第2讲 整式与分解因式
中考数学第一章数与式第二节整式与因式分解课件
2.整式的加减 (1)一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号， 然后再合并同类项．
(2)去括号法则 ①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项 的符号与原来的符号 _相__同__，如a＋(b－c)＝a＋b－c， a＋(b＋c)＝a＋b＋c. ②如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项 的符号与原来的符号 _相__反__ ，如a－(b－c)＝a－b＋c， a－(b＋c)＝a－b－c.
3．整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别 相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 指数作为积的一个因式，如3xy·4x2z＝12x3yz. (2)单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每 一项，再把所得的积相加，如a×(b＋c－d)＝ab＋ac－ad.
(3)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另 一个多项式的每一项，再把所得积相加，如(a＋b)(c＋d) ＝ac＋ad＋bc＋bd.
确定代数式的同类项要严格按照定义中的两个条件，即字 母相同，指数一样．特别地，所有常数项都是同类项．
3．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫 做合并同类项． 其法则是：合并同类项时，把同类项的 _系__数__相加， 字母和字母的 指数 不变．
知识点三 整式的运算 1．幂的运算法则
要牢记幂的运算公式，区分开幂的乘方和同底数幂相乘 的运算法则．注意不同底数幂不能按照幂的运算法则运 算，需先转化为同底数幂再运算，如4n·2m＝(22)n·2m＝ 22n·2m＝22n＋m.
讲：因式分解的误区 因式分解的一般步骤为“一提”“二套”“三检验”， 先考虑用提公因式法分解，再考虑套用公式分解，最后 检验因式分解是否彻底、正确．在因式分解中，最容易 出错的地方就是因式分解不彻底． 练：链接变式训练9
2019年中考数学专题复习 第二讲整式、因式分解 (共68张PPT)精品物理
答案:1
(3)由题意可知:m=-1,n=0,c=1, ∴原式=(-1)2015+2016×0+12017=0. 答案:0
【答题关键指导】 整体代入法求代数式值的三种方法 (1)直接整体代入求值:如果已知的代数式与要求的代 数式之间都含有相同的式子,只要把已知式子的值直 接代入到要求的式子中,即可得出结果.
(3)(2017·济宁中考)分解因式: ma2+2mab+mb2=____________.
【思路点拨】(1)先提取公因式,再利用平方差公式进 行分解. (2)通过两次提取公因式,来进行因式分解. (3)先提取公因式,再利用完全平方公式进行分解.
【自主解答】 (1)x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1). (2)原式=x(x-2)+(x-2)=(x+1)(x-2). (3)原式=m(a2+2ab+b2)=m(a+b)2.
【答题关键指导】 幂的运算的应用 (1)同底数幂的乘除法应用的前提是底数必须相同,若 底数互为相反数时,要应用积的乘方处理好符号问题, 转化成同底数,再应用法则.
(2)同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方混合运算 的时候要注意三个方面:一是运算顺序,二是正确选择 法则,三是运算符号.
【变式训练】
2.(2017·潍坊中考)下列计算正确的是 ( )
A.a3×a2=a6
B.a3÷a=a3
C.a2+a2=a4
D.(a2)2=a4
【解析】选D.选项A是同底数幂的乘法,结果为a5,故选 项A错误;选项B是同底数幂的除法,结果为a2,故选项B 错误;选项C是合并同类项,结果为2a2,故选项C错误;选 项D是幂的乘方,底数不变,指数相乘,故选项D正确.
人教版2021中考数学总复习 第2讲 整式与因式分解
=12mn+10n
11. （2019·广州）分解因式： x2y+2xy+y＝____y_（__x_+_1_）__2__________________. 12. （2019·深圳）分解因式： ab2－a=________a_（__b_+_1_）__（__b_-_1_）_____________. 13.(2020·广东）分解因式： xy－x=_________x_(_y_－__1_)____________________．
14.(2020·长春）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成
人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童
票，则共需花费___（__3_0_m_+_12+2m=1，则4m2+8m-3的值是（ D ）
A．4
B．3
C．2
D．1
分层训练
变式诊断
9. （2019·深圳）下列运算正确的是（ C ）
A. a2+a2=a4
B. a3·a4=a12
C. (a3)4=a12
D. (ab)2=ab2
10.(2020·南通）计算：
（2m+3n）2-（2m+n）（2m-n）.
解：原式=4m2+12mn+9n2-（4m2-n2）
=4m2+12mn+9n2-4m2+n2
续表 4. 因式分解的步骤(概括为“一提，二套，三检查”)： (1)提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c). (2)套公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2±2ab+b2=(a±b)2(乘法公式 的逆运算). (3)检查:分解因式要分解到每一个多项式都不能再分解为止.
浙江专版中考数学第一章数与式第2讲整式与因式分解精讲本课件
a(1±x%)
每天工作量为a，完成工作量m所需时间
商品单价为a元，共有m个，总价
am
两y个种，商总品费单用价分别为a，b，两种商品分别购买x，ax＋by
商品单价a元，共有m元，购买n个，剩余金额 m－an
2.代数式求值的两种方法 (1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式求值； (2)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式的关系；②将所 求代数式变形成含有已知等式或部分项的形式，一般会用到提 公因式、平方差公式、完全平方公式；③把已知等式或部分项 之和看成一个整式代入所求代数式中求值．
1．(2021·温州)某地居民生活用水收费标准：每月用水量不
超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米(a＋1.2)元
．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为( D)
A．20a元
B．(20a＋24)元
C．(17a＋3.6)元
D．(20a＋3.6)元
2．(2021·杭州二模)已知a＝1，则a2＋4a＋4＝__9__．
A．a2
B．－a2
C．a4
D．－a4
9．(2021·衡阳)下列运算结果为 a6 的是( C )
A．a2·a3
B．a12÷a2
C．(a3)2
D．(12 a3)2
10．(2021·营口)下列计算正确的是( D )
A．2a＋3b＝5ab B．5a3b÷ab＝5a2b C．(2a＋b)2＝4a2＋b2 D．(－2a2b3)3＝－8a6b9
11．(2021·常州)计算：2a2－(a2＋2)＝ a2－2 ．
12．(2021·宁波)计算：(1＋a)(1－a)＋(a＋3)2. 解：原式＝1－a2＋a2＋6a＋9
＝6a＋10.
2022年中考数学一轮复习课件：第2讲 整式与因式分解
14．(2021 怀化)观察等式：2＋22＝23－2，2＋22＋23＝24－2， 2＋22＋23＋24＝25－2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100， 2101，2102，…，2199，若 2100＝m，用含 m 的代数式表示这组数的 和是 m2－m .
C．(a4)2＝a6
D．a4＋a2＝a4
6．(2019 广东)下列计算正确的是( C )
A．b6÷b3＝b2
B．b3·b3＝b9
C．a2＋a2＝2a2
D．(a3)3＝a6
7．(2020 广东)如果单项式 3xmy 与－5x3yn 是同类项，那么 m ＋n＝ 4 ．
8．(2021 山西)下列运算正确的是( A ) A．(－m2n)3＝－m6n3 B．m5－m3＝m2 C．(m＋2)2＝m2＋4 D．(12m4－3m)÷3m＝4m3
4．分解因式： (1)x3＋3x2＝ x2(x＋3) ； (2)10mn－15m＝ 5m(2n－3) ； (3)xy2－x＝ x(y＋1)(y－1) ； (4)2m2＋12m＋18＝ 2(m＋3)2 ．
直通中考
代数式． 1．已知 4a＋3b＝1，则整式 8a＋6b－3 的值为 －1 ． 2．(2019 广东)已知 x＝2y＋3，则代数式 4x－8y＋9 的值 是 21 ．
9．(2021 玉林)下列计算正确的是( D ) A．a5＋a5＝a10 B．－3(a－b)＝－3a－3b C．(ab)－3＝ab－3 D．a6÷a2＝a4
10．(2021 广东)已知 9m＝3，27n＝4，则 32m＋3n＝( D )
A．1
B．6
C．7
D．12
11．(2020 广东)先化简，再求值： (x＋y)2＋(x＋y)(x－y)－2x2，其中 x＝ 2，y＝ 3. 解：(x＋y)2＋(x＋y)(x－y)－2x2 ＝x2＋2xy＋y2＋x2－y2－2x2 ＝2xy. 当 x＝ 2，y＝ 3时， 原式＝2× 2× 3＝2 6.
2022年广西桂林中考数学复习课件：第2讲 整式、因式分解
幂的运算 【示范题 2】(2021·北部湾中考)下列运算正确的是(A ) A．a2·a3＝a5 B．(a2)3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．3a2－2a＝a2
1．(2021·安徽中考)计算 x2·(－x)3 的结果是(D )
A．2 025 B．2 023 C．2 021 D．2 019
3．(2021·嘉兴中考)观察下列等式：1＝12－02，3＝22－12，5＝32－22，…按此规 律，则第 n 个等式为 2n－1＝__n_2_－__(_n_－__1_)_2__．
4．(2021·江西中考)如表在我国宋朝数学家杨辉 1261 年的著作《详解九章算法》 中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第 四行空缺的数字是__3__．
(3)(2021·荆门中考)把多项式x3＋2x2－3x因式分解，结果为___x_(_x_＋__3_)(_x_－__1_)__．
3．(1)(2021·十堰中考)已知xy＝2，x－3y＝3，则2x3y－12x2y2＋18xy3＝__3_6____．
(2)(2021·苏州中考)若m＋2n＝1，则3m2＋6mn＋6n的值为__3____．
3．(2021·金华中考)已知 x＝16 ，求(3x－1)2＋(1＋3x)(1－3x)的值． 【解析】(3x－1)2＋(1＋3x)(1－3x) ＝9x2－6x＋1＋1－9x2＝－6x＋2， 当 x＝61 时，原式＝－6×16 ＋2＝－1＋2＝1.
考点四 因式分解 【示范题4】(1)(2021·贺州中考)多项式2x3－4x2＋2x因式分解为(A ) A．2x(x－1)2 B．2x(x＋1)2 C．x(2x－1)2 D．x(2x＋1)2 (2)①(2021·衡阳中考)因式分解：3a2－9ab＝___3_a_(a_－__3_b_)___． ②(2021·北部湾中考)分解因式：a2－4b2＝__ _(a_＋__2_b_)_(a_－__2_b_)___． ③(2021·陕西中考)分解因式：x3＋6x2＋9x＝__x_(_x_＋__3_)_2 __．
第2课 整式及其运算 因式分解(2)
解析：a3－ab2＝a(a2－b2)＝a(a＋b)(a－b)．
4．(2011·金华)下列各式能用完全平方公式进行分解因 式的是( D A．x2＋1 C．x2＋x＋1 ) B．x2＋2x－1 D．x2＋4x＋4
解析：只有x2＋4x＋4＝x2＋2·2x＋22＝(x＋2)2是完全
平方式．
5．(2011·天津)若实数x、y、z满足(x－z)2－4(x－y)(y－z)
＝(x＋2)(2x＋2)＝2(x＋2)(x＋1)
(3)(2011·芜湖)因式分解：x3－2x2y＋xy2＝ x(x－y)2 ；
解析：原式＝x(x2－2xy＋y2)＝x(x－y)2
(4)在实数范围内分解因式：x4－4.
解：原式＝(x2＋2)(x2－2)
＝(x2＋2)(x＋ 2 )(x－ 2 )．
题型五
2 ①－4x3y2＋28x2y－2xy＝ －2xy(2x y－14x＋1) ；
②6a2(x－y)2－3a(y－x)3＝ 3a(x－y)2(2a＋x－y) . 解析：①－4x3y2＋28x2y－2xy ＝－(4x3y2－28x2y＋2xy)
＝－2xy(2x2y－14x＋1)．
②6a2(x－y)2－3a(y－x)3 ＝6a2(x－y)2＋3a(x－y)3 ＝3a(x－y)2·[2a＋(x－y)] ＝3a(x－y)2(2a＋x－y)．
1 代入原式，可求得k. 2
知能迁移5
(1)(2011·衡阳)若m－n＝2，m＋n＝5，则m2－n2
．
的值为 10
解析：m2－n2＝(m＋n)(m－n)＝5×2＝10. (2)若△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，判断 △ABC的形状．
解：∵a＋2ab＝c＋2bc，
第2讲 整式及因式分解(精练)(解析版)
第2讲整式及因式分解(精练)(解析版)A基础训练B能力提升A基础训练一、单选题1.(2022•山东枣庄•中考真题)下列运算正确的是()A. 3屋一次=3 B. a3-ra2=a C. ( - 3ab2) 2= - 6a2h4 D. (a+h) 2=a2+ab+b2【答案】B【详解】A、3/-。
2=2〃2,故A错误，不符合题意；B、a3-ra2=ch故B正确，符合题意；C、( - 3ab2) 2 = 9612b4,故c错误，不符合题意；D、(6f+Z?) 2 = a2+2ah+h29故D不正确，不符合题意；故选：B.2.(2022•江苏泰州,中考真题)下列计算正确的是()A. 3ab + 2ab = 5ab B. 5y2 -2y2 = 3C. 7a + a = 7。
2D. /rTn — Imn2 = —mn2【答案】A【详解】解：A、3ab+lab - 5ab,故选项正确，符合题意；B、5/-2/=3/,故选项错误，不符合题意；C、Ja + a = Sa,故选项错误，不符合题意；D、和22不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；故选：A.3.(2022•广西河池・中考真题)多项式/一以+ 4因式分解的结果是()A. x (% - 4) +4 B. (x+2) (x- 2) C. (x+2) 2D. (%- 2) 2【答案】D【详解】解：d-4x+4 = (%-2)2.故选：D.4.(2022・湖南永州•中考真题)下列因式分解正确的是()A. 6+冲= i(x+y) + lB. 3Q +3Z?=3(Q+Z7)C. Q?+4Q +4=S+4『D. a2 -^b = a(a+b)【答案】B【详解】解：A、ax+ay=a(x+y),故选项计算错误;B、3a+3b=3(a+b)9选项计算正确;C> (a+b)2=a2^2ab+b2,故原选项错误；D、由A项解答可得a2-9b2=(a+3b)(a-3b),故原选项正确；故选D.2.(2022,江苏・顾山中学九年级阶段练习)直角三角形两直角边是方程％2一8%+ 14 = 0的两根，则它的斜边为()A. 8B. 7C. 6D. 2、/7【答案】C【详解】解：设直角三角形的斜边为J两直角边分别为〃与b,・・・直角三角形两直角边是方程8x + 14 = 0的两根，:,a + b = S,勿? = 14,根据勾股定理可得：=/+/=(〃 +与2—2^ = 64-28 = 36,• • c = 6 ♦故选：C.3.(2022・全国•七年级课时练习)若4 = /—2xy, 3 = J孙+ /，则A-23为()A. 3x2-2y2 -5xy^B. x2-2y2 -3xyC. —5xy — 2 y ~D . 3x~ + 2y~【答案】B【详解】解：A = £-2盯，8 = J孙+ y2,A — 2B = x~-2xy _ 2 _xy+y~] = x2 _2xy _ xy _ 2^~ =—2y——3xy ,故选：B.4.(2022 ・全国•八年级课时练习)对于多项式(1) d-y2；(2)-x2-y2； (3) 4x2-y ； (4)—4 + d中，能用平方差公式分解的是()A. (1) (2) B. (1) (3) C. (1) (4)D. (2) (4)【答案】C【详解】解：・・・平方差公式必须只有两项，并且是两个数平方差的形式，(1)—— y2两平方项符号相反，可以利用平方差公式；(2)-%2 - ,两平方项符号相同，不能运用平方差公式；(3)4/—y虽然是两项，并且是差的形式，但不是平方差的形式；(4)-4 + X2,两平方项符号相反，可以利用平方差公式.所以(1) (4)能用平方差公式分解.故选：C.5.(2022•辽宁•沈阳市南昌初级中学(沈阳市第二十三中学)八年级期中)小军是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：％-V, a—b, c , /_)/,《J工+了，分别对应下列六个字：抗，胜，必、，利，我，疫.现将y2户阳/_力因式分解，结果呈现的密码信息可能是() A.抗疫胜利B.抗疫必胜C.我必胜利D.我必抗疫【答案】B【详解】解：原式=(/一》2)(女—秘) = C(Q_〃)(X+・・・x-y, a-b,c, /_y2, 0 ,x+y,分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫. 对应抗，x+y对应疫，。
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B．a＝1，b＝－6
C．a＝1，b＝6
D．a＝5，b＝－6
9
二、填空题 9．单项式 8x2y2，12xy3，6x3y2 的公因式是 2xy2 ． 10．计算：4x2y·(－xy2)3＝ －4x5y7 ． 11．分解因式：x2y＋2xy＋y＝ y(x＋1)2 ． 12．分解因式：x2y－y3＝ y(x＋y)(x－y) ．
第2讲 整式与分解因式
一、选择题
1．下列计算正确的是( B A．(－2)3＝8 C．a2·a3＝a6
) B．(a2)3＝a6 D．4x2－2x＝2x
2
2．下列计算正确的是( D )
A．2a2·3a2＝6a2
B．(－3a2b)2＝6a4b2
C．(a－b)2＝a2－b2
D．－a2＋2a2＝a2
3
3．下列运算正确的是( B A．2m3＋3m2＝5m5 C．m·(m2)3＝m6
解：由题意得 a2－4×3×5＝229， 则 a2＝289， ∵边长 a＞0， ∴a＝ 289＝17. ∴正方形的边长 a 的值是 17.
16
14
16．如图，在边长为 a 的正方形纸片的四个角都剪去一个长 为 m、宽为 n 的矩形．
(1)用含 a，m，n 的式子表示 纸片剩余部分的面积；
解：∵正方形的面积是 a2，剪去的每一个矩形的面积是 mn， ∴剩余部分的面积是 a2－4mn.
15
(2)当 m＝3，n＝5，且剩余部分的面积等于 229 时，求正方形 的边长 a 的值．
12
15．用两种方法分解因式：(x2＋y2)2－4x2y2. 解：(方法一)(x2＋y2)2－4x2y2 ＝(x2＋y2)2－(2xy)2 ＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy) ＝(x＋y)2(x－y)2.
13
(方法二)(x2＋y2)2－4x2y2 ＝x4＋2x2y2＋y4－4x2y2 ＝x4－2x2y2＋y4 ＝(x2－y2)2 ＝(x＋y)2(x－y)2.
10
三、解答题 13．计算：(x＋1)2＋x(x－2)－(x＋1)(x－1)． 解：原式＝x2＋2x＋1＋x2－2x－(x2－1)＝x2＋x2－x2＋2x－2x
＋1＋1＝x2＋2.
11
14．先化简，再求值：(a－2b)(a＋2b)－(a－2b)2＋8b2，其中 a ＝－2，b＝12.
解：原式＝a2－4b2－(a2－4ab＋4b2)＋8b2＝4ab. 当 a＝－2，b＝12时， 原式＝4×(－2)×12＝－4.
B．a4b5
C．ab5
D．a5b6
6
6．计算 3a2·a3 的结果是( C )
A．4a5
B．4a6
C．3a5
D．3a6
7
7．计算(－2a)3 的结果是( A )
Aห้องสมุดไป่ตู้－8a3
B．－6a3
C．6a3
D．8a3
8
8．若(x－2)(x＋3)＝x2＋ax＋b，则 a，b 的值分别为( B )
A．a＝5，b＝6
) B．m3÷m2＝m D．(m－n)(n－m)＝n2－m2
4
4．下列分解因式错．误．的是( C ) A．2a－2b＝2(a－b) B．x2－9＝(x＋3)(x－3) C．a2＋4a－4＝(a＋2)2 D．－x2－x＋2＝－(x－1)(x＋2)
5
5．计算(a2b)3·ba2，结果是( A )
A．a5b5