直线回归方程的求解方法
回归直线方程
回归直线方程
若：在一组具有相关关系的变量的数据（x与Y）间，通过散点图我们可观察出所有数据点都分布在一条直线附近，这样的直线可以画出许多条，而我们希望其中的一条最好地反映x与Y 之间的关系，即我们要找出一条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点，记此直线方程为（如右所示，记为①式）
这里在y的上方加记号“^”，是为了区分Y的实际值y，表示当x取值xi=1，2， (6)
时，Y相应的观察值为yi，而直线上对应于xi的纵坐标是
①式叫做Y对x的
回归直线方程，相应的直线叫做回归直线，b叫做回归系数。
要确定回归直线方程①，只要确定a与回归系数b。
回归直线的求法
最小二乘法：
总离差不能用n个离差之和
来表示，通常是用离差的平方和，即
作为总离差，并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中Q去最小值的那一条，这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法
用最小二乘法求回归直线方程中的a,b有下面的公式：
回归直线方程求a b公式
BB。
求线性回归直线方程的步骤
请同学们回忆一下,我们以前是否学过 变量间的关系呢?
两个变量间的函数关系.
相关关系与函数关系的异同点:
相同点:两者均是指两 个变量间的关系. 不同点:①函数关系是一种确定的关系; 相关关系是一种 非确定的关系.事实上,函数关系是两个非 随机变量的关系,而相关关系是随机变量 与随机变量间的关系. ②函数关系是一种因果关系,而相关关系 不一定是因果关 系,也可能是伴随关系.
20
30
40
^ （4）当x=2时，y=143.063, 因此，这天大 约可以卖出143杯热饮。
小结：
（1）判断变量之间有无相关关系，简便方 法就是画散点图。 （2）当数字少时，可用人工或计算器，求 回归方程；当数字多时，用Excel求回归方 程。 （3）利用回归方程，可以进行预测。
热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一
般规律； (3)求回归方程； (4)如果某天的气温是 2 C,预测这天卖出的热饮杯数。
0
解: (1)散点图
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 -10 0
10x y
2
x
i 1
2 i
10 x
110 10 0 1 110 10 0
a y bx 0 b 0 0
∴所求回归直线方程为 ^ y=x
小结：求线性回归直线方程的步骤： 第一步：列表 x , y , x y ；
i i i i
第二步：计算
x, y, xi , xi y
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65
经验回归直线方程
经验回归直线方程1.含义经验回归直线是指以经验数据为基础，建立的一条线性回归直线。
经验回归直线方程的形式为：y = a * x + b其中，y是解释变量，x是自变量，a是斜率，b是截距。
经验回归直线的目的是通过对自变量的变化，来预测解释变量的值。
经验回归直线的优点在于简单易懂，缺点在于对离群值敏感，而且对于非线性关系的数据不能很好地拟合。
经验回归直线的方程可以通过最小二乘法来求解。
首先，需要收集足够多的经验数据，然后利用最小二乘法的公式计算出斜率a和截距b的值。
最后，就可以得到经验回归直线的方程了。
经验回归直线通常用于研究两个变量之间的线性关系，例如销售额与营销费用之间的关系、学习时间与考试成绩之间的关系等。
它可以帮助我们更好地理解数据的规律，并且为进一步的决策提供依据2.实际应用在实际应用中，经验回归直线主要用于研究两个变量之间的线性关系，并通过对自变量的变化来预测解释变量的值。
使用经验回归直线时，需要注意以下几点：1.确定自变量和解释变量：首先要确定经验回归直线要研究的自变量和解释变量，并确定它们之间的关系。
2.收集足够多的经验数据：经验回归直线的拟合精度取决于经验数据的数量和质量，因此要收集尽可能多的经验数据。
3.使用最小二乘法计算斜率和截距：最小二乘法是一种常用的拟合方法，可以用来计算经验回归直线的斜率和截距。
4.画出经验回归直线图：通过将经验数据和经验回归直线画在同一个图上，可以直观地看出两者之间的关系。
5.评估经验回归直线的拟合精度：通过计算经验回归直线的拟合优度或决定系数，可以评估经验回归直线的拟合精度。
回归直线方程公式详解及例题
回归直线方程公式详解及例题回归直线方程，听起来是不是有点严肃？这玩意儿就像是数学里的“小白兔”，看起来很复杂，但其实乍一看也不过是个简单的小家伙。
让咱们聊聊这个直线方程的由来，还有怎么用它解决问题。
说白了，就是用一条直线把一堆数据给“牵”起来，让我们看清楚它们之间的关系。
就像在赶集一样，把各种水果摆成一排，想要了解哪个最受欢迎。
这里，最常见的回归直线方程是y = mx + b。
听起来不算复杂吧？不过咱们慢慢来，不急。
y代表咱们要预测的东西，比如说，你想知道你的成绩和学习时间的关系，那y就可以是你的成绩；x就是你花在学习上的时间。
m，这个家伙叫做斜率，表示的是y和x之间的关系，简单来说就是学习时间每增加一个小时，成绩大概能提高多少分。
b则是当你啥都不做时，你的成绩是多少，这个也很重要，没错，人生不就是这么回事吗？想象一下，拿出一根铅笔和一张纸，把这些点点画出来。
每个点就代表了一次测量，比如说你在不同时间学习的成绩。
画得可真像一幅抽象画，虽然一开始没法看出什么，但如果仔细一看，就能发现某种趋势。
这就是回归分析的魔力，它能帮你找到这些点之间的规律。
慢慢地，这些点就会聚成一条线，给你展示出学习时间和成绩之间的关系。
再来聊聊如何计算这些参数。
有很多软件和工具可以帮你做这些。
但如果你想亲自尝试，手动计算也是个不错的选择。
先得算出这些数据的平均值，接着用这些平均值来计算m和b。
想象一下，m的计算就像是在算你朋友圈里哪个小伙伴总是抢着买单。
搞定这些，y = mx + b就能顺利出炉了。
说到这里，有些小伙伴可能会想，回归直线到底有什么用呢？这玩意儿其实是个超有用的工具。
比如说，商家可以用它预测销量，学校可以分析成绩趋势，甚至天气预报也会用到。
想想看，如果你知道晴天和下雨天的概率，你是不是就能提前决定穿哪双鞋？这不就是让生活更简单吗？回归直线也有它的局限性。
毕竟，生活可不是总那么简单。
数据点就像是小孩子一样顽皮，根本不愿意听话，完全不按常理出牌。
线性回归方程lnx公式
线性回归方程lnx公式b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。
线性回归方程是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一。
线性回归方程公式求法第一：用所给样本求出两个相关变量的(算术）平均值：x_=(x1+x2+x3+...+xn)/ny_=(y1+y2+y3+...+yn)/n第二：分别计算分子和分母：（两个公式任选其一）分子=(x1y1+x2y2+x3y3+...+xnyn)-nx_Y_分母=(x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2)-n*x_^2第三：计算b：b=分子/分母用最小二乘法估计参数b，设服从正态分布，分别求对a、b的偏导数并令它们等于零，得方程组解为其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程，称为回归系数，对应的直线称为回归直线.顺便指出，将来还需用到，其中为观测值的样本方差。
先求x，y的平均值X，Y再用公式代入求解:b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)后把x，y的平均数X，Y代入a=Y-bX求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程(X为xi的平均数，Y为yi的平均数)线性回归线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，应用十分广泛。
变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点，将散布在某一直线周围。
因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数。
分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
线性回归
( X X )(Y Y ) 41.20 b 0.061 677 . 42 ( X X )
2
6
Y X
Y
n X n
99.2 31 534 31
3.2 17.23
a Y b X 3.2 0.06117.23 2.15
Y a bX 2.15 0.061 X
5
编号 （1）
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
尿雌三醇 mg/24h （2） 17 25 27 15 15 15 16 19 18 17 18 20 22 25 24
产儿体重 kg （3） 3.2 3.2 3.4 3.4 3.4 3.5 3.5 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 4.0 3.9 4.3
17
18
19
R相关系数
20
b ANOVA
Model 1
Reg ression Residual Total
Sum of Squares 2.506 4.234 6.740
df 1 29 30
Mean Square 2.506 .146
F 17.162
Sig . .000a
a. Predic to rs: (Cons tant), 尿 雌三 醇 （ mg/24h ） b. Dep endent Variable: 产 儿体 重 (kg)
22
3.利用回归方程进行统计控制 利用回归方程进行逆估计，即要求因变 量y的容 许取值范围，逆向估计X的取值范围。
4.利用多重回归描述多因素的影响 在实际应用中，我们会发现，通常一个结果 的产生是由多种原因造成的。为了综合考虑这些 因素，可以用多重回归的方法来解决。
回归直线方程的求解方法
例1 据调查，某产品的宣传费用支出X在一定范围内与销售额Y 之间有表10-20所示对应关系（单位：万元）；
X Y
2 25
4 40
5 48
6 50
7 60
8 75
试写出y对x的回归直线方程。
解 经计算可知：
n 16 149 2384 n x ,y , xy , xi yi 1770 , xi2 194, n 6. 3 3 9 i 1 i 1
问题解决 表10-21是随机抽取的8名学生的身高x(cm)与体重 y(kg)的数据。 x 17 15 17 16 18 17 15 16 2 0 0 5 0 6 5 0 60 47 85 70 75 80 50 65
Y
试求出身高与体重之间的关系的回归直线方程。 （回归系数取整数）
求回归直线方程的步骤： ⑴计算平均数； ⑵计算的积，求； ⑶计算； ⑷将结果代入公式求b； ⑸用 求a； ⑹写出回归方程．
1
了解相关关系、回归分析、散点图、回归直线 方程的概念．
2
掌握散点图的画法，掌握回归直线方程的求 解方法，会求回归直线方程．
3
让学生参与回归直线的探求，结合身边的实 例，发现散点图的线性特征，主动构建线性回归 直线方程的模型．
散点图的画法，回归直线方程的求解方法．
回归直线方程的求解方法．
这节课主要采取启发引导和讲练结 合的教学方法．通过创设情境、设置问 题等手段对学生进行了启发、诱导，结 合讨论法、讲授法组织学生自主探 究．然后结合例题及课后练习巩固求回 归直线方程的步骤．
若已知变量x与y之间存在着某种相关关系，为了研 究它们之间关系，一个最简单的方法是作图。若以X作 为自变量，y作为因变量，每对数据（x，y)在坐标系中 用相应的点表示，这种图称为散点图，从散点图可以看 出两个变量之间的大致关系。 对于相关关系，虽不能求出变量之间精确的函数关 系式，但通过观测大量的数据，可以发现它们之间的关 系存在着一定的统计规律性，应用统计方法寻求一个数 学公式描述变量间的相关关系所进行的统计分析称为回 归分析，其中最简单、最常用的就是只含有两个变量的 一元线性回归。
线性回归计算方法及公式PPT课件
(y = ax + b)
解释
其中(y)是因变量，(a)是斜率，(x)是自变量，(b)是截距。
实例二：多元线性回归分析
总结词
多个自变量的线性关系
详细描述
多元线性回归分析研究因变量与多个自变量之间的线性关 系。通过引入多个自变量，可以更全面地描述因变量的变 化规律。
公式
(y = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + b)
加权最小二乘法的公式
加权最小二乘法的公式是：(ŷ=β₀+β₁x₁+β₂x₂+...+βₙxₙ)其中，(w_i)是加权因 子，用于对不同观测值赋予不同的权重。
加权最小二乘法适用于数据存在异方差性的情况，通过给不同观测值赋予不同的 权重，能够更好地拟合数据。
主成分回归的公式
主成分回归的公式是：(ŷ=β₀+β₁z₁+β₂z₂+...+βₙzₙ)其中， (z_i)是主成分得分，通过对原始自变量进行线性变换得到。
误差项独立同分布
误差项被假设是相互独立的，并且具有相 同的分布（通常是正态分布）。
误差项无系统偏差
自变量无多重共线性
误差项被假设没有系统偏差，即它们不随 着自变量或因变量的值而变化。
自变量之间被假设没有多重共线性，即它 们是独立的或相关性很低。
02
线性回归模型
模型建立
确定因变量和自变量
首先需要确定研究的因变量和自变量， 以便建立线性回归模型。
以提供更稳定和准确的估 计。
(y = (X^T X + lambda I)^{1}X^T y)
其中(y)是因变量，(X)是自变量 矩阵，(lambda)是正则化参数
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直线回归方程的求解方法
在求具有线性相关关系的两个变量之间的回归方程时，由于所给两个变量的数据较多并且量大，致使运算量大且繁杂，常常使我们望而生“畏”，望而生“烦”．那么,如何尽快的求出回
父亲身高（x）60 62 64 65 66 67 68 70 72 74
儿子身高（y）63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70
子的身高．
分析：对于两个变量，在确定具有线性相关关系后，可以利用“最小二乘法”来求回归方程．用“最小二乘法”求回归直线方程的关键在于正确地利用回归方程中系数公式
，求出系数a,b，这样回归方程也就建立起来了．
为了使计算更加有条理，我们通过制作表格来先计算出；再计算出；再计
算出，；最后利用公式，，，
列式计算，再利用公式计算；最后写出回归直线方程：
解法：先将两个变量的数字在表中计算出来，如下表所示：
上表可计算，，，，，，
代入公式 =
因而所求得回归直线方程为：当x=78
时，
所以当父亲的身高为78英寸时，估计儿子的身高约为72.2138英寸．
评注：“最小二乘法”是求回归直线方程常用的方法，在回归直线方程中，a,b是回
归直线方程中的系数，其中b是回归直线的斜率，表示自变量变化1个单位时因变量的平均变化值．在数值计算的过程中可以用计算器来帮助完成复杂的计算结果．。