，
且
n
n
.
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn an2 bn2
由比较判定法
an an2 bn2 ,
an和
bn均绝对收敛，
n1
n1
bn an2 bn2
n
n
k k ,
k 1
k 1
由定理4.2得
收敛。
n
n1
n n
n1
n1
?
若
收
n
敛
n1
n1
lim
n
n
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
证明
“
”已知
lim
n
n
即，
0, N 0,当 n N , 恒有 n
又 n (an a) i(bn b) (an a)2 (bn b)2
an a n bn b n
故
lim
n
a
n
a
,
lim
n
bn
3)
R 1 e
5. 幂级数的运算和性质
代数运算
设
an z n
f (z)
R
r1，
bn z n
g(z)
R
r2
n0
n0
anzn bnzn (an bn )zn f (z) g(z) z R
n0
n0
n0
---幂级数的加、减运算
( anzn ) ( bnzn ) (a0bn a1bn1 a2bn2 anb0 )zn
复变函数(第四版)课件章节--4.4
cn =
1 2π i
∫
Γ2
c−n
1 = 2π i 1 = 2π i
f (ξ ) ∫Γ (ξ − a ) n +1 d ξ ( n = 0 ,1, 2 ,⋅ ⋅ ⋅) f (ξ ) ∫Γ1 (ξ − a ) − n +1 d ξ
f (ξ ) dξ n +1 (ξ − a )
1 f (ξ ) = ∫Γ (ξ − a) −n +1 dξ (n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅), 2πi
1 f (ζ ) cn = ∫ (ζ − z0 )n+1 dζ (n = 0, ± 1, ± 2,L) 2πi C
然后写出
f (z) =
n= −∞
∑ cn ( z − z0 ) Nhomakorabea∞
n
.
缺点: 计算往往很麻烦. 缺点 计算往往很麻烦
2. 间接展开法 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可 用代数运算、代换、 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . 优点 : 简捷 , 快速 .
| z −a |
< 1,
于是上从 上从可以展成一致收敛的级数 上从
f (ξ ) f (ξ ) ∞ ξ − z n −1 = ∑( z − a) . z − ξ z − a n =1
沿Γ1逐项求积分,两端同乘以
1 2πi
∞ c−n 1 f (ξ ) ∫Γ1 z −ξ dξ = ∑(z − a)n , (4.4.7) 2πi n=1 1 f (ξ ) c−n = ∫Γ (ξ − a ) − n+1 dξ ( n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅) (4.4.8) 2πi
Γ2 :| ξ − a |= ρ2 ,
复变函数与积分变换课堂PPT第二章
由加法定理, 可以推出exp z的周期性。 它的周期是 ,即
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
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1
2
③ 2 |z| .
(2) 将函数进行部分分式分解
1 1 1 . f (z) 1 z 2 z ( z 1) ( z 2)
14
§4.4 洛朗级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
解 (3) 将函数在每个解析环内分别展开 ① 当 0 | z | 1 时，
解 (3) 将函数在每个解析环内分别展开 ② 当 1 | z | 2 时，
1 1 f (z) 1 z 2 z
1 2
1 z
1 1 1 2 z 1 1 z 2
1
z n 1 z n 1 1 1 n n n1 n1 . 2 n 0 2 z n 0 z n 0 z n 0 2
z
| z | 1.
zn z2 z3 e 1 z , | z | . 2! 3! n 0 n!
12
§4.4 洛朗级数 第 三、将函数展开为洛朗级数的方法 四 章 注意 无论是直接展开法还是间接展开法，在求展开式之前， 都需要根据函数的奇点位置，将复平面(或者题目指定 解 的展开区域 )分为若干个解析环。 析 函 数 比如 设函数的奇点为 z1 , z2 , z3 , 的 展开点为 z0 , 则复平面 级 z1 数 被分为四个解析环： r2 r1 表 z2 z0数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
P97 例4.13
解 (1) 将复平面分为若干个解析环 函数 f (z ) 有两个奇点：
z 1, z 2 ,
以展开点 z 0 为中心， 将复平面分为三个解析环： ① 0 | z | 1; ② 1 | z | 2;
§4.4 洛朗级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
§4.4 洛朗级数
一、含有负幂次项的“幂级数” 二、洛朗(Laurent)定理 三、将函数展开为洛朗级数的方法
1
§4.4 洛朗级数 第 一、含有负幂次项的“幂级数” 四 章 1. 问题分析 1 引例 根据前面的讨论已知，函数 在 z 0 点的幂级数 1 z 解 析 1 1 z z 2 , ( | z | 1) . 展开式为 函 1 z 数 的 事实上，该函数在整个复平面上仅有 z 1 一个奇点， 级 数 但正是这样一个奇点，使得函数只能在 | z | 1 内展开 表 示 为 z 的幂级数，而在 | z | 1 如此广大的解析区域内不能 展开为 z 的幂级数。 一粒老鼠屎，坏了一锅汤！ 有没有其它办法呢？ 2
17
§4.4 洛朗级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
P98 例4.15
解 (1) 将复平面分为若干个解析环
1 , 函数 f ( z ) (z i)(z i)
i i
有两个奇点： z i , 以展开点 z i 为中心， 将复平面分为两个解析环： ① 0 | z i | 2; ② 2 | z i | . 注意：不需要将函数进行部分分式分解。
§4.4 洛朗级数 第 一、含有负幂次项的“幂级数” 四 章 1. 问题分析 1 1 , 从而可得 设想 由 | z | 1 ，有 |z| 解 析 1 1 1 1 1 1 函 2 3 . 1 数 1 z z z z z 1 的 z 级 数 这样一来，在整个复平面上就有 表 1 示 1 z z 2 , ( | z | 1) ; 1 z
18
§4.4 洛朗级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
解 (2) 将函数在每个解析环内分别展开 ① 当 0 | z i | 2 时，
1 1 f (z) z i ( z i ) 2i
1 1 1 z i 2i z i 1 2i
i i
因此，下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开 为上述形式的级数。 7
§4.4 洛朗级数 第 二、洛朗(Laurent)定理 四 章 定理 设函数 f (z ) 在圆环域 P94 D : R1 | z z0 | R2 内 定理 解 C 4.7 R1 解析, 则 f (z ) 一定能 析 z0 函 在此圆环域中展开为 数 的 f ( z ) a n ( z z0 ) n , D 级 n 数 表 1 f ( ) 其中，an 示 C ( z0 )n1 d , (n 0 , 1 , 2 , ) , 2πi C 为在圆环域内绕 z0 的任何一条简单闭曲线。 证明 (略)
R1 z0 D
C
1 an 2π i
9
§4.4 洛朗级数 第 二、洛朗(Laurent)定理 四 章 注 (2) 洛朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为洛朗级数 解 析 函 数 的 级 数 表 示 的解析部分和主要部分。 (3) 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项
的级数是唯一的。
1 1 f (z) 1 z 2 z
1 2
1 1 1 z 2
1 z 1 2
1 1 z n n z n (1 n1 ) z n . 2 n 0 2 2 n 0 n 0
15
§4.4 洛朗级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
a n 1 f (z) an a n 1 , n 1 2 z z0 ( z z0 ) ( z z0 )
C
f (z) d z 0 2π i a n 0 , n 1 ( z z0 ) f (z) c ( z z0 )n1 dz .
则其收敛域为：R | z z0 | . 上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域。 6
§4.4 洛朗级数 第 一、含有负幂次项的“幂级数” 四 n 章 2. 级数 an ( z z0 ) 的收敛特性
n 解 n 结论 (1) 如果级数 an ( z z0 ) 收敛， 析 n 函 R1 则其收敛域“一定”为环域： | z z0 | R2 . 数 的 级 an ( z z0 )n 在收敛域内其和函数是解析的, (2) 级数 n 数 表 而且具有与幂级数同样的运算性质和分析性质。 示
20
§4.4 洛朗级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
解 (1) 将复平面分为若干个解析环 函数 f (z ) 有两个奇点： z 1 , z 2 , 以展开点 z 1 为中心， 将复平面分为两个解析环： ① 0 | z 1| 1; ② 1 | z 1| . 注意：不需要将函数进行部分分式分解。
1 (4) 系数 an 2π i
C
f ( ) 1 ( n) d ? f ( z0 ) . n 1 n! ( z0 )
(5) 若函数 f (z ) 在圆环 0 | z z0 | R 内解析，则 f (z ) 在 在此圆环内的洛朗展开式就是泰勒展开式。 10
§4.4 洛朗级数 第 三、将函数展开为洛朗级数的方法 四 章 1. 直接展开法 根据洛朗定理，在指定的解析环上 解 析 直接计算展开系数： 函 1 f ( ) 数 an C ( z0 )n1 d . 的 2π i 级 数 有点繁！有点烦！ 表 示
1 1 f (z) z i ( z i ) 2i
1 1 zi zi 1 2i 1 zi
i i
( 2 i ) n 1 ( 2 i )n . ( 1) n n 2 2 n ( z i ) n 0 (z i) n 0 ( z i )
1 1 1 1 2 3 , ( | z | 1) . 1 z z z z
3
§4.4 洛朗级数 第 一、含有负幂次项的“幂级数” 四 章 1. 问题分析 启示 如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话， 解 析 即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个 函 数 复平面上展开(除了奇点所在的圆周上)。 的 级 下面将讨论下列形式的级数: 数 表 an ( z z0 )n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 )1 示 n a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2 . 在引入了负幂次项以后，“幂级数”的收敛特性如何呢？ 4
16
§4.4 洛朗级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
解 (3) 将函数在每个解析环内分别展开 ③ 当 2 | z | 时，
1 1 f (z) 1 z 2 z
1 2
1 z
1 1 1 2 z 1 1 z z
1
2n 1 1 2n 1 1 n n n 1 . z n 0 z z n 0 z n 0 z
1 1 ( z i )n ( 1)n ( z i ) n 1 . ( 1)n n 1 z i 2i n 0 ( 2 i )n n 0 ( 2i )
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§4.4 洛朗级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
解 (2) 将函数在每个解析环内分别展开 ② 当 2 | z i | 时，
§4.4 洛朗级数 第 一、含有负幂次项的“幂级数” 四 n 章 2. 级数 an ( z z0 ) 的收敛特性
n
解 分析 将其分为两部分：正幂次项部分与负幂次项部分。 析 函 an ( z z0 )n a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2 ; (A) 数 n 0 的 级 an ( z z0 )n a1 ( z z0 )1 a 2 ( z z0 ) 2 . (B) 数 n 1 表 示 根据上一节的讨论可知： (1) 对于 (A) 式，其收敛域的形式为 | z z0 | R2 ; (2) 对于 (B) 式，其收敛域的形式为 | z z0 | R1 ; 5