2016年山西省太原市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
山西省太原市高三第一次模拟考试(4月) 数学(理) Word版含答案
太原五中2016-2017学年度第二学期阶段性检测高 三 数 学(理)出题人、校对人：廉海栋 史天保 李小丽（2017年4月5日）一、选择题（每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案）1. 设集合A},1,x -2y |{y B 2},x |{x x ∈==<=A ，则A ∩B=A ．（﹣∞，3）B ．[2，3）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣1，2） 2.已知复数i -1z =（i 是虚数单位），则2z -z2的共轭复数是 A ．1-3i B ．1+3i C ．-1+3i D ．-1-3i7. 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )种A. 18B. 24C. 36D. 48A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（每小题5分,共20分）截面14. 已知,0c 5b 4a 3→→→→=++且,1|c ||b ||a |===→→→则)(→→→+⋅c b a =___________.15. 在平面直角坐标系xOy 中，将直线y=x 与直线x=1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥=3|3103102πππ==⎰x dx x ．据此类比：将曲线y=2lnx 与直线y=1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= .三．解答题17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，12n n S a +=，其中n S 为{}n a 的前n 项和*()n N ∈.（Ⅰ）求1S ，2S 及数列{}n S 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足(1)nn nb S -=，且{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当2n ≥时，17||39n T ≤≤. 18. （本小题满分12分）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A 组”，否则为“B 组”，调查结果如下：（Ⅰ）根据以上数据，能否有60%的把握认为“A 组”用户与“性别”有关？ （Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A 组”和“B 组”的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中在“A 组”的人数为X ，试求X 的分布列与数学期望.参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中n a b c d =+++为样本容量.参考数据：19. （本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1⊥平面ABC ，A 1B 1∥AB ，AB=2A 1B 1，E 是AC 的中点． （1）求证：A 1E ∥平面BB 1C 1C ；（2）若AC=BC ，AB=2BB 1，求二面角A ﹣BA 1﹣E 的余弦值．20. （本小题满分12分）已知椭圆E 的方程是22143x y +=，左、右焦点分别是1F 、2F ，在椭圆E 上有一动点A ，过A 、1F 作一个平行四边形，使顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上，如图所示. (Ⅰ) 判断四边形ABCD 能否为菱形，并说明理由.(Ⅱ) 当四边形ABCD 的面积取到最大值时，判断四边形ABCD 的形状，并求出其最大值.21. （本小题满分12分）设函数()()()12ln 0f x k x x k =--＞．（1）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数k 的值；（2）设函数()1x g x xe -=（其中e 为自然对数的底数），若对任意给定的()0,s e ∈，均存在两个不同的()21,1,2i t e i e ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，使得()()i f t g s =成立，求实数k 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线）为参数，：40(sin rcos x 1<<⎩⎨⎧==r r y C θθθ,曲线，为参数：)(sin 222cos 222x 2θθθ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y C 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线）20（πααθ<<=与曲线C 1交于N点，与曲线C 2交于O,P两点，且|PN |最大值为22.（1）将曲线C 1与曲线C 2化成极坐标方程，并求r 的值；（2）射线4παθ+=与曲线C 1交于Q 点，与曲线C 2交于O,M 两点，求四边形MPNQ面积的最大值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)=|x-a|，a<0.（1）若a= -2，求不等式f(x)+f(2x)>2的解集；（2）若不等式f(x)+f(2x)<21的解集非空，求a 的取值范围． 4.5高三校一模（理）答案选择题 DACDB ABCAA BA 填空题：13.-5315. 1)-(e π 16. 445π 17.解：（Ⅰ）数列{}n a 满足12n n S a +=，则1122()n n n n S a S S ++==-，即132n n S S +=，132n n S S +∴=，即数列{}n S 为以1为首项，以32为公比的等比数列，所以13()2n n S +=*()n N ∈.（Ⅱ）在数列{}n b 中，11(1)(1)13()2n n n n nb S ----==-⨯，{}n b 的前n 项和，||n T 24|1{1()39=-⨯+-+1312(1)[()]}|33()2n n ---+-++=24|1()39+-++1312(1)[()]|33()2n n ----++.而当2n ≥时，221|1()33-≤+-342[()]93++-++11(1)||13()2n n ---≤+247()|399-+=， 即17||39n T ≤≤. 18． 解：（1）由22⨯列联表可得()()()()()()222100262030240.6490.70856445050n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯-----2分没有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关------------------4分（2）由题意得所抽取的5位女性中，“A组”3人，“B组”2人。
2016年山西省太原市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2016年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{0，1，3}，集合B ＝{2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6} 2．（5分）已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i3．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．（5分）等比数列{a n}中，a1＝1，公比q＝2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7B．k＞7C．k≤8D．k＜86．（5分）设函数f（x）＝e x+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜07．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）＝（）A．1B．C．D．8．（5分）现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135B．172C．189D．2169．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2B．C．4D．10．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a 的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）11．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π12．（5分）若函数f（x）＝x2+﹣alnx（a＞0）有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1B．3C．5D．7二、填空题13．（5分）若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为．14．（5分）圆心在曲线上，且与直线2x+y+1＝0相切的面积最小的圆的方程为．15．（5分）已知在锐角△ABC中，已知∠B＝，|﹣|＝2，则的取值范围是．16．（5分）若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n﹣1＝n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40＝．三、解答题17．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2c sin A．（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c＝，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．（12分）在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线P A与平面EAC所成角的正弦值．20．（12分）如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y＝kx+m被圆O：x2+y2＝4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB＝2AC（Ⅰ）求证：BE＝2AD；（Ⅱ）当AC＝3，EC＝6时，求AD的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|＝，求点M轨迹的直角坐标方程．24．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）＝|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．2016年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{0，1，3}，集合B ＝{2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}【解答】解：全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{0，1，3}，集合B＝{2，6}，（∁U A）∩（∁U B）＝∁U（A∪B）＝{4，5}．故选：B．2．（5分）已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i【解答】解：，∴复数的共轭复数是1﹣i．故选：A．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c＝2，即a2+b2＝4，解得a＝1，b＝，所求双曲线方程为：．故选：C．4．（5分）等比数列{a n}中，a1＝1，公比q＝2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．【解答】解：由题意可得，A.，，∴A错；B.，构造函数f（x）＝2x，易知f（x）在R上单调递增，当x＝2时，f（2x﹣1）＝f（x+1），∴R上不能保证f（2x﹣1）≤f（x+1）恒成立，∴B错；C．S n＜a n+1恒成立即2n﹣1＜2n恒成立，显然C正确．同A的解析可得D错误．故选：C．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7B．k＞7C．k≤8D．k＜8【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S＝0，k＝0满足条件，k＝2，S＝满足条件，k＝4，S＝+满足条件，k＝6，S＝+满足条件，k＝8，S＝++＝由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k＜8．故选：D．6．（5分）设函数f（x）＝e x+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0【解答】解：①由于y＝e x及y＝x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）＝e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y＝e x，y＝2﹣x的图象，∵f（0）＝1+0﹣2＜0，f（1）＝e﹣1＞0，f （a）＝0，∴0＜a＜1．同理g（x）＝lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，g（）＝，g（b）＝0，∴．∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，f（b）＝e b+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：A．7．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）＝（）A．1B．C．D．【解答】解：由图象可得A＝1，＝，解得ω＝2，∴f（x）＝sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）＝0∴+φ＝kπ，∴φ＝kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+），∴sin（2×+）＝1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2＝×2＝，∴f（x1+x2）＝sin（2×+）＝，故选：D．8．（5分）现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135B．172C．189D．216【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣＝189种．故选：C．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2B．C．4D．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×＝2，△SAD中，SD＝AD＝，SA＝2，∴cos∠SDA＝＝，∴sin∠SDA＝，∴S＝＝2△SAD设S到平面ABCD的距离为h，则＝2，∴h＝所以几何体的体积是＝，故选：B．10．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a 的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）【解答】解：表示区域内点（x，y）与定点A（2，0）连线斜率K，由图易观察到BC与y轴重合时，，当BC向右移动时，，综上，a∈[0，1]．故选：C．11．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π【解答】解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB＝AC＝AD，令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，∴DE＝，∴PE＝，DP＝∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即∴AP＝，∵AD2＝AP2+DP2（勾股定理），∴AD＝2，于是AB＝AC＝AD＝BC＝CD＝DB＝2，∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为∴外接球的表面积＝4πr2＝6π．故选：D．12．（5分）若函数f（x）＝x2+﹣alnx（a＞0）有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1B．3C．5D．7【解答】解：令，则，在（0，1）上y1为减函数，在（1，+∞）上y1为增函数，所以y1为凹函数，而y2为凸函数；∵函数有唯一零点x0，∴y1，y2有公切点（x0，y0），则，消去a，得+﹣2（﹣）lnx0＝0；构造函数，则，欲比较5与7ln2大小，可比较e5与27大小，∵e5＞27，∴g（2）＞0，，∴x∈（2，e）；∴m＝2，n＝3，∴m+n＝5．二、填空题13．（5分）若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为18．【解答】解：设f（x）＝（a+x）（1+x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x＝1，则a0+a1+a2+…+a5＝f（1）＝16（a+1）…①，令x＝﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5＝f（﹣1）＝0…②，①﹣②得，2（a1+a3+a5）＝16（a+1），所以2×32＝16（a+1），所以a＝3．当（3+x）中取3，则（1+x）4取x，x，x，1，即可得x3的系数为，当（3+x）中取x，则（1+x）4取x，x，1，1，即x3的系数为，∴展开式中x3的系数为18．故答案为：18．14．（5分）圆心在曲线上，且与直线2x+y+1＝0相切的面积最小的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5．【解答】解：由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a＞0，又圆与直线2x+y+1＝0相切，所以圆心到直线的距离d＝圆的半径r，由a＞0得到：d＝≥＝，当且仅当2a＝即a＝1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝515．（5分）已知在锐角△ABC中，已知∠B＝，|﹣|＝2，则的取值范围是（0，12）．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B＝，|﹣|＝||＝2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C＝120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．（5分）若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n﹣1＝n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40＝440．【解答】解：∵（n≥2），∴当n＝2k时，即a2k﹣a2k＝2k，①﹣1+a2k﹣2＝2k﹣1，②当n＝2k﹣1时，即a2k﹣1当n＝2k+1时，即a2k+1+a2k＝2k+1，③①+②a2k+a2k﹣2＝4k﹣1，③﹣①a2k+1+a2k﹣1＝1，S40＝（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+a8+…+a40）＝．三、解答题17．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2c sin A．（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c＝，且△ABC的面积为，求a+b的值．【解答】解：（1）由及正弦定理得：，∵sin A≠0，∴在锐角△ABC中，．（2）∵，，由面积公式得，即ab＝6①由余弦定理得，即a2+b2﹣ab＝7②由②变形得（a+b）2＝25，故a+b＝5．18．（12分）在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，P（A）＝＝，P（B）＝＝，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：P（A）＝P（A）（1﹣P（B））＝＝．（Ⅱ）P（C）＝，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝P（）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（X＝1）＝P（A）+P（）+P（）＝+（1﹣）×＝，P（X＝2）＝P（AB）+P（A）+P（）＝+（1﹣）×＝，P（X＝3）＝P（ABC）＝＝，∴X的分布列为：EX＝＝．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线P A与平面EAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝，∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（4分）（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…（6分）＝（1，1，0），＝（0，0，a），＝（，﹣，），取＝（1，﹣1，0），则•＝•＝0，为面P AC的法向量．设＝（x，y，z）为面EAC的法向量，则•＝•＝0，即取x＝a，y＝﹣a，z＝﹣2，则＝（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|＝＝＝，则a＝2．…（10分）于是＝（2，﹣2，﹣2），＝（1，1，﹣2）．设直线P A与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，即直线P A与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）20．（12分）如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y＝kx+m被圆O：x2+y2＝4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．【解答】解：（1）设方程为（a＞b＞0），则A（a，0），B（0，b），F（c，0）∵椭圆C的离心率为，∴＝∴a＝2b，∴①∵②∴联立①②，解得b＝1，c＝∴a＝2，∴椭圆的方程为；（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为2，∵直线l：y＝kx+m被圆O：x2+y2＝4所截弦长为，∴＝1∴m2＝1+k2③直线l代入椭圆方程，可得（）x2+2kmx+m2﹣1＝0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，∴＝＝④③代入④可得＝，∴|x 1﹣x2|＝∴|MN|＝＝∴＝令t＝4k2+1≥1，则代入上式得，S＝∴t＝3，即4k2+1＝3，解得时，S取得最大值为1．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．【解答】解：（1）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx+1＞k（1﹣），即xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）＝xlnx+x﹣kx+3k，则g′（x）＝lnx+1+1﹣k＝lnx+2﹣k，若k≤2，∵x＞1，∴lnx＞0，g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（1，+∞）上递增；∴g（1）＝1+2k≥0，解得，k≥﹣；故﹣≤k≤2，故k的最大值为2；若k＞2，由lnx+2﹣k＞0，解得x＞e k﹣2，故g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增；∴g min（x）＝g（e k﹣2）＝3k﹣e k﹣2，令h（k）＝3k﹣e k﹣2，h′（k）＝3﹣e k﹣2，∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；∵h（2+ln3）＝3+3ln3＞0，h（4）＝12﹣e2＞0，h（5）＝15﹣e3＜0；∴k的最大取值为4，综上所述，k的最大值为4．（2）假设存在这样的x0满足题意，∵e f（x0）＜1﹣x02，∴+﹣1＜0，令h（x）＝x2+﹣1，则h′（x）＝x（a﹣），令h′（x）＝0，得：e x＝，故x＝﹣lna，取x0＝﹣lna，在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0；∴h min（x）＝h（x0）＝（﹣lna）2﹣alna+a﹣1，在a∈（0，1）时，令p（a）＝（lna）2﹣alna+a﹣1，则p′（a）＝（lna）2≥0，故p（a）在（0，1）上是增函数，故p（a）＜p（1）＝0，即当x0＝﹣lna时符合题意．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB＝2AC（Ⅰ）求证：BE＝2AD；（Ⅱ）当AC＝3，EC＝6时，求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB＝2AC，∴BE＝2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD＝DE，∴BE＝2AD；…（5分）（Ⅱ）解：由条件知AB＝2AC＝6，设AD＝t，则BE＝2t，BC＝2t+6，根据割线定理得BD•BA＝BE•BC，即（6﹣t）×6＝2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18＝0，解得或﹣6（舍去），则．…（10分）23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|＝，求点M轨迹的直角坐标方程．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ＝，所以直线斜率为1，直线l：y ＝x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（4分）（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2＝6表示一椭圆…（8分）取y＝x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2＝0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2＝6夹在平行直线之间的两段弧…（10分）24．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）＝|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（5分）（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，所以{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，又f（x）＝|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|＝|a+3|，g（x）＝|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…（10分）。
山西省太原市2016届高三模拟试题一数学理WORD解析版
2016年太原市高三年级模拟试题（一）数学（理）一、选择题1.已知全集{}0123456U =，，，，，，，集合{}013A =，，,集合{}2,6B =,则()()U U C A C B 为A 、{}5,6B 、{}4,5C 、{}0,3D 、{}2,6 答案：B 解：()()(){}=4,5U U U C A C B C AB =说明：()()()=U U U C A C B C AB ()()()=U U UC A C B C A B2.已知i 是虚数单位，那么复数534ii+-的共轭复数是 A 、1－i B 、－1＋i C 、1＋i D 、－1－i 答案：C解：()()()()222534532017317171444174i i i i i i i i i i i ++++++====+--+- ∴复数534ii+-的共轭复数是1i - 说明：⑴形如Z=a + bi （其中R b a ∈，）称为复数，a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数）z a bi =-为z 的共轭复数.00.00b z z z b a z z ⎧⇔=⇔=⎪≠⎨⎪=⇔+=⎩实数为虚数纯虚数⑵两个复数相等的概念：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且.⑶复数集是无序集，不能成立大小顺序。
两个复数，若是不满是实数，就不能比较大小.①假设21,z z 为复数，那么 1若021 z z +，那么21z z - .（×）假设21z z ，那么021 z z -.（√） ②专门地：000a a bib >⎧+>⇔⎨=⎩⑷2222z z zza b ===+3.已知双曲线-=>>22221(0,0)y x a b a b的一条渐近线方程是y =，它的一个核心坐标为（2，0），那么双曲线方程为A 、22126x y -= B 、22162x y -= C 、2213y x -= D 、2213x y -= 答案：C解：∵双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一个核心坐标为（2，0）∴2c =，核心在x轴上∵渐近线方程是y =∴ba=令(0)b m =>则a m =∴22cm === ∴1m =∴1,a b ==2213y x -=4.等比数列{}n a 中，=11a，公比q=2，前n 项和为n S ，以下结论正确的选项是A.000021*,2n nn n N a a a ++∃∈+= B. 12*,n n n n N a a a ++∀∈≤C. 1*,n n n N S a +∀∈<D. 00000312*,n n n n n N a a a a +++∃∈+=+答案：C解：()11122,2112nn nn n a S --===--A. 0000001112122,22n n n n nn a a a -+++++=+= ，00001111022220n n n n n -++-+=⇒=⇒∈∅∴A 错B. 121112222,2n n n n n n n a a a --+++===，构造函数()2x f x =，易知()f x 在R 上单调递增当x=2时，()()211f x fx -=+∴R 上不能保证()()211f x f x -≤+恒成立∴B 错C. 1n n S a +<恒成当即212n n -<恒成立，显然C 正确5.执行如下图的程序框图，假设输出的2524S =，那么判定框内填入的条件能够是A 、k ≥7B 、k >7C 、k ≤8D 、k <8答案：D解：k=0,s=0,设知足的条件为P .圈数 条件P k s 1 满足 2 1/2 2 满足 4 3/4 3 满足 611/12 4满足825/24能够得出：k=2，4，6时知足条件，8时不知足条件,∴k<8 6.设函数()()22,ln 3x f x e x g x x x=+-=+-，假设实数a ，b 知足()()0f a g b ==，那么A.()()0f b g a << B. ()()0g a f b <<C. ()()0ga fb << D. ()()0f b g a <<答案：B解：易知f(x)是增函数，g(x)在(0，＋∞)上也是增函数， 由于f(0)＝－1<0，f(1)＝e －1>0，因此0<a<1； 又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，因此1<b<2， 因此f(b)>0，g(a)<0，故g(a)<0<f(b) 7.设函数()()0,0,2f x A x A πωφωϕ=+>><（）的部份图像，假设1263x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，且()()12=fx f x ，那么()12f xx +A ．1B ．C ．22D ．32答案：D解：由图象可得A=1，，解得ω=2，∴f （x ）=sin （2x+φ），点（3π，0）相当于y=sinx 中的0π（，）应选：D8.现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片最多1张，不同的取法种数A ．135B ．172C ．189D ．162 答案：C解：由题意，不考虑特殊情形，共有312C 种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种红色卡片，共有23C 19C 种取法，故所求的取法共有312C ﹣4﹣23C 19C =189种．9.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是 A 、2 B 、83 C 、4 D 、209答案：B解：先考虑将主视图补成正方形，那么三视图中两个正方形一个等腰三角形组成的几何体如下图中的三棱柱ABC-EDF,，再考虑视图内部的线，能够明白该几何体是三棱柱ABC-EDF 截去三棱锥E-ADF 余下的部份。
【全国市级联考】山西省太原市2016届高三第二次模拟考试理数试题解析(解析版)
山西省太原市2016届高三第二次模拟考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2{log (1)2}A x x =-<，{6}B x a x =<<，且{2}AB x x b =<<，则a b +=（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4 【答案】A考点：集合的运算.2.如图，在复平面内，表示复数z 的点为A ，则复数12zi-的共轭复数是（ ） A ．i B ．i - C ．35i D ．35i -【答案】A 【解析】试题分析：由图可知，i z +=2，所以()()()()i ii i i i i i i z -=-=---+=-+=-552212221221，故其共轭复数为i ，选项为A.考点：（1）复数的几何意义；（2）复数的运算.3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又单调递增的函数是（ ） A ．1y x=- B ．33x x y -=- C ．y x x = D ．3y x x =- 【答案】C 【解析】试题分析：对于1y x=-，在其定义域内不具有单调性，故A 错误；对于33x x y -=-为减函数，故B 错误；对于y x x =即为增函数又为奇函数，故C 正确；对于3y x x =-不满足增函数，故D 错误.故选项为C.考点：函数的奇偶性与单调性.4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）A ．30B ．24C ．12D ．4【答案】B考点：几何体的体积.5.若函数()f x 同时满足以下三个性质：①()f x 的最小正周期为π；②对任意的x R ∈，都有()()04f x f x π-+-=；③()f x 在(,)42ππ上是减函数，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()sin 2f x x =B ．()sin 2cos 2f x x x =+C ．()sin()8f x x π=+ D ．3()cos(2)4f x x π=+【答案】B考点：由()ϕω+=x A y sin 的部分图象确定其解析式.6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（ ）A ．{1,2,3,4,5}B ．{1,2,3,4,5,6}C ．{2,3,4,5}D ．{2,3,4,5,6}【答案】C考点：程序框图.7.设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,1]-B ．[1,2]-C ．[3,2]--D ．[3,1]- 【答案】A 【解析】试题分析：由z ax y =+得z ax y +-=，直线z ax y +-=是斜率为a -，y 轴上的截距为z 的直线，作出不等式组对应的平面区域如图，则()11，A ，()42，B ，∵z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，∴直线z ax y =+过点B 时，取得最大值为24a +，经过点A 时取得最小值为1a +，若0=a ，则z y =，此时满足条件，若0>a ，则目标函数斜率0<-=a k ，要使目标函数在A 处取得最小值，在B 处取得最大值，则目标函数的斜率满足1-=≥-BC k a ，即10≤<a ，若0<a ，则目标函数斜率0>-=a k ，要使目标函数在A 处取得最小值，在B 处取得最大值，则目标函数的斜率满足2=≥-AC k a ，即02<≤-a ，综上12≤≤-a -2≤a ≤1，故选：A ．考点：简单的线性规划.8.已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，1SA =， 那么三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．6πD ．5π 【答案】D考点：球的表面积和体积.【方法点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，求出球的半径22d r R +=是解答的关键．由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以ABC ∆为底面以SA 为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r ，和球心距d ，代入22d r R +=，可得球的半径R ，即可求出三棱锥ABCS -的外接球的表面积．9.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>与函数y =(0)x ≥的图象交于点P ，若函数y =在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）A B C D ．32【答案】B考点：（1）利用导数研究曲线上某点的切线方程；（2）双曲线的简单性质.【方法点睛】本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求，难度中档.设出切点坐标()00,y x P ，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程121000+=x x x ，即可求出切点坐标，代入双曲线方程，结合222b a c +=然后求解双曲线的离心率．10.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和都是等差数列，且公差相等，则100S=（ ）A ．50B ．100C ．1500D ．2500 【答案】D 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 和的公差都为d ，则d a a d a S ++=+=1112，两边平方可得，d a d d a a +=++121122，同理可得d a d d a a 33441211+=++，联立消1a 可得：()012=-d d ，故0=d 或21=d ，故0=d 时，01=a ，故不成立；当21=d 时，411=a ，成立；故2500499411002991001001100=⎪⎭⎫⎝⎛+=⨯++=d a S ，故选：D ． 考点：等差数列的前n 项和.11.已知圆22:1C x y +=，点00(,)P x y 是直线:3240l x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在两 个不同的点,A B ，使OA OB OP +=，则0x 的取值范围是（ ）A ．24(0,)13 B ．24(,0)13- C ．13(0,)24 D ．13(0,)12【答案】A考点：平面向量的基本定理及其意义.【思路点晴】考查向量加法的平行四边形法则，圆心和弦中点的连线垂直于弦，以及两点间的距离公式，一元二次不等式的解法，属中档题；根据条件可画出图形，根据图形便可看出OP 的中点在圆内，从而可得到圆心到直线的距离小于半径即12220<+y x ，这样联立042300=-+y x ，转化为关于0x 的一元二次不等式，即可得出0x 的取值范围． 12.已知函数1()ln22x f x =+，2()x g x e -=，若()()g m f n =成立，则n m -的最小值为（ ）A ．1ln 2-B ．ln 2C ．3D ．23e - 【答案】B考点：（1）利用导数研究函数的极值；（2）函数的值.【方法点晴】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．根据()()t n f m g ==得到m ，n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数t e m n t ln 2221--⋅=--，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知6)ax的展开式中含32x 的项的系数为30，则实数a =____________.【答案】5-考点：二项式定理.14.在区间[]0,1上随机抽取两个数,x y ，则事件“12xy ≥”发生的概率为_____________. 【答案】22ln 1- 【解析】试题分析：设()y x P ,，∵x ≤0，1≤y ，∴P 点落在正方形OABC 内部（含边界）．作曲线xy 21=，交正方形OABC 于D ，E 两点，则满足条件12xy ≥的点P 落在区域BDE 内（含边界）．由于2ln 212121121121-=-⨯=⎰dx xS 阴影．∴“12xy ≥”发生的概率为2ln 2121-=ABCD S S 正方形阴影．故答案为：22ln 1-．考点：几何概型.【方法点睛】本题考查了几何概型的概率计算，作出符合条件的区域是解决几何概型的方法，属于中档题．设()y x P ,，P 点落在正方形OABC 内部（含边界）．作曲线x y 21=则满足条件12xy ≥的点P 落在曲线与正方形OABC 所围成的区域内．使用定积分求出封闭区域的面积，则“12xy ≥”发生的概率为2ln 2121-=ABCDS S 正方形阴影． 15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2sin sin a bc B A+=，则C ∠的大小是 __________.【答案】2π考点：正弦定理.16.已知关于x的函数()f x =a ，最小值为b ，若2a b +=， 则实数t 的值为_________. 【答案】1 【解析】试题分析：函数()f x =x x xx x t tx cos 2cos 22sin 222222++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= ()()x x x x t t x x x x t x x t cos 2sin cos 2sin cos 2222+++=++++=令()x x x x t x g cos 2sin 2++=，则()xx xx t x g cos 2sin 2++-=-，设()x g 的最大值为M ，最小值为N ，则0=+N M ，即有a M t =+，b N t =+，222==++=+t N M t b a ，解得1=t ．故答案为：1． 考点：函数与方程的综合运用.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，且14n n n S a a +=∙，数列{}n b 中，114b =，且1(1)n n nnb b n b +=+-， *n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12332n n n b a c +=（*n N ∈），求{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n =*()n N ∈；（2）222n n n T +=-. 试题解析：（1）1n =时，可得24a =，2n ≥时，14n n n S a a +=∙，114n n n S a a --=∙，两式相减，得114()n n n n a a a a +-=-， ∵0n a ≠，∴114n n a a +--=，∴{}n a 的奇数项和偶数项分别以4为公差的等差数列， 当*21,n k k N =-∈时，21422n k a a k n -==-=； 当2n k =，*k N ∈时，242n k a a k n ===. ∴2n a n =*()n N ∈. （2）∵1111n n n b nb n ++=-，1111(1)(1)n n n b nb n n +=-++， ∴11111()(1)1n n nb n b n n--=----， 121111()(1)(2)21n n n b n b n n ---=------，…21111(1)22b b -=--，∴131n n nb n+=， ∴1(2)31n b n n =≥+，1n =也适合，*1()31n b n N n =∈+， ∴2n n nc =，再由错位相减得222n n n T +=-. 考点：（1）数列的通项公式；（2）数列求和. 18.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，1A B AC ⊥，且15A B AC ==，113AA BC ==，12AB =. （1）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ； （2）求二面角1A BB C --的正切值的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）1213. 【解析】试题分析：（1）推导出AC AB ⊥，1A B AC ⊥，从而AC ⊥平面11ABB A ，由此能证明平面11ABB A ⊥平面11ACC A ；（2）以B 为原点，BA 为x 轴，在平面ABC 中过B 作BA 的垂线为y 轴，1BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角1A BB C --的正切值．（2）在1A BA ∆中，∵22211A B AB AA +=， ∴1A B AB ⊥，∵1A B AC ⊥，且,AB AC 是平面ABC 内的两条相交直线， ∴1A B ⊥面ABC ，建立如图所示的坐标系，则(0,0,0)B ，(12,0,0)A ，(12,5,0)C ，1(0,0,5)A ，1(12,0,5)B -， 取平面11ABB A 的一个法向量1(0,1,0)n =， 设平面11BCC B 的一个法向量2(,,)n x y z =，由21200n BB n BC ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得12501250x z x y -+=⎧⎨+=⎩，取5x =，则2(5,12,12)n =-，∴121212cos ,n n n n n n ∙==-∙，设二面角1A BB C --的大小为θ，则cos θ= ∴13tan 12θ=，二面角1A BB C --的正切值为1312.考点：（1）平面与平面垂直的判定；（2）平面与平面垂直的判定. 19.（本小题满分12分）近几年来，我国许多地区经常出现雾霾天气，某学校为了学生的健康，对课间操活动做了如下规定：课 间操时间若有雾霾则停止组织集体活动，若无雾霾则组织集体活动，预报得知，这一地区在未来一周从 周一到周五5天的课间操时间出现雾霾的概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，且每一天出现雾霾 与否是相互独立的.（1）求未来一周5天至少一天停止组织集体活动的概率；（2）求未来一周5天不需要停止组织集体活动的天数X 的分布列；（3）用η表示该校未来一周5天停止组织集体活动的天数，记“函数2()1f x x x η=--在区间(3,5)上有 且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率. 【答案】（1）200199；（2）分布列见解析；（3）200129.试题解析：（1）未来一周5天都组织集体活动的概率是32111()()25200P ==， 则至少有一天停止组织集体活动的概率是1991200P -=. （2）X 的取值是0，1，2，3，4，5， 则2(0)25P X ==， 311322314114567(1)()()()2552520025P X C C ==⨯⨯⨯+==， 23213132332141141173(2)()()()()()2525525200P X C C C ==+⨯⨯⨯+=， 13223132332111141443(3)()()()()()2525525200P X C C C ==+⨯⨯⨯+=， 23231321111411(4)()()()25255200P X C C ==+⨯⨯⨯=， 32111(5)()()25200P X ===， ∴不需要停止组织集体活动的天数X 分布列是X 0 1 2 3 4 5Y225 725 73200 43200 11200 1200考点：（1）离散型随机变量的期望与方差；（2）离散型随机变量及其分布列． 20.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>.（1）已知点,A B 是椭圆上两点，点C 为椭圆的上顶点，ABC ∆的重心恰好是椭圆的右焦点F ，求,A B 所 在直线的斜率；（2）过椭圆的右焦点F 作直线12,l l ，直线1l 与椭圆分别交于点,M N ，直线2l 与椭圆分别交于点,P Q ， 且2222MP NQ NP MQ +=+，求四边形MPNQ 的面积S 最小时直线1l 的方程. 【答案】（1）23；（2）10x y --=或10x y +-=. 【解析】试题分析：（1，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，列出方程组求出a ，b ，由此能求出椭圆方程为2212x y +=，由重心公式得123x x +=，121y y +=-，由此结合点差法能求出直线AB 的斜率；（2）设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，(,)P P P x y ，(,)Q Q Q x y ，由题意推导出12l l ⊥，若直线12l l ⊥中有一条斜率不存在，求出四边形MPNQ 的面积为2；若直线1l ，2l 的斜率存在，设直线1l 的方程为()1-=x k y ，()0≠k ，与椭圆方程联立，得2222(21)4220k x k x k +-+-=，由此利用韦达定理、弦长公式求出()1212222++=k k MN ，同理可求得()222122kk PQ ++=，由此能求出四边形MPNQ 的面积S 的最小值及此时直线1l 的方程．（2）设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，(,)P P P x y ，(,)Q Q Q x y ， 则由题意：2222MP NQ NP MQ +=+， 即22222222()()()()()()()()M P M P N Q N Q N P N P M Q M Q x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-+-+-整理得：0N P M Q M P N Q N P M Q M P N Q x x x x x x x x y y y y y y y y +--++--=， 即()()()()0N M P Q N M P Q x x x x y y y y--+--=，所以12l l ⊥.②若直线12,l l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：(1)(0)y k x k =-≠，则由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(21)4220k x k x k +-+-=，则22421M N k x x k +=+，222221M N k x x k -=+，N x -==，故四边形MPNQ 的面积：22114161229212S PQ MN k k===≥+++ （当1k =±取“=”），此时，四边形MPNQ 面积S 的最小值为1629<， 所以直线1l 方程为：10x y --=或10x y +-=. 考点：椭圆的简单性质.【方法点睛】本题考查直线的斜率的求法，考查四边形的面积的最小值的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用，难度较大.在直线与圆锥曲线相交的过程中，当涉及到弦的中点及直线的斜率时，主要利用点差法及整体代换的思想构造直线的斜率求解；把已知条件转化为12l l ⊥，分为斜率存在和不存在两种情况进行讨论. 21.（本小题满分12分）已知函数2()1xf x e ax bx =---（,a b R ∈，e 为自然对数的底数）.（1）若对于任意[]0,1a ∈，总存在[1,2]x ∈，使得()0f x ≤成立，求b 的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）1e -；（2）(2,1)e -.试题解析：（1）设2()1x g a e ax bx =---，则[1,2]x ∈时，()g a 在[]0,1上为减函数， 所以只要(0)10xg e bx =--≤，所以只要10x e bx --≤在[1,2]上有解即可.即1x e b x -≥在[1,2]上有解，设1()x e h x x-=，因为'2(1)1()0x e x h x x -+=>，所以()h x 在[1,2]上为增函数，只要(1)1b h e ≥=-，所以b 的最小值是1e -. （2）2()1x f x e ax bx =---，'()2xf x e ax b =--， 由(1)0f =，得10e a b ---=，∴1b e a =--， ∴'()21xf x e ax e a =--++，又(0)0f =.若函数()f x 在区间(0,1)内有零点，设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点， 则由0(0)()0f f x ==可知，()f x 在区间0(0,)x 内不可能单调， 则'()f x 在区间0(0,)x 内不可能恒为正，也不可能恒为负，故'()f x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ，同理'()f x 在区间0(,1)x 内存在零点2x ， 故函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间，'()f x 在区间(0,1)内至少有两个零点.设'()()2xu x f x e ax b ==--，∴'()2xu x e a =-.当12a ≤或2ea ≥时，函数'()f x 在区间(0,1)内单调， 不满足“函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间”； 当122ea <<时，'()f x 在区间(0,ln(2))a 内单调递减，在区间(ln(2),1)a 内单调递增， 因此1(0,ln(2))x a ∈，2(ln(2),1)x a ∈，又'min ()(ln(2))22ln(2)132ln(2)1f x g a a a a e a a a a e ==--++=--+， 令()32ln(2)1v x x x x e =--+1()22ex <<，则'()12ln(2)v x x =-， 令'()0v x =，得x =，列表如下：1(2)2e '()h x+- ()h x增1e -+减依表格知：当122ex <<时，max ()10v x e =-+<， ∴'min ()32ln(2)10f x a a a e =--+<恒成立，于是，函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间满足122(0)0(1)0e a u u ⎧<<⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，即1222010e a e a a ⎧<<⎪⎪-+>⎨⎪-+>⎪⎩，解得21e a -<<，综上所述，a 的取值范围为(2,1)e -.考点：（1）导数在最大值、最小值问题中的应用；（2）函数的零点.【方法点睛】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．当遇到存在a 成立时，把a 看作自变量，当设计到任意x 恒成立时，把x 看作自变量，转化为最大或最小值问题；对于零点的个数转化为图象与x 轴交点的个数，在本题中利用数形结合的思想，得到函数单调区间的个数，在转化为导函数零点的个数进行讨论求解.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，1O 与2O 相交于,A B 两点，AB 是2O 的直径，过A 点作1O 的切线交2O 于点E ，并与1BO 的延长线交于点P ，PB 分别与1O ，2O 交于,C D 两点.（1）求证：PA PD PE PC ∙=∙； （2）求证：AD AE =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（2）连结,AC ED ，∵BC 是1O 的直径，∴090CAB ∠=， ∴AC 是2O 的切线， 由（1）知PA PC PE PD=，∴//AC ED ， ∴AB DE ⊥，CAD ADE ∠=∠,又∵AC 是2O 的切线，∴CAD AED ∠=∠，∴AED ADE ∠=∠，∴AD AE =，（或AB DE ⊥，∵AB 是2O 的直径，由垂径定理得，AD DE =,∴AD AE =.）考点：（1）切线的性质；（2）相似三角形的判定与性质.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l的方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数），以O 为极 点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+，直线l 与曲线C 相 交于不同的两点,A B .（1）若3πα=，求线段AB 中点M 的直角坐标；（2）若2PA PB OP ∙=，其中P ，求直线l 的斜率.【答案】（1）12(,13；（2.试题解析：（1）曲线C 的普通方程是2214x y +=, 当3πα=时，设点M 对应的参数为0t ，直线l方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t 为参数）， 代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得21356480t t ++=， 设直线C 上的点,A B 对应参数分别为12,t t ，则12028213t t t +==-， 所以点M的坐标为12(,13. （2）将2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得222(cos 4sin )4cos )120t t αααα++++=， 因为122212cos 4sin PA PB t t αα∙==+，27OP =，所以22127cos 4sin αα=+， 解得25tan 16α=，由于32cos cos )0ααα∆=->，故tan α=， 所以直线l. 考点：（1）简单曲线的极坐标方程；（2）参数方程化成普通方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()21f x x x a =++-，a R ∈.（1）当2a =时，求不等式()4f x <的解集；（2）当12a <-时，对于1(,]2x ∀∈-∞-，都有()3f x x +≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{11}x x -<<；（2）4a ≤-.试题解析：（1）令210x +=，得12x =-；令20x -=，得2x =. ①当2x ≥时，原不等式化为2124x x ++-<，即53x <，无解； ②当122x -<<时，原不等式化为2124x x ++-<，即1x <，得112x -<<. ③当12x ≤-时，原不等式化为2124x x --+-<，即1x >-，得112x -<≤-， 所以原不等式的解集为{11}x x -<<.（2）令()()g x f x x =+，当12x ≤-时，()1g x x a x =---， 由12a <-，得11,()221,a a x g x x a x a⎧--<≤-⎪=⎨⎪-+-≤⎩， 对于1(,]2x ∀∈-∞-使得()3f x x +≥恒成立，只需min ()3g x ≥ 1((,])2x ∈-∞-即可， 作出()g x 的大致图象，易知，min ()()1g x g a a ==--，∴13a --≥，得4a ≤-考点：绝对值不等式的解法.：。
山西省太原市2016届高三第二次模拟考试理数试题解析(解析版)含解斩
山西省太原市2016届高三第二次模拟考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1。
已知集合2{log (1)2}A x x =-<，{6}B x a x =<<，且{2}A B x x b =<<，则a b +=（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4 【答案】A考点：集合的运算.2。
如图,在复平面内，表示复数的点为A ，则复数12z i -的共轭复数是（ ）A ．B ．i -C ．35i D ．35i -【答案】A 【解析】试题分析：由图可知，iz +=2，所以()()()()i ii i i i i i i z -=-=---+=-+=-552212221221，故其共轭复数为,选项为A 。
考点:（1）复数的几何意义；（2）复数的运算。
3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又单调递增的函数是( ）A ．1y x=- B ．33xx y -=-C ．y x x =D ．3y x x =-【答案】C 【解析】试题分析：对于1y x=-，在其定义域内不具有单调性，故A 错误；对于33xx y -=-为减函数，故B 错误；对于y x x=即为增函数又为奇函数，故C 正确；对于3y x x =-不满足增函数，故D 错误.故选项为C. 考点：函数的奇偶性与单调性。
14.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）A．30 B．24C．12 D．4【答案】B考点：几何体的体积。
5.若函数()f x同时满足以下三个性质：①()f x的最小正周期为π;②对任意的x R∈，都有()()04f x f x π-+-=；③()f x 在(,)42ππ上是减函数，则()f x 的解析式可能是( ）A ．()sin 2f x x =B ．()sin 2cos 2f x x x =+C ．()sin()8f x x π=+D ．3()cos(2)4f x x π=+【答案】B考点:由()ϕω+=x A y sin 的部分图象确定其解析式。
山西省太原市2016年高三年级模拟试题(一)理科
山西省太原市2016年高三年级模拟试题（一）理科一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知全集，集合，集合，则为A. B. C. D.2. 已知是虚数单位，则复数的共扼复数是A. B. C. D.3. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为，则双曲线的方程为A. B. C. D.4. 等比数列中，若，公比，前项和为，则下列结论正确的是A. ，B. ，C. ，D. ，5. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内填入的条件可以是A. B. C. D.6. 设函数，．若实数，满足，，则A. B.C. D.7. 函数的部分图象如图所示，若，且，则A. B. C. D.8. 现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张，从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张，不同的取法种数是A. B. C. D.9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. B. C. D.10. 已知变量，满足约束条件若恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.11. 在三棱锥中，底面为边长为的正三角形，顶点在底面上的射影为的中心，若为的中点，且直线与底面所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积为A. B. C. D.12. 若函数有唯一的零点，且（，为相邻整数），则的值为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 若的展开式中，的奇数次幂项的系数之和为，则展开式中的系数为．14. 圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为．15. 在锐角中，已知，，则的取值范围是．16. 若数列满足，是的前项和，则．三、解答题（共8小题；共104分）17. 已知，，分别为锐角内角，，的对边，且．（1）求角；（2）若，且的面积为，求的值．18. 在某娱乐节目的一期比赛中，有位歌手（号至号）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的歌手，各家媒体须彼此独立地在投票器上选出位候选人．其中媒体甲是号歌手的歌迷，必选号，另在号至号歌手中随机选名；媒体乙不欣赏号歌手，必不选号，在其他位歌手中随机选出名；媒体丙对位歌手的演唱没有偏爱，因此在号至号歌手中随机选出名．（1）求媒体甲选中号且媒体乙未选中号歌手的概率；（2）表示号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求的分布列及数学期望．19. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的一点．（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．20. 已知椭圆的离心率为，点，，分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线被圆所截得的弦长为，若直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．21. 已知函数．（1）若，且对任意恒成立，求的最大值；（2）证明：对于中的任意一个常数，存在正数，使得成立．22. 如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于点，．（1）求证：；（2）当，时，求的长．23. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（1）写出直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；（2）过点且平行于直线的直线与曲线交于，两点，若，求点轨迹的直角坐标方程．24. 已知函数，．（1）解不等式：；（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围．答案第一部分1. B 【解析】由题意得，，所以．2. A 【解析】，故其共轭复数为．3. C 【解析】由题意得，，即，又，即，解得，所以，所以双曲线方程为．4. C 【解析】由题意可得，，则，，所以，所以A错；，，构造函数，易知是增函数，若，则，所以，不能保证在上恒成立，所以B错；因为，所以对恒成立，显然C正确；，，显然不成立，所以D错．5. D【解析】模拟执行程序框图，可得：，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，，由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：．6. A 【解析】因为，所以，则在上为增函数，又，，且，所以．因为，所以．当时，，所以在上为增函数，又，，且，所以，所以，所以7. D 【解析】由已知，的图象关于直线对称，，，，所以，又，得．因为，所以，所以．8. C 【解析】根据题意，不考虑限制条件，从张卡片中任取张有种情况，其中如果取出的张为同一种颜色，有种情况，如果取出的张有张红色的卡片，有种情况，则满足条件的取法有种．9. B 【解析】该几何体可看作为正方体中去掉两个三棱柱和一个三棱锥后得到的四棱锥，则．10. C【解析】由题意，易知，画出不等式组表示的平面区域，如图所示．因为表示区域内的点与定点连线的斜率，由图知，，，由且，得．又，所以．11. D【解析】因为定点在底面上的射影为三角形的中心，而且底面是正三角形，所以三棱锥是正三棱锥，所以，令底面三角形的重心（即中心）为，因为底面为边长为的正三角形，是边上的高，所以，所以，．因为直线与底面所成角的正切值为，即，所以，因为（勾股定理），所以，于是，所以三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为所以正方体的对角线长为，所以外接球的半径为，所以外接球的表面积．12. C 【解析】令，，则，．因为函数有唯一零点，所以函数，的图象有唯一一个交点，即，有唯一公切点，即由得．令，则，，，所以，所以，，所以．第二部分13.【解析】二项式的展开式的通项公式为，所以原式展开式中的的奇数次幂项的系数之和为，解得，所以展开式中含的项为，所以展开式中含的系数为．14.【解析】提示：设圆心坐标为，则圆心到直线的距离，利用均值不等式求其最小值即可．15.【解析】因为，是锐角三角形，所以，所以，因为，所以，因为，所以，，所以因为，所以．16.【解析】当时，当时，当时，得，，得，，所以第三部分17. （1）由及正弦定理得，因为，所以，因为是锐角三角形，所以．（2）因为，的面积为，所以，即因为，由余弦定理得，即将代入得，故．18. （1）设表示事件“媒体甲选中号歌手”，表示事件“媒体乙选中号歌手”，表示事件“媒体丙选中号歌手”，则，，所以（2），因为可能的取值为，，，，所以的分布列为：所以的数学期望19. （1）因为平面，平面，所以，因为，，所以，所以，所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）如图，以为原点，取中点，，，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，设，则，，，，，显然为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则，即取，有，，则，所以，则，于是，．设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．20. （1）由题意，椭圆的焦点在轴上，设其方程为，由已知得，所以，即可得又联立，解得，，所以所求椭圆的方程为．（2）由题意，圆心到直线的距离，即，故有由消去，得．因为，所以．设，，则，，所以将代入，得，故，，故的面积．令，则．所以当，即时，．21. （1）由得，令，则，因为，所以，当时，恒成立，即在上单调递增，由，即，解得，所以，又因为，所以的最大值为．当时，由，解得，由，解得．即在上单调递减，在上单调递增．所以在上有最小值，于是转化为成立，求的最大值．令，于是．因为当时，，单调递减，当时，，单调递增．所以在处取得最大值．因为，所以，因为，，，，所以．所以的最大取值为．综上所述，的最大值为．（2）设存在正数，使得成立，即证成立．只需证当时，函数的最小值满足即可．因为，令，得，则，取，在时，，在时，，所以，下面只需证明：在时，成立即可．又令，，则，从而在上为增函数．所以，因此符合条件，即存在正数满足条件．22. （1）连接，因为是圆内接四边形，所以，又，所以，即有．又因为，可得．因为是的平分线，所以，从而．（2）由条件知，设，则，，根据割线定理得，即，即，解得或（舍去），则．23. （1）直线：，曲线：．（2）设点，过点的直线为：（为参数），由直线与曲线相交可得：，由，得，即，表示一椭圆，设直线为，将代入得，，由得，故点的轨迹是椭圆夹在平行直线之间的两段椭圆弧．24. （1）由，得，所以，解不等式得，所以原不等式的解集是．（2）因为对任意的，都有，使得成立，所以，又，，所以，解得或，所以实数的取值范围是或．。
太原市2016年高三年级模拟试题(一)
领航教育 2016年寒假3-8人班 VIP 精品教案 — 春太原市2016年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文史类）第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}5,4,3,2,1=U ，集合{}5,4,3=M ，{}5,2,1=N ，则集合{}2,1可以表示为（ ） A ．N M B ．N M C U )( C ．)(N C M U D ．)()(N C M C U U2.已知i 是虚数单位，则复数=-+ii 435（ ） A ．i -1 B ．i +-1 C ．i +1 D ．i --13.下图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ）A ．32 34 32B ．33 45 35C ．34 45 32D ．33 36 354.若双曲线12222=-by a x 的离心率为3，则其渐近线方程为（ ） A ．x y 2±= B ．x y 2±= C ．x y 21±= D ．x y 22±= 5.对于下列四个命题 00)31()21(),,0(:01x x x p <+∞∈∃；03102102log log ),1,0(:x x x p >∈∃； x x p x 213log )21(),,0(:<+∞∈∀；x x p x 314log )21(),31,0(:<∈∀. 其中的真命题是（ ）A ．31,p pB ．41,p pC ．32,p pD ．42,p p6.执行如图所示的程序框图，若输出的2425=S ，则判断框内填入的条件可以是（ ） A ．7≥k B ．7>k C ．8≤k D ．8<k7.已知函数)2)(2sin(2)(πϕϕ<+=x x f 图象过点)3,0(，则)(x f 图象的一个对称中心是（ ） A ．)0,3(π- B ．)0,6(π- C ．)0,6(π D ．)0,12(π8.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项的为n S ，若14,23==n n S S ，则=n S 4（ ）A ．80B ．30C ．26D ．169.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．10B ．15C ．20D ．3010.设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+334222y x y x y x 所表示的平面区域为M ，若函数1)1(++=x k y 的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是（ ）A ．]5,3[B ．]1,1[-C ．]3,1[-D ．]1,21[- 11.已知三棱锥ABC S -，满足SA SC SC SB SB SA ⊥⊥⊥,,，且SC SB SA ==，若该三棱锥外接球的半径为3，Q 是外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．33D ．334第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=,0),(log ,0,log )(212x x x x x f 若)()(a f a f ->，则实数a 的取值范围是______. 14.已知圆2)2()1(:22=-+-y x C ，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC 的最大值为____.15.已知非零向量b a ,的夹角为 60，且1=-b a ，则b a +的最大值是______.16.若数列{}n a 满足)2()1(1≥=---n n a a n n n ，n S 是{}n a 的前n 项和，则=40S ______.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为)(4R ∈=ρπθ，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==.sin ,cos 2θθy x （1）写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 平行于直线l 的直线与曲线C 交于B A ,两点，若38=⋅MB MA ，求点M 轨迹的直角坐标方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数322)(++-=x a x x f ，21)(+-=x x g .（1）解不等式：5)(<x g ；（2）若对任意的R x ∈1，都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，求实数a 的取值范围.。
高考数学一模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年某某省某某实验中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1．设全集I=R，集合A={y|y=log3x，x＞3}，B={x|y=}，则（）A．A⊆BB．A∪B=AC．A∩B=∅D．A∩（∁I B）≠∅2．设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3iB．﹣4+3iC．4+3iD．4﹣3i3．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°则S=2，则b等于（）A． B． C．25D．54．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A．36种B．30种C．24种D．6种5．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假6．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1B．2C．3D．47．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值X围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）8．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A． B． C． D．9．如图，在由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内任取一点，则该点落在x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A．1﹣B．﹣1C． D．3﹣210．若A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，O是圆心，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（）A．λ2+μ2=1B． C．λ•μ=1D．λ+μ=111．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则a n=（）A． B． C． D．12．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（）A． B．a＞1或a＜﹣3C．a＞1D．3二、填空题：：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是．14．已知向量=（m，1），=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值．15．双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为．16．在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n 的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2+sinAsinB=．（1）求角C的大小；（2）若b=4，△ABC的面积为6，求边c的值．18．如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．（1）求k1k2的值；（2）记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ=λk BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q．21．已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（1）当a=1且x＞1时，证明：f（x）＞3﹣；（2）若对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，某某数a的取值X围；（3）当a=时，证明： f（i）＞2（n+1﹣）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y ﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值X围．2016年某某省某某实验中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1．设全集I=R，集合A={y|y=log3x，x＞3}，B={x|y=}，则（）A．A⊆BB．A∪B=AC．A∩B=∅D．A∩（∁I B）≠∅【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据对数函数的单调性便可解出A={x|x＞1}，利用被开方数大于等于0，求出B，从而找出正确选项．【解答】解：A={y|y=log3x，x＞3}={y|y＞1}，B={x|y=}={x|x≥1}，∴A⊆B，故选：A．2．设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3iB．﹣4+3iC．4+3iD．4﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式==﹣4﹣3i，故选：A．3．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°则S=2，则b等于（）A． B． C．25D．5【考点】解三角形．【分析】由S==2，得a=1，再直接利用余弦定理求得b．【解答】解：由S===2，得a=1又由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=1+32﹣2×=25，所以b=5故选D4．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A．36种B．30种C．24种D．6种【考点】计数原理的应用．【分析】先不考虑学生甲，乙不能同时参加同一学科竞赛，从4人中选出两个人作为一个元素，同其他两个元素在三个位置上排列，其中有不符合条件的，即甲乙两人在同一位置，去掉即可．【解答】解：从4人中选出两个人作为一个元素有C42种方法，同其他两个元素在三个位置上排列C42A33=36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有 36﹣6=30，故选：B5．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】根据平面平行的判断方法，我们对已知中的两个命题p，q进行判断，根据判断结合和复合命题真值表，我们对四个答案逐一进行判断，即可得到结论．【解答】解：∵当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行与可能垂直故命题p为假命题又∵若α上不共线的三点到β的距离相等时α与β可能平行也可能相交，故命题q也为假命题故命题“p且q”为假，命题“p或¬q”为真，命题“p或q”为假，命题“¬p且¬q”为真故选C6．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】简单线性规划．【分析】首先作出其可行域，再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值，解出k．【解答】解：作出其平面区域如右图：A（1，2），B（1，﹣1），C（3，0），∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0，∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得；∴①若在A上取得，则k﹣2=0，则k=2，此时，z=2x﹣y在C点有最大值，z=2×3﹣0=6，成立；②若在B上取得，则k+1=0，则k=﹣1，此时，z=﹣x﹣y，在B点取得的应是最大值，故不成立，故选B．7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值X围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据题意，首先求出X=1、2、3时的概率，进而可得EX的表达式，由题意EX＞1.75，可得p2﹣3p+3＞1.75，解可得p的X围，结合p的实际意义，对求得的X围可得答案．【解答】解：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p，即P（X=1）=p，发球次数为2即二次发球成功的概率P（X=2）=p（1﹣p），发球次数为3的概率P（X=3）=（1﹣p）2，则Ex=p+2p（1﹣p）+3（1﹣p）2=p2﹣3p+3，依题意有EX＞1.75，则p2﹣3p+3＞1.75，解可得，p＞或p＜，结合p的实际意义，可得0＜p＜，即p∈（0，）故选C．8．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】画出几何体的图形，根据三视图的特征，推出左视图的形状，然后求解即可．【解答】解：在三棱锥C﹣ABD中，C在平面ABD上的射影为BD的中点，左视图的面积等于，故选：D．9．如图，在由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内任取一点，则该点落在x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A．1﹣B．﹣1C． D．3﹣2【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型．【分析】根据积分的几何意义求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内围成的区域面积S==sinx|，由x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域面积S==（sinx+cosx）|=，∴根据根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=，故选：B．10．若A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，O是圆心，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（）A．λ2+μ2=1B． C．λ•μ=1D．λ+μ=1【考点】直线和圆的方程的应用；向量的共线定理；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，可得，又，所以对两边平方即可得到结论．【解答】解：∵，两边平方得：∵∴λ2+μ2=1故选A11．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则a n=（）A． B． C． D．【考点】数列递推式．【分析】设b n=nS n+（n+2）a n，由已知得b1=4，b2=8，从而b n=nS n+（n+2）a n=4n，进而得到是以为公比，1为首项的等比数列，由此能求出．【解答】解：设b n=nS n+（n+2）a n，∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，∴b1=4，b2=8，∴b n=b1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，即b n=nS n+（n+2）a n=4n当n≥2时，∴，即，∴是以为公比，1为首项的等比数列，∴，∴．故选：A．12．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（）A． B．a＞1或a＜﹣3C．a＞1D．3【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】得出，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根得出mn=，只需△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，a＞1或a＜﹣3，利用函数求解n﹣m==，n﹣m取最大值为．此时a=3，【解答】解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数f（x）=﹣在[m，n]上单调递增，则，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根∵mn=∴m，n同号，只需△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，∴a＞1或a＜﹣3，n﹣m==，n﹣m取最大值为．此时a=3，故选：D二、填空题：：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是12 ．【考点】程序框图．【分析】从程序框图中得到实验数的定义，找出区间中被3整除的数；找出被12整除的数；找出不能被6整除的数得到答案．【解答】解：由程序框图知实验数是满足：能被3整除不能被6整除或能被12整除的数，在[30，80]内的所有整数中，所有的能被3整除数有：30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78共有17个数，在这17个数中能被12 整除的有36，48，60，72，共4个数，在这17个数中不能被6 整除的有33，39，45，51，57，63，69，75，共计8个数，所以在[30，80]内的所有整数中“试验数”的个数是12个．故答案为：12．14．已知向量=（m，1），=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值\frac{9}{2} ．【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由∥，可得：n+2m=4．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵∥，∴4﹣n﹣2m=0，即n+2m=4．∵m＞0，n＞0，∴+=（n+2m）=≥=，当且仅当n=4m=时取等号．∴+的最小值是．故答案为：．15．双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为\sqrt{7} ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|∴|BF1|﹣|BF2|=2a，即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a又∵|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解之得c=a，由此可得双曲线C的离心率e==故答案为：16．在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n 的值为12 ．【考点】等比数列的前n项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n 项和．【分析】设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的X围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2+sinAsinB=．（1）求角C的大小；（2）若b=4，△A BC的面积为6，求边c的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用降幂公式，两角和与差的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式，可求cosC的值，结合C的X围可求C的值．（2）利用三角形面积公式可求a的值，结合余弦定理即可求得c的值．【解答】解：（1）sin2+sinAsinB=．⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，（2）∵，，∴，∵c2=a2+b2﹣2abcosC=10，∴．18．如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（1）设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”依题意知p（A i）=，设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12，由此能求出此人到达当日空气质量重度污染的概率．（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和ξ的期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”（i=1，2，…，12）．依题意知，p（A i）=，且A i∩A j=Φ（i≠j）．设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12，所以P（B）=（A1∪A2∪A3∪A7∪A12）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A7）+P（A12）=．即此人到达当日空气质量重度污染的概率为．（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=P（A4∪A8∪A9）=P（A4）+P（A8）+P（A9）=，P（ξ=2）=P（A2∪A11）=P（A2）+P（A11）=，P（ξ=3）=P（A1∪A12）=P（A1）+P（A12）=，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=1﹣=，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P故ξ的期望Eξ=．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【分析】（1）由余弦定理得BD=，由勾股定理，得BD⊥AD，由线线面垂直得BD⊥PD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明PA⊥BD．（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面APB的法向量和平面PBC的法向量，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：因为∠DAB=60°，AB=2，AD=1，由余弦定理得BD==，∴BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，∵PD⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PD，又AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，∴PA⊥BD．（2）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得A（1，0，0），P（0，0，1），B（0，，0），C（﹣1，，0），=（1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（﹣1，，﹣1），设平面APB的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，，3），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取b=，得=（0，，3），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，由图象知θ为钝角，∴cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣||=﹣．∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．（1）求k1k2的值；（2）记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ=λk BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求值；（2）联立直线AB的方程和圆方程，求得P的坐标；联立直线AB的方程和椭圆方程，求得B 的坐标，再求直线PQ，和直线BC的斜率，即可得到结论；（3）讨论直线PQ的斜率不存在和存在，联立直线PQ的方程和椭圆方程，求得Q的坐标，可得AQ的斜率，即可得证．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），，所以；（2）联立得，解得，联立得，解得，所以，，所以，故存在常数，使得．（3）证明：当直线PQ与x轴垂直时，，则，所以直线AC必过点Q．当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：，联立，解得，所以，故直线AC必过点Q．21．已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（1）当a=1且x＞1时，证明：f（x）＞3﹣；（2）若对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，某某数a的取值X围；（3）当a=时，证明： f（i）＞2（n+1﹣）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）当a=1且x＞1时，构造函数m（x）=lnx+﹣2，利用函数单调性和导数之间的关系即可证明：f（x）＞3﹣；（2）根据函数最值和函数导数之间的关系将不等式恒成立问题进行转化，某某数a的取值X 围；（3）根据函数的单调性的性质，利用放缩法即可证明不等式．【解答】（1）证明：要证f（x）＞3﹣，即证lnx+﹣2＞0，令m（x）=lnx+﹣2，则m'（x）=，∴m（x）在（1，+∞）单调递增，m（x）＞m（1）=0，∴lnx+﹣2＞0，即f（x）＞3﹣成立．（2）解法一：由f（x）＞x且x∈（1，e），可得a，令h（x）=，则h'（x）=，由（1）知lnx﹣1+＞1+=，∴h'（x）＞0函数，h（x）在（1，e）单调递增，当x∈（1，e）时，h（x）＜h（e）=e﹣1，即a≥e﹣1．解法二：令h（x）=alnx+1﹣x，则h'（x）=，当a＞e时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，e）上是增函数，有h（x）＞h（1）=0，当1＜a≤e时，∵函数h（x）在（1，a）上递增，在（a，e）上递减，对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，即a≥e﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a≤1时，函数h（x）在（1，e）上递减，对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，而h（e）=a+1﹣e＜0，不合题意，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上得对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，a≥e﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣】【解法三：由f（x）＞x且x∈（1，e）可得由于表示两点A（x，lnx），B（1，0）的连线斜率，由图象可知y=在（1，e）单调递减，故当x∈（1，e）时，，∴0，即a≥e﹣1．（3）当a=时，f（x）=，则f（i）=ln（n+1）!+n，要证f（i）＞2（n+1﹣），即证lni＞2n+4﹣4，由（1）可知ln（n+1）＞2﹣，又n+2=（n+1）+1＞2＞，∴，∴ln（n+1）＞2﹣，∴ln2+ln3+…+ln（n+1）=2n+4﹣4，故f（i）＞2（n+1﹣）．得证．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论．（Ⅱ）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所给的条件，得到要求线段的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB因为OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN∴PM2=PN2=PA•PC（Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4∵BM•MN=CM•MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，∴MN=2[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y ﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【考点】直线的参数方程；点到直线的距离公式；柱坐标刻画点的位置．【分析】（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，求出t1+t2和t1•t2，根据|AB|=•|t1﹣t2|=5，运算求得结果．（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=．由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，设A，B对应的参数分别为 t1和t2，则 t1+t2=，t1•t2 =﹣．所以|AB|=•|t1﹣t2|=5 =．（Ⅱ）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=．所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||=．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值X围．【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…。
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2016年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜86．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜07．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．2169．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为_______．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为_______．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是_______．=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=_______．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n﹣1三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2016年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用已知条件求出集合的补集关系，然后求解交集．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）={4，5}．故选：B．2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，∴复数的共轭复数是1﹣i．故选：A．3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故选：C．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可得a n和S n，逐个选项验证可得．【解答】解：由题意可得，A.，，∴A错；B.，构造函数f（x）=2x，易知f（x）在R上单调递增，当x=2时，f（2x﹣1）=f（x+1），∴R上不能保证f（2x﹣1）≤f（x+1）恒成立，∴B错；C．S n＜a n+1恒成立即2n﹣1＜2n恒成立，显然C正确．同A的解析可得D错误．故选：C5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=8时，退出循环，输出S的值为，故判断框图可填入的条件是k＜8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S=0，k=0满足条件，k=2，S=满足条件，k=4，S=+满足条件，k=6，S=+满足条件，k=8，S=++=由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k＜8．故选：D．6．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 【考点】函数的值；不等关系与不等式．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R 上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a ＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选A．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f（x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得．【解答】解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f （x 1+x 2）=sin （2×+）=，故选：D8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（ ） A ．135 B ．172 C ．189 D ．216 【考点】计数原理的应用．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣=189种．故选：C ．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．2B ．C ．4D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD 的面积为2×=2，△SAD 中，SD=AD=，SA=2，∴cos ∠SDA==，∴sin ∠SDA=，∴S △SAD ==2设S 到平面ABCD 的距离为h ，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出a的取值范围即可．【解答】解：表示区域内点（x，y）与定点A（2，0）连线斜率K，由图易观察到BC与y轴重合时，，当BC向右移动时，，综上，a∈[0，1]．故选：C．11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π【考点】球的体积和表面积．【分析】先判断三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故可得正方体的棱长，即可求出外接球的半径，从而可得三棱锥A﹣BCD外接球的表面积．【解答】解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，∴DE=，∴PE=，DP=∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即∴AP=，∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为∴外接球的表面积=4πr2=6π．故选：D．12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】函数零点的判定定理．【分析】构造函数，由函数有唯一零点x0，则y1，y2有公切点，由此求x0的解析式，即可求出m、n的值．【解答】解：令，则，在（0，1）上y1为减函数，在（1，+∞）上y1为增函数，所以y1为凹函数，而y2为凸函数；∵函数有唯一零点x0，∴y1，y2有公切点（x0，y0），则，消去a，得+﹣2（﹣）lnx0=0；构造函数，则g（1）=3，欲比较5与7ln2大小，可比较e5与27大小，∵e5＞27，∴g（2）＞0，，∴x∈（2，e）；∴m=2，n=3，∴m+n=5．二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为18．【考点】二项式定理的应用．【分析】设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，分别令x=1、x=﹣1，求得a的值，再利用排列组合的知识求得x3的系数．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1）…①，令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0…②，①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．当（3+x）中取3，则（1+x）4取x，x，x，1，即可得x3的系数为，当（3+x）中取x，则（1+x）4取x，x，1，1，即x3的系数为，∴展开式中x3的系数为18．故答案为：18．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据圆心在曲线上，设出圆心的坐标，然后根据圆与直线2x+y+1=0相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，要使圆的面积最小即为圆的半径最小，利用点到直线的距离公式表示出设出的圆心到已知直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值及此时a的值，进而得到此时的圆心坐标和圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a＞0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，由a＞0得到：d=≥=，当且仅当2a=即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=515．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=440．【考点】数列的求和．【分析】由（n≥2），对n分类讨论，可得：a2k+a2k﹣2=4k﹣1，a2k+1+a2k ﹣1=1，分组求和即可得出．【解答】解：∵（n≥2），∴当n=2k时，即a2k﹣a2k﹣1=2k，①当n=2k﹣1时，即a2k﹣1+a2k﹣2=2k﹣1，②当n=2k+1时，即a2k+1+a2k=2k+1，③①+②a2k+a2k﹣2=4k﹣1，③﹣①a2k+1+a2k﹣1=1，S40=（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+a8+…+a40）=．三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，结合A锐角，sinA＞0，可得sinC=，又C为锐角，即可得解C的值．（2）由余弦定理及已知可得7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积公式可得ab=6，即可得解a+b 的值．【解答】解：（1）∵a=2csinA，∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴sinC=，又∵C为锐角，∴C=，（2）∵三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，又∵由△ABC的面积得S=absinC=ab×=．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25，∵由于a+b为正，∴a+b=5．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率．（Ⅱ）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，P（A）==，P（B）==，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：P（A）=P（A）（1﹣P（B））==．（Ⅱ）P（C）=，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=P（）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=P（A）+P（）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=2）=P（AB）+P（A）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=3）=P（ABC）==，X0 1 2 3EX==．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，，建立方程，联立，即可求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，确定m，k的关系，直线代入椭圆方程，表示出面积，换元，利用配方法，即可确定结论．【解答】解：（1）设方程为（a＞b＞0），则A（a，0），B（0，b），F（c，0）∵椭圆C的离心率为，∴=∴a=2b，∴①∵②∴联立①②，解得b=1，c=∴a=2，∴椭圆的方程为；（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为2，∵直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，∴=1∴m2=1+k2③直线l代入椭圆方程，可得（）x2+2kmx+m2﹣1=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴==④③代入④可得=，∴|x1﹣x2|=∴|MN|==∴=令t=4k2+1≥1，则代入上式的，S=∴t=3，即4k2+1=3，解得时，S取得最大值为1．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出k的最大值即可；（2）假设存在这样的x0满足题意，得到+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出满足条件的x的值．【解答】解：（1）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx+1＞k（1﹣），即xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，若k≤2，∵x＞1，∴lnx＞0，g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（1，+∞）上递增；∴g（1）=1+2k≥0，解得，k≥﹣；故﹣≤k≤2，故k的最大值为2；若k＞2，由lnx+2﹣k＞0，解得x＞e k﹣2，故g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增；∴g min（x）=g（e k﹣2）=3k﹣e k﹣2，令h（k）=3k﹣e k﹣2，h′（k）=3﹣e k﹣2，∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0；∴k的最大取值为4，综上所述，k的最大值为4．（2）假设存在这样的x0满足题意，∵e f（x0）＜1﹣x02，∴+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，则h′（x）=x（a﹣），令h′（x）=0，得：e x=，故x=﹣lna，取x0=﹣lna，在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0；∴h min（x）=h（x0）=（﹣lna）2+alna+a﹣1，在a∈（0，1）时，令p（a）=（lna）2+alna+a﹣1，则p′（a）=（lna）2≥0，故p（a）在（0，1）上是增函数，故p（a）＜p（1）=0，即当x0=﹣lna时符合题意．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…2016年9月9日。