Matlab建模教程-变分法简介
8.数学建模-变分法
如记泛函自变量在 x0( t ) 处的增量为： δx( t ) = x( t ) – x0( t ) ,
由它引起的泛函的增量记作 ΔJ = J ( x0( t ) + δx( t ) ) – J ( x0( t ) ) , 如果 ΔJ 可以表为：
若 J ( x ( t ) ) 在 “点 ” x ( t ) 处达到极大 (或极小 )值 , 则必 有 在该 “点 ” 处的变分为零 的 结论： J ( x(t )) 0
这是因为对任意的小参数 a ，总成立： J ( x(t ) a x(t )) J ( x(t ))
所以
= k( x( t ) ) · （a ∙ δx( t ) ）+ r ( x( t ) , a ∙δx( t ) )
2.设 S2 = { x ( t ) │ x ( t ) 为全体在区间 [ 0 ,1 ] 上可积的初等函数 } ，
G ( x (t )) x (t ) dt
0
1
即算出函数 x ( t ) 在区间 [ 0 ,1 ] 上的定积分之值。 例如，
G(e t ) e t dt e 1 , G(ln(t 1)) ln(1 t )dt 2 ln 2 1
一般而言，单位时间的生产费用应是生产率的函数，可以记作 f ( x’( t ) )；
而单位时间的储存费用是产品累积数的函数，可以记为 g(x(t))。
于是从 t = 0 到 t = T 的总费用是：
C ( x(t )) [ f ( x' (t )) g ( x(t ))]dt
0
D_变分法建模
2.端点变动的情况(横截条件)
容许曲线在始端固定,在末端不固定,是沿给定曲线变动, 端点条件为
以参数形式表述为 仿照前面推导可得
n 对每一个固定的 ， 都满足欧拉方程，即上式右端 第一项积分为0.
n 对于上式第二项、第三项，建立 与 之间的关系 .
n 两端对 求导,并令
有
n即
n 于是,前面的式子变为
n 由于 的任意性,得到横截性条件为
n 两种常见情形 n (1)当 时垂直于横轴,且终端时刻固定,终端自由. 此
时 及 的任意性,得到横截性条件为
n (2)当 时平行于横轴,且终端时刻自由,终端固定. 此
时
,得到横截性条件为
三、有约束条件的泛函极值
n 基本思想：将条件极值转化为无条件极值. n 寻找最优性能指标(目标泛函)
(用于确定 ) (用(于用确于定确定 ) )
解最优控制问题的步骤： （１）解控制方程得u＊。
（2）将上述u＊代入 正则方程，即可求得 和
在考虑边值条件可得 和 。
（3）将（2）中求得的代入（1）即可得到u＊。
四、最大值原理
如果受控系统为
其控制策略u(t)在有界集U中，求u(t)使得性能指标最优 (达到最大值或者最小值)
都有一个实数J与之对应,则称定义在S 上的泛函,记为
.
例如,函数的定积分 是一个泛函.
4.泛函的连续性 如果对于任意给定的正数 ,存在正数 ,当
时,能使
,则称泛函 在
阶接近的连续泛函.
处是k
n 5.泛函的变分
设 在 处的增量记为
,
如果泛函 在 处的增量
可以表示为
其中，L是 线性函数，R是 的高阶无穷
最大值原理是：如果
变分贝叶斯 matlab
变分贝叶斯 matlab
【原创版】
目录
1.变分贝叶斯算法概述
2.MATLAB 在变分贝叶斯算法中的应用
3.变分贝叶斯算法的实例应用
4.结论与展望
正文
【1.变分贝叶斯算法概述】
变分贝叶斯（Variational Bayesian，VB）算法是一种近似求解贝叶斯问题的方法，通过引入先验分布和后验分布，将原贝叶斯问题转化为一个最优化问题。
这种方法在很多领域都有广泛的应用，如机器学习、信号处理等。
【2.MATLAB 在变分贝叶斯算法中的应用】
MATLAB 是一种强大的数学软件，可以方便地实现变分贝叶斯算法。
它提供了丰富的函数库，如统计与机器学习工具箱、信号处理工具箱等，为变分贝叶斯算法的实现提供了便利。
【3.变分贝叶斯算法的实例应用】
以一个简单的线性回归问题为例，假设我们有一组数据 X 和 Y，我们的目标是找到一个线性模型 y=wx+b 来拟合数据。
这是一个典型的贝叶斯问题，我们可以通过变分贝叶斯算法来求解这个问题。
具体步骤如下：
(1) 定义先验分布：在此问题中，我们可以将权重 w 和偏置 b 看作是两个独立的高斯分布。
(2) 定义后验分布：根据贝叶斯公式，后验分布可以表示为似然函数乘以先验分布的积分。
(3) 求解最优化问题：通过最大化后验分布，我们可以得到权重 w 和偏置 b 的值。
(4) 使用 MATLAB 实现：我们可以使用 MATLAB 的优化工具箱求解这个最优化问题，得到权重 w 和偏置 b 的值。
【4.结论与展望】
变分贝叶斯算法是一种有效的求解贝叶斯问题的方法，MATLAB 为这种算法的实现提供了便利。
数学建模变分法建模
条件极值 满足的方程
所需的时间最少(见图1)。
x0
x1
x
y0
y1
A( x0 , y0 )
B( x1 , y1 )
y
图6-1
由能量守恒定律，物体在曲线 轨道上任意一点处的速度为
ds v 2 gy dt
2
1 y ds dt dx 2 gy 2 gy
物体从A到B的 滑行时间为
T[ y ( x )]
第六讲
变分法建模
• 处理动态优化问题
• 问题归结为求最优控制函数使某个泛函 达到最大或最小 6.1 变分法简介 6.2 掌舵问题
6.1 变分法简介
一 实例 最速下降问题
求一条曲线 y x S，使得物体在重力的作用下
(不计摩擦力)，由 A x0 , y0 沿着该曲线轨道滑到 B x1 , y1
2
y 2 ~ C1 2 y 1 y
y 1 y C1
2
y ' ctgt y 1 ctg 2 t C1
dy ctgt dx
y c1 si n2 t 或 dy dx ctgt
C1 2t s i n2t x C2 2 y C 1 1 co s 2t 2
I ( y( x ), u( x ))
x
x0
H y dx
哈密尔顿函数
H y H y
y u
d H y dx d H y dx
y u
0 0
H ( x ) 0 y H 0 u
变分法基本原理
变分法基本原理【1】变分法（Variational method）是一种数学方法，用于解决泛函的极值问题。
泛函是把函数映射到实数的映射，而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。
【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤一：定义泛函首先，要明确定义所研究的泛函。
泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。
要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。
步骤二：提出变分函数接下来，通过引入一个假设的函数（称为变分函数）作为泛函的自变量，使泛函成为这个变分函数的函数。
变分函数通常具有一定的约束条件，如满足特定边界条件或其他限制条件。
步骤三：计算变分利用变分函数的小扰动，即在该函数上加上一个小的修正项，计算泛函的变分。
变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。
步骤四：应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中，得到泛函的表达式。
然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程，将泛函转化为一个微分方程。
这个微分方程是通过对变分函数求导，然后令导数为零得到的。
步骤五：求解微分方程解决微分方程，得到最优解的表达式。
这个最优解是使得泛函取得极值的函数。
【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题，简化了求解的过程。
【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理，即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。
此外，变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。
【5】总之，变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。
它的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域，并具有很好的应用前景。
Matlab中的变分法和泛函分析技巧
Matlab中的变分法和泛函分析技巧引言：近年来，计算机在科学领域的应用愈发广泛。
Matlab作为一种功能强大且易于使用的编程语言，不仅在数学建模和科学计算方面有着广泛的应用，还提供了丰富的工具箱。
本文将讨论在Matlab中应用变分法和泛函分析技巧，以解决实际问题的方法与技巧。
一、变分法介绍1. 变分法概述变分法是一种数学方法，用于寻找函数的极值或解的近似解。
它将函数的变分（即微小变化）与其它函数进行比较，从而找到使得泛函取极值的函数。
变分法在物理学、工程学和应用数学中具有广泛的应用，例如求解最短路径、最小化能量等。
2. 变分法基本原理变分法的基本原理可以归纳为求解欧拉-拉格朗日方程。
对于给定的泛函，欧拉-拉格朗日方程是一个关于未知函数的微分方程，通过求解这个微分方程，可以得到泛函的极值。
二、Matlab中的变分法应用1. Matlab工具箱Matlab提供了丰富的工具箱和函数，可以帮助我们在变分法的研究中应用数值计算方法。
一些常用的工具箱包括Symbolic Math Toolbox、Optimization Toolbox 等。
2. 符号计算在变分法中，符号计算是非常重要的。
Matlab的Symbolic Math Toolbox提供了一种方便的符号计算环境，可以进行符号变量的定义、微分和积分等操作，有助于求解变分问题。
3. 数值计算除了符号计算，数值计算在求解变分问题时也是必不可少的。
Matlab提供了丰富的数值计算函数，如ode45、fsolve等，可用于求解微分方程和非线性方程，从而辅助变分法的求解过程。
三、泛函分析技巧介绍1. 泛函分析概述泛函分析是数学中研究函数空间和线性算子的学科。
它的基本概念是将函数看作向量，并通过函数之间的内积、范数等概念来描述函数的性质。
泛函分析在优化、微分方程和偏微分方程等领域具有广泛的应用。
2. 空间表示和正交基函数在泛函分析中，将函数看作向量，可以使用空间表示来描述函数的性质。
变分法基础 老大中
变分法基础老大中引言变分法是一种应用数学中的方法，用于求解函数极值问题。
它通过对函数的一次变化（即变分）来推导出极值条件，从而得到函数的极值。
变分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域，是一种强大且灵活的工具。
本文将介绍变分法的基础知识和应用。
变分问题的基本概念在介绍变分法之前，我们先来了解一下变分问题的基本概念。
变分问题通常涉及一个函数和一个约束条件，我们的目标是找到满足约束条件的函数，使得某个性能指标最优化。
假设我们有一个函数y(x)，其中x为自变量，y为因变量。
我们希望找到一个函数y(x)，使得满足一定的约束条件，并且某个性能指标最小或最大。
这个问题可以表示为一个函数的极值问题，可以通过变分法来解决。
变分法的基本原理变分法的基本原理是在一个函数的变化上进行优化。
我们假设y(x)是我们想要优化的函数，而y(x)+δy(x)是一个与y(x)相近的函数，其中δy(x)是一个变分。
变分表示函数y(x)的微小变化。
通过对变分进行操作，我们可以得到一个优化问题。
欧拉-拉格朗日方程变分法的重要工具是欧拉-拉格朗日方程。
欧拉-拉格朗日方程给出了在满足约束条件的情况下，函数极值点的一种判定方法。
欧拉-拉格朗日方程可以通过对变分法的应用来推导出来。
欧拉-拉格朗日方程的一般形式如下：$$\\frac{{\\partial F}}{{\\partial y}} -\\frac{{\\mathrm{d}}}{{\\mathrm{d}x}}\\left(\\frac{{\\partial F}}{{\\partialy'}}\\right) = 0$$其中，F是一个与y(x)和y’(x)相关的函数，y’表示y关于自变量x的导数。
这个方程可以通过变分法推导出来，并且是变分问题的一个重要结论。
示例：求解最短路径问题我们可以通过一个具体的例子来演示变分法的应用。
假设我们想要求解两点间的最短路径问题。
设我们有一个平面上的点A和点B，我们希望找到连接点A和点B的最短路径。
变分法的概念与应用
变分法的概念与应用变分法是数学分析的一个重要分支，它主要研究函数的极值问题。
变分法的概念和应用在物理学、工程学以及经济学等领域中都有广泛的运用。
本文将介绍变分法的基本概念、变分问题的一般形式以及变分法在不同领域中的应用。
一、变分法的基本概念变分法是数学中研究最值问题的一种方法，它主要依赖于变分和泛函的概念。
在变分法中，我们不仅仅研究函数的值，而是研究由函数组成的集合的性质。
1. 变分变分是指函数的微小改变。
在变分法中，我们考虑函数在其定义域内的某个小区间上的变化情况。
通过对函数进行微小的变化，我们可以得到函数的变分。
2. 泛函泛函是指由函数所组成的对象。
与函数不同，泛函是将函数映射到一个实数上的规则。
泛函可以被看作是函数的函数，它描述了函数集合中的某种性质。
二、变分问题的一般形式在变分法中，我们通常关注泛函的极值问题。
这类问题可以表示为：找到一个函数使得某个泛函取得最大或最小值。
1. 极小值问题极小值问题是变分问题中最常见的一类问题。
对于一个给定的泛函，我们希望找到一个函数使得该泛函取得最小值。
2. 极大值问题与极小值问题类似，极大值问题是指在给定的泛函下找到一个函数使得该泛函取得最大值。
三、变分法在不同领域中的应用变分法在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。
以下将分别介绍其中的几个典型应用。
1. 物理学应用在物理学中，变分法被广泛用于描述自然界中的各种物理现象。
其中最著名的应用之一是费马原理，它描述了光的传播路径满足光程最短的原理。
通过使用变分法，可以导出折射定律和反射定律等光学定律。
2. 工程学应用在工程学领域，变分法被应用于结构力学、流体力学以及电磁学等问题的求解。
例如，在结构力学中，通过变分法可以求解桥梁和建筑物等结构的最小曲线和最小表面形状。
3. 经济学应用变分法在经济学中的应用主要集中在最优控制问题的求解上。
在经济学中，我们经常关注如何通过制定最优决策来达到特定的目标。
通过变分法，可以求解出最优控制策略，从而实现最大化利润或最小化成本等经济目标。
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（2）
考虑几个具体曲线，取 ，
若 ，则
若y(x)为悬链线，则
对应 中不同的函数y(x)，有不同曲线长度值J，即J依赖于y(x)，是定义在函数集合 上的一个泛函，此时我们可以写成
我们称如下形式的泛函为最简泛函
（3）
被积函数 包含自变量 ，未知函数 (t)及导数 (t)。上述曲线长度泛函即为一最简泛函。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题
(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。
§1 变分法简介
作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：
约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”
解此方程并适当选取参数，得
（1）
即为悬链线。
悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！
。用变动的 代替 ，就有 。
泛）
这是因为当变分存在时，增量
根据 和 的性质有
所以
1.2泛函极值的相关结论
1.2.1泛函极值的变分表示
利用变分的表达式（4），可以得到有关泛函极值的重要结论。
泛函极值的变分表示：若 在 达到极值（极大或极小），则
（5）
1.2.3几种特殊形式最简泛函的欧拉方程
( ) 不依赖于 ，即
这时 ，欧拉方程为 ，这个方程以隐函数形式给出 ，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。
( ) 不依赖 ，即
欧拉方程为
将上式积分一次，便得首次积分 ，由此可求出 ，积分后得到可能的极值曲线族
( ) 只依赖于 ，即
， （6）
泛函极值的必要条件：设泛函（3）在x(t)∈S取得极值，则x(t)满足欧拉方程
（7）
欧拉方程推导：首先计算（3）式的变分：
对上式右端第二项做分布积分，并利用 ，有
，
所以
利用泛函极值的变分表示，得
因为 的任意性，及 ，由基本引理，即得（7）。
（7）式也可写成
（8）
通常这是关于x(t)的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（6）确定。
现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。
1.1变分法的基本概念
1.1.1泛函的概念
设 为一函数集合，若对于每一个函数 有一个实数 与之对应，则称 是定义在 上的泛函，记作 。 称为 的容许函数集。
这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
1.1.2泛函极值问题
考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：
在所有连接定点 的平面曲线中，试求长度最小的曲线。
即，求 ，使
取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为，
称泛函 在 取得极小值，如果对于任意一个与 接近的 ，都有 。所谓接近，可以用距离 来度量，而距离可以定义为
泛函的极大值可以类似地定义。其中 称为泛函的极值函数或极值曲线。
1.1.3泛函的变分
如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数 在 的增量记为
也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作
如果 可以表为
其中 为 的线性项，而 是 的高阶项，则称 为泛函在 的变分，记作
证明：对任意给定的 ， 是变量 的函数，该函数在 处达到极值。根据函数极值的必要条件知
再由（4）式，便可得到（5）式。
变分法的基本引理： ， ， ，有
，
则 。
证明略。
1.2.2泛函极值的必要条件
考虑最简泛函（3），其中F具有二阶连续偏导数，容许函数类S取为满足端点条件为固定端点（6）的二阶可微函数。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程