再如跳水运动员的团身--展体动作解读
合集下载
刚体功和能、角动量
m,l
只有重力产生力矩
o
棒上各部分重力矩之和 等于全部重力集中于质心 对轴的力矩
mg
(1)M Jα α
mg l cos 1 ml2 3g cos
2
3
2l
(2)α ω
α max
(θ
0) θα
0(θ
π) 2
d dt 3g cosdt d
2l
d
d
3g
cosd
0
2l 0
ω 3g sin θ/l θπ2ω 3g/l
o
W重
2 Md
0
m,l
2 mg
l
c osd
0
2
1 mgl
mg
2
（2）由动能定理求末态角速度：
W Ek Ek0
m,l
1 mgl 1 J 2 0
o
2
2
1 mgl 1 (1 ml 2 ) 2
2
23
3g
mg
l
解（二）：应用机械能守恒定律
1 mgl 1 J 2 0
2
2
解（三）：应用转动定律
m
ω
m
r2 r1
演示 (一)茹可夫斯基凳
m
ω
m
r2 r1
花样滑冰 跳水 J z J 00 c
再如：跳水运动员的“团身--展体” 动作，当运动员跳水时团身，转动惯量 较小，转速较快；在入水前展体，转动 惯量增大，转速降低，垂直入水。
滑冰运动员的旋转
猫的下落
(3)两个同轴刚体系统的角动量守恒
开始时盘载人相对地面以角速度 0 匀速
转动,然后此人垂直圆盘半径相对于盘以 速率 v 沿与盘转动相反方向作圆周运动, 已知圆盘对中心轴的转动惯量为 MR2 / 2, 人可视为质点,求: （1）圆盘对地的角速度。 （2）欲使圆盘对地静止,人沿着 R/2 圆周 对圆盘的速度 v 的大小及方向？
大物上10角动量守恒.
几点说明： （1）角动量守恒应是Jω的乘积守恒
若 J 不变
若 J 变化
不变
变化
( 2) 若系统 M 外 0, 但M
内
M 外可认为系统角动量守
对于定轴转动的刚体，只要满足合外力矩等于零，则刚体转 动的角速度也就不变。例如，在飞机、火箭、轮船上用作定 向装置的回转仪就是利用这一原理制成的。 （3）角动量定理、角动量守恒定律只适用于惯性系
t L 积分形式： L1 J 2 J 1 dL L t Mdt L 2
刚体绕某定轴转动时，所受到的冲量矩等于刚 体角动量的增量，----------刚体的角动量定理 质点系转动惯量在运动中发生变化时 （非刚体），角动量定理成为：
2019/2/16
花样滑冰运动员、芭蕾舞演员在表演时，也是运用 角动量守恒定律来增大或减少身体绕对称竖直轴转 动的角速度，从而做出许多优美而漂亮的舞姿。
2019/2/16 9
再如：跳水运动员的“团身--展体” 动作，当运动员跳水时团身，转动惯量较 小，转速较快；在入水前展体，转动惯量 增大，转速降低，垂直入水。
2019/2/16
1
质点绕某定轴转动时，所受到的冲量矩等于质 2019/2/16 质点的角动量定理 点角动量的增量，
5
二、刚体的角动量守恒定律 1.刚体的角动量 Li J i L Li ( J i )
L J
z
o
规定轴的正方向 L J L J 用标量
t2
t1
Mdt J 2 2 J11
7
3. 角动量守恒定律
当M 0
t 时 L 2 L1 0 L 2 L1 L J 2 J 1 J = 恒矢量
第11章_角动量：转动
§11-1 角动量 物体绕定轴旋转
一、角动量
L
对于定点转动而言：
L
r
P
r mv
r
o
刚体的角动量？
r sin
P
mv
m
对于绕固定轴oz转动的
质元 mi 而言:
Li
ri mi
ri2mikvi
对于绕固定轴oz 转动 的整个刚体而言:
z
L
vi ri
mi
L
N
miri2 I
i
角动量的方向沿轴的正向或负向,所以可
上式和牛顿第二定律的微分形式相似，所以上式有时 也叫做角动量定理的微分形式。
牛顿第二运动定律
F ma 或者写成动量形式 F dp dt
类似写出刚体定轴转动定律
I
I I d dt d (I) dt dL dt
d dt
dL dt
二、角动量守恒
dL dt
由上式可知合外力矩为零时，角动量守恒，即：
（2）参考点为质点系或刚体的质心。
§11-5 刚体的角动量和力矩
计算刚体转动沿转轴方向的角动量：
（因为角速度
ur
的方向平行于转轴，所以
沿转轴方向的角动量记为 L ）
物体上任一质点，对O点的角动量为
r Li
rri
pr i
此角动量沿转轴方向的分量为
Li ri pi cos miviri cos r
例11-5 一人站在一个静止的、无摩擦的、可自由旋转的 台面上，手持一个旋转的自行车轮（如图所示）。如果 突然翻转旋转的车轮，即车轮向相反方向旋转，想想看 会发生什么情况？ 解答：将桌子、人、自行车轮看作一个
系统，系统角动量守恒。故自行车轮反 方向旋转后系统仍需保持此角动量。因 此可以断言：此人将按照自行车轮初始 的旋转方向开始转。
一、角动量
L
对于定点转动而言：
L
r
P
r mv
r
o
刚体的角动量？
r sin
P
mv
m
对于绕固定轴oz转动的
质元 mi 而言:
Li
ri mi
ri2mikvi
对于绕固定轴oz 转动 的整个刚体而言:
z
L
vi ri
mi
L
N
miri2 I
i
角动量的方向沿轴的正向或负向,所以可
上式和牛顿第二定律的微分形式相似，所以上式有时 也叫做角动量定理的微分形式。
牛顿第二运动定律
F ma 或者写成动量形式 F dp dt
类似写出刚体定轴转动定律
I
I I d dt d (I) dt dL dt
d dt
dL dt
二、角动量守恒
dL dt
由上式可知合外力矩为零时，角动量守恒，即：
（2）参考点为质点系或刚体的质心。
§11-5 刚体的角动量和力矩
计算刚体转动沿转轴方向的角动量：
（因为角速度
ur
的方向平行于转轴，所以
沿转轴方向的角动量记为 L ）
物体上任一质点，对O点的角动量为
r Li
rri
pr i
此角动量沿转轴方向的分量为
Li ri pi cos miviri cos r
例11-5 一人站在一个静止的、无摩擦的、可自由旋转的 台面上，手持一个旋转的自行车轮（如图所示）。如果 突然翻转旋转的车轮，即车轮向相反方向旋转，想想看 会发生什么情况？ 解答：将桌子、人、自行车轮看作一个
系统，系统角动量守恒。故自行车轮反 方向旋转后系统仍需保持此角动量。因 此可以断言：此人将按照自行车轮初始 的旋转方向开始转。
角动量守恒
解 碰撞前M落在 A点的速度
vM = (2gh)1 2
碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度
u= l
2
M、N和跷板组成的系统，角动量守恒
mvM
l 2
=
J
2mu
l 2
=
1 12
ml 2
1 2
ml 2
M
h
N
C
A
B
l
l/2
mvM
l 2
=Jຫໍສະໝຸດ 2mul 2
=
1 12
ml 2
1 2
ml 2
o
m
m
o
o
m
掌握
2、质点的角动量定理
0
即
累积效应:
M t 2 dt = L - L
t1
2
1
3、质点的角动量守恒定理
守恒条件： (1) (2)
熟练掌握
例：彗星绕太阳作椭圆
r
轨道运动，太阳位于椭
圆轨道的一个焦点上，
问系统的角动量是否守
恒？近日点与远日点的
速度谁大？
二、刚体定轴转动的角动量定理及守恒定律
（D）8v 9L
v om o
mv
书 例4 一杂技演员M由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一 端的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?
N
C
B
l
M
h A
l/2
设跷板是匀质的，长度为l，质量为m'，
跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动， 演员的质量均为m．假定演员M落在跷板上， 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．
掌握
1 刚体定轴转动
运动生物力学考点(2)修改
第三定律：作用力和反作用力。(1)大小相等、方向相反、(2)作用在不同物体上，产生不同效果，(3)同时产生，同时消失.(4)必须是同性质的力。16.肌肉的功率等于肌肉收缩力与收缩速度的乘积。P=W/t=Fv17.人从高处下落缓冲时：通过增加力的作用时间，通过屈膝屈髋使人体受到的冲力减小。Ft=mv18.平行轴定理表达式：刚体对任意轴的转动惯量等于刚体的对通过质心轴并且与任意轴平行的轴的转动惯量加上刚体的质量和距离的平方即：
（四）肌肉张力和长度曲线总张力=被动张力+主动张力
长度
五）马格努斯效应：旋转的球体，由于表面的摩擦力，使他周围空气被带动，形成环流，再加上球体向前平动，周围空气的环流与平流，方向相同的地方环流被加速，小的地方被减小，在球的两侧形成速度差，根据伯努利定律，由于速度差而导致的压强差，从而导致的球的偏离，形成香蕉球。
11.影响力的作用效果的三要素：力的大小、方向以及作用点。
12.短跑中：摆动腿通过腿的充分折叠，来减小转动惯量从而提高角速度，提高摆动速度。13.影响跳高或投射的高度与速度的因素：初始角度，初始速度，初始高度，或者起大做功距离，相对延长做功时间。Ft=mv。
1.增加起跳力：起跳瞬间，人的加速度是向上的，身体受到重力方向竖直向下，以及地面对人体向上的作用力和手臂向上的作用力。
2.提高人体总重心：人体各部分合力的作用点，重心随手臂的摆动向上提高。3.为过杆做好准备：人体在杆上有两个速度,一是在水平方向上的另一个是竖直向上的，通过摆腿摆臂以及配合翻转提供转动力。
1.肌肉松弛：被拉长的肌肉，其张力有随时间的延长而下降的特性，这一特性称为肌肉松弛。它是由肌肉串联和并联弹性元属于粘弹性体的特性决定的。2支撑面：由支撑点和他们所围成的面积。支撑面大小与稳定性的关系：越大越稳定。3.内力和外力的定义：（1）外力：来自于外界作用于人体的力称为人体外力。体育运动中人体所受的外力有：重力，弹性力，摩擦力，支撑反作用力等（2内力：若将人体看作一个生物力学系统，则人体内部各部分相互作用的力称为人体内力，如肌肉力，组织粘滞力，关节束缚反作用力等。4.静息长度：肌肉的主动张力表现最大时的肌肉长度，为静息长度。此时横桥连接数目最多。5.肌肉的激活状态：在神经脉冲影响下，肌肉的收缩成分出现激活状态。把肌肉兴奋时其收缩成分力学状态的变化成为肌肉的激活状态。6.定向作用：当动量距等于一个恒量时，即动量守恒如果转动惯量保持不变则角速度保持不变。因此转动物体在不受外力矩作用时，具有保持其转轴方向不变的特性。7.动量距守恒定律：无支持状态为人体腾空状态。除重力以外，将人体看成一个整体系统，那么它受到的合外力矩为0，其总动量距将保持不变。8.平衡轴定律：刚体对o轴（任意轴）的转动惯量等于刚体对通过其质心轴，并且与o轴（任意轴）平行地I轴的转动惯量加上刚体的质量与两平行轴之间的距离平方的乘积。9.运动的独立性原理（叠加原理）：若一物体同时参与几个运动（分运动）则每一运动不受其他运动影响，物体的运动可以看成几个独立分运动叠加而成。10.环节半径系数：人体的每个环节的质心到近侧端的距离占整个环节的百分比。
（四）肌肉张力和长度曲线总张力=被动张力+主动张力
长度
五）马格努斯效应：旋转的球体，由于表面的摩擦力，使他周围空气被带动，形成环流，再加上球体向前平动，周围空气的环流与平流，方向相同的地方环流被加速，小的地方被减小，在球的两侧形成速度差，根据伯努利定律，由于速度差而导致的压强差，从而导致的球的偏离，形成香蕉球。
11.影响力的作用效果的三要素：力的大小、方向以及作用点。
12.短跑中：摆动腿通过腿的充分折叠，来减小转动惯量从而提高角速度，提高摆动速度。13.影响跳高或投射的高度与速度的因素：初始角度，初始速度，初始高度，或者起大做功距离，相对延长做功时间。Ft=mv。
1.增加起跳力：起跳瞬间，人的加速度是向上的，身体受到重力方向竖直向下，以及地面对人体向上的作用力和手臂向上的作用力。
2.提高人体总重心：人体各部分合力的作用点，重心随手臂的摆动向上提高。3.为过杆做好准备：人体在杆上有两个速度,一是在水平方向上的另一个是竖直向上的，通过摆腿摆臂以及配合翻转提供转动力。
1.肌肉松弛：被拉长的肌肉，其张力有随时间的延长而下降的特性，这一特性称为肌肉松弛。它是由肌肉串联和并联弹性元属于粘弹性体的特性决定的。2支撑面：由支撑点和他们所围成的面积。支撑面大小与稳定性的关系：越大越稳定。3.内力和外力的定义：（1）外力：来自于外界作用于人体的力称为人体外力。体育运动中人体所受的外力有：重力，弹性力，摩擦力，支撑反作用力等（2内力：若将人体看作一个生物力学系统，则人体内部各部分相互作用的力称为人体内力，如肌肉力，组织粘滞力，关节束缚反作用力等。4.静息长度：肌肉的主动张力表现最大时的肌肉长度，为静息长度。此时横桥连接数目最多。5.肌肉的激活状态：在神经脉冲影响下，肌肉的收缩成分出现激活状态。把肌肉兴奋时其收缩成分力学状态的变化成为肌肉的激活状态。6.定向作用：当动量距等于一个恒量时，即动量守恒如果转动惯量保持不变则角速度保持不变。因此转动物体在不受外力矩作用时，具有保持其转轴方向不变的特性。7.动量距守恒定律：无支持状态为人体腾空状态。除重力以外，将人体看成一个整体系统，那么它受到的合外力矩为0，其总动量距将保持不变。8.平衡轴定律：刚体对o轴（任意轴）的转动惯量等于刚体对通过其质心轴，并且与o轴（任意轴）平行地I轴的转动惯量加上刚体的质量与两平行轴之间的距离平方的乘积。9.运动的独立性原理（叠加原理）：若一物体同时参与几个运动（分运动）则每一运动不受其他运动影响，物体的运动可以看成几个独立分运动叠加而成。10.环节半径系数：人体的每个环节的质心到近侧端的距离占整个环节的百分比。
角动量角动量守恒定律
确定细杆受的摩擦力矩
0
细杆的质量密度为：
m /l
分割质量元dm
m ,l o dm l / 2
l/2
x dx x
dm dx
质元受的摩擦力矩 dM dmgx
细杆受的摩擦力矩
M
l /2 l / 2
dM
20l /2 gxdx
1 mgl
4
始末两态的角动量为：L0 J 0 , L 0
( 2g sin )1 2
R
4-3角动量 角动量守恒定律
二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1. 刚体定轴转动的动量矩
质点对 Z 轴的动量矩… LZ mvr mr 2
刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩为
LZi Δmviri Δmri2
且刚体上任一质点对 Z 轴的动 量矩具有相同的方向
当 M 0，L 恒矢量
当质点所受对参考点Ｏ的合力矩为
零时，质点对该参考点Ｏ的角动量为一
恒矢量．——质点的角动量守恒定律
讨论
(1) 守恒条件
F 0 M 0F过O点
(2) 有心力的动量矩守恒。
4-3角动量 角动量守恒定律
物理学
第五版
第四章 刚体转动
例 一半径为 R 的 光滑圆环置于竖直平面 内. 一质量为 m 的小球 穿在圆环上, 并可在圆 环上滑动. 小球开始时 静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A
4-3角动量 角动量守恒定律
物理学
第五版
第四章 刚体转动
例 一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三
个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3 求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
全红婵跳水过程的细节描写
全红婵跳水过程的细节描写全红婵是中国著名的跳水运动员，她以其出色的技术和优雅的动作而闻名于世。
下面将详细描述全红婵跳水过程中的细节。
一、准备动作在跳水比赛开始前，全红婵会站在跳台边缘，双脚并拢，双手紧握，身体略微前倾。
她的目光专注而坚定，准备迎接挑战。
二、起跳全红婵用力蹬腿，身体迅速离开跳台，同时双臂向上伸展。
她的起跳动作非常迅猛，力量十足。
起跳后的瞬间，她身体呈直线状，几乎垂直向上冲刺。
三、空中动作在空中，全红婵身体保持笔直，双臂平伸，双腿并拢。
她身体的线条非常流畅，给人一种优美的感觉。
她的动作非常稳定，没有丝毫的晃动。
四、转体动作全红婵在空中完成起跳后，会迅速做出转体动作。
她的转体动作非常迅速而准确，旋转角度大。
她的身体在空中连续旋转，每一次旋转都非常稳定，没有出现任何误差。
五、入水全红婵的转体动作完成后，她会迅速伸直身体，将身体与水面垂直对齐。
她的入水非常平稳，没有溅起过多的水花。
她的身体迅速穿过水面，消失在水下。
六、冲水全红婵入水后，会利用身体的力量迅速冲刺。
她的冲水动作非常有力，速度快。
她的身体在水下迅速前进，向着目标位置游去。
七、出水全红婵在冲水后会迅速浮出水面。
她的出水动作非常流畅，没有过多的水花。
她的身体迅速浮出水面，呼吸顺畅。
八、结束动作全红婵出水后，会做出一个优美的结束动作。
她会伸直身体，双臂平伸，双腿并拢，向观众致意。
她的结束动作充满了自信和魅力，让人印象深刻。
以上就是全红婵跳水过程中的细节描写。
全红婵以其出色的技术和优雅的动作征服了无数观众，成为中国跳水队的骄傲。
她的每一个动作都充满力量和美感，展现了中国跳水运动员的精湛技艺。
无论是起跳、空中动作，还是转体、入水和出水，全红婵都表现出了出色的水平。
她的跳水过程中充满了动感和魅力，令人叹为观止。
全红婵的跳水之路充满了辛苦和挑战，但她用自己的努力和才华证明了自己的价值。
她是中国跳水队的骄傲，也是全世界跳水运动员的榜样。
无论是在赛场上还是生活中，全红婵都展现出了坚持不懈、勇往直前的精神，她的故事将激励着无数人追求梦想并超越自我。
刚体力学刚体动力学举例
1
2
2
1 M zdt 1 M zd
T
1 2
x
y
z
I xx
I yx
I
zx
I xy I yy Izy
I xz x I yz y I zz z
T
1 2
I z
2
刚体的动能定理可表示为：A
Jo
1 4
mR2( 2k
21k')
(六) 动能定理
五、 刚体动力学—动能定理
对于刚体来说，由于内力功的代数和为零，故动能
定理可表为： W e T T2 T1
①刚体动能的一般表示 — 柯尼希定理
T
i
1 2
mi ri
ri
1 2
mrc
rc
2 1
M zd
1 2
I
2
z2
1 2
I
2
z1
机械能守恒:
1 2
I zz 2
V
E
(5) 刚体的重力势能
刚体的定轴转动
对于一个不太大的质量为 m 的物体，它的重
力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和
即：
质心高度为：
hc
mihi
m
Ep mghc
若只有保守力做功
E
mghc
刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
(4) 定轴转动的动能定理
对定轴转动的情况，假设 k ，则：
W e
2 2 F dr F vdt
2
2
1 M zdt 1 M zd
T
1 2
x
y
z
I xx
I yx
I
zx
I xy I yy Izy
I xz x I yz y I zz z
T
1 2
I z
2
刚体的动能定理可表示为：A
Jo
1 4
mR2( 2k
21k')
(六) 动能定理
五、 刚体动力学—动能定理
对于刚体来说，由于内力功的代数和为零，故动能
定理可表为： W e T T2 T1
①刚体动能的一般表示 — 柯尼希定理
T
i
1 2
mi ri
ri
1 2
mrc
rc
2 1
M zd
1 2
I
2
z2
1 2
I
2
z1
机械能守恒:
1 2
I zz 2
V
E
(5) 刚体的重力势能
刚体的定轴转动
对于一个不太大的质量为 m 的物体，它的重
力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和
即：
质心高度为：
hc
mihi
m
Ep mghc
若只有保守力做功
E
mghc
刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
(4) 定轴转动的动能定理
对定轴转动的情况，假设 k ，则：
W e
2 2 F dr F vdt
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
when r F 0 , L r mv const.
conservation of angular momentum
Example 1 An object of mass m moves in a circle of radius R with a constant speed v . What is its angular momentum ?
Third law The square of a planet’s period is proportional to the cube of its mean distance from the sun . T 2 k R3
A1
sun
A2
planet
2. Angular momentum Let’s analyze planetary motion in terms of Newtonian mechanics . M smp F G r0 sun 2 r F r By Newton’s second law :
mvp rP mvArA
vA 29.2(km / s)
P 439
vP
rP
rA
vA
Example 3 A particle of mass m moves with constant velocity v along a straight line which is a distance b from the origin of a coordinate system . (a) Find the angular momentum of the particle at any instant about point o . (b) Show explicitly that the angular momentum is conserved . (c) Calculate the angular momentum about point P . (a) L r mv L rmv sin bmv v r b P (b) v const. F 0 b/2 o r F 0 , L const. (c) L (b / 2)mv P 442
Now we deduce Kepler’s second law from P 438 Newton’s law . 1 1 A r (r ) sin r r sun r r 2 2 A r 1 r A r r planet 2 r r / 2 1 L dA A r v lim lim const . 2 t dt t 0 t t 0 2m Second law A line directed dA L const. from the sun to a planet sweeps out equal areas in dt 2m equal times . dA dt const.
3. Torque and angular momentum dP dL F r F dt dt r F is called a torque .
LP mP r v is called angulaห้องสมุดไป่ตู้ momentum . As a planet orbits the sun its angular momentum about the sun is constant .
For any motion caused by any force , the following equation is always correct : d dL r F (r mv ) dt dt d (mv ) r F r dt dr d (r d mv ) (r mv ) mv dt dt dt
Angular Momentum
1. Kepler’s laws First law Each planet orbits the sun along an elliptical path with the sun at one focus .
Second law A line directed from the sun to a planet sweeps out equal areas in equal times .
dv F mp dt
planet
From the figure , we know that :
dv r F mpr 0 dt
P 440 - 441
dv mpr 0 dt d dr dv sun (r v ) v r dt dt dt F r dr planet v v v 0 dt d mP r v const. ( mP r v ) 0 dt
L Rmv sin mvR
P 442 L
R
v
Example 2 At its closest approach , the earth is 1.47108km from the sun and its speed is 30.2km/s . What is the speed at its farthest point from the sun , a distance of 1.52 108km ?
conservation of angular momentum
Example 1 An object of mass m moves in a circle of radius R with a constant speed v . What is its angular momentum ?
Third law The square of a planet’s period is proportional to the cube of its mean distance from the sun . T 2 k R3
A1
sun
A2
planet
2. Angular momentum Let’s analyze planetary motion in terms of Newtonian mechanics . M smp F G r0 sun 2 r F r By Newton’s second law :
mvp rP mvArA
vA 29.2(km / s)
P 439
vP
rP
rA
vA
Example 3 A particle of mass m moves with constant velocity v along a straight line which is a distance b from the origin of a coordinate system . (a) Find the angular momentum of the particle at any instant about point o . (b) Show explicitly that the angular momentum is conserved . (c) Calculate the angular momentum about point P . (a) L r mv L rmv sin bmv v r b P (b) v const. F 0 b/2 o r F 0 , L const. (c) L (b / 2)mv P 442
Now we deduce Kepler’s second law from P 438 Newton’s law . 1 1 A r (r ) sin r r sun r r 2 2 A r 1 r A r r planet 2 r r / 2 1 L dA A r v lim lim const . 2 t dt t 0 t t 0 2m Second law A line directed dA L const. from the sun to a planet sweeps out equal areas in dt 2m equal times . dA dt const.
3. Torque and angular momentum dP dL F r F dt dt r F is called a torque .
LP mP r v is called angulaห้องสมุดไป่ตู้ momentum . As a planet orbits the sun its angular momentum about the sun is constant .
For any motion caused by any force , the following equation is always correct : d dL r F (r mv ) dt dt d (mv ) r F r dt dr d (r d mv ) (r mv ) mv dt dt dt
Angular Momentum
1. Kepler’s laws First law Each planet orbits the sun along an elliptical path with the sun at one focus .
Second law A line directed from the sun to a planet sweeps out equal areas in equal times .
dv F mp dt
planet
From the figure , we know that :
dv r F mpr 0 dt
P 440 - 441
dv mpr 0 dt d dr dv sun (r v ) v r dt dt dt F r dr planet v v v 0 dt d mP r v const. ( mP r v ) 0 dt
L Rmv sin mvR
P 442 L
R
v
Example 2 At its closest approach , the earth is 1.47108km from the sun and its speed is 30.2km/s . What is the speed at its farthest point from the sun , a distance of 1.52 108km ?