机械原理第5章 例题精选及答题技巧
孙桓《机械原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(机械的效率和自锁)【圣才出品】
第5章机械的效率和自锁5.1 复习笔记一、机械的效率1．功和效率（1）机械效率①驱动功机械上的驱动功（输入功）为W d，有效功（输出功）为W r，损失功为W f。
则有W d＝W r＋W f②机械效率a．定义机械的输出功与输入功之比称为机械效率，反映了输入功在机械中的有效利用程度，以η表示。
b．计算方法用功计算时η＝W r/W d＝1－W f/W d；用功率计算时η＝P r/P d＝1－P f/P d；式中，P d——输入功率；P r——输出功率；P f——损失功率。
（2）损失率①定义机械的损失功与输入功之比称为损失率，以ξ表示。
②计算方法由定义有ξ＝W f/W d＝P f/P d。
注：η＋ξ＝1，由于摩擦损失不可避免，故必有ξ＞0和η＜1。
（3）效率的简便计算方法为便于效率的计算，可应用下式进行计算η＝理想驱动力/实际驱动力＝理想驱动力矩/实际驱动力矩①斜面机构正反行程的机械效率分别为η＝tanα/tan（α＋φ）η′＝tan（α－φ）/tanα式中，α——斜面夹角；φ——总反力与法向反力的夹角。
②螺旋机构拧紧和放松螺母时的效率计算式分别为η＝tanα/tan（α＋φv）η′＝tan（α－φv）/tanα式中，α——中径升角；φv——螺旋副的摩擦角。
2．机器（或机组）的效率已知各机构的效率可计算确定整个机构的效率。
常用机构的效率见教材表5-1。
（1）串联①计算公式由k个机器串联组成的机组，设各机器的效率分别为η1、η2、…、ηk，机组的输入功率为P d，输出功率为P r。
则整个串联机组的机械效率为η＝P r/P d＝（P1/P d）（P2/P1）…（P k/P k－1）＝η1η2…ηk②特点a．前一机器的输出功率即为后一机器的输入功率；b．只要串联机组中任一机器的效率很低，就会使整个机组的效率极低；c．串联机器的数目越多，机械效率也越低。
③提高串联机组效率的措施a．减少串联机器的数目；b．优先提高效率最低机器的效率。
西北工业大学机械原理课后答案第5章
第五章 机械的效率和自锁题5-5解: （1）根据己知条件，摩擦圆半径 m r f v 002.001.02.0=⨯==ρ ︒==53.8arctan f φ 计算可得图5-5所示位置︒=67.45α ︒=33.14β （2）考虑摩擦时，运动副中的反力如图5-5所示。
（3）构件1的平衡条件为：()ρα2sin 211+=AB R l F M()[]ρα2sin 2321+==AB R R l M构件3的平衡条件为：034323=++R R 按上式作力多边形如图5-5所示，有()()φβφ--︒=+︒90sin 90sin 323F F R（4）()()()φραφβφφβcos 2sin cos cos 90sin 1233++=--︒=AB R l M F F ()αβs i n c o s 130AB l M F = （5）机械效率：()()91.09889.09688.007553.09214.007153.0cos cos 2sin cos sin 303=⨯⨯⨯=++==φβραφβαηAB AB l l F FF R 12F R 41图5-5F F R 21F R43题5-2解: （1）根据己知条件，摩擦圆半径 22vf d =ρ 11a r c t a n f =φ 22a r c t a n f =φ 作出各运动副中的总反力的方位如图5-2所示。
（2）以推杆为研究对象的平衡方程式如下：∑=0xF 0cos cos sin 232132112=''-'+φφφR RR F F F ∑=0yF0sin sin cos 232132112=''-'--φφφR RR F F G F ∑=0CM()0c o s c o s s i n c o s 2s i n 1122232232112=⋅⋅-⋅''+⋅''+++θφφφφe F d F l F d Gl b F R R R R（3）以凸轮为研究对象的平衡方程式如下：h F M R ⋅=12 ()11cos tan sin cos φφθθρe r e h +++=（4）联立以上方程解得()[]21tan cos 21tan sin cos φθφθθρle e r e G M -+++=θc o s 0Ge M = ()()120tan sin cos tan cos 21cos φθθρφθθηe r e c l e e M M +++-==讨论：由于效率计算公式可知，φ1，φ2减小，L 增大，则效率增大，由于θ是变化的，瞬时效率也是变化的。
机械原理典型例题凸轮
hk
αk
α max k
90°
θ
V
(P)
h
F αF=0
(1)凸轮偏心距。利用速度瞬心 ，几何 中心O即为速度瞬心p，可得ν=eω，求 得e=25mm。
（2）凸轮转过90°时，从动件在K点 接触，其压力角为αk。
e/sinαk =R/sinθ；
当θ=90°时，αk达到最大值。
αk=arcsin(e/R)=30°
接触时的压力角αC；比较αB，αC大小，说明题意中的偏置是否合理。 （3）如果偏距e=-5mm，此时的偏置是否合理
αB αC
αD
B
C
D
hB
e
R
r0 O
A
解：
αC> αB。该偏置有利 减小压力角，改善受力，
故偏置合理。
α D> α C> αB，故偏置 不合理。
例4 凸轮为偏心轮如图，已知参数R=30mm，loA=10mm，e=15mm，rT=5mm， E，F为凸轮与滚子的两个接触点。求 （1）画出凸轮轮廓线（理论轮廓线），求基园r0；（2）E点接触时从动件的压力角 αE； (3) 从E到F接触凸轮所转过的角度φ； （4）由E点接触到F点接触从动件的位 移S；(5）找出最大αmax的位置。
αE
hE E
e
ω
Oθ
F
φ
r0
A
αmax
S=hF-hE Sin α =(e-loAcos θ)/(R+rT)
θ =180时,α为 αmax
R
hF
例5 ：图示为一直动推杆盘形凸轮机构。若一直凸轮基
推程
圆半径r0，推杆的运动规律s=S(δ)，为使设计出的凸轮
机构受力状态良好，试结合凸轮机构压力角的计算公式
机械原理第五章答案
5.1解：(1)应满足杆长条件，且AD 必不为最短杆AD 为最长杆：c b d a +≤+，360280120+≤+d ，520360≤≤dAD 不为最长杆：d b c a +≤+，d +≤+280360120，200360≥d 所以，d 的取值范围为200mm ≤d ≤520mm(2)如果满足杆长条件，无论AD 如何取值均有曲柄存在，故本解中必不满足杆长条件 ①AD 为最长杆：（安装条件）c b a d ++≤， 760 dc bd a ++ ，360280120++ d ，520 d因此，760520 d <②AD 不是最长杆也不是最短杆：120=>a dd b c a ++ ，d ++280360120 ， 200<d因此，200120<<d5.6解：（1）180180341.46618018034k θθ++===--（2）[]min 33γγ=<死点位置如图示。
5.15 解 1 1.251180180201 1.251k k θ--===++ （1）AC2=269.23mm ，AC1=127.95mm(2)取比例尺mm m L /002.0=μ根据已知条件可作出摇杆DC 的一个极限位置DC1，要进行图解还需找出摇杆的另一极限位置。
(3)以D 点为圆心，DC1为半径作圆弧S 。
连接AC1，作∠C1AC2=360，AC2线与圆弧S 可交于两点C2‘，则DC2(或DC2‘)皆为摇杆的另一极限位置。
(4)取摇杆的极限位置为DC1、DC2时，由图可得AC1=24，AC2=58，则1712=-=AC AC AB 412=-=AB AC BC5.8 解：分析：因为是转动导杆机构，ADP 又是对心的曲柄滑块机构，所以曲柄AD 的两个极位必在AP 线上，那么对于转动导杆机构而言，转动曲柄BC 的极位C1和C2也比在AP 线上。
（1）又因 3018011=+-=k k ϑ，两个极位的实际夹角应该是 150。
孙桓《机械原理》【教材精讲+考研真题解析】(第五章机械的效率与自锁)【圣才出品】
第5章机械的效率与自锁[视频讲解]5.1本章要点详解本章要点■机械效率的定义及其计算方法■提高机械效率的措施■机械的自锁现象及其应用■机械的自锁条件及其确定重难点导学一、机械的效率1．机械效率的概念及意义（1）概念①机械效率机械的输出功与输入功之比称为机械效率，它反映了输入功在机械中的有效利用程度，以 表示。
②损失率机械的损失功（W f）与输入功（W d）的比值称为机械损失系数或损失率，以ξ表示。
（2）意义①机械效率反映了输入功在机械中的有效利用的程度。
②机械效率是机械中的一个主要性能指标。
③因摩擦损失是不可避免的，故必有ξ＞0和η＜1。
2．机械效率的确定（1）机械效率的计算确定①以功表示的计算公式式中W r表示有效功、W f表示损失功、W d表示总功。
②以功率表示的计算公式式中P r表示有效功率、P f表示损失功率、P d表示总功率。
③以力或力矩表示的计算公式η＝F0／F＝M0／M式中M0和M分别表示为了克服同样生产阻力所需的理想驱动力矩和实际驱动力矩，所以其计算公式也可表示为（2）机械效率的实验测定机械效率的确定除了用计算法外，更常用实验法来测定，许多机械尤其是动力机械在制成后，往往都需作效率实验。
3．机组的机械效率计算已知机构的效率可计算确定整个机构的效率。
常用机构的效率见如表5-1-1所示。
表5-1-1简单传动机构和运动副的效率（1）机组的定义由若干个机器组成的机械系统称为机组。
当已知机组各台机器的机械效率时，则该机械的总效率可由计算求得。
（2）机组的分类①串联机组如图5-1-1所示，由k个机器串联组成的机组，设各机器的效率分别为1η、2η、…、η，则串联机组的效率为k图5-1-1串联机组由此可见，只要串联机组中任一机器的效率很低，就会使整个机组的效率极低；且串联机器的数目越多，机器的效率也越低。
因此，提高串联机组机械效率的方法有：a．减少串联机构的数目；η。
b．提高机组中最小的机械效率min②并联机组如图5-1-2所示，由k个机构并联组成的机组，设各机构的效率分别为1η、2η、……kη，则并联机组的效率为图5-1-2并联机组由此可见，并联机组的特点有：a．机组的输入功率为各机器的输入功率之和，而其输出功率为各机器的输出功率之和。
机械原理总复习题及解答第五章
第5章 齿轮机构及其设计5.1填空题5.1.1．按标准中心距安装的渐开线直齿圆柱标准齿轮，节圆与 重合，啮合角在数值上等于 上的压力角。
5.1.2．相啮合的一对直齿圆柱齿轮的渐开线齿廓，其接触点的轨迹是一条线。
5.1.3．渐开线上任意点的法线必定与基圆5.1.4．渐开线齿轮的可分性是指渐开线齿轮中心距安装略有误差时， 。
5.1.5．共轭齿廓是指一对 的齿廓。
5.1.6．用范成法加工渐开线直齿圆柱齿轮，发生根切的原因是 。
5.1.7．一对渐开线直齿圆柱标准齿轮传动，当齿轮的模数m 增大一倍时，其重合度 ，各齿轮的齿顶圆上的压力角a α ，各齿轮的分度圆齿厚s 。
5.1.8．在模数、齿数、压力角相同的情况下，正变位齿轮与标准齿轮相比较，下列参数的变化是：齿厚 ；基圆半径 ；齿根高 。
5.1.9．一个负变位渐开线直齿圆柱齿轮同除变位系数外的其它基本参数均相同的标准齿轮相比较，其 圆及 圆变小了，而 圆及 圆的大小则没有变。
5.1.10．斜齿轮在 上具有标准数和标准压力角。
5.1.11．一对斜齿圆柱齿轮传动的重合度由 两部分组成，斜齿轮的当量齿轮是指 的直齿轮。
5. 2判断题5.2.1．一对外啮合的直齿圆柱标准齿轮，小轮的齿根厚度比大轮的齿根厚度大。
( )5.2.2．一对渐开线直齿圆柱齿轮的正确啮合条件是2b 1b p p =。
( )5.2.3．一对能正确啮合传动的渐开线直齿圆柱齿轮，其啮合角一定为20°。
( )5.2.4．一对直齿圆柱齿轮啮合传动，模数越大，重合度也越大。
( )5.2.5．一对相互啮合的直齿圆柱齿轮的安装中心距加大时,其分度圆压力角也随之加大。
( )5.2.6．标准直齿圆柱齿轮传动的实际中心距恒等于标准中心距。
( )5.2.7．渐开线直齿圆柱齿轮同一基圆的两同向渐开线为等距线。
( )5.2.8．一个渐开线圆柱外齿轮，当基圆大于齿根圆时，基圆以内部分的齿廓曲线，都不是渐开线。
机械原理习题答案第五六章
例5-1 在图5-3所示的铰链四杆机构中，已知该机构的结构参数以及构件1的转速为1ω，机构运动简图的比例尺为l μ。
利用速度瞬心法，求在图示位置时，构件2和构件3的转速2ω和3ω的大小和方向。
解：首先找出相关的速度瞬心：速度瞬心P 10、P 12、P 23、P 03可根据相应的构件构成转动副直接确定出来；而P 02和P 13需应用三心定理来确定：速度瞬心P 02应在三个构件0、1、2的两个已知速度瞬心P 10和P 12的连线上，同时又应在三个构件0、3、2的两个已知速度瞬心P 03、P 23的连线上，则这两条连线的交点即为P 02。
速度瞬心P 13的确定方法类似，它应是P 12 P 23连线和P 10P 03连线的交点。
由速度瞬心的概念，在速度瞬心点两构件的绝对速度相同，便可求解未知转速。
在速度瞬心点P 12有l l P V μωμω021*********P P P P ⋅=⋅= 式中1210P P 和0212P P 可直接从所作的图中量取。
由上式可解出1021212102P P P P ωω=由绝对速度→12P v 方向，得出ω2方向为顺时针方向。
同理， 在速度瞬心点P 13有l l P V μωμω130331310113P P P P ⋅=⋅= 由绝对速度→13P v 的方向，可知其为逆时针方向。
例5-2 在图5-4所示的凸轮机构，已知该机构的结构尺寸和凸轮1的角速度1ω。
利用瞬心法，求机构在图示位置时从动件2的线速度2v。
机构运动简图的比例尺为l μ。
解：构件1与机架0的速度瞬心P 01以及从动件与机架的速度瞬心P 02可根据相应的构件分别构成转动副和移动副而直接确定出来。
凸轮1和从动件之间的瞬心P 12的确定方法是：一方面，P 12应在构件1、2高副接触点K 的公法线n-n 上，另一方面，利用三心定理，它又应在瞬心P 01图5-4图5-3和P 02的连线上，即又应在过点P 01而垂直于从动件2与机架移动副导路的直线上。
机械原理课后习题答案
《机械原理》课后习题答案第2章（P27）2-2 计算下列机构的自由度，如遇有复合铰链、局部自由度、虚约束等加以说明。
（a）n=3，p l=3 F=3*3-2*3=3（b）n=3，p l=3，p h=2 F=3*3-2*3-2=1 （B处有局部自由度）（c）n=7，p l=10 F=3*7-2*10=1（d）n=4，p l=4，p h=2 F=3*4-2*4-2=2 （A处有复合铰链）（e）n=3，p l=4 F=3*3-2*4=1 （A或D处有虚约束）（f）n=3，p l=4 F=3*3-2*4=1 （构件4和转动副E、F引入虚约束）（g）n=3，p l=5 F=(3-1)*3-(2-1)*5=1 （有公共约束）（h）n=9，p l=12，p h=2 F=3*9-2*12-2=1 （M处有复合铰链，C处有局部自由度）2-3 计算下列机构的自由度，拆杆组并确定机构的级别。
（a）n=5，p l=7 F=3*5-2*7=1由于组成该机构的基本杆组的最高级别为Ⅱ级杆组，故此机构为Ⅱ级机构。
（b）n=5，p l=7 F=3*5-2*7=1此机构为Ⅱ级机构。
（c）n=5，p l=7 F=3*5-2*7=1拆分时只须将主动件拆下，其它构件组成一个Ⅲ级杆组，故此机构为Ⅲ级机构。
2-4 验算下列运动链的运动是否确定，并提出具有确定运动的修改方案。
（a）n=3，p l=4，p h=1 F=3*3-2*4-1=0 该运动链不能运动。
修改方案如下图所示：（b）n=4，p l=6 F=3*4-2*6=0 该运动链不能运动。
修改方案如下图所示：或第3章（P42）3-2 下列机构中，已知机构尺寸，求在图示位置时的所有瞬心。
（a）（b）（c）(a) v3=v P13=ω1P14P13μl3-6 在图示齿轮连杆机构中，三个圆互作纯滚，试利用相对瞬心P13来讨论轮1与轮3的传动比i13。
第5章（P80）5-2 一铰接四杆机构（2）机构的两极限位置如下图：（3）传动角最大和最小位置如下图：5-3题略解：若使其成为曲柄摇杆机构，则最短杆必为连架杆，即a 为最短杆。
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则 ，
3.用范成法加工斜齿轮不发生根切的最小齿数为
而 ，由式 求得
因
故用范成法滚刀加工此斜齿轮时不会发生根切。
4.这两个齿轮的当量齿数
例5-19设计一对外啮合圆柱齿轮机构，用于传递中心距为138mm的两平行轴之间的运动。要求其传动比 ，传动比误差不超过 。已知： ， ， ， ，两轮材质相同。若要求两轮的齿根磨损情况大致相同，重合度 ，顶圆齿厚 ，试设计这对齿轮传动。
小齿轮齿顶厚为
可见上面的设计方案是可用的，但必须指出的是：上面的方案不是唯一的设计方案，更不是最佳方案。
例5-12设一外啮合直齿圆柱齿轮传动， ， ， ， ， ，试设计这对齿轮。
解题要点：
故本题只能选择变位齿轮正传动。对于角度变位齿轮传动，其齿数的条件不受限制。
解：1.选择传动类型
标准中心距
安装中心距
例5-13在一对外啮合的渐开线直齿圆柱齿轮传动中，已知： ， ， ， , 。要求小齿轮刚好无根切，试问在无侧隙啮合条件下：
1．实际中心距 时，应采用何种类型的齿轮传动，变位系数 各为多少？
2．实际中心距 时，应采用何种类型的齿轮传动，变位系数 各为多少？
解题要点：
1.当实际中心距 时，由齿数条件确定传动类型和变位系数。
解题要点：
本题设计步骤可分为三步：1.选择传动类型和变位系数；2.齿轮几何尺寸计算；3.验算（包括齿顶不变尖、不根切、重迭系数应大于 等）。
解：1.选择传动类型和变位系数
标准中心距
；
选择传动类型为：高度变位齿轮传动
所以选择变位系数为
2.计算两只齿轮的各部分尺寸
按高度变位齿轮传动计算公式进行计算。
安装中心距
解题要点：
基本参数和基本尺寸的计算。
解：
因
所以
联立解上式得齿数为： ，
则该对齿轮的实际传动比 ，与要求的传动比 稍有出入，如传动比要求不严格，尚属许可。
该对齿轮传动其标准中心距为
所以标准中心距 等于其安装中心距 ，故采用一对标准齿轮传动。
主要几何尺寸如下
重合度
例5-6设一对外啮合传动齿轮的齿数 ， ，模数 ，压力角 ，齿顶高系数 。当中心距 时，求啮合角 ；如 时，求中心距 ?
解题要点：
滑动系数的计算公式。
解：
轮1齿根的滑动系数
（1）
数据代入式（1）得
轮2齿根的滑动系数 （2） 数据代入式（2）得
轮1齿顶的滑动系数
轮2齿顶的滑动系数
其滑动曲线如例5-9图所示。
例5-9图
例5-10设将例5-8的中心距 增大，直到刚好连续传动，试求：1.啮合角 ；2.两轮的节圆直径；3.两分度圆间的距离；4.顶隙和侧隙。
解题要点：
1．根据已知条件，可求出直齿轮传动的中心距；
2．在保持原中心距、模数、传动比不变的条件下，由螺旋角 求出齿数。
解：1.确定 、 、
由
， （且必须为整数）
取
当 ， 时：
当 ， 时：
当 ， 时：
由于 ，则这对斜齿圆柱齿轮的 ， ， 。
1.计算 、
例5-16标准渐开线直齿圆柱齿轮与齿条相啮合。已知它们的参数为： ， ， ， ， 。由于安装误差齿条的分度线与齿轮的分度圆分离0.1mm。
在作直角三角形 ， ， ，故有
于是得
2．为了求重合度 ，先求由安装误差时，齿条与齿轮的实际啮合线的长度 ，即分别作齿轮齿顶圆和齿条齿顶线与其啮合线的交点，得到 点和 点。由图可知
故
因为
故 ，
例5-17用齿条刀具加工一直齿圆柱齿轮。设已知被加工齿轮轮坯的角速度 ，刀具移动速度为 ，刀具的模数 ，压力角 。
解题要点：
重合度、顶隙和侧隙的计算公式。
解：1.求啮合角
将例5-8的中心距 增大直至刚好连续传动时，重合度
因
所以
2．求两轮的节圆直径 、
刚好连续传动时两轮的节圆直径为
3．求两分度圆分离的距离
两分度圆分离的距离为
4．求顶隙和侧隙
顶隙=
因
，
，
所以
因
所以侧隙
例5-11已知一对外啮合直齿圆柱齿轮传动，齿数 ， ，分度圆压力角 ，模数 ，齿顶高系数 ，安装中心距 。试设计这对齿轮，并计算各部分尺寸。
所以
2.求变位系数和 ，并分配变位系数 和 。
啮合角
变位系数和
最小变位系数为
由于
齿顶高变动系数
齿顶高
齿根高
全齿高
分度圆直径
齿顶圆直径
齿根圆直径
基圆直径
分度圆齿厚
分度圆齿间宽
分度圆周节
3．验算
（1）不根切
在分配变位系数时已经考虑保证不发生根切。
（2）重合度
（考虑应用于汽车工业）
（3）齿顶不变尖
上面的验算，重迭系数较小，建议将齿轮传动中心距适当减小或增加齿数后重新设计。
1．试求有安装误差时的下列参数：
(1)齿轮与齿条啮合时的节圆半径 和啮合角 ；
(2)沿啮合线方向的法向间隙 。
2．推导出计算重合度 的公式，并计算有安装误差时的重合度。
例5-16图
解题要点：
标准齿轮与齿条在有安装中心距的情况下法向齿侧间隙的求解方法。
解：1.试求有安装误差时的下列参数：
(1)齿轮与齿条啮合时的节圆半径 和啮合角
1．齿轮1、2的实际中心距 。
2.齿轮1、3为一对标准齿轮，则 。
解：
(已知 )
例5-15某机器上有一对标准安装的外啮合渐开线直齿圆柱齿轮机构，已知： ， ， ， 。为了提高传动的平稳性，用一对标准斜齿圆柱齿轮来代替，并保持原中心距、模数（法面）、传动比不变，要求螺旋角 。试设计这对斜齿圆柱齿轮的齿数 、 和 ，并计算小齿轮的齿顶圆直径 和当量齿数 .
可直接得到
2.当安装中心距 时，
与解1同理可得
而
故得解为
例5-8已知一正常齿的标准外啮合齿轮传动，其 ， ， ， ，试求重合度 ，并绘出单齿及双齿的啮合区。
解题要点：
重合度的计算公式、单齿及双齿的啮合区的绘制。
解：
该传动的单齿及双齿啮合区如解4-8图所示。
例5-8图
例5-9计算例5-8题中两轮的滑动系数，并绘出曲线图。
由于齿轮与齿条啮合时，无论是否标准安装，其啮合角 恒等于齿轮的分度圆压力角 ，齿轮的节圆也恒与其分度圆重合，故有
，
(2)沿啮合线方向的法向间隙
作例5-16图(a)、(b)，可知，当有安装误差的齿条分度线与齿轮的分度圆分离为 时，即 ，齿轮与齿条的齿廓接触点仍为K点，而另一侧齿廓则产生齿侧间隙，且法向齿侧间隙 ，过 点作另一侧齿廓平行线得 ，则在三角形 中， ，故有
基圆直径和齿根圆直径的计算公式。
解：基圆直径
齿根圆直径
当基圆和齿根圆重合时，
即
所以
令 ,可解出
由于齿数只能是整数，所以齿根圆不可能正好与基圆重合。当齿数 时，齿根圆大于基圆；当齿数 时，基圆大于齿根圆。
例5-3已知一对渐开线正常齿标准齿轮的齿数为 ， ，其分度圆的模数和压力角为 及 ，试求两轮齿顶圆和基圆的齿厚。
第5章例题精选及答题技巧
例5-1设两齿轮的传动比 ， ， ， ， ，求 及两齿轮的尺寸。
解题要点：
直齿圆柱齿轮基本参数及几何尺寸的计算。
解：
例5-2当分度圆压力角 ，齿顶高系数 渐开线标准直齿轮的齿根圆和基圆相重合时，它的齿数应该是多少？如果齿数大于或小于这个数值，那么基圆和齿根圆哪一个大些？
解题要点：
2.当实际中心距 时，只能采用正传动来凑中心距。
解：1.实际中心距 时
， ，采用等变位齿轮传动。
2.实际中心距 时 采用正传动
，
例5-14已知渐开线直齿圆柱齿轮 ，
， ， ， ，
， ，齿轮1和3是一对标准
齿轮。今以齿轮1为公共滑移齿轮（如图所示），例5-14图
试计算齿轮2的变位系数 。（注意： ）
解题要点：
，
由封闭图可以看出，此组变位系数可以满足重合度 ， 的要求，也不发生齿根过渡曲线干涉。
中心距变动系数为：
齿高变动系数为：
根据以上基本参数，可以算出两个齿轮的几何尺寸。
分度圆半径
齿根圆半径
齿顶圆半径
分度圆齿厚
齿顶圆压力角
重合度为
顶圆齿厚
，
由以上分析可知，该方案能满足所有设计要求。
解：方案二采用平行轴标准斜圆柱齿轮传动。中心距公式为
取 ，则 ，取 ，传动比误差
取 ，则传动比误差为 。
参照清华大学机械原理教程教材中图4.37所示的封闭图来选择变位系数 和 。具体方法是：在封闭图的两个坐标轴上分别取 和 ，连接这两点得一条 的斜线，则此斜线上任意一点所对应的变位系数之和均为1.1025，为了满足两轮齿根部分滑动磨损相等的要求，取 曲线与 斜线交点的坐标值，即为应选择的两轮变位系数：
解题要点：
这类设计题目，往往会涉及到传动类型、传动方案的选择，设计者应列出多种可能的方案，并从中选择既能满足要求且传动质量高的方案，完成设计。
解：方案一采用直齿圆柱齿轮正传动
试取 ，则
标准中心距为
参照清华大学机械原理教程教材中图4.37所示的封闭图，可以看出，由 ，来选择两轮变位系数，既不能满足两轮齿根部分等磨损的要求，又不能满足 的要求，同时还会发生齿根过渡曲线干涉，所以 ， 的方案不可取。
啮合角
中心距分离系数
齿顶高变动系数
齿顶高
齿根高
全齿高
分度圆直径
基圆直径
分度圆齿厚
周节
齿顶圆直径
齿根圆直径
3.验算
(1)不根切验算