数字信号处理实验三--用FFT作谱分析

数字信号处理实验报告一、实验目的（1） 进一步加深DFT 算法原理和基本性质的理解（因为FFT 只是DFT 的一种快速算法，所以FFT 的运算结果必然满足DFT 的基本性质）；（2） 熟悉FFT 算法的原理；（3） 学习用FFT 对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT 。

二、实验内容 （1）x(n)={1 0≤n ≤50 其他构造DFT 函数计算x(n)的10点DFT ，20点DFT并画出图形；（2）利用FFT 对下列信号逐个进行谱分析并画出图形 a 、x 1(n)=R 4(n)； b 、x 2(n)=cos π4n ； c 、x 3(n)=sin π8n以上3个序列的FFT 变换区间N=8，16（3）设一序列中含有两种频率成份，f1=2HZ,f2=2.05HZ,采样频率取为fs ＝10HZ ，即)/2sin()/2sin()(21s s f n f f n f n x ππ+=要区分出这两种频率成份，必须满足N>400,为什么？ a.取x(n)(0≤n<128)时，计算x(n)的DFT X(k)b.将a 中的x （n ）以补零方式使其加长到0≤n<512，计算X(k)c.取x(n)( 0≤n<512)，计算X(k)（4）令)()()(32n x n x n x +=用FFT 计算16点离散傅立叶变换并画出图形，分析DFT 的对称性 （5）)()()(32n jx n x n x +=用FFT 计算16点离散傅立叶变换并画出图形，分析DFT 的对称性 三、实验代码 （1）1、 代码function[Xk]=dft(xn,N)n=[0:1:N-1];k=[0:1:N-1];WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=xn*WNnk; %离散傅立叶变换方法定义N=10; %10点DFTn1=[0:N-1];x1=[ones(1,6),zeros(1,N-6)]; %生成1行6列的单位矩阵和1行N-6列的0矩阵Xk1=dft(x1,N); %10点DFTfigure(1);subplot(2,1,1);stem(n1,x1); %画火柴图xlabel(‘n’);ylabel(‘x(n)’);subplot(2,1,2);stem(n1,abs(Xk1));xlabel(‘n’);ylabel(‘x(n)’);N=20;n2=[0:N-1];x2=[ones(1,6),zeros(1,14)];Xk2=dft(x2,N);figure(2);subplot(2,1,1);stem(n2,x2);xlabel(‘n’);ylabel(‘x(n)’);subplot(2,1,2);stem(n2,abs(Xk2));xlabel(‘n’);ylabel(‘x(n)’);2、运行结果图1 10点DFT图2 20点DFT3、结果分析定义x(n)的N 点DFT 为由定义知：DFT 具有隐含周期性，周期与DFT 的变换长度N 一致，这说明，变换长度不一样，DFT 的结果也不一样10)()(1-≤≤=∑-=N k W n x k X N n nkNNjN eW π2-=其中（2）1、代码N=64;n=[0:N-1];x1=[ones(1,4),zeros(1,N-4)];%定义x1(n)=R4(n)nx2=cos((pi/4)*n); %定义x2(n)=cosπ4nx3=sin((pi/8)*n); %定义x3(n)=sinπ8y1=fft(x1);y2=fft(x2);y3=fft(x3); %分别进行DFTfigure(1);m1=abs(y1);subplot(2,1,1); %绘制x1(n)的图形stem(n,x1);subplot(2,1,2); %绘制x1(n)的DFT图形stem(n,m1)figure(2);m2=abs(y2);subplot(2,1,1);stem(n,x2); %绘制x2(n)的图形subplot(2,1,2);stem(n,m2); %绘制x1(n)的DFT图形figure(3);m3=abs(y3);subplot(2,1,1);stem(n,x3); %绘制x3(n)的图形subplot(2,1,2);stem(n,m3); %绘制x1(n)的DFT图形2、运行结果图3 x1(n)的DFT前后图形图4 x2(n)的DFT前后图形图5 x3(n)的DFT前后图形3、结果分析由图可以看出，离散序列的DFT与对应连续函数的FT有对应关系，不同之处在于DFT的结果是离散的，而FT的结果是连续的，再者，DFT结果与DFT 的变换长度N有关。

（3）a、1、程序N=256;n=[0:N-1];x=sin(2*pi*2*n/10)+sin(2*pi*2.05*n/10); %定义xX=fft(x); %DFTfigure(1);subplot(2,1,1);stem(n,x); %绘制xsubplot(2,1,2);plot(n,abs(X)); %绘制DFT后的图形2、运行结果图6 长度为256的DFTb、1、程序N=128;n=[0:N-1];n1=[0:511];x=sin(2*pi*2*n/10)+sin(2*pi*2.05*n/10);x1=[x,zeros(1,384)]; %以补零方式将n加长到512 X1=fft(x1);figure();subplot(2,1,1)stem(n1,x1); %绘制xsubplot(2,1,2);plot(n1,abs(X1)) %绘制DFT后的图形2、运行结果图7 以补零方式加长到512的DFTC、1、程序N1=512;n2=[0:N1-1];x2=sin(2*pi*2*n2/10)+sin(2*pi*2.05*n2/10); %长度为512时变换X2=fft(x2);hold onfigure();subplot(2,1,1);stem(n2,x2); %绘制xsubplot(2,1,2);plot(n2,abs(X2)); %绘制DFT后的图形2、运行结果图8 长度为512的DFT3、结果分析由三种情况下的DFT结果可知，要区分信号中的两个不同频率，需要有一定个数的N，也就是说，N要足够大才可以区分开两个频率；第一种N，N<400，因此DFT后二者频率未被区分开来；第二种N，N以补零的方式加长到512点，大于400，则可以将二者频率区分开来；第三种N，N>400，二者频率分开了；也就是说，区分不同频率从DFT的角度来讲只要加长N的长度，而不管是以补零方式加长还是其他方式加长。

（4）1、程序N=16;n=[0:N-1];x2=cos((pi/4)*n);x3=sin((pi/8)*n);x=x2+x3; %定义前述的序列x2(n)、x3(n)和x(n)y2=fft(x2);y3=fft(x3); y=fft(x); %对x2(n)、x3(n) 和x(n)进行傅立叶变换figure(1);m2=abs(y2);subplot(2,1,1);stem(n,x2); %绘制x2(n)的图形subplot(2,1,2);stem(n,m2) %绘制DFT后的x2(n)图形figure(2);m3=abs(y3);subplot(2,1,1);stem(n,x3); %绘制x3(n)的图形subplot(2,1,2);stem(n,m3); %绘制DFT后的x3(n)图形figure(3);m=abs(y);subplot(2,1,1);stem(n,x); %绘制x(n)的图形subplot(2,1,2);stem(n,m); %绘制DFT后的x(n)图形2、运行结果图9 x2(n)DFT前后的图形图10 x3(n)DFT前后的图形图11 x(n)DFT前后的图形3、结果分析a、x2(n)为实偶对称序列（余弦序列），也可以认为是共轭对称序列；b、x3(n)为实奇对称序列（正弦序列），也可以认为是共轭反对称序列；c、x(n)可以认为是一个分成了共轭对称和共轭反对称序列的实序列，则其DFT的实部对应x2(n)，其虚部和j一起对应x3(n)；以上就是DFT的共轭对称性的一部分。

（5）1、程序N=16;n=[0:N-1];x1=cos((pi/4)*n)+j*sin((pi/8)*n);y1=fft(x1);figure(1);m1=abs(y1);subplot(2,1,1);stem(n,x1); %绘制x1(n)的图形subplot(2,1,2);stem(n,m1); %绘制DFT后的x1(n)图形2、运行结果图12 x1(n)DFT前后的图形3、结果分析X1(n)可以认为是一个分成了实部和虚部的序列，则其DFT的实部对应共轭对称序列，其虚部和j一起对应共轭反对称序列。

就是DFT的共轭对称性的另一部分。

四、实验小结通过此次实验，我进一步加深DFT算法原理和基本性质的理解；熟悉FFT算法的原理；知道了如何用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT。

同时此次实验也加深了我对课本知识的理解，能更加熟练的将课本知识运用的实际问题中。