解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质

4.2解析几何--圆锥曲线的概念及性质

一、选择题

1．(2010·安徽双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为 (

A. B. C. D．(，0

解析：∵原方程可化为－＝1，a2＝1，

b2＝，c2＝a2＋b2＝，

∴右焦点为.

答案：C

2．(2010·天津已知双曲线－＝1(a>0，b>0的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为 (

A.－＝1

B.－＝1

C.－＝1

D.－＝1

解析：∵渐近线方程是y＝x，∴＝.①

∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上，

∴c＝6.②

又c2＝a2＋b2，③

由①②③知，a2＝9，b2＝27，

此双曲线方程为－＝1.

答案：B

4．(2010·辽宁设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ (

A．4 B．8 C．8 D．16

解析：解法一：AF直线方程为：

y＝－(x－2，

当x＝－2时，y＝4，4A(－2,4．

当y＝4时代入y2＝8x中，x＝6，

4P(6,4，

4|PF|＝|PA|＝6－(－2＝8.故选B.

解法二：5PA∞l，4PA%x轴．

又5 AFO＝60°，4 FAP＝60°，

又由抛物线定义知PA＝PF，

4≥PAF为等边三角形．

又在Rt≥AFF′中，FF′＝4，

4FA＝8，4PA＝8.故选B.

答案：B

5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 (

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，＝，从而

PC＝2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2，则A(－5,0，C(5,0，设P(x，y，得＝2

化简得x2＋y2＋x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．

答案：A

二、填空题

解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c

e∈(0,1，所以e∈.

答案：

7．(2010·浙江设抛物线ψ2＝2πξ(π>0的焦点为Φ，点A(0，2．若线段ΦA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．

解析：F，则B，

∴2p×＝1，解得p＝.

∴B，因此B到该抛物线的准线的距离为＋＝.

答案：

8．(2010·北京已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．

解析：∵椭圆＋＝1的焦点为(±4,0，∴双曲线的焦点坐标为(±4,0，

∴c＝4，＝2，c2＝a2＋b2，

∴a＝2，b2＝12，

∴双曲线方程为－＝1，

∴渐近线方程为y＝±x＝±x，

即x±y＝0.

答案：(±4,0x±y＝0

即xD＝，由椭圆的第二定义得|FD|＝e＝a－.又由|BF|＝2|FD|，得a＝

2a－，整理得a2＝3c2，

即e2＝，解得e＝.

答案：

三、解答题

10．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．

解：解法一：设椭圆的标准方程是＋＝1(a>b>0或＋＝1(a>b>0，两个焦点

分别为F1、F2，则由题意，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，∴a＝.在方程＋＝1

中，令x＝±c，得|y|＝.在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.依题意知＝，

∴b2＝.即椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.

解法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，

则|PF1|＝，|PF2|＝.

由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，即a＝.

由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴．

故在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝，

∴c2＝，于是b2＝a2－c2＝.

又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋

＝1或＋＝1.

11．(2010·湖北已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(1求曲线C的方程；

(2是否存在正数m，对于过点M(m,0且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，

都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：(1设P(x，y是曲线C上任意一点，那么点P(x，y满足－x＝1(x>0，

化简得y2＝4x(x>0．

(2设过点M(m,0(m>0的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1，B(x2，y2．

设l的方程为x＝ty＋m，由得

y2－4ty－4m＝0，

Δ＝16(t2＋m>0，于是①

又＝(x1－1，y1，＝(x2－1，y2，

·<0⇔(x1－1(x2－1＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2＋1＋y1y2<0. ②

又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1<0⇔＋y1y2－[(y1＋

y22－2y1y2]＋1<0，③

由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2，④

对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，即3－2

由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0，且m的取值范围是(3－2，3＋2．

12．(2009·陕西，21已知双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0，离心率e＝，顶点

到渐近线的距离为.

(1求双曲线C的方程；