解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是解析几何中非常重要的一部分，它包括直角双曲线、抛物线和椭圆。
这些曲线都是由一个平面与一个旋转椭球体相交得到的，具有广泛的应用价值。
以下是对于圆锥曲线的知识点总结：一、直角双曲线直角双曲线由于其特殊的形状和性质，在物理学、工程学和数学等方面都有应用。
直角双曲线的方程可以表示为以下形式：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1其中a和b是正实数。
在直角双曲线上，存在两个焦点以及两个称为顶点的特殊点。
双曲线还具有渐近线，与其方程的斜率相关。
二、抛物线抛物线是一种类似于开口向上或开口向下的弧线。
它的方程通常表示为：y = ax^2 + bx + c其中a、b和c是实数且a不等于零。
抛物线的焦点是它的特殊点，而直径称为准线。
抛物线具有对称性质，其形状可以用焦点和准线的位置来确定。
三、椭圆椭圆是圆锥曲线中最常见的类型，它的形状类似于椭圆形。
椭圆的方程可以表示为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1其中a和b是正实数。
椭圆具有两个焦点，椭圆的形状和大小由焦距和长短轴决定。
椭圆还具有较为特殊的直径，它称为主轴。
四、参数方程与极坐标方程除了直角坐标系下的方程表示，圆锥曲线还可以用参数方程和极坐标方程来描述。
参数方程是将x和y表示为参数t的函数，通过参数的变化来确定曲线上的点。
极坐标方程是使用角度和极径来定义曲线上的点。
五、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有许多重要性质和性质。
其中一些重要的性质包括：切线的斜率、焦点与直线的关系、曲率和弧长等。
这些性质在求解问题和绘图中都有重要的应用。
总结：圆锥曲线是数学中的重要概念，它包括直角双曲线、抛物线和椭圆。
每种曲线都具有独特的形状和性质，可以通过方程、参数方程或极坐标方程来描述。
了解圆锥曲线的基本知识对于解决实际问题和深入理解数学概念都是非常重要的。
掌握圆锥曲线的知识点，将有助于我们在几何学和解析几何学领域更加灵活和熟练地运用相关概念。
圆锥曲线共焦点知识点总结
圆锥曲线共焦点知识点总结一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是解析几何中的一种曲线，它是平面上所有点到一定点F1和F2的距离之和等于常数2a的曲线。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本类型。
1.椭圆椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点构成的集合。
椭圆的方程是：(x-x1)^2/a^2+(y-y1)^2/b^2=1其中(x1, y1)是椭圆的中心，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。
2.双曲线双曲线是平面上到两个固定点F1和F2的距离之差等于常数2a的所有点构成的集合。
双曲线的方程是：(x-x1)^2/a^2-(y-y1)^2/b^2=1其中(x1, y1)是双曲线的中心，a和b分别是双曲线的长半轴和短半轴的长度。
3.抛物线抛物线是平面上到一个固定点F和一条固定直线L的距离相等的点的集合。
抛物线的方程是：x^2=4ay其中(a, 0)是抛物线的焦点，直线y=-a是抛物线的准线。
二、共焦点的性质在圆锥曲线中，同一类曲线的多个曲线都具有相同的焦点。
这些共同的焦点称为共焦点。
共焦点具有以下重要性质：1.共焦点是曲线的特征对于同一类的圆锥曲线，它们共有的焦点是该类曲线的特征之一。
不同类型的圆锥曲线具有不同的焦点个数和位置，通过这些共焦点可以将不同曲线进行区分。
2.共焦点的位置与性质共焦点的位置与曲线的形状和方程有直接关系。
例如，对于椭圆来说，其焦点位于椭圆的长轴上；对于双曲线来说，其焦点位于双曲线的两支中垂线上；对于抛物线来说，其焦点位于抛物线的顶点上。
3.共焦点的应用共焦点在解析几何中有广泛的应用。
它可以用来确定曲线的类型、确定曲线的位置，或者利用一类曲线的焦点性质来进行曲线的证明和推导。
共焦点还可以用来解决一些实际问题，如物体的运动轨迹等。
三、相关定理和应用在圆锥曲线中，共焦点还涉及一些重要的定理和应用，下面我们来具体了解一下。
1.共焦直径定理对于椭圆和双曲线来说，其中一个主轴的两个焦点和另一个主轴的两个焦点连线的交点，恰好是这两个焦点的连线经过的两条直径的交点。
圆锥曲线所有知识点和二级结论
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。
它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。
下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。
在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。
在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。
二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。
2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。
3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。
三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。
2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。
四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。
2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。
3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。
平面解析几何与圆锥曲线
平面解析几何与圆锥曲线解析几何是数学中的一门学科，它研究的是几何图形在坐标系中的运动和性质。
圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，由直线和圆相交、旋转、平移等方式形成的曲线。
本文将探讨平面解析几何与圆锥曲线的关系及相关概念。
一、平面解析几何基本概念在平面解析几何中，我们常用的坐标系是笛卡尔坐标系，它由两条相互垂直的直线构成。
其中，横轴称为x轴，纵轴称为y轴。
平面上的点可以用有序数对(x, y)表示，x称为横坐标，y称为纵坐标。
根据欧氏距离公式，两点间的距离可以表示为d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。
在解析几何中，直线是一个基本图形。
根据两点确定一条直线的原理，我们可以通过已知的两个点求解直线的方程。
一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
二、圆锥曲线的基本类型圆锥曲线可以分为四种基本类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中最简单的一种形式。
它的定义是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点组成的图形。
如果两个定点的距离为2a，且椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上，那么椭圆的标准方程为(x²/a²) + (y²/b²) = 1。
2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中另一个重要的类型。
它的定义是平面上到两个定点的距离之差等于常数的点组成的图形。
如果两个定点的距离为2a，双曲线的标准方程为(x²/a²) - (y²/b²) = 1。
3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中非常常见的一种形式。
它的定义是平面上到一个定点的距离等于定直线的距离的点组成的图形。
抛物线的标准方程为y² = 2px，其中p是焦点到准线的垂直距离。
4. 直线直线可以看作是圆锥的一种特殊情况，它的标准方程可以表示为Ax + By + C = 0。
直线在平面解析几何中有着重要的应用，如直线的交点和直线与曲线的切点等。
高考总复习二轮数学精品课件 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
3
a
在双曲线 C 上,若△AF1F2 的周长为 10,则△AF1F2 的面积为(
)
A. 15
B.2 15
C.15
D.30
(2)已知|z+ 5i|+|z- 5i|=6,则复数 z 在复平面内所对应的点 P(x,y)的轨迹方程
是椭圆的右焦点,若 AF⊥BF,则 a=
答案 3+ 3
.
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,
所以四边形AF1BF为平行四边形.
又 AF⊥BF,所以四边形 AF1BF
π
为矩形,所以∠F1AF= ,则
2
|OF1|=|OF|=|OA|=2 3.
为
.
(3)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x
Hale Waihona Puke 轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程
为
答案 (1)A
.
2
(2)
9
2
+ =1
4
3
(3)x=2
解析 (1)由题意得
e=
所以双曲线方程为
=
2
1 + 2
=
3
1 + 2=2,所以 a2=1.
2
即 x±2y=0,故 B 正确;
2 5
5
e1·
e2= 5 × 2 =1,所以 C1 与 C2 的离心率互为倒数,故 C
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线，是由平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
圆锥曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、基本概念1. 定义：圆锥曲线是平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
2. 定点：圆锥曲线的两个定点分别称为焦点。
3. 对称轴：通过两个焦点并垂直于准线的直线称为对称轴。
4. 准线：通过两个焦点的直线段称为准线。
二、椭圆1. 定义：椭圆是圆锥曲线的一种，其离心率小于1，且焦点不重合的曲线。
2. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
3. 性质：椭圆具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：椭圆在天文学、建筑学和电子等领域应用广泛。
三、双曲线1. 定义：双曲线是圆锥曲线的一种，其离心率大于1的曲线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。
3. 性质：双曲线具有渐近线和切线性质，且有两个分支。
4. 应用：双曲线在物理学、天文学和通信等领域有重要应用。
四、抛物线1. 定义：抛物线是圆锥曲线的一种，其离心率等于1的曲线。
2. 方程：抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
3. 性质：抛物线具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学等领域有广泛应用。
五、圆1. 定义：圆是圆锥曲线的一种，其离心率等于0的曲线。
2. 方程：圆的标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径长度。
3. 性质：圆具有对称性、切线性质和切圆定理等。
4. 应用：圆在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
总结：圆锥曲线是解析几何的重要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。
解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与方程
解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与方程解析几何是数学的一个分支，研究几何图形的性质和方程。
在解析几何中，曲线是一个重要的概念，而圆锥曲线则是曲线的一种特殊类型。
本文将探讨曲线与圆锥曲线的性质与方程。
一、曲线的基本概念在解析几何中，曲线是由一组点构成，这些点满足一定的几何条件。
曲线可以是一条直线，也可以是一条弧线。
曲线有很多重要的性质，比如长度、弧度等。
曲线的方程是将曲线上的点与坐标系中的数值进行对应的数学表达式。
二、圆锥曲线的定义圆锥曲线是解析几何中的一类曲线，其定义是通过一个点（焦点）和一个直线（准线）来确定的。
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线三种类型。
这三种曲线都具有独特的性质和方程。
1. 椭圆的性质与方程椭圆是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离之和等于常数。
椭圆的中心是焦点所在的点，长轴和短轴是椭圆的两个重要参数。
椭圆的方程可以表示为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是椭圆的长轴和短轴长度。
2. 抛物线的性质与方程抛物线也是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离等于准线到点的距离。
抛物线具有对称性，焦点所在的直线称为对称轴。
抛物线的方程可以表示为y² = 4ax，其中a是抛物线的参数，代表焦点到准线的距离。
3. 双曲线的性质与方程双曲线是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离之差等于准线到点的距离。
双曲线具有两个分支，每个分支都有一个焦点和一个准线。
双曲线的方程可以表示为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b是双曲线的参数。
三、曲线与圆锥曲线的联系曲线可以包含圆锥曲线作为其特例。
例如，当圆锥曲线的焦点与准线重合时，圆锥曲线成为一条直线。
当圆锥曲线的参数满足一定条件时，圆锥曲线可以退化为点或者不存在任何实数解。
中考复习认识圆锥曲线的特点与性质
中考复习认识圆锥曲线的特点与性质圆锥曲线是解析几何中的重要概念，被广泛应用于数学和物理学等领域。
掌握圆锥曲线的特点与性质，不仅对于中考考试至关重要，还能够帮助我们更深入地理解数学的抽象概念。
本文将介绍圆锥曲线的特点与性质，并提供一些有助于复习的重要知识点。
1. 定义和基本概念圆锥曲线是指在平面上由一个点（焦点）和一个定直线（准线）所确定的曲线。
根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
- 椭圆：焦点到准线的距离之和等于常数。
- 双曲线：焦点到准线的距离之差等于常数。
- 抛物线：焦点到准线的距离等于其所在直线的距离（与焦点的连线垂直）。
2. 椭圆的特点与性质椭圆是圆锥曲线中最为常见的一种。
它具有以下特点与性质：- 焦点与准线存在关系：椭圆的焦点与准线的位置关系决定了椭圆的形状。
当焦点在准线上时，椭圆退化为一个线段；当焦点在准线上方时，椭圆向上打开；当焦点在准线下方时，椭圆向下打开。
- 对称性：椭圆具有中心对称性，即以椭圆的中心为对称中心，椭圆上的任意一点与关于中心的对称点关于中心形成的线段的中点落在椭圆上。
- 焦点的性质：椭圆上任意一点到焦点的距离之和等于焦距的两倍。
3. 双曲线的特点与性质双曲线是圆锥曲线中与椭圆相对的一种类型，具有以下特点与性质：- 两个分支：与椭圆不同，双曲线有两个分支，呈现出开口的形状。
- 焦点与准线存在关系：类似于椭圆，当焦点在准线上方时，双曲线向上打开；当焦点在准线下方时，双曲线向下打开。
不同的是，当焦点在准线上时，双曲线退化为两条平行直线。
- 渐近线：双曲线具有两条渐近线，是指当曲线的两个分支逐渐延伸时，会无限接近但永远不会与其相交的两条直线。
- 焦点的性质：双曲线上任意一点到焦点的距离之差等于焦距的两倍。
4. 抛物线的特点与性质抛物线是圆锥曲线中最简单的一种，具有以下特点与性质：- 对称性：抛物线具有对称轴，是指经过焦点且垂直于准线的直线称为对称轴。
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4.2解析几何--圆锥曲线的概念及性质一、选择题1．(2010·安徽双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为 (A. B. C. D．(，0解析：∵原方程可化为－＝1，a2＝1，b2＝，c2＝a2＋b2＝，∴右焦点为.答案：C2．(2010·天津已知双曲线－＝1(a>0，b>0的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为 (A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：∵渐近线方程是y＝x，∴＝.①∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上，∴c＝6.②又c2＝a2＋b2，③由①②③知，a2＝9，b2＝27，此双曲线方程为－＝1.答案：B4．(2010·辽宁设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ (A．4 B．8 C．8 D．16解析：解法一：AF直线方程为：y＝－(x－2，当x＝－2时，y＝4，4A(－2,4．当y＝4时代入y2＝8x中，x＝6，4P(6,4，4|PF|＝|PA|＝6－(－2＝8.故选B.解法二：5PA∞l，4PA%x轴．又5 AFO＝60°，4 FAP＝60°，又由抛物线定义知PA＝PF，4≥PAF为等边三角形．又在Rt≥AFF′中，FF′＝4，4FA＝8，4PA＝8.故选B.答案：B5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 (A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，＝，从而PC＝2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2，则A(－5,0，C(5,0，设P(x，y，得＝2化简得x2＋y2＋x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．答案：A二、填空题解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c<b⇒c2<b2＝a2－c2⇒e2<，又e∈(0,1，所以e∈.答案：7．(2010·浙江设抛物线ψ2＝2πξ(π>0的焦点为Φ，点A(0，2．若线段ΦA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．解析：F，则B，∴2p×＝1，解得p＝.∴B，因此B到该抛物线的准线的距离为＋＝.答案：8．(2010·北京已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．解析：∵椭圆＋＝1的焦点为(±4,0，∴双曲线的焦点坐标为(±4,0，∴c＝4，＝2，c2＝a2＋b2，∴a＝2，b2＝12，∴双曲线方程为－＝1，∴渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.答案：(±4,0x±y＝0即xD＝，由椭圆的第二定义得|FD|＝e＝a－.又由|BF|＝2|FD|，得a＝2a－，整理得a2＝3c2，即e2＝，解得e＝.答案：三、解答题10．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．解：解法一：设椭圆的标准方程是＋＝1(a>b>0或＋＝1(a>b>0，两个焦点分别为F1、F2，则由题意，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，∴a＝.在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝.在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.依题意知＝，∴b2＝.即椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.解法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，则|PF1|＝，|PF2|＝.由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，即a＝.由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴．故在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝，∴c2＝，于是b2＝a2－c2＝.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.11．(2010·湖北已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1求曲线C的方程；(2是否存在正数m，对于过点M(m,0且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1设P(x，y是曲线C上任意一点，那么点P(x，y满足－x＝1(x>0，化简得y2＝4x(x>0．(2设过点M(m,0(m>0的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1，B(x2，y2．设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m>0，于是①又＝(x1－1，y1，＝(x2－1，y2，·<0⇔(x1－1(x2－1＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2＋1＋y1y2<0. ②又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1<0⇔＋y1y2－[(y1＋y22－2y1y2]＋1<0，③由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2，④对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，即3－2<m<3＋2.由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0，且m的取值范围是(3－2，3＋2．12．(2009·陕西，21已知双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0，离心率e＝，顶点到渐近线的距离为.(1求双曲线C的方程；(2如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若＝λ，λ∈，求△AOB面积的取值范围．解：解法一：(1由题意知，双曲线C的顶点(0，a到渐近线ax－by＝0的距离为，∴＝，即＝.由得∴双曲线C的方程为－x2＝1.(2由(1知双曲线C的两条渐近线方程为y＝±2x.设A(m,2m，B(－n,2n，m>0，n>0.由＝λ＝λ得P点的坐标为，将P点坐标代入－x2＝1，化简得mn＝，设∠AOB＝2θ，∵tan＝2，∴tan θ＝，sin 2θ＝.又|OA|＝m，|OB|＝n，∴S△AOB＝|OA|·|OB|·sin 2θ＝2mn＝＋1.记S(λ＝＋1，λ∈，则S′(λ＝.由S′(λ＝0得λ＝1，又S(1＝2，S＝，S(2＝，∴当λ＝1时，△AOB的面积取得最小值2，当λ＝时，△AOB的面积取得最大值.∴△AOB面积的取值范围是.解法二：(1同解法一．(2设直线AB的方程为y＝kx＋m，由题意知|k|<2，m>0.由得A点的坐标为，由，得B点的坐标为.由=λ得P点的坐标为，将P点坐标代入－x2＝1得＝.设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为(0，m．S△AOB＝S△AOQ＋S△BOQ＝|OQ|·|x A|＋|OQ|·|x B|＝m·(x A－x B＝m＝·＝＋1.以下同解法一．7.1数学思想方法--函数与方程思想一、选择题1．已知向量a＝(3,2，b＝(－6,1，而(λa＋b⊥(a－λb，则实数λ等于 (A．1或2 B．2或－ C．2 D．0解析：λa＋b＝(3λ－6,2λ＋1，a－λb＝(3＋6λ，2－λ，若(λa＋b⊥(a－λb，则(3λ－6·(3＋6λ＋(2λ＋1(2－λ＝0，解得λ＝2或λ＝－答案：B2．设f(x是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x＝x2.若对任意的x [t，t＋2]，不等式f(x＋t≥2f(x恒成立，则实数t的取值范围是 (A．[，＋∞ B．[2，＋∞C．(0,2] D．[－，－1]*[，]答案：A3．f(x是定义在(0，＋∞上的非负可导函数，且满足xf′(x＋f(x≤0.对任意正数a、b，若a<b，则必有 (A．af(a≤f(b B．bf(b≤f(aC．af(b≤bf(a D．bf(a≤af(b解析：∵xf′(x＋f(x≤0，即[xf(x]′≤0，∴xf(x是减函数．又∵a<b，∴af(a≥bf(b．又∵b>a>0，f(x≥0，∴bf(a≥af(a且bf(b≥af(b，∴bf(a≥af(a≥bf(b≥af(b，∴bf(a≥af(b．答案：C4．f(x是定义在R上的以3为周期的奇函数，f(2＝0，则函数y＝f(x在区间(－1,4内的零点个数为 (A．2 B．3 C．4 D．5解析：∵f(x是定义在R上的奇函数，∴f(0＝0.由f(2＝0，得f(－2＝0.又∵f(x的周期为3，∴f(1＝0，f(3＝0.又∵f＝f＝f＝－f，∴f＝0.故选D.答案：D5．已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x＝x2＋(a－4x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是 (A．1<x<3 B．x<1或x>3C．1<x<2 D．x<2或x>3解析：将f(x＝x2＋(a－4x＋4－2a看作是a的一次函数，记为g(a＝(x－2a＋x2－4x＋4.当a∈[－1,1]时恒有g(a>0，只需满足条件即，解之得x<1或x>3.答案：B二、填空题6．已知不等式(x＋y≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．解析：只需求(x＋y的最小值大于等于9即可，又(x＋y＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以(2＋2＋1≥9，即(2＋2－8≥0求得≥2或≤－4(舍，所以a≥4，即a的最小值为4.答案：47．若关于x的方程(2－2－|x－2|2＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是________．解析：令f(x＝(2－2－|x－2|2，要使f(x＝2＋a有实根，只需2＋a是f(x的值域内的值．∵f(x的值域为[1,4∴1δa＋2<4，∴－1δa<2.答案：[－1,28．已知函数f(x＝，a∈R，若方程f2(x－f(x＝0共有7个实数根，则a＝________.解析：设y＝t2－t，t＝f(x作出两函数的图象如图所示，由t2－t＝0知t＝0，或t＝1，当t＝0时，方程有两个实根；当t＝1时，要使此时方程有5个不同实根，则a＝1.答案：19．若数列{a n}的通项公式为a n＝×n－3×n＋n(其中n∈N*，且该数列中最大的项为a m，则m＝________.解析：令x＝n，则0<x≤构造f(x＝x3－3x2＋x，x∈∴f′(x＝8x2－6x＋1令f′(x＝0，故x1＝，x2＝.∴f(x在上为增函数，f(x在上为减函数∴f(x max＝f即当x＝时，f(x最大，∴n＝2时，a2最大．∴m＝2.答案：2三、解答题10．设P是椭圆＋y2＝1(a>1短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值．解：依题意可设P(0,1，Q(x，y，则|PQ|＝.又因为Q在椭圆上，所以x2＝a2(1－y2．|PQ|2＝a2(1－y2＋y2－2y＋1＝(1－a2y2－2y＋1＋a2＝(1－a22－＋1＋a2，因为|y|≤1，a>1，若a≥，则≤1，当y＝时，|PQ|取最大值；若1<a<，则当y＝－1时，|PQ|取最大值2，综上，当a≥时，|PQ|最大值为；当1<a<时，|PQ|最大值为2.11．已知f(x是定义在正整数集N*上的函数，当x为奇数时，f(x＋1－f(x＝1，当x为偶数时，f(x＋1－f(x＝3，且满足f(1＋f(2＝5.(1求证：{f(2n－1}(n∈N*是等差数列；(2求f(x的解析式．(1证明：由题意得，两式相加得f(2n＋1－f(2n－1＝4.因此f(1，f(3，f(5，…，f(2n－1成等差数列．即{f(2n－1}(n∈N*是等差数列．(2解：由题意得，解得.所以f(2n－1＝f(1＋(n－1×4＝2(2n－1，因此当x为奇数时，f(x＝2x.又因为当x为奇数时，f(x＋1－f(x＝1，所以f(x＋1＝2x＋1＝2(x＋1－1，故当x为偶数时，f(x＝2x－1.综上，f(x＝.12．某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元之间满足：3－x与t＋1成反比例．如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2010年生产化妆品的固定投资为3万元，每生产1万件化妆品需再投资32万元，当年每件化妆品的零售价定为“年平均成本的150%”与“年均每件所占促销费的一半”之和，则当年的产销量相等．(1将2010年的年利润y万元表示为促销费t万元的函数；(2该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝收入－生产成本－促销费解：(1由题意，得3－x＝，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.由题意，知每件零售价为＋·.年利润y＝x－(3＋32x－t＝16x－t＋＝16－t＋＝50－＝(t≥0．(2∵y＝50－≤50－2＝42(万元，当且仅当＝，即t＝7时，y max＝42，∴当促销费定为7万元时，利润最大．3.2数列求和及数列综合应用一、选择题1．若等比数列{an}的前n项和Sn，且S10＝18，S20＝24，则S40等于 (A. B. C. D.解析：根据分析易知：∵S10＝18，S20－S10＝6，∴S30－S20＝2，S40－S30＝，∴S40＝，故选A.答案：A2．数列{an}的通项公式an＝，若{an}的前n项和为24，则n为( A．25 B．576 C．624 D．625解析：an＝＝－(－，前n项和Sn＝－[(1－＋(－＋…＋(－]＝－1＝24，故n＝624.选C.答案：C3．(2010·大连模拟设Sn为数列{an}的前n项之和，若不等式a＋≥λa对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为 (A．0 B. C. D．1解析：a1＝0时，不等式恒成立，当a1≠0时，λ≤＋，将an＝a1＋(n－1d，Sn＝na1＋代入上式，并化简得：λ≤2＋，∴λ≤，∴λmax＝.答案：B4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*，则a20等于 (A．0 B．－ C. D.解析：5a1＝0，a n＋1＝，4a2＝－，a3＝，a4＝0，….从而知3为最小正周期，从而a20＝a3×6＋2＝a2＝－.答案：B5．(2009·广东已知等比数列{a n}满足a n>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝ (A．(n－12 B．n2C．(n＋12 D．n(2n－1解析：5a5·a2n－5＝22n＝a，a n>0，4a n＝2n，4log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a n－1＝log221＋3＋…＋(2n－1＝log22n2＝n2.故选B.答案：B二、填空题6．设数列{a n}的前n项和为S n，S n＝(n∈N*，且a4＝54，则a1＝________.解析：由于S n＝(n N*，则a4＝S4－S3＝－＝27a1，且a4＝54，则a1＝2.答案：27．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5＝5a3，则＝________.解析：设等差数列的公差为d，首项为a1，则由a5＝5a3知a1＝－d，4＝＝9.答案：98．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S4＝4a1＋6d≥10，即2a1＋3d≥5，S5＝5a1＋10d≤15，即a1＋2d≤3.又a4＝a1＋3d，因此求a4的最值可转化为在线性约束条件限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如图，可知在当a4＝a1＋3d，经过点A(1,1时有最大值4.答案：49．(2009·福建五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．解析：1,1,2,3,5,8,13,21，…该数列被3除所得的余数构成的数列为1,1,2,0,2,2, 1,0，…所得新数列中每4个数出现一个0，而又有5名同学，因而甲同学报的数为3的倍数的间隔为20，所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16,36,56,76,96次，共5个数，故答案为5.答案：5三、解答题10．(2010·济南模拟已知等比数列{a n}的前n项和为S n＝k·2n＋m，k≠0，且a ＝3.(1求数列{a n}的通项公式；(2设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n.解：(1方法一：依题意有①解得a2＝2k，a3＝4k，∴公比为q＝＝2，＝＝2，k＝3，代入①得m＝－3，∴an＝3·2n－1.方法二：n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1·k.由a1＝3得k＝3，∴an＝3·2n－1，又a1＝2k＋m＝3，∴m＝－3.(2bn＝＝，Tn＝，②Tn＝，③②－③得Tn＝，Tn＝＝.11．(2010·浙江五校联考已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＋a n＝1.(1求数列{a n}的通项公式；(2设b n＝log3(1－S n＋1，求适合方程＋＋…＋＝的n的值．解：当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝.当n≥2时，∵S n＝1－a n，S n－1＝1－a n－1，∴S n－S n－1＝(a n－1－a n，即a n＝(a n－1－a n，∴a n＝a n－1.∴{a n}是以为首项，为公比的等比数列，故a n＝·n－1＝2·n.(2∵1－S n＝a n＝n，b n＝log3(1－S n＋1＝log3n＋1＝－n－1，∴＝＝－，∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝－.解方程－＝，得n＝100.12．已知函数f(x＝(x≠－1，设数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝f(a n，数列{b n}满足b n＝|a n－|，S n＝b1＋b2＋…＋b n(n N*．(1用数学归纳法证明：bn≤；(2证明：Sn<.证明：(1当x≥0时，f(x＝1＋>1.因为a1＝1，所以an≥1(n∈N*．下面用数学归纳法证明不等式bn≤.①当n＝1时，b1＝－1，不等式成立．②假设当n＝k时，不等式成立，即bk≤，那么bk＋1＝|ak＋1－|＝≤bk≤.所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．根据①和②，可知不等式对任意n∈N*都成立．(2由(1知bn≤.所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn≤(－1＋＋…＋＝(－1·<(－1·＝.故对任意n∈N*，Sn<.2.(安徽理10 函数在区0.5间〔 0,1 〕上的图像如图所示，则 m ， n 的值可能是（A）y(B(C(D【答案】B【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当，，则，由可知，，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选B.。